Iverson Klammer – Wikipedia

In der Mathematik ist die Iverson Klammer, benannt nach Kenneth E. Iverson, ist eine Notation, die das Kronecker-Delta verallgemeinert, das die Iverson-Klammer der Aussage ist x = y. Es ordnet jede Anweisung einer Funktion der darin enthaltenen freien Variablen zu, die den Wert Eins für die Werte der Variablen annimmt, für die die Anweisung wahr ist, und ansonsten den Wert Null. Es wird im Allgemeinen dadurch bezeichnet, dass die Aussage in eckige Klammern gesetzt wird:

Im Kontext der Summation kann die Notation verwendet werden, um eine beliebige Summe als unendliche Summe ohne Grenzen zu schreiben: If

P.((k){ displaystyle P (k)}

ist eine Eigenschaft der Ganzzahl

k{ displaystyle k}

,

Beachten Sie, dass nach dieser Konvention ein Summand

f((k)[false]{ displaystyle f (k)[{textbf {false}}]}}

muss auf 0 ausgewertet werden, unabhängig davon, ob

f((k){ displaystyle f (k)}

ist definiert. Ebenso für Produkte:

Die Notation wurde ursprünglich von Kenneth E. Iverson in seiner Programmiersprache APL eingeführt.[1][2] Donald Knuth befürwortete die Verallgemeinerung auf willkürliche Aussagen, die Beschränkung der Notation auf eckige Klammern und Anwendungen auf die Summierung, obwohl sie auf einzelne relationale Operatoren in Klammern beschränkt war, um Mehrdeutigkeiten in logischen Ausdrücken in Klammern zu vermeiden.[3]

Eigenschaften[edit]

Es gibt eine direkte Entsprechung zwischen Arithmetik für Iverson-Klammern, Logik und Mengenoperationen. Zum Beispiel lassen EIN und B. gesetzt werden und

P.((k1,){ displaystyle P (k_ {1}, dots)}

jede Eigenschaft von ganzen Zahlen; dann haben wir

Beispiele[edit]

Die Notation ermöglicht das Verschieben von Randbedingungen von Summationen (oder Integralen) als separaten Faktor in den Summanden, wodurch Platz um den Summationsoperator frei wird, aber vor allem, dass er algebraisch manipuliert werden kann.

Doppelzählregel[edit]

Wir leiten mechanisch eine bekannte Summenmanipulationsregel unter Verwendung von Iverson-Klammern ab:

Summationsaustausch[edit]

Die bekannte Regel

j=1nk=1jf((j,k)=k=1nj=knf((j,k){ displaystyle textstyle sum _ {j = 1} ^ {n} , sum _ {k = 1} ^ {j} f (j, k) = sum _ {k = 1} ^ {n} , sum _ {j = k} ^ {n} f (j, k)}

ist ebenfalls leicht abzuleiten:

Zählen[edit]

Zum Beispiel die Euler-Phi-Funktion, die die Anzahl der positiven ganzen Zahlen bis zu zählt n welche sind coprime zu n kann ausgedrückt werden durch

Vereinfachung von Sonderfällen[edit]

Eine andere Verwendung der Iverson-Klammer besteht darin, Gleichungen mit Sonderfällen zu vereinfachen. Zum Beispiel die Formel

gilt für n > 1 ist aber weg von 1/.2 zum n = 1. Um eine Identität zu erhalten, die für alle positiven ganzen Zahlen gültig ist n (dh alle Werte für die

ϕ((n){ displaystyle phi (n)}

definiert ist), kann ein Korrekturterm mit der Iverson-Klammer hinzugefügt werden:

Gemeinsame Funktionen[edit]

Viele gebräuchliche Funktionen, insbesondere solche mit einer natürlichen stückweisen Definition, können in Form der Iverson-Klammer ausgedrückt werden. Die Kronecker-Delta-Notation ist ein spezieller Fall der Iverson-Notation, wenn die Bedingung Gleichheit ist. Das ist,

Die oft bezeichnete Indikatorfunktion

1EIN((x){ displaystyle mathbf {1} _ {A} (x)}

,

ichEIN((x){ displaystyle mathbf {I} _ {A} (x)}

oder

χEIN((x){ displaystyle chi _ {A} (x)}

ist eine Iverson-Klammer mit festgelegter Mitgliedschaft als Bedingung:

Die Heaviside-Schrittfunktion, Vorzeichenfunktion,[1] und Absolutwertfunktion lassen sich auch leicht in dieser Notation ausdrücken:

und

Die Vergleichsfunktionen max und min (Rückgabe des größeren oder kleineren von zwei Argumenten) können wie folgt geschrieben werden

und

wo der Index

n{ displaystyle n}

Unter Summation versteht man alle ganzen Zahlen.

Die Rampenfunktion kann ausgedrückt werden

Die Trichotomie der Realen entspricht der folgenden Identität: