Jordanischer Kurvensatz – Wikipedia

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Eine geschlossene Kurve teilt die Ebene in zwei Bereiche

Illustration des Jordan-Kurvensatzes. Die Jordan-Kurve (schwarz gezeichnet) unterteilt die Ebene in einen “inneren” Bereich (hellblau) und einen “äußeren” Bereich (rosa).
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In der Topologie a Jordanienkurve, manchmal a genannt Ebene einfache geschlossene Kurveist eine sich nicht selbst schneidende Endlosschleife in der Ebene.[1] Das Jordanischer Kurvensatz behauptet, dass jede Jordan-Kurve die Ebene in einen “inneren” Bereich, der durch die Kurve begrenzt ist, und einen “äußeren” Bereich unterteilt, der alle nahe und weit entfernten äußeren Punkte enthält, so dass jeder kontinuierliche Pfad einen Punkt eines Bereichs mit einem Punkt von verbindet der andere schneidet sich irgendwo mit dieser Schleife. Während die Aussage dieses Theorems intuitiv offensichtlich zu sein scheint, bedarf es einiger Einfallsreichtum, um sie mit elementaren Mitteln zu beweisen. “Obwohl das JCT eines der bekanntesten topologischen Theoreme ist, gibt es viele, selbst unter professionellen Mathematikern, die noch nie einen Beweis dafür gelesen haben.” (Tverberg (1980, Einleitung)). Transparentere Beweise beruhen auf der mathematischen Maschinerie der algebraischen Topologie, und diese führen zu Verallgemeinerungen auf höherdimensionale Räume.

Der Jordan-Kurvensatz ist nach dem Mathematiker Camille Jordan (1838–1922) benannt, der seinen ersten Beweis gefunden hat. Jahrzehntelang glaubten Mathematiker im Allgemeinen, dass dieser Beweis fehlerhaft war und dass der erste strenge Beweis von Oswald Veblen durchgeführt wurde. Diese Vorstellung wurde jedoch von Thomas C. Hales und anderen aufgehoben.

Definitionen und die Aussage des Jordan-Theorems[edit]

EIN Jordanienkurve oder ein einfache geschlossene Kurve im Flugzeug R.2 ist das Bild C. einer injektiven kontinuierlichen Karte eines Kreises in die Ebene, φ:: S.1 → R.2. EIN Jordan Bogen In der Ebene befindet sich das Bild einer injektiven kontinuierlichen Karte eines geschlossenen und begrenzten Intervalls [a, b] ins Flugzeug. Es ist eine ebene Kurve, die nicht unbedingt glatt oder algebraisch ist.

Alternativ ist eine Jordan-Kurve das Bild einer kontinuierlichen Karte φ:: [0,1] → R.2 so dass φ(0) = φ(1) und die Einschränkung von φ zu [0,1) is injective. The first two conditions say that C is a continuous loop, whereas the last condition stipulates that C has no self-intersection points.

With these definitions, the Jordan curve theorem can be stated as follows:

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Let C be a Jordan curve in the plane R2. Then its complement, R2  C, consists of exactly two connected components. One of these components is bounded (the interior) and the other is unbounded (the exterior), and the curve C is the boundary of each component.

In contrast, the complement of a Jordan arc in the plane is connected.

Proof and generalizations[edit]

Der Jordan-Kurvensatz wurde 1911 von H. Lebesgue und LEJ Brouwer unabhängig auf höhere Dimensionen verallgemeinert Jordan-Brouwer-Trennungssatz.

Lassen X. Bohne n-dimensional topologische Sphäre in dem (n+1) -dimensionaler euklidischer Raum R.n+1 ((n > 0), dh das Bild einer injektiven kontinuierlichen Abbildung der n-Kugel S.n in R.n+1. Dann die Ergänzung Y. von X. im R.n+1 besteht aus genau zwei verbundenen Komponenten. Eine dieser Komponenten ist begrenzt (das Innere) und die andere ist unbegrenzt (das Äußere). Der Satz X. ist ihre gemeinsame Grenze.

Der Beweis verwendet die Homologietheorie. Es wird zunächst festgestellt, dass im Allgemeinen, wenn X. ist homöomorph zum k-Kugel, dann die reduzierten integralen Homologiegruppen von Y. = R.n+1 . X. sind wie folgt:

Dies wird durch Induktion in bewiesen k unter Verwendung der Mayer-Vietoris-Sequenz. Wann n = k, die nullte reduzierte Homologie von Y. hat Rang 1, was bedeutet, dass Y. hat 2 verbundene Komponenten (die außerdem pfadverbunden sind), und mit ein wenig zusätzlicher Arbeit zeigt man, dass ihre gemeinsame Grenze ist X.. Eine weitere Verallgemeinerung fand JW Alexander, der die Alexander-Dualität zwischen der reduzierten Homologie einer kompakten Teilmenge feststellte X. von R.n+1 und die reduzierte Kohomologie seines Komplements. Wenn X. ist ein n-dimensionale kompakte verbundene Untervielfalt von R.n+1 (oder S.n+1) ohne Grenze hat sein Komplement 2 verbundene Komponenten.

Es gibt eine Verstärkung des Jordan-Kurvensatzes, genannt Jordan-Schönflies-Theorem, der besagt, dass die inneren und äußeren planaren Regionen durch eine Jordan-Kurve in bestimmt werden R.2 sind homöomorph zum Inneren und Äußeren der Einheitsscheibe. Insbesondere für jeden Punkt P. im inneren Bereich und einem Punkt EIN Auf der Jordan-Kurve existiert ein Jordan-Bogen, der verbindet P. mit EIN und mit Ausnahme des Endpunkts EINvollständig im Innenbereich liegend. Eine alternative und äquivalente Formulierung des Jordan-Schönflies-Theorems besagt, dass jede Jordan-Kurve φ:: S.1 → R.2, wo S.1 wird als Einheitskreis in der Ebene angesehen, kann zu einem Homöomorphismus erweitert werden ψ:: R.2 → R.2 des Flugzeugs. Im Gegensatz zu Lebesgues und Brouwers Verallgemeinerung des Jordan-Kurvensatzes wird diese Aussage falsch in höheren Dimensionen: während das Äußere der Einheit Kugel in R.3 ist einfach verbunden, weil es sich auf die Einheitskugel zurückzieht, ist die Alexander-Hornkugel eine Teilmenge von R.3 homöomorph zu einer Kugel, aber im Raum so verdreht, dass die unbegrenzte Komponente ihres Komplements in R.3 ist nicht einfach verbunden und daher nicht homöomorph zum Äußeren der Einheitskugel.

Geschichte und weitere Beweise[edit]

Die Aussage des Jordan-Kurvensatzes mag zunächst offensichtlich erscheinen, aber es ist ziemlich schwierig, sie zu beweisen.
Bernard Bozen formulierte als erster eine genaue Vermutung und stellte fest, dass es sich nicht um eine selbstverständliche Aussage handelte, sondern dass ein Beweis erforderlich war.[citation needed]

Es ist leicht, dieses Ergebnis für Polygone zu ermitteln, aber das Problem bestand darin, es auf alle Arten von schlecht benommenen Kurven zu verallgemeinern, zu denen nirgends differenzierbare Kurven wie die Koch-Schneeflocke und andere fraktale Kurven oder sogar eine Jordan-Kurve mit positiver Fläche gehören von Osgood (1903).

Der erste Beweis für diesen Satz wurde von Camille Jordan in seinen Vorlesungen über reale Analysen gegeben und in seinem Buch veröffentlicht Cours d’analyse de l’École Polytechnique.[2] Es gibt einige Kontroversen darüber, ob Jordans Beweis vollständig war: Die Mehrheit der Kommentatoren hat behauptet, dass der erste vollständige Beweis später von Oswald Veblen gegeben wurde, der Folgendes über Jordans Beweis sagte:

Sein Beweis ist jedoch für viele Mathematiker unbefriedigend. Es wird der Satz ohne Beweis im wichtigen Sonderfall eines einfachen Polygons angenommen, und von dem Argument von diesem Punkt an muss man zumindest zugeben, dass nicht alle Details angegeben sind.[3]

Thomas C. Hales schrieb jedoch:

Fast jedes moderne Zitat, das ich gefunden habe, stimmt zu, dass der erste richtige Beweis Veblen zu verdanken ist … Angesichts der heftigen Kritik an Jordans Beweis war ich überrascht, als ich mich hinsetzte, um seinen Beweis zu lesen und nichts Unangenehmes daran zu finden. Seitdem habe ich eine Reihe von Autoren kontaktiert, die Jordanien kritisiert haben, und in jedem Fall hat der Autor zugegeben, keine direkte Kenntnis von einem Fehler in Jordans Beweis zu haben.[4]

Hales wies auch darauf hin, dass der Sonderfall einfacher Polygone nicht nur eine einfache Übung ist, sondern von Jordan ohnehin nicht wirklich verwendet wurde, und zitierte Michael Reeken mit den Worten:

Jordans Beweis ist im Wesentlichen richtig … Jordans Beweis präsentiert die Details nicht zufriedenstellend. Aber die Idee ist richtig, und mit etwas Polieren wäre der Beweis einwandfrei.[5]

Jordaniens Beweis und ein weiterer früher Beweis von Charles Jean de la Vallée Poussin waren bereits zuvor von Schönflies (1924) kritisch analysiert und vervollständigt worden.[6]

Aufgrund der Bedeutung des Jordan-Kurvensatzes für die niedrigdimensionale Topologie und die komplexe Analyse wurde er von prominenten Mathematikern der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts viel beachtet. Verschiedene Beweise des Satzes und seiner Verallgemeinerungen wurden von Zeugen Alexander, Louis Antoine, Ludwig Bieberbach, Luitzen Brouwer, Arnaud Denjoy, Friedrich Hartogs, Béla Kerékjártó, Alfred Pringsheim und Arthur Moritz Schönflies konstruiert.

Neue elementare Beweise des Jordan-Kurvensatzes sowie Vereinfachungen der früheren Beweise werden weiterhin durchgeführt.

Die Wurzel der Schwierigkeit wird in Tverberg (1980) wie folgt erklärt. Es ist relativ einfach zu beweisen, dass der Jordan-Kurvensatz für jedes Jordan-Polygon (Lemma 1) gilt und jede Jordan-Kurve durch ein Jordan-Polygon (Lemma 2) beliebig gut approximiert werden kann. Ein Jordan-Polygon ist eine polygonale Kette, die Grenze einer begrenzten verbundenen offenen Menge, die als offenes Polygon bezeichnet wird, und deren Schließung das geschlossene Polygon. Betrachten Sie den Durchmesser

δ{ displaystyle delta}

der größten im geschlossenen Polygon enthaltenen Scheibe. Offensichtlich,

δ{ displaystyle delta}

ist positiv. Unter Verwendung einer Folge von Jordan-Polygonen (die zur gegebenen Jordan-Kurve konvergieren) haben wir eine Folge

δ1,δ2,…{ displaystyle delta _ {1}, delta _ {2}, dots}

vermutlich konvergiert zu einer positiven Zahl, dem Durchmesser

δ{ displaystyle delta}

der größten Scheibe in der geschlossenen Region, die von der Jordan-Kurve begrenzt wird. Wir müssen jedoch beweisen dass die Reihenfolge

δ1,δ2,…{ displaystyle delta _ {1}, delta _ {2}, dots}

konvergiert nicht gegen Null und verwendet nur die angegebene Jordan-Kurve, nicht die Region vermutlich durch die Kurve begrenzt. Dies ist der Punkt von Tverbergs Lemma 3. Grob gesagt sollten die geschlossenen Polygone nicht überall auf Null dünner werden. Außerdem sollten sie nicht irgendwo auf Null abnehmen, was der Punkt von Tverbergs Lemma 4 ist.

Der erste formale Beweis des Jordan-Kurvensatzes wurde von Hales (2007a) im Januar 2005 im HOL-Lichtsystem erstellt und enthielt etwa 60.000 Linien. Ein weiterer strenger formaler Beweis mit 6.500 Zeilen wurde 2005 von einem internationalen Team von Mathematikern unter Verwendung des Mizar-Systems erstellt. Sowohl der Mizar als auch der HOL Light Proof basieren auf Bibliotheken zuvor bewährter Theoreme, sodass diese beiden Größen nicht vergleichbar sind. Nobuyuki Sakamoto und Keita Yokoyama (2007) zeigten, dass in der umgekehrten Mathematik der Jordan-Kurvensatz dem schwachen Königschen Lemma über dem System entspricht

R.C.EIN0{ displaystyle { mathsf {RCA}} _ {0}}

.

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

Externe Links[edit]

doi:10.1007 / 15.40062-014-0089-0


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