Iverson Klammer – Wikipedia
In der Mathematik ist die Iverson Klammer, benannt nach Kenneth E. Iverson, ist eine Notation, die das Kronecker-Delta verallgemeinert, das die Iverson-Klammer der Aussage ist x = y. Es ordnet jede Anweisung einer Funktion der darin enthaltenen freien Variablen zu, die den Wert Eins für die Werte der Variablen annimmt, für die die Anweisung wahr ist, und ansonsten den Wert Null. Es wird im Allgemeinen dadurch bezeichnet, dass die Aussage in eckige Klammern gesetzt wird:
Im Kontext der Summation kann die Notation verwendet werden, um eine beliebige Summe als unendliche Summe ohne Grenzen zu schreiben: If
ist eine Eigenschaft der Ganzzahl
,
Beachten Sie, dass nach dieser Konvention ein Summand
muss auf 0 ausgewertet werden, unabhängig davon, ob
ist definiert. Ebenso für Produkte:
Die Notation wurde ursprünglich von Kenneth E. Iverson in seiner Programmiersprache APL eingeführt.[1][2] Donald Knuth befürwortete die Verallgemeinerung auf willkürliche Aussagen, die Beschränkung der Notation auf eckige Klammern und Anwendungen auf die Summierung, obwohl sie auf einzelne relationale Operatoren in Klammern beschränkt war, um Mehrdeutigkeiten in logischen Ausdrücken in Klammern zu vermeiden.[3]
Eigenschaften[edit]
Es gibt eine direkte Entsprechung zwischen Arithmetik für Iverson-Klammern, Logik und Mengenoperationen. Zum Beispiel lassen EIN und B. gesetzt werden und
jede Eigenschaft von ganzen Zahlen; dann haben wir
Beispiele[edit]
Die Notation ermöglicht das Verschieben von Randbedingungen von Summationen (oder Integralen) als separaten Faktor in den Summanden, wodurch Platz um den Summationsoperator frei wird, aber vor allem, dass er algebraisch manipuliert werden kann.
Doppelzählregel[edit]
Wir leiten mechanisch eine bekannte Summenmanipulationsregel unter Verwendung von Iverson-Klammern ab:
Summationsaustausch[edit]
Die bekannte Regel
ist ebenfalls leicht abzuleiten:
Zählen[edit]
Zum Beispiel die Euler-Phi-Funktion, die die Anzahl der positiven ganzen Zahlen bis zu zählt n welche sind coprime zu n kann ausgedrückt werden durch
Vereinfachung von Sonderfällen[edit]
Eine andere Verwendung der Iverson-Klammer besteht darin, Gleichungen mit Sonderfällen zu vereinfachen. Zum Beispiel die Formel
gilt für n > 1 ist aber weg von 1/.2 zum n = 1. Um eine Identität zu erhalten, die für alle positiven ganzen Zahlen gültig ist n (dh alle Werte für die
definiert ist), kann ein Korrekturterm mit der Iverson-Klammer hinzugefügt werden:
Gemeinsame Funktionen[edit]
Viele gebräuchliche Funktionen, insbesondere solche mit einer natürlichen stückweisen Definition, können in Form der Iverson-Klammer ausgedrückt werden. Die Kronecker-Delta-Notation ist ein spezieller Fall der Iverson-Notation, wenn die Bedingung Gleichheit ist. Das ist,
Die oft bezeichnete Indikatorfunktion
,
oder
ist eine Iverson-Klammer mit festgelegter Mitgliedschaft als Bedingung:
- .
Die Heaviside-Schrittfunktion, Vorzeichenfunktion,[1] und Absolutwertfunktion lassen sich auch leicht in dieser Notation ausdrücken:
und
Die Vergleichsfunktionen max und min (Rückgabe des größeren oder kleineren von zwei Argumenten) können wie folgt geschrieben werden
und
wo der Index
Unter Summation versteht man alle ganzen Zahlen.
Die Rampenfunktion kann ausgedrückt werden
Die Trichotomie der Realen entspricht der folgenden Identität:
Formulierung in Bezug auf übliche Funktionen[edit]
In den 1830er Jahren verwendete Guglielmo dalla Sommaja den Ausdruck
zu repräsentieren, was jetzt geschrieben werden würde [4]) zum .[3]Nach einer gemeinsamen Konvention sind diese Mengen gleich, wo definiert:
ist 1 wenn x > 0, ist 0 wenn x = 0 und ist ansonsten undefiniert.
Siehe auch[edit]
Verweise[edit]
- ^ ein b Kenneth E. Iverson (1962). Eine Programmiersprache. Wiley. p. 11. Abgerufen 7. April 2016.
- ^ Ronald Graham, Donald Knuth und Oren Patashnik. Konkrete Mathematik, Abschnitt 2.2: Beträge und Rückfälle.
- ^ ein b Donald Knuth, “Zwei Anmerkungen zur Notation”, American Mathematical MonthlyBand 99, Nummer 5, Mai 1992, S. 403–422. ((TeX, arXiv:math / 9205211).
- ^ Ronald Graham, Donald Knuth und Oren Patashnik. Konkrete Mathematik, Abschnitt 4.9: Phi und Mu.
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