Mathematik und Architektur – Wikipedia

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Mathematik und Architektur sind verwandt, da Architekten wie bei anderen Künsten aus mehreren Gründen Mathematik verwenden. Abgesehen von der Mathematik, die beim Bau von Gebäuden benötigt wird, verwenden Architekten Geometrie: um die räumliche Form eines Gebäudes zu definieren; ab den Pythagoräern des 6. Jahrhunderts v. Chr. Formen zu schaffen, die als harmonisch gelten, und so Gebäude und ihre Umgebung nach mathematischen, ästhetischen und manchmal religiösen Prinzipien zu gestalten; Gebäude mit mathematischen Objekten wie Tessellationen zu dekorieren; und um Umweltziele zu erreichen, wie zum Beispiel die Minimierung der Windgeschwindigkeiten um die Basis von hohen Gebäuden.

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Im alten Ägypten, im alten Griechenland, in Indien und in der islamischen Welt wurden aus religiösen Gründen Gebäude wie Pyramiden, Tempel, Moscheen, Paläste und Mausoleen mit bestimmten Proportionen angelegt. In der islamischen Architektur werden geometrische Formen und geometrische Fliesenmuster verwendet, um Gebäude sowohl innen als auch außen zu dekorieren. Einige hinduistische Tempel haben eine fraktale Struktur, in der Teile dem Ganzen ähneln und eine Botschaft über das Unendliche in der hinduistischen Kosmologie vermitteln. In der chinesischen Architektur sind die Tulou der Provinz Fujian kreisförmige, kommunale Verteidigungsstrukturen. Im einundzwanzigsten Jahrhundert wird die mathematische Verzierung wieder verwendet, um öffentliche Gebäude abzudecken.

In der Architektur der Renaissance wurden Symmetrie und Proportionen von Architekten wie Leon Battista Alberti, Sebastiano Serlio und Andrea Palladio, beeinflusst von Vitruvius, bewusst betont De Architectura aus dem alten Rom und die Arithmetik der Pythagoräer aus dem alten Griechenland. Ende des 19. Jahrhunderts leisteten Vladimir Shukhov in Russland und Antoni Gaudí in Barcelona Pionierarbeit bei der Verwendung von hyperboloiden Strukturen. In der Sagrada Família enthielt Gaudí auch hyperbolische Paraboloide, Tessellationen, Oberleitungsbögen, Catenoide, Helicoide und linierte Oberflächen. Im 20. Jahrhundert untersuchten Stile wie moderne Architektur und Dekonstruktivismus verschiedene Geometrien, um die gewünschten Effekte zu erzielen. Minimale Oberflächen wurden in zeltartigen Dacheindeckungen wie am Denver International Airport ausgenutzt, während Richard Buckminster Fuller Pionierarbeit bei der Verwendung der starken dünnschaligen Strukturen leistete, die als geodätische Kuppeln bekannt sind.

Verbundene Felder[edit]

Die Architekten Michael Ostwald und Kim Williams stellen in Anbetracht der Beziehungen zwischen Architektur und Mathematik fest, dass die allgemein verstandenen Bereiche möglicherweise nur schwach miteinander verbunden zu sein scheinen, da Architektur ein Beruf ist, der sich mit der praktischen Frage des Bauens von Gebäuden befasst, während Mathematik die reine ist Studium der Zahl und anderer abstrakter Objekte. Sie argumentieren jedoch, dass die beiden eng miteinander verbunden sind und dies seit der Antike sind. Im alten Rom beschrieb Vitruv einen Architekten als einen Mann, der genug über eine Reihe anderer Disziplinen wusste, vor allem über Geometrie, um qualifizierte Handwerker in allen anderen notwendigen Bereichen wie Maurer und Tischler zu beaufsichtigen. Gleiches galt im Mittelalter, als die Absolventen in eleganten Sälen von Baumeistern, die viele Handwerker geführt hatten, neben dem Grundlehrplan für Grammatik, Logik und Rhetorik (das Trivium) auch Arithmetik, Geometrie und Ästhetik lernten. Ein Baumeister an der Spitze seines Berufs erhielt den Titel eines Architekten oder Ingenieurs. In der Renaissance wurde das Quadrivium aus Arithmetik, Geometrie, Musik und Astronomie zu einem zusätzlichen Lehrplan, der von Renaissance-Männern wie Leon Battista Alberti erwartet wurde. In ähnlicher Weise war Sir Christopher Wren, der heute als Architekt bekannt ist, in England zunächst ein bekannter Astronom.[3]

Williams und Ostwald, die das Zusammenspiel von Mathematik und Architektur seit 1500 nach dem Ansatz des deutschen Soziologen Theodor Adorno weiter überblicken, identifizieren drei Tendenzen unter Architekten, nämlich: sein RevolutionärEinführung völlig neuer Ideen; reaktionär, keine Veränderung einzuführen; oder Wiederbelebungskünstlertatsächlich rückwärts gehen. Sie argumentieren, dass Architekten es in Zeiten der Wiederbelebung vermieden haben, sich von der Mathematik inspirieren zu lassen. Dies würde erklären, warum Architektur in Zeiten der Wiederbelebung, wie der Gotik im England des 19. Jahrhunderts, wenig mit Mathematik zu tun hatte. Ebenso stellen sie fest, dass in reaktionären Zeiten wie dem italienischen Manierismus von etwa 1520 bis 1580 oder den barocken und palladianischen Bewegungen des 17. Jahrhunderts die Mathematik kaum konsultiert wurde. Im Gegensatz dazu lehnten die revolutionären Bewegungen des frühen 20. Jahrhunderts wie Futurismus und Konstruktivismus alte Ideen aktiv ab, nahmen die Mathematik an und führten zur modernistischen Architektur. Auch gegen Ende des 20. Jahrhunderts wurde die fraktale Geometrie von den Architekten schnell übernommen, ebenso wie die aperiodischen Fliesen, um interessante und attraktive Abdeckungen für Gebäude bereitzustellen.[4]

Architekten verwenden Mathematik aus mehreren Gründen, wobei der notwendige Einsatz von Mathematik beim Bau von Gebäuden außer Acht gelassen wird.[5] Erstens verwenden sie Geometrie, weil sie die räumliche Form eines Gebäudes definiert.[6] Zweitens verwenden sie Mathematik, um Formen zu entwerfen, die als schön oder harmonisch gelten.[7] Aus der Zeit der Pythagoräer mit ihrer religiösen Zahlenphilosophie,[8] Architekten im antiken Griechenland, im antiken Rom, in der islamischen Welt und in der italienischen Renaissance haben die Proportionen der gebauten Umgebung – Gebäude und ihre gestaltete Umgebung – nach mathematischen sowie ästhetischen und manchmal religiösen Prinzipien ausgewählt.[9][10][11][12] Drittens können sie mathematische Objekte wie Tessellationen verwenden, um Gebäude zu dekorieren.[13][14] Viertens können sie Mathematik in Form von Computermodellen verwenden, um Umweltziele zu erreichen, beispielsweise um wirbelnde Luftströmungen an der Basis hoher Gebäude zu minimieren.[1]

Weltliche Ästhetik[edit]

Antikes Rom[edit]

Vitruvius[edit]

Der einflussreiche antike römische Architekt Vitruv argumentierte, dass die Gestaltung eines Gebäudes wie eines Tempels von zwei Eigenschaften abhängt: Proportionen und Symmetrie. Das Verhältnis stellt sicher, dass jeder Teil eines Gebäudes harmonisch mit jedem anderen Teil zusammenhängt. Symmetrien In Vitruv bedeutet die Verwendung etwas, das dem englischen Begriff Modularität näher kommt als die Spiegelsymmetrie, da es sich wiederum auf die Montage von (modularen) Teilen zum gesamten Gebäude bezieht. In seiner Basilika in Fano verwendet er Verhältnisse kleiner Ganzzahlen, insbesondere der Dreieckszahlen (1, 3, 6, 10, …), um die Struktur in (vitruvianische) Module zu proportionieren.[a] Somit beträgt die Breite der Basilika 1: 2; der Gang um ihn herum ist so hoch wie breit, 1: 1; Die Säulen sind fünf Fuß dick und fünfzig Fuß hoch, 1:10.[9]

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Grundriss des Pantheons

Vitruv nannte in seiner drei Eigenschaften, die für die Architektur erforderlich sind De Architecturac. 15 v. Chr .: Festigkeit, Nützlichkeit (oder “Ware” in Henry Wottons Englisch des 16. Jahrhunderts) und Freude. Diese können als Kategorien zur Klassifizierung der Art und Weise verwendet werden, wie Mathematik in der Architektur verwendet wird. Festigkeit umfasst die Verwendung von Mathematik, um sicherzustellen, dass ein Gebäude standhält, daher die mathematischen Werkzeuge, die beim Entwurf verwendet werden, und um die Konstruktion zu unterstützen, beispielsweise um Stabilität zu gewährleisten und die Leistung zu modellieren. Der Nutzen ergibt sich zum Teil aus der effektiven Anwendung der Mathematik, der Argumentation und Analyse der räumlichen und anderen Beziehungen in einem Entwurf. Freude ist ein Attribut des resultierenden Gebäudes, das sich aus der Verkörperung mathematischer Beziehungen im Gebäude ergibt. es beinhaltet ästhetische, sinnliche und intellektuelle Qualitäten.[16]

Das Pantheon[edit]

Das Pantheon in Rom ist intakt geblieben und zeigt die klassische römische Struktur, Proportionen und Dekoration. Die Hauptstruktur ist eine Kuppel, deren Spitze als kreisförmiger Okulus offen gelassen wird, um Licht hereinzulassen. Es wird von einer kurzen Kolonnade mit einem dreieckigen Giebel konfrontiert. Die Höhe zum Okulus und der Durchmesser des inneren Kreises sind mit 43,3 Metern gleich, sodass der gesamte Innenraum genau in einen Würfel passt und im Inneren eine Kugel mit demselben Durchmesser untergebracht werden kann.[17] Diese Dimensionen sind sinnvoller, wenn sie in antiken römischen Maßeinheiten ausgedrückt werden: Die Kuppel überspannt 150 römische Fuß[b]); das Okulus hat einen Durchmesser von 30 römischen Fuß; Die Tür ist 40 römische Fuß hoch.[18] Das Pantheon bleibt die weltweit größte Kuppel aus unbewehrtem Beton.[19]

Renaissance[edit]

Die erste Abhandlung der Renaissance über Architektur war Leon Battista Albertis 1450 De re aedificatoria (Über die Kunst des Bauens); Es wurde 1485 das erste gedruckte Buch über Architektur. Es basierte teilweise auf Vitruvius ‘ De Architectura und über Nicomachus die pythagoreische Arithmetik. Alberti beginnt mit einem Würfel und leitet daraus Verhältnisse ab. Somit ergibt die Diagonale eines Gesichts das Verhältnis 1:√2, während der Durchmesser der Kugel, die den Würfel umschreibt, 1 ergibt:√3.[20][21] Alberti dokumentierte auch Filippo Brunelleschis Entdeckung der linearen Perspektive, die entwickelt wurde, um die Gestaltung von Gebäuden zu ermöglichen, die aus bequemer Entfernung schön proportioniert aussehen würden.[12]

Der nächste große Text war der von Sebastiano Serlio Regole generali d’architettura (Allgemeine Regeln der Architektur); der erste Band erschien 1537 in Venedig; der Band von 1545 (Bücher 1 und 2) abgedeckte Geometrie und Perspektive. Zwei von Serlios Methoden zur Konstruktion von Perspektiven waren falsch, aber dies hinderte seine Arbeit nicht daran, weit verbreitet zu sein.[23]

Im Jahr 1570 veröffentlichte Andrea Palladio den einflussreichen Ich quattro libri dell’architettura (Die vier Bücher der Architektur) in Venedig. Dieses weit gedruckte Buch war maßgeblich für die Verbreitung der Ideen der italienischen Renaissance in ganz Europa verantwortlich, unterstützt von Befürwortern wie dem englischen Diplomaten Henry Wotton mit seinem Jahr 1624 Die Elemente der Architektur.[24] Die Proportionen jedes Raumes in der Villa wurden anhand einfacher mathematischer Verhältnisse wie 3: 4 und 4: 5 berechnet, und die verschiedenen Räume innerhalb des Hauses wurden durch diese Verhältnisse miteinander in Beziehung gesetzt. Frühere Architekten hatten diese Formeln verwendet, um eine einzelne symmetrische Fassade auszugleichen. Palladios Entwürfe bezogen sich jedoch auf die gesamte, normalerweise quadratische Villa.[25] Palladio erlaubte eine Reihe von Verhältnissen in der Quattro librimit folgenden Worten:[26][27]

Es gibt sieben Arten von Räumen, die am schönsten und am besten proportioniert sind und sich als besser herausstellen: Sie können kreisförmig gestaltet werden, obwohl diese selten sind. oder quadratisch; oder ihre Länge entspricht der Diagonale des Quadrats der Breite; oder ein Quadrat und ein Drittel; oder anderthalb Quadrate; oder ein Quadrat und zwei Drittel; oder zwei Quadrate.[c]

Im Jahr 1615 veröffentlichte Vincenzo Scamozzi die Abhandlung der Spätrenaissance L’idea dell’architettura universale (Die Idee einer universellen Architektur).[28] Er versuchte, die Gestaltung von Städten und Gebäuden mit den Ideen von Vitruv und den Pythagoräern sowie mit den neueren Ideen von Palladio in Verbindung zu bringen.[29]

19. Jahrhundert[edit]

Hyperboloide Strukturen wurden ab Ende des 19. Jahrhunderts von Vladimir Shukhov für Masten, Leuchttürme und Kühltürme verwendet. Ihre auffällige Form ist sowohl ästhetisch interessant als auch stark, wobei Strukturmaterialien wirtschaftlich verwendet werden. Shukhovs erster hyperboloidaler Turm wurde 1896 in Nischni Nowgorod ausgestellt.[30][31][32]

20. Jahrhundert[edit]

Die Bewegung des frühen 20. Jahrhunderts Moderne Architektur, Pionierarbeit[d] vom russischen Konstruktivismus,[33] verwendete geradlinige euklidische (auch kartesische) Geometrie. In der De Stijl-Bewegung wurden die Horizontale und die Vertikale als das Universelle angesehen. Die architektonische Form besteht darin, diese beiden Richtungstendenzen mithilfe von Dachebenen, Wandebenen und Balkonen zusammenzufügen, die entweder vorbeigleiten oder sich kreuzen, wie im Rietveld-Schröder-Haus von Gerrit Rietveld von 1924.[34]

Modernistische Architekten konnten sowohl Kurven als auch Ebenen verwenden. Der Arnos-Bahnhof von Charles Holden aus dem Jahr 1933 verfügt über eine kreisförmige Tickethalle aus Ziegeln mit einem flachen Betondach.[35] 1938 übernahm der Bauhausmaler Laszlo Moholy-Nagy die sieben biotechnischen Elemente von Raoul Heinrich Francé, nämlich den Kristall, die Kugel, den Kegel, die Ebene, den (quaderförmigen) Streifen, den (zylindrischen) Stab und die Spirale Grundbausteine ​​der von der Natur inspirierten Architektur.[36][37]

Le Corbusier schlug eine anthropometrische Proportionsskala in der Architektur vor, den Modulor, der auf der vermeintlichen Größe eines Mannes basiert.[38] Le Corbusiers Chapelle Notre-Dame du Haut von 1955 verwendet Freiformkurven, die in mathematischen Formeln nicht beschrieben werden können.[e] Die Formen sollen an natürliche Formen wie den Bug eines Schiffes oder betende Hände erinnern.[41] Das Design ist nur im größten Maßstab: Es gibt keine Hierarchie von Details in kleineren Maßstäben und somit keine fraktale Dimension; Gleiches gilt für andere berühmte Gebäude aus dem 20. Jahrhundert wie das Sydney Opera House, den Denver International Airport und das Guggenheim Museum in Bilbao.[39]

Die zeitgenössische Architektur ist nach Meinung der 90 führenden Architekten, die auf eine Weltarchitekturumfrage 2010 geantwortet haben, äußerst vielfältig. Das beste wurde als Frank Gehrys Guggenheim Museum in Bilbao beurteilt.[42]

Das 1995 fertiggestellte Terminalgebäude des Denver International Airport verfügt über ein Stoffdach, das von Stahlseilen als minimale Oberfläche (dh die mittlere Krümmung ist Null) getragen wird. Es erinnert an Colorados schneebedeckte Berge und die Tipi-Zelte der amerikanischen Ureinwohner.[43][44]

Der Architekt Richard Buckminster Fuller ist berühmt dafür, starke dünnschalige Strukturen zu entwerfen, die als geodätische Kuppeln bekannt sind. Die Kuppel von Montréal Biosphère ist 61 Meter hoch. Sein Durchmesser beträgt 76 Meter.[45]

Das Sydney Opera House hat ein dramatisches Dach, das aus hoch aufragenden weißen Gewölben besteht, die an Schiffssegel erinnern. Um die Konstruktion mit standardisierten Bauteilen zu ermöglichen, bestehen die Gewölbe alle aus dreieckigen Abschnitten von Kugelschalen mit demselben Radius. Diese haben die erforderliche gleichmäßige Krümmung in alle Richtungen.[46]

Die Bewegung des späten 20. Jahrhunderts Der Dekonstruktivismus führt zu einer absichtlichen Unordnung mit dem, was Nikos Salingaros in sich trägt Eine Theorie der Architektur ruft zufällige Formen auf[47] von hoher Komplexität[48] durch die Verwendung nicht paralleler Wände, überlagerter Gitter und komplexer 2D-Oberflächen, wie in Frank Gehrys Disney Concert Hall und im Guggenheim Museum in Bilbao.[49][50] Bis zum 20. Jahrhundert mussten Architekturstudenten eine mathematische Grundausbildung haben. Salingaros argumentiert, dass zuerst der “übermäßig vereinfachte, politisch motivierte” Modernismus und dann der “anti-wissenschaftliche” Dekonstruktivismus die Architektur effektiv von der Mathematik getrennt haben. Er glaubt, dass diese “Umkehrung mathematischer Werte” schädlich ist, da die “allgegenwärtige Ästhetik” der nichtmathematischen Architektur die Menschen darin schult, “mathematische Informationen in der gebauten Umgebung abzulehnen”; er argumentiert, dass dies negative Auswirkungen auf die Gesellschaft hat.[39]

Religiöse Prinzipien[edit]

Antikes Ägypten[edit]

Die Pyramiden des alten Ägypten sind Gräber mit mathematischen Proportionen, aber welche diese waren und ob der Satz von Pythagoras verwendet wurde, wird diskutiert. Das Verhältnis der Neigungshöhe zur halben Grundlänge der Großen Pyramide von Gizeh beträgt weniger als 1% vom Goldenen Schnitt.[51] Wenn dies die Entwurfsmethode wäre, würde dies die Verwendung des Kepler-Dreiecks (Gesichtswinkel 51 ° 49 ‘) implizieren.[51][52] Nach Ansicht vieler Wissenschaftshistoriker war der Goldene Schnitt jedoch erst zur Zeit der Pythagoräer bekannt.[53] Die Große Pyramide könnte auch auf einem Dreieck mit einem Verhältnis von Basis zu Hypotenuse von 1: 4 / π (Gesichtswinkel 51 ° 50 ‘) basieren.[54]

Die Proportionen einiger Pyramiden basieren möglicherweise auch auf dem 3: 4: 5-Dreieck (Gesichtswinkel 53 ° 8 ‘), das aus dem Rhind Mathematical Papyrus (ca. 1650–1550 v. Chr.) Bekannt ist. Dies wurde erstmals 1882 vom Historiker Moritz Cantor vermutet.[55] Es ist bekannt, dass im alten Ägypten rechte Winkel mit geknoteten Schnüren zur Messung genau ausgelegt wurden.[55] dieser Plutarch aufgenommen in Isis und Osiris (ca. 100 n. Chr.), dass die Ägypter das 3: 4: 5-Dreieck bewunderten,[55] und dass eine Schriftrolle vor 1700 v. Chr. grundlegende quadratische Formeln zeigte.[56][f] Der Historiker Roger L. Cooke bemerkt: “Es ist schwer vorstellbar, dass sich jemand für solche Bedingungen interessiert, ohne den Satz von Pythagoras zu kennen.” Er stellt jedoch auch fest, dass in keinem ägyptischen Text vor 300 v. Chr. Die Verwendung des Satzes zur Ermittlung der Länge eines Dreiecks erwähnt wird Seiten, und dass es einfachere Möglichkeiten gibt, einen rechten Winkel zu konstruieren. Cooke kommt zu dem Schluss, dass Cantors Vermutung ungewiss bleibt; er vermutet, dass die alten Ägypter wahrscheinlich den Satz von Pythagoras kannten, aber “es gibt keine Beweise dafür, dass sie ihn verwendet haben, um rechte Winkel zu konstruieren.”[55]

Altes Indien[edit]

Vaastu Shastra, der alte indische Kanon der Architektur und Stadtplanung, verwendet symmetrische Zeichnungen, die Mandalas genannt werden. Mithilfe komplexer Berechnungen werden die Abmessungen eines Gebäudes und seiner Komponenten ermittelt. Die Entwürfe sollen Architektur mit der Natur, den relativen Funktionen verschiedener Teile der Struktur und alten Überzeugungen unter Verwendung geometrischer Muster (Yantra), Symmetrie und Richtungsausrichtungen integrieren.[57][58] Frühe Bauherren können jedoch zufällig auf mathematische Proportionen gestoßen sein. Der Mathematiker Georges Ifrah merkt an, dass einfache “Tricks” mit Schnur und Pfählen verwendet werden können, um geometrische Formen wie Ellipsen und rechte Winkel zu gestalten.[12][59]

Die Mathematik der Fraktale wurde verwendet, um zu zeigen, dass bestehende Gebäude universell ansprechend und optisch zufriedenstellend sind, weil sie dem Betrachter ein Gefühl der Skalierung bei unterschiedlichen Betrachtungsabständen vermitteln. Zum Beispiel haben in den hohen Gopuram-Torhäusern hinduistischer Tempel wie dem Virupaksha-Tempel in Hampi, der im 7. Jahrhundert erbaut wurde, und anderen wie dem Kandariya Mahadev-Tempel in Khajuraho die Teile und das Ganze den gleichen Charakter mit fraktaler Dimension in der Bereich 1,7 bis 1,8. Die Ansammlung kleinerer Türme (Shikhara, zündete. ‘Berg’) über dem höchsten, zentralen Turm, der den heiligen Berg Kailash darstellt, den Wohnsitz von Lord Shiva, zeigt die endlose Wiederholung von Universen in der hinduistischen Kosmologie.[2][60] Der Religionswissenschaftler William J. Jackson beobachtete das Muster von Türmen, die unter kleineren Türmen gruppiert waren, selbst unter noch kleineren Türmen, dass:

Die anmutig künstliche Idealform deutet auf die unendlich steigenden Ebenen der Existenz und des Bewusstseins hin, erweitert die Größen, die sich in Richtung Transzendenz erheben, und beherbergt gleichzeitig das Heilige tief im Inneren.[60][61]

Der Meenakshi Amman Tempel ist ein großer Komplex mit mehreren Schreinen, um die die Straßen von Madurai gemäß den Shastras konzentrisch angeordnet sind. Die vier Tore sind hohe Türme (Gopurams) mit fraktalartiger repetitiver Struktur wie in Hampi. Die Gehege um jeden Schrein sind rechteckig und von hohen Steinmauern umgeben.[62]

Antikes Griechenland[edit]

Pythagoras (ca. 569 – ca. 475 v. Chr.) Und seine Anhänger, die Pythagoräer, vertraten die Auffassung, dass “alle Dinge Zahlen sind”. Sie beobachteten die Harmonien, die durch Noten mit bestimmten Frequenzverhältnissen kleiner Ganzzahlen erzeugt wurden, und argumentierten, dass auch Gebäude mit solchen Verhältnissen entworfen werden sollten. Das griechische Wort Symmetrie bezeichnete ursprünglich die Harmonie architektonischer Formen in präzisen Verhältnissen von den kleinsten Details eines Gebäudes bis zu seinem gesamten Design.[12]

Der Parthenon ist 69,5 Meter lang, 30,9 Meter breit und 13,7 Meter hoch bis zum Gesims. Dies ergibt ein Verhältnis von Breite zu Länge von 4: 9 und dasselbe für Höhe zu Breite. Wenn Sie diese zusammenfügen, erhalten Sie Höhe: Breite: Länge von 16:36:81 oder zur Freude[63] der Pythagoreer 42: 62: 92. Dies setzt das Modul auf 0,858 m. Ein 4: 9-Rechteck kann als drei zusammenhängende Rechtecke mit Seiten im Verhältnis 3: 4 konstruiert werden. Jedes halbe Rechteck ist dann ein praktisches 3: 4: 5-Dreieck, mit dem die Winkel und Seiten mit einem entsprechend geknoteten Seil überprüft werden können. Der innere Bereich (naos) hat ebenfalls 4: 9-Proportionen (21,44 m (70,3 ft) breit und 48,3 m lang); Das Verhältnis zwischen dem Durchmesser der äußeren Säulen von 1,905 Metern (6,25 Fuß) und dem Abstand ihrer Zentren von 4,293 Metern (14,08 Fuß) beträgt ebenfalls 4: 9.[12]

Grundriss des Parthenon

Der Parthenon wird von Autoren wie John Julius Norwich als “der perfekteste dorische Tempel, der jemals gebaut wurde” angesehen.[64] Zu seinen aufwändigen architektonischen Verfeinerungen gehört “eine subtile Entsprechung zwischen der Krümmung des Stylobates, der Verjüngung der Naos-Wände und der Entasis der Spalten “.[64]Entasis bezieht sich auf die subtile Verringerung des Durchmessers der Säulen beim Aufsteigen. Das Stylobate ist die Plattform, auf der die Säulen stehen. Wie in anderen klassischen griechischen Tempeln,[65] Die Plattform hat eine leichte parabolische Aufwärtskrümmung, um Regenwasser abzuleiten und das Gebäude gegen Erdbeben zu verstärken. Die Säulen sollten sich daher nach außen neigen, aber sie neigen sich tatsächlich leicht nach innen, so dass sie sich, wenn sie weitergingen, etwa anderthalb Kilometer über der Mitte des Gebäudes treffen würden; da sie alle gleich hoch sind, wird die Krümmung der äußeren Stylobatkante auf den Architrav und das Dach darüber übertragen: “Alle folgen der Regel, in zarten Kurven gebaut zu werden”.[66]

Der goldene Schnitt war 300 v. Chr. Bekannt, als Euklid die Methode der geometrischen Konstruktion beschrieb.[67] Es wurde argumentiert, dass der goldene Schnitt bei der Gestaltung des Parthenon und anderer antiker griechischer Gebäude sowie von Skulpturen, Gemälden und Vasen verwendet wurde.[68] Neuere Autoren wie Nikos Salingaros bezweifeln jedoch alle diese Behauptungen.[69] Experimente des Informatikers George Markowsky fanden keine Präferenz für das goldene Rechteck.[70]

Islamische Architektur[edit]

Der Historiker der islamischen Kunst Antonio Fernandez-Puertas schlägt vor, dass die Alhambra, wie die Große Moschee von Cordoba,[71] wurde mit dem hispano-muslimischen Fuß oder entworfen Codo von etwa 0,62 Metern (2,0 Fuß). Im Löwenhof des Palastes folgen die Proportionen einer Reihe von Surds. Ein Rechteck mit Seiten 1 und √2 hat (nach dem Satz von Pythagoras) eine Diagonale von √3, das das rechtwinklige Dreieck beschreibt, das von den Seiten des Hofes gebildet wird; Die Serie geht weiter mit √4 (ergibt ein Verhältnis von 1: 2), √5 und so weiter. Die dekorativen Muster sind ähnlich proportioniert, √2 Quadrate innerhalb von Kreisen und achtzackigen Sternen erzeugen, √3 sechszackige Sterne erzeugen. Es gibt keine Beweise für frühere Behauptungen, dass der Goldene Schnitt in der Alhambra verwendet wurde.[10][72] Der Hof der Löwen wird von der Halle der zwei Schwestern und der Halle der Abencerrajes eingeklammert. Aus den Zentren dieser beiden Hallen und den vier Innenecken des Löwenhofs kann ein regelmäßiges Sechseck gezogen werden.[73]

Die Selimiye-Moschee in Edirne, Türkei, wurde von Mimar Sinan erbaut, um einen Raum zu schaffen, in dem der Mihrab von überall im Gebäude aus gesehen werden kann. Der sehr große zentrale Raum ist dementsprechend als Achteck angeordnet, das aus acht riesigen Säulen besteht und von einer kreisförmigen Kuppel mit einem Durchmesser von 31,25 Metern (102,5 Fuß) und einer Höhe von 43 Metern (141 Fuß) bedeckt ist. Das Achteck ist zu einem Quadrat mit vier Halbkuppeln geformt und außen von vier außergewöhnlich hohen Minaretten mit einer Höhe von 83 Metern. Der Gebäudeplan ist also ein Kreis innerhalb eines Achtecks, innerhalb eines Quadrats.[74]

Mogul-Architektur[edit]

Das Taj Mahal Mausoleum mit einem Teil der Gärten des Komplexes in Agra

Die Mughal-Architektur, wie sie in der verlassenen Kaiserstadt Fatehpur Sikri und im Taj Mahal-Komplex zu sehen ist, hat eine ausgeprägte mathematische Ordnung und eine starke Ästhetik, die auf Symmetrie und Harmonie basiert.[11][75]

Das Taj Mahal ist ein Beispiel für die Mughal-Architektur, die beide das Paradies darstellen[76] und zeigt die Macht des Mogulkaisers Shah Jahan durch seine Größe, Symmetrie und kostspielige Dekoration. Das Mausoleum aus weißem Marmor, verziert mit Pietra Dura, das große Tor (Darwaza-i Rauza) bilden andere Gebäude, Gärten und Wege zusammen ein einheitliches hierarchisches Design. Zu den Gebäuden gehören eine Moschee aus rotem Sandstein im Westen und ein fast identisches Gebäude, der Jawab oder die Antwort im Osten, um die bilaterale Symmetrie des Komplexes aufrechtzuerhalten. Der formelle Charbagh („vierfacher Garten“) besteht aus vier Teilen, die die vier Flüsse des Paradieses symbolisieren und Ausblicke und Reflexionen auf das Mausoleum bieten. Diese sind wiederum in 16 Parterres unterteilt.[77]

Lageplan des Taj Mahal Komplexes. Das große Tor befindet sich rechts, das Mausoleum in der Mitte, eingeklammert von der Moschee (unten) und dem Kiefer. Der Plan enthält Quadrate und Achtecke.

Der Taj Mahal-Komplex wurde in einem Raster angeordnet, das in kleinere Raster unterteilt war. Die Architekturhistoriker Koch und Barraud stimmen mit den traditionellen Berichten überein, die die Breite des Komplexes als 374 Mughal Yards oder Gaz angeben.[g] Das Hauptgebiet sind drei 374-Gaz-Quadrate. Diese wurden in Bereiche wie Basar und Karawanserei in 17-Gaz-Module unterteilt; Der Garten und die Terrassen sind in Modulen von 23 Gaz und 368 Gaz breit (16 x 23). Das Mausoleum, die Moschee und das Gästehaus sind in einem Raster von 7 angeordnet gaz. Koch und Barraud stellen fest, dass ein Achteck, das im Komplex wiederholt verwendet wird, Seiten von 7 erhält Einheiten, dann hat es eine Breite von 17 Einheiten,[h] Dies kann helfen, die Wahl der Verhältnisse im Komplex zu erklären.[78]

Christliche Architektur[edit]

Die christliche patriarchalische Basilika der Haghia Sophia in Byzanz (heute Istanbul), die 537 erbaut (und zweimal wieder aufgebaut) wurde, war tausend Jahre lang[i] die größte Kathedrale, die jemals gebaut wurde. Es inspirierte viele spätere Gebäude, darunter Sultan Ahmed und andere Moscheen in der Stadt. Die byzantinische Architektur umfasst ein Kirchenschiff, das von einer kreisförmigen Kuppel gekrönt ist, und zwei Halbkuppeln mit demselben Durchmesser (31 Meter). Weitere fünf kleinere Halbkuppeln bilden eine Apsis und vier abgerundete Ecken eines riesigen Rechtecks Innere.[79] Dies wurde von mittelalterlichen Architekten so interpretiert, dass es das Weltliche unten (die quadratische Basis) und den göttlichen Himmel oben (die hoch aufragende kugelförmige Kuppel) darstellt.[80] Der Kaiser Justinian verwendete zwei Geometer, Isidor von Milet und Anthemius von Tralles, als Architekten; Isidor stellte die Arbeiten von Archimedes zur festen Geometrie zusammen und wurde von ihm beeinflusst.[12][81]

Hagia Sophia, Istanbul
a) Plan der Galerie (obere Hälfte)
b) Grundriss des Erdgeschosses (untere Hälfte)

Die Bedeutung der Wassertaufe im Christentum spiegelte sich in der Skala der Taufarchitektur wider. Das älteste, das Lateran-Baptisterium in Rom, erbaut 440,[82] einen Trend für achteckige Taufen setzen; Das Taufbecken in diesen Gebäuden war oft achteckig, obwohl Italiens größte Taufkapelle in Pisa, die zwischen 1152 und 1363 erbaut wurde, kreisförmig und achteckig ist. Es ist 54,86 Meter hoch und hat einen Durchmesser von 34,13 Metern (ein Verhältnis von 8: 5).[83]Der heilige Ambrosius schrieb, dass Schriften und Taufen achteckig seien, “weil am achten Tag[j] Durch das Aufstehen löst Christus die Knechtschaft des Todes und empfängt die Toten aus ihren Gräbern. “[84][85]Der heilige Augustinus beschrieb den achten Tag in ähnlicher Weise als “ewig … geheiligt durch die Auferstehung Christi”.[85][86] Das achteckige Baptisterium des Heiligen Johannes in Florenz, das zwischen 1059 und 1128 erbaut wurde, ist eines der ältesten Gebäude dieser Stadt und eines der letzten in der direkten Tradition der klassischen Antike. Es war äußerst einflussreich in der nachfolgenden Florentiner Renaissance, da große Architekten wie Francesco Talenti, Alberti und Brunelleschi es als Vorbild für die klassische Architektur verwendeten.[87]

Die Nummer fünf wird “überschwänglich” verwendet[88] in der Pilgerkirche St. Johannes von Nepomuk von 1721 in Zelená hora bei Žďár nad Sázavou in der Tschechischen Republik, entworfen von Jan Blažej Santini Aichel. Das Kirchenschiff ist kreisförmig und von fünf Säulenpaaren und fünf ovalen Kuppeln umgeben, die sich mit ogivalen Apsiden abwechseln. Die Kirche hat außerdem fünf Tore, fünf Kapellen, fünf Altäre und fünf Sterne; Eine Legende besagt, dass als der Heilige Johannes von Nepomuk den Märtyrertod erlitt, fünf Sterne über seinem Kopf erschienen.[88][89] Die fünffache Architektur kann auch die fünf Wunden Christi und die fünf Buchstaben von “Tacui” symbolisieren (lateinisch: “Ich habe geschwiegen”). [about secrets of the confessional]).[90]

Antoni Gaudí verwendete in der Sagrada Família, Barcelona, ​​die 1882 begann (und seit 2015 nicht fertiggestellt wurde), eine Vielzahl von geometrischen Strukturen, von denen einige minimale Oberflächen waren. Dazu gehören hyperbolische Paraboloide und Hyperboloide der Revolution,[91] Tessellationen, Oberleitungsbögen, Catenoide, Helicoide und linierte Oberflächen. Diese abwechslungsreiche Mischung von Geometrien wird in der Kirche auf unterschiedliche Weise kreativ kombiniert. Zum Beispiel hat Gaudí in der Passionsfassade der Sagrada Família steinerne “Zweige” in Form von hyperbolischen Paraboloiden zusammengesetzt, die sich an ihren Spitzen überlappen (Direktlinien), ohne sich daher an einem Punkt zu treffen. Im Gegensatz dazu gibt es in der Kolonnade hyperbolische paraboloidale Oberflächen, die sich reibungslos mit anderen Strukturen verbinden, um unbegrenzte Oberflächen zu bilden. Darüber hinaus nutzt Gaudí natürliche Muster, die selbst mathematisch sind, mit Säulen, die von den Formen der Bäume abgeleitet sind, und Stürzen aus unmodifiziertem Basalt, die auf natürliche Weise (durch Abkühlen aus geschmolzenem Gestein) in sechseckige Säulen gerissen wurden.[92][93][94]

Die Kathedrale Mariä Himmelfahrt von 1971 in San Francisco hat ein Satteldach, das aus acht Segmenten hyperbolischer Paraboloide besteht und so angeordnet ist, dass der untere horizontale Querschnitt des Daches ein Quadrat und der obere Querschnitt ein christliches Kreuz ist. Das Gebäude ist ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 77,7 Metern und einer Höhe von 57,9 Metern.[95] Die Kathedrale von Brasília von 1970 von Oscar Niemeyer verwendet eine hyperboloide Struktur anders. Es besteht aus 16 identischen Betonbalken mit einem Gewicht von jeweils 90 Tonnen.[k] In einem Kreis angeordnet, um ein Hyperboloid der Revolution zu bilden, bilden die weißen Strahlen eine Form wie Hände, die zum Himmel beten. Von außen ist nur die Kuppel sichtbar: Der größte Teil des Gebäudes befindet sich unter der Erde.[96][97][98][99]

Mehrere mittelalterliche Kirchen in Skandinavien sind kreisförmig, darunter vier auf der dänischen Insel Bornholm. Eine der ältesten davon, die Østerlars-Kirche aus dem Jahr c. 1160, hat ein kreisförmiges Kirchenschiff um eine massive kreisförmige Steinsäule, die mit Bögen durchbohrt und mit einem Fresko verziert ist. Die kreisförmige Struktur hat drei Stockwerke und war anscheinend befestigt, wobei das oberste Stockwerk zur Verteidigung gedient hat.[100][101]

Mathematische Dekoration[edit]

Islamische architektonische Dekoration[edit]

Islamische Gebäude sind oft mit geometrischen Mustern verziert, die typischerweise mehrere mathematische Tessellationen verwenden, die aus Keramikfliesen (girih, zellige) bestehen, die selbst schlicht oder mit Streifen verziert sein können.[12] Symmetrien wie Sterne mit sechs, acht oder Vielfachen von acht Punkten werden in islamischen Mustern verwendet. Einige davon basieren auf dem Siegelmotiv ‘Khatem Sulemani’ oder Solomon, einem achtzackigen Stern aus zwei Quadraten, die in derselben Mitte um 45 Grad gegeneinander gedreht sind.[102] Islamische Muster nutzen viele der 17 möglichen Tapetengruppen aus; Bereits 1944 zeigte Edith Müller, dass die Alhambra 11 Tapetengruppen in ihren Dekorationen verwendete, während Branko Grünbaum 1986 behauptete, 13 Tapetengruppen in der Alhambra gefunden zu haben, und behauptete kontrovers, dass die verbleibenden vier Gruppen nirgendwo im Islam zu finden seien Ornament.[102]

Moderne architektonische Dekoration[edit]

Gegen Ende des 20. Jahrhunderts wurden neuartige mathematische Konstrukte wie fraktale Geometrie und aperiodische Kacheln von Architekten aufgegriffen, um interessante und attraktive Abdeckungen für Gebäude bereitzustellen.[4] 1913 hatte der modernistische Architekt Adolf Loos erklärt, dass “Ornament ein Verbrechen ist”,[103] Einfluss auf das architektonische Denken für den Rest des 20. Jahrhunderts. Im 21. Jahrhundert beginnen Architekten wieder, die Verwendung von Ornamenten zu erforschen. Die Verzierung des 21. Jahrhunderts ist äußerst vielfältig. Reykjavik, das Harpa-Konzert- und Konferenzzentrum 2011 von Henning Larsen, hat eine Kristallwand aus großen Glasblöcken.[103] Das Ravensbourne College 2010 des Foreign Office Architects in London ist dekorativ mit 28.000 eloxierten Aluminiumfliesen in Rot, Weiß und Braun verziert, die kreisförmige Fenster unterschiedlicher Größe miteinander verbinden. Die Tessellation verwendet drei Arten von Kacheln, ein gleichseitiges Dreieck und zwei unregelmäßige Pentagone.[104][105][l] Die Kanazawa Umimirai-Bibliothek von Kazumi Kudo erstellt ein dekoratives Gitter aus kleinen kreisförmigen Glasblöcken, die in einfache Betonwände eingelassen sind.[103]

Verteidigung[edit]

Europa[edit]

Die Architektur der Befestigungen entwickelte sich von mittelalterlichen Festungen mit hohen Mauerwerkswänden zu niedrigen, symmetrischen Sternenfestungen, die zwischen Mitte des 15. und 19. Jahrhunderts Artilleriebeschuss standhalten konnten. Die Geometrie der Sternformen wurde durch die Notwendigkeit bestimmt, tote Zonen zu vermeiden, in denen angreifende Infanterie Schutz vor Verteidigungsfeuer bieten könnte. Die Seiten der Projektionspunkte waren abgewinkelt, damit ein solches Feuer den Boden fegen und über jeden Projektionspunkt hinaus ein Kreuzfeuer (von beiden Seiten) erzeugen konnte. Bekannte Architekten, die solche Verteidigungsanlagen entworfen haben, sind Michelangelo, Baldassare Peruzzi, Vincenzo Scamozzi und Sébastien Le Prestre de Vauban.[106][107]

Der Architekturhistoriker Siegfried Giedion argumentierte, dass die sternförmige Festung einen prägenden Einfluss auf die Strukturierung der idealen Stadt der Renaissance hatte: “Die Renaissance wurde von einem Stadttyp hypnotisiert, der anderthalb Jahrhunderte lang – von Filarete bis Scamozzi – beeindruckt war alle utopischen Pläne: Dies ist die sternförmige Stadt. “[108]

China[edit]

In der chinesischen Architektur sind die Tulou der Provinz Fujian kreisförmige kommunale Verteidigungsstrukturen mit hauptsächlich leeren Wänden und einer einzigen eisernen Holztür, von denen einige aus dem 16. Jahrhundert stammen. Die Wände sind mit Dächern bedeckt, die sich leicht nach außen und innen neigen und einen Ring bilden. Das Zentrum des Kreises ist ein offener gepflasterter Innenhof, oft mit einem Brunnen, umgeben von bis zu fünf Stockwerken hohen Fachwerkgalerien.[109]

Umweltziele[edit]

Architekten können auch die Form eines Gebäudes auswählen, um die Umweltziele zu erreichen.[88] Zum Beispiel ist Foster and Partners ’30 St. Mary Axe, London, bekannt als “The Gherkin” für seine gurkenartige Form, ein Festkörper der Revolution, der mithilfe parametrischer Modellierung entworfen wurde. Seine Geometrie wurde nicht nur aus ästhetischen Gründen gewählt, sondern um wirbelnde Luftströme an seiner Basis zu minimieren. Trotz der scheinbar gekrümmten Oberfläche des Gebäudes sind alle Glasscheiben, die die Haut bilden, flach, mit Ausnahme der Linse oben. Die meisten Paneele sind Vierecke, da sie mit weniger Abfall aus rechteckigem Glas geschnitten werden können als dreieckige Paneele.[1]

Das traditionelle Yakhchal (Eisgrube) Persiens fungierte als Verdunstungskühler. Oberirdisch hatte die Struktur eine gewölbte Form, aber einen unterirdischen Stauraum für Eis und manchmal auch für Lebensmittel. Der unterirdische Raum und die dicke hitzebeständige Konstruktion isolierten den Lagerraum das ganze Jahr über. Der Innenraum wurde oft mit Windfängern weiter gekühlt. Das Eis war im Sommer verfügbar, um das gefrorene Dessert Faloodeh zu machen.[110]

Siehe auch[edit]

  1. ^ In Buch 4, Kapitel 3 von De Architecturadiskutiert er Module direkt.[15]
  2. ^ Ein römischer Fuß war ungefähr 0,296 Meter (0,97 Fuß).
  3. ^ In der modernen algebraischen Notation betragen diese Verhältnisse jeweils 1: 1, √2: 1, 4: 3, 3: 2, 5: 3, 2: 1.
  4. ^ Der Konstruktivismus beeinflusste zum Beispiel das Bauhaus und Le Corbusier.[33]
  5. ^ Tempo Nikos Salingaros, der das Gegenteil vorschlägt,[39] Es ist jedoch nicht klar, welche Mathematik in den Kurven der Le Corbusier-Kapelle enthalten sein kann.[40]
  6. ^ Der Berliner Papyrus 6619 aus dem Reich der Mitte erklärte: “Die Fläche eines Quadrats von 100 entspricht der von zwei kleineren Quadraten. Die Seite des einen ist ½ + ¼ der Seite des anderen.”
  7. ^ 1 Gaz ist ungefähr 0,86 Meter (2,8 Fuß).
  8. ^ Ein Quadrat, das durch Verlängerung der abwechselnden Seiten um das Achteck gezogen wird, fügt vier rechtwinklige Dreiecke mit einer Hypotenuse von 7 hinzu und die anderen beiden Seiten von √49/2 oder 4.9497 …, fast 5. Die Seite des Quadrats ist also 5 + 7 + 5, was 17 ist.
  9. ^ Bis zur Fertigstellung der Kathedrale von Sevilla im Jahr 1520.
  10. ^ Der sechste Tag der Karwoche war Karfreitag; Der folgende Sonntag (der Auferstehung) war somit der achte Tag.[84]
  11. ^ Dies sind 90 Tonnen (89 lange Tonnen; 99 kurze Tonnen).
  12. ^ Eine aperiodische Kachelung wurde in Betracht gezogen, um den Rhythmus eines strukturellen Gitters zu vermeiden. In der Praxis war eine Penrose-Kachelung jedoch zu komplex, sodass ein Gitter von 2,625 m horizontal und 4,55 m vertikal gewählt wurde.[105]

Verweise[edit]

  1. ^ ein b c Freiberger, Marianne (1. März 2007). “Perfekte Gebäude: die Mathematik der modernen Architektur”. Plus Magazin. Abgerufen 5. Oktober 2015.
  2. ^ ein b Rian, Iasef Md; Park, Jin-Ho; Ahn, Hyung Uk; Chang, Dongkuk (2007). “Fraktale Geometrie als Synthese der hinduistischen Kosmologie im Kandariya Mahadev Tempel in Khajuraho”. Gebäude und Umwelt. 42 (12): 4093–4107. doi:10.1016 / j.buildenv.2007.01.028.
  3. ^ Williams, Kim; Ostwald, Michael J., Hrsg. (2015). Architektur und Mathematik von der Antike bis zur Zukunft: Band I: Von der Antike bis zum 16. Jahrhundert. Birkhäuser. S. Kapitel 1. 1–24. ISBN 978-3-319-00136-4.
  4. ^ ein b Williams, Kim; Ostwald, Michael J., Hrsg. (2015). Architektur und Mathematik von der Antike bis zur Zukunft: Band II: Die 1500er bis zur Zukunft. Birkhäuser. S. Kapitel 48. 1–24. ISBN 978-3-319-00142-5.
  5. ^ “Architectural Engineering Übersicht” (PDF). Sloan Career Cornerstone Center. Archiviert von das Original (PDF) am 14. Juli 2015. Abgerufen 11. Oktober 2015.
  6. ^ Leyton, Michael (2001). Eine generative Formtheorie. Springer. ISBN 978-3-540-42717-9.
  7. ^ Stakhov, Alexey; Olsen, Olsen (2009). Die Mathematik der Harmonie: Von der Euklid zur zeitgenössischen Mathematik und Informatik. World Scientific. ISBN 978-981-277-582-5.
  8. ^ Smith, William (1870). Wörterbuch der griechischen und römischen Biographie und Mythologie. Wenig, Brown. p. 620.
  9. ^ ein b Vitruvius (2009). Über Architektur. Pinguin Bücher. S. 8–9. ISBN 978-0-14-193195-1.
  10. ^ ein b Tennant, Raymond (Juli 2003). “Internationale gemeinsame Konferenz von ISAMA, der Internationalen Gesellschaft für Kunst, Mathematik und Architektur und BRÜCKEN. Mathematische Verbindungen in Kunstmusik und Naturwissenschaften, Universität Granada, Spanien, Juli 2003. Islamische Konstruktionen: Die von Handwerkern benötigte Geometrie” (PDF). Internationale gemeinsame Konferenz von ISAMA, der Internationalen Gesellschaft für Kunst, Mathematik und Architektur und BRIDGES, Mathematical Connections in Art Music and Science.
  11. ^ ein b Rai, Jaswant (1993). “Mathematik und Ästhetik in der islamischen Architektur: Verweis auf Fatehpur Sikri”. Zeitschrift der King Saud University, Architektur & Planung. 5 (1): 19–48.[permanent dead link]
  12. ^ ein b c d e f G O’Connor, JJ; Robertson, EF (Februar 2002). “Mathematik und Architektur”. Universität von St. Andrews. Abgerufen 4. Oktober 2015.
  13. ^ van den Hoeven, Saskia; van der Veen, Maartje (2010). “Muqarnas: Mathematik in der islamischen Kunst” (PDF). Universität Utrecht. Archiviert von das Original (PDF) am 4. März 2016. Abgerufen 30. September 2015.
  14. ^ Cucker, Felipe (2013). Vielfältige Spiegel: Die sich kreuzenden Wege der Künste und der Mathematik. Cambridge University Press. S. 103–106. ISBN 978-0-521-72876-8.
  15. ^ Vitruvius. “VITRUVIUS, BUCH IV, KAPITEL 3 Über den dorischen Orden”. Vitruvius.be. Abgerufen 6. Oktober 2015.
  16. ^ Williams, Kim; Ostwald, Michael J. (9. Februar 2015). Architektur und Mathematik von der Antike bis zur Zukunft: Band I: Antike bis 1500. Birkhäuser. S. 42, 48. ISBN 978-3-319-00137-1.
  17. ^ Roth, Leland M. (1992). Architektur verstehen: Elemente, Geschichte und Bedeutung. Boulder: Westview Press. p. 36. ISBN 0-06-438493-4.
  18. ^ Claridge, Amanda (1998). Rom. Oxford Archaeological Guides. Oxford Oxfordshire: Oxford University Press. pp. 204–5. ISBN 0-19-288003-9.
  19. ^ Lancaster, Lynne C. (2005). Gewölbte Betonkonstruktion im kaiserlichen Rom: Innovationen im Kontext. Cambridge: Cambridge University Press. pp. 44–46. ISBN 0-521-84202-6.
  20. ^ March, Lionel (1996). “Renaissance Mathematik und architektonische Proportionen in Albertis De re aedificatoria”. Architekturforschung vierteljährlich. 2 (1): 54–65. doi:10.1017 / S135913550000110X.
  21. ^ “Kugel umschreibt einen Würfel”. Mathalino.com Engineering Math Review. Abgerufen 4. Oktober 2015.
  22. ^ Typ 525.69.781, Houghton Library, Harvard University
  23. ^ Andersen, Kirsti (2008). Die Geometrie einer Kunst: Die Geschichte der mathematischen Perspektiventheorie von Alberti bis Monge. Springer. S. 117–121. ISBN 978-0-387-48946-9.
  24. ^ Ruhl, Carsten (7. April 2011). “Palladianismus: Von der italienischen Villa zur internationalen Architektur”. Europäische Geschichte online. Abgerufen 3. Oktober 2015.
  25. ^ Copplestone, Trewin (1963). Weltarchitektur. Hamlyn. p. 251.
  26. ^ Wassell, Stephen R. “Die Mathematik von Palladios Villen: Workshop ’98”. Nexus Network Journal. Abgerufen 3. Oktober 2015.
  27. ^ Palladio, Andrea; Tavernor, Robert; Schofield, Richard (trans.) (1997) [1570]. Ich quattro libri dell’architettura. MIT Press. p. Buch I, Kapitel xxi, Seite 57.CS1-Wartung: mehrere Namen: Autorenliste (Link)
  28. ^ Scamozzi, Vincenzo; Vroom, WHM (trans.) (2003) [1615]. Die Idee einer universellen Architektur. Architectura & Natura.
  29. ^ Borys, Ann Marie (28. März 2014). Vincenzo Scamozzi und die Chorographie der frühneuzeitlichen Architektur. Ashgate Publishing. S. 140–148 und passim. ISBN 978-1-4094-5580-6.
  30. ^ Beckh, Matthias (2015). Hyperbolische Strukturen: Shukhovs Gittertürme – Vorläufer des modernen Leichtbaus. John Wiley & Sons. S. 75 und passim. ISBN 978-1-118-93268-1.
  31. ^ “Die Nijni-Novgorod-Ausstellung: Wasserturm, Raum im Bau, Sprungweite von 91 Fuß Spannweite”. Die Ingenieurin: 292–294. 19. März 1897.
  32. ^ Graefe, Rainer; et al. (1990). Vladimir G. Suchov 1853–1939. Die Kunst der sparsamen Konstruktion. Deutsche Verlags-Anstalt. pp. 110–114. ISBN 3-421-02984-9.
  33. ^ ein b Hatherley, Owen (4. November 2011). “Die Konstruktivisten und die russische Revolution in Kunst und Architektur”. Der Wächter. Abgerufen 6. Juni 2016.
  34. ^ “Rietveld Schröderhuis (Rietveld Schröder Haus)”. Welterbezentrum. UNESCO. Abgerufen 13. Dezember 2012.
  35. ^ Historisches England. “Details aus der aufgelisteten Gebäudedatenbank (1358981)”. National Heritage List für England. Abgerufen 5. Oktober 2015.
  36. ^ Moholy-Nagy, Laszlo; Hoffman, Daphne M. (trans.) (1938). Die neue Vision: Grundlagen von Design, Malerei, Skulptur, Architektur. Neue Bauhausbücher. p. 46.
  37. ^ Gamwell, Lynn (2015). Mathematik und Kunst: Eine Kulturgeschichte. Princeton University Press. p. 306. ISBN 978-0-691-16528-8.
  38. ^ Le Corbusier (2004) [1954 and 1958]. Der Modulor: Ein harmonisches Maß für den menschlichen Maßstab, universell anwendbar auf Architektur und Mechanik. Birkhäuser. ISBN 3-7643-6188-3.
  39. ^ ein b c Salingaros, Nikos. “Architektur, Muster und Mathematik”. Nexus Network Journal. Abgerufen 9. Oktober 2015. Aktualisierte Version von Salingaros, Nikos (April 1999). “Architektur, Muster und Mathematik”. Nexus Network Journal. 1 (2): 75–86. doi:10.1007 / s00004-998-0006-0. S2CID 120544101.
  40. ^ Greene, Herb. “Le Corbusier: Notre Dame du Haut in Ronchamp”. Archiviert von das Original am 7. September 2015. Abgerufen 5. Oktober 2015.
  41. ^ Hanser, David A. (2006). Architektur von Frankreich. Greenwood Publishing Group. p. 211. ISBN 978-0-313-31902-0.
  42. ^ “Vanity Fair’s World Architecture Survey: die vollständigen Ergebnisse”. Vanity Fair. 30. Juni 2010. Abgerufen 22. Juli 2010.
  43. ^ “Denver International Airport Press Kit” (PDF). Internationaler Flughafen Denver. 2014. Archiviert von das Original (PDF) am 12. April 2015. Abgerufen 5. Oktober 2015.
  44. ^ “Denver International Airport”. Fenstress Architekten. Abgerufen 5. Oktober 2015.
  45. ^ “Biosphäre”. Ein Blick auf Städte. Abgerufen 1. Oktober 2015.
  46. ^ Hahn, Alexander J. (4. Februar 2013). “Mathematische Exkursionen zur Architektur”. Inside Science. Abgerufen 5. Oktober 2015.
  47. ^ Salingaros, Nikos (2006). Eine Theorie der Architektur. Umbau. S. 139–141. ISBN 9783937954073.
  48. ^ Salingaros, Nikos (2006). Eine Theorie der Architektur. Umbau. S. 124–125. ISBN 9783937954073.
  49. ^ Gehry, Frank O.; Mudford, Grant; Koshalek, Richard (2009). Sinfonie: Frank Gehrys Walt Disney Concert Hall. Fünf Krawatten. ISBN 9780979472749.
  50. ^ Garcetti, Gil (2004). Eisen: Errichtung der Walt Disney Concert Hall. Princeton Architectural Press. ISBN 9781890449285.
  51. ^ ein b Bartlett, Christopher (2014). “Der Entwurf der großen Pyramide von Khufu”. Nexus Network Journal. 16 (2): 299–311. doi:10.1007 / s00004-014-0193-9.
  52. ^ Markowsky, George (Januar 1992). “Missverständnisse über den Goldenen Schnitt” (PDF). Das College Mathematics Journal. 23 (1): 2–19. doi:10.1080 / 07468342.1992.11973428. Archiviert von das Original (PDF) am 08.04.2008. Abgerufen 2015-10-01.
  53. ^ Livio, Mario (2003) [2002]. Der goldene Schnitt: Die Geschichte von Phi, der erstaunlichsten Zahl der Welt (Erste handelsübliche Taschenbuchausgabe). New York City: Broadway-Bücher. p. 61. ISBN 0-7679-0816-3.
  54. ^ Gazalé, Midhat (1999). Gnomon: Von Pharaonen zu Fraktalen. Princeton University Press.[page needed]
  55. ^ ein b c d Cooke, Roger L. (2011). Die Geschichte der Mathematik: Ein kurzer Kurs (2. Aufl.). John Wiley & Sons. S. 237–238. ISBN 978-1-118-03024-0.
  56. ^ Gillings, Richard J. (1982). Mathematik in der Zeit der Pharaonen. Dover. p. 161.
  57. ^ Kramrisch, Stella (1976), The Hindu Temple Volume 1 & 2, ISBN 81-208-0223-3
  58. ^ Vibhuti Sachdev, Giles Tillotson (2004). Gebäude Jaipur: Die Entstehung einer indischen Stadt. S. 155–160. ISBN 978-1-86189-137-2.
  59. ^ Ifrah, Georges (1998). Eine universelle Geschichte der Zahlen. Pinguin.
  60. ^ ein b “Fraktale in der indischen Architektur”. Yale Universität. Archiviert von das Original am 6. Februar 2012. Abgerufen 1. Oktober 2015.
  61. ^ Jackson, William J. “Für alle fraktalen Zwecke … eine Einführung”. Indiana University-Purdue University Indianapolis. Archiviert von das Original am 14. September 2015. Abgerufen 1. Oktober 2015.
  62. ^ King, Anthony D. (2005). Gebäude und Gesellschaft: Essays zur sozialen Entwicklung der gebauten Umwelt. Taylor & Francis. p. 72. ISBN 0-203-48075-9.
  63. ^ Maor, Eli (2007). Der Satz von Pythagoras: Eine 4000-jährige Geschichte. Princeton University Press. p. 19. ISBN 978-0-691-12526-8.
  64. ^ ein b Norwich, John Julius (2001). Große Architektur der Welt. Künstlerhaus. p. 63.
  65. ^ Penrose, Francis (1973) [1851]. Prinzipien der athenischen Architektur. Gesellschaft von Dilettanti. p. CH. II.3, Tafel 9.
  66. ^ Stevens, Gorham P. (Juli 1962). “Über die Beeindruckung des Parthenons”. American Journal of Archaeology. 66 (3): 337–338. doi:10.2307 / 501468. JSTOR 501468.
  67. ^ Euklid. Elemente. Buch 6, Satz 30.
  68. ^ Archibald, RC “Anmerkungen zur logarithmischen Spirale, zum Goldenen Schnitt und zur Fibonacci-Reihe”. Abgerufen 1. Oktober 2015.
  69. ^ Anwendungen des Goldenen Mittels auf die Architektur
  70. ^ Markowsky, George (Januar 1992). “Missverständnisse über den Goldenen Schnitt” (PDF). Das College Mathematics Journal. 23 (1): 2–19. doi:10.1080 / 07468342.1992.11973428. Archiviert von das Original (PDF) am 08.04.2008. Abgerufen 2015-10-01.
  71. ^ Gedal, Najib. “Die Große Moschee von Cordoba: Geometrische Analyse”. Islamische Kunst & Architektur. Archiviert von das Original am 2. Oktober 2015. Abgerufen 16. Oktober 2015.
  72. ^ Irwin, Robert (26. Mai 2011). Die Alhambra. Profilbücher. S. 109–112. ISBN 978-1-84765-098-6.
  73. ^ Robertson, Ann (2007). “Überarbeitung der Geometrie des Sala de Dos Hermanas” (PDF). BRÜCKEN. Abgerufen 11. Oktober 2015.
  74. ^ Blair, Sheila; Bloom, Jonathan M. (1995). Die Kunst und Architektur des Islam 1250–1800. Yale University Press. ISBN 0-300-06465-9.
  75. ^ Michell, George; Pasricha, Amit (2011). Mughal Architektur & Gärten. Antiker Sammlerclub. ISBN 978-1-85149-670-9.
  76. ^ Parker, Philip (2010). Weltgeschichte. Dorling Kindersley. p. 224. ISBN 978-1-4053-4124-0.
  77. ^ Koch, Ebba (2006). Das komplette Taj Mahal: Und die Riverfront Gardens von Agra (1. Aufl.). Themse & Hudson. pp. 24 und passim. ISBN 0-500-34209-1.
  78. ^ Koch, Ebba (2006). Das komplette Taj Mahal: Und die Riverfront Gardens von Agra (1. Aufl.). Themse & Hudson. pp. 104–109. ISBN 0-500-34209-1.
  79. ^ Fazio, Michael; Moffett, Marian; Wodehouse, Lawrence (2009). Gebäude im Laufe der Zeit (3. Aufl.). McGraw-Hill Hochschulbildung. ISBN 978-0-07-305304-2.
  80. ^ Gamwell, Lynn (2015). Mathematik und Kunst: Eine Kulturgeschichte. Princeton University Press. p. 48. ISBN 978-0-691-16528-8.
  81. ^ Kleiner, Fred S.; Mamiya, Christin J. (2008). Gardners Kunst im Wandel der Zeit: Band I, Kapitel 1–18 (12. Aufl.). Wadsworth. p. 329. ISBN 978-0-495-46740-3.
  82. ^ Menander, Hanna; Brandt, Olof; Appetechia, Agostina; Thorén, Håkan (2010). “Das Lateran-Baptisterium in drei Dimensionen” (PDF). Swedish National Heritage Board. Abgerufen 30. Oktober 2015.
  83. ^ “Das Baptisterium”. Der schiefe Turm von Pisa. Abgerufen 30. Oktober 2015.
  84. ^ ein b Huyser-König, Joan. “Theologische Gründe für Baptistenformen”. Calvin Institute of Christian Worship. Abgerufen 30. Oktober 2015.
  85. ^ ein b Kuehn, Regina (1992). Ein Ort für die Taufe. Veröffentlichungen zum Liturgietraining. S. 53–60. ISBN 978-0-929650-00-5.
  86. ^ Augustinus von Hippo (426). Die Stadt Gottes. p. Buch 22, Kapitel 30.
  87. ^ Kleiner, Fred (2012). Gardners Kunst im Wandel der Zeit: Eine globale Geschichte. Lernen einbinden. S. 355–356. ISBN 978-1-133-71116-2.
  88. ^ ein b c Simitch, Andrea; Warke, Val (2014). Die Sprache der Architektur: 26 Prinzipien, die jeder Architekt kennen sollte. Rockport Publishers. p. 191. ISBN 978-1-62788-048-0.
  89. ^ “Zelená hora bei Žďár nad Sázavou”. Tschechischer Tourismus. Abgerufen 10. November 2015.
  90. ^ “Attribute des Heiligen Johannes von Nepomuk”. Heiliger Johannes von Nepomuk. Archiviert von das Original am 4. März 2016. Abgerufen 10. November 2015.
  91. ^ Burry, MC, JR Burry, GM Dunlop und A. Maher (2001). “Euklidische und topologische Fäden zusammenführen (pdf)” (PDF). Präsentiert auf dem SIRC 2001 – dem dreizehnten jährlichen Kolloquium des Spatial Information Research Center. Dunedin, Neuseeland: Universität von Otago. Archiviert von das Original (PDF) am 31.10.2007. Abgerufen 2007-11-28.
  92. ^ “Die Geometrie von Antoni Gaudi”. Mathe & die Kunst von MC Escher. Mathematik und Informatik der Universität Saint Louis. Abgerufen 4. Oktober 2015.
  93. ^ Usvat, Liliana. “Antony Gaudi und Mathematik”. Mathematik-Magazin. Abgerufen 4. Oktober 2015.
  94. ^ MC Burry; JR Burry; GM Dunlop; A. Maher (2001). “Euklidische und topologische Fäden zusammenführen” (PDF). Das 13. jährliche Kolloquium des Spatial Information Research Center der Universität von Otago, Dunedin, Neuseeland. Archiviert von das Original (PDF) am 25. Juni 2008. Abgerufen 5. August 2008.
  95. ^ Nervi, Pier Luigi. “Kathedrale der Heiligen Maria Mariä Himmelfahrt”. Architectuul. Abgerufen 12. Oktober 2015.
  96. ^ “Brasilia Kathedrale”. Über Brasilia. Abgerufen 13. November 2015.
  97. ^ Behrends, Ehrhard; Crato, Nuno; Rodrigues, Jose Francisco (2012). Sensibilisierung der Öffentlichkeit für Mathematik. Springer Science & Business Media. p. 143. ISBN 978-3-642-25710-0.
  98. ^ Emmer, Michele (2012). Stellen Sie sich Mathematik vor: Zwischen Kultur und Mathematik. Springer Science & Business Media. p. 111. ISBN 978-88-470-2427-4.
  99. ^ Mkrtchyan, Ruzanna (2013). “Kathedrale von Brasilia”. Building.AM. Abgerufen 13. November 2015.
  100. ^ “Østerlars kirke” (auf Dänisch). Nordens kirker. Abgerufen 2. Dezember 2016.
  101. ^ “Østerlars kirke” (auf Dänisch). Natur Bornholm. Archiviert von das Original am 19. Juli 2011. Abgerufen 2. Dezember 2016.
  102. ^ ein b Rønning, Frode. “Islamische Muster und Symmetriegruppen” (PDF). Universität von Exeter. Abgerufen 18. April 2014.
  103. ^ ein b c Gibberd, Matt; Hill, Albert (20. August 2013). “Die Rückkehr der Ornamentik”. Der Telegraph. Abgerufen 12. Oktober 2015.
  104. ^ “Ravensbourne College von Architekten des Auswärtigen Amtes”. de zeen Magazin. 13. September 2010. Abgerufen 12. Oktober 2015.
  105. ^ ein b Bizley, Graham. “FOAs Halbinselmuster für das Ravensbourne College”. bdonline.co.uk. Abgerufen 16. Oktober 2015.
  106. ^ Duffy, C. (1975). Fire & Stone, Die Wissenschaft der Festungskriegsführung 1660–1860. Buchverkauf. ISBN 978-0-7858-2109-0.
  107. ^ Chandler, David (1990). Die Kunst der Kriegsführung im Zeitalter von Marlborough. Zaubermontage. ISBN 978-0-946771-42-4.
  108. ^ Giedion, Siegfried (1962) [1941]. Raum, Zeit und Architektur. Harvard University Press. p. 43.
  109. ^ O’Neill, Tom (4. Januar 2015). “Chinas abgelegene Festungen verlieren Einwohner, gewinnen Touristen”. National Geographic. Abgerufen 6. Januar 2017.
  110. ^ Mahdavinejad, M.; Javanrudi, Kavan (Juli 2012). “Bewertung alter Kühlschränke: Eine nachhaltige Methode zur Speicherung von Eis in heiß-ariden Klimazonen”. Asiatische Kultur und Geschichte. 4 (2). doi:10.5539 / ach.v4n2p133.

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