Tensorkontraktion – Wikipedia

In der multilinearen Algebra a Tensorkontraktion ist eine Operation an einem Tensor, die sich aus der natürlichen Paarung eines endlichdimensionalen Vektorraums und seines Dualen ergibt. In Komponenten wird es als Summe von Produkten skalarer Komponenten des Tensors ausgedrückt, die durch Anwenden der Summationskonvention auf ein Paar von Dummy-Indizes verursacht werden, die in einem Ausdruck aneinander gebunden sind. Die Kontraktion eines einzelnen gemischten Tensors tritt auf, wenn ein Paar von Literalindizes (einer ein Index, der andere ein hochgestellter Index) des Tensors gleich gesetzt und summiert werden. In der Einstein-Notation ist diese Summation in die Notation eingebaut. Das Ergebnis ist ein weiterer Tensor mit einer um 2 reduzierten Ordnung.

Die Tensorkontraktion kann als Verallgemeinerung der Spur angesehen werden.

Abstrakte Formulierung[edit]

Lassen V. sei ein Vektorraum über einem Feld k. Der Kern der Kontraktionsoperation und der einfachste Fall ist die natürliche Paarung von V. mit seinem dualen Vektorraum V.^∗. Die Paarung ist die lineare Transformation vom Tensorprodukt dieser beiden Räume zum Feld k::

${ displaystyle C: V ^ {*} otimes V rightarrow k}$

entsprechend der bilinearen Form

${ displaystyle langle f, v rangle = f (v)}$

wo f ist in V.^∗ und v ist in V.. Die Karte C. definiert die Kontraktionsoperation an einem Tensor vom Typ (1, 1), das ist ein Element von

${ displaystyle V ^ {*} otimes V}$

. Beachten Sie, dass das Ergebnis ein Skalar ist (ein Element von k). Verwendung des natürlichen Isomorphismus zwischen

${ displaystyle V ^ {*} otimes V}$

und der Raum der linearen Transformationen aus V. zu V.,^[1] man erhält eine basenfreie Definition der Spur.

Im Allgemeinen ein Tensor vom Typ ((m, n) (mit m ≥ 1 und n ≥ 1) ist ein Element des Vektorraums

${ displaystyle V otimes cdots otimes V otimes V ^ {*} otimes cdots otimes V ^ {*}}$

(wo sind sie m Faktoren V. und n Faktoren V.^∗).^[2][3] Anwenden der natürlichen Paarung auf die kth V. Faktor und die lth V.^∗ Faktor und die Verwendung der Identität für alle anderen Faktoren definiert den (k, l) Kontraktionsoperation, die eine lineare Abbildung ist, die einen Tensor vom Typ ergibt ((m – 1, n – 1).^[2] In Analogie zum (1, 1) In diesem Fall wird die allgemeine Kontraktionsoperation manchmal als Spur bezeichnet.

Kontraktion in der Indexnotation[edit]

In der Tensorindexnotation wird die Grundkontraktion eines Vektors und eines Doppelvektors mit bezeichnet

${ displaystyle { tilde {f}} ({ vec {v}}) = f _ { gamma} v ^ { gamma}}$

Dies ist eine Abkürzung für die explizite Koordinatensummierung^[4]

${ displaystyle f _ { gamma} v ^ { gamma} = f_ {1} v ^ {1} + f_ {2} v ^ {2} + cdots + f_ {n} v ^ {n}}$

(wo v^ich sind die Komponenten von v in einer bestimmten Basis und f_ich sind die Komponenten von f in der entsprechenden dualen Basis).

Da ein allgemeiner gemischter dyadischer Tensor eine lineare Kombination von zersetzbaren Tensoren der Form ist

${ displaystyle f otimes v}$

folgt die explizite Formel für den dyadischen Fall: let

${ displaystyle mathbf {T} = T ^ {i} {} _ {j} mathbf {e} _ {i} otimes mathbf {e} ^ {j}}$

ein gemischter dyadischer Tensor sein. Dann ist seine Kontraktion

${ displaystyle T ^ {i} {} _ {j} mathbf {e} _ {i} cdot mathbf {e} ^ {j} = T ^ {i} {} _ {j} delta _ { i} {} ^ {j} = T ^ {j} {} _ {j} = T ^ {1} {} _ {1} + cdots + T ^ {n} {} _ {n}}$

.

Eine allgemeine Kontraktion wird bezeichnet, indem ein Kovariantenindex und ein Kontravariantenindex mit demselben Buchstaben gekennzeichnet werden, wobei die Summierung über diesen Index durch die Summierungskonvention impliziert wird. Der resultierende kontrahierte Tensor erbt die verbleibenden Indizes des ursprünglichen Tensors. Zum Beispiel einen Tensor zusammenziehen T. vom Typ (2,2) auf dem zweiten und dritten Index, um einen neuen Tensor zu erzeugen U. vom Typ (1,1) wird geschrieben als

${ displaystyle T ^ {ab} {} _ {bc} = sum _ {b} {T ^ {ab} {} _ {bc}} = T ^ {a1} {} _ {1c} + T ^ { a2} {} _ {2c} + cdots + T ^ {an} {} _ {nc} = U ^ {a} {} _ {c}.}$

Im Gegensatz dazu lassen

${ displaystyle mathbf {T} = mathbf {e} ^ {i} otimes mathbf {e} ^ {j}}$

sei ein ungemischter dyadischer Tensor. Dieser Tensor zieht sich nicht zusammen; wenn seine Basisvektoren gepunktet sind,^{[clarification needed]} das Ergebnis ist der kontravariante metrische Tensor,

${ displaystyle g ^ {ij} = mathbf {e} ^ {i} cdot mathbf {e} ^ {j}}$

,

dessen Rang ist 2.

Metrische Kontraktion[edit]

Wie im vorherigen Beispiel ist eine Kontraktion eines Indexpaares, das entweder beide kontravariant oder beide kovariant ist, im Allgemeinen nicht möglich. In Gegenwart eines inneren Produkts (auch als Metrik bezeichnet) Gsind solche Kontraktionen möglich. Man verwendet die Metrik, um einen der Indizes nach Bedarf anzuheben oder abzusenken, und verwendet dann die übliche Kontraktionsoperation. Die kombinierte Operation ist bekannt als metrische Kontraktion.^[5]

Anwendung auf Tensorfelder[edit]

Die Kontraktion wird häufig auf Tensorfelder über Räumen angewendet (z. B. euklidischer Raum, Mannigfaltigkeiten oder Schemata)^{[citation needed]}). Da die Kontraktion eine rein algebraische Operation ist, kann sie punktweise auf ein Tensorfeld angewendet werden, z T. ist ein (1,1) Tensorfeld im euklidischen Raum, dann in beliebigen Koordinaten seine Kontraktion (ein Skalarfeld) U. an einem Punkt x ist gegeben durch

${ displaystyle U (x) = sum _ {i} T_ {i} ^ {i} (x)}$

Da die Rolle von x ist hier nicht kompliziert, wird oft unterdrückt und die Notation für Tensorfelder wird identisch mit der für rein algebraische Tensoren.

Über eine Riemannsche Mannigfaltigkeit steht eine Metrik (Feld innerer Produkte) zur Verfügung, und sowohl metrische als auch nichtmetrische Kontraktionen sind für die Theorie von entscheidender Bedeutung. Beispielsweise ist der Ricci-Tensor eine nichtmetrische Kontraktion des Riemann-Krümmungstensors, und die Skalarkrümmung ist die eindeutige metrische Kontraktion des Ricci-Tensors.

Man kann auch die Kontraktion eines Tensorfeldes im Kontext von Modulen über einen geeigneten Funktionsring auf dem Verteiler betrachten^[5] oder der Kontext von Garben von Modulen über der Strukturgarbe;^[6] Siehe die Diskussion am Ende dieses Artikels.

Tensordivergenz[edit]

Als Anwendung der Kontraktion eines Tensorfeldes sei V. sei ein Vektorfeld auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit (zum Beispiel dem euklidischen Raum). Lassen

${ displaystyle V ^ { alpha} {} _ { beta}}$

sei das kovariante Derivat von V. (in einer Auswahl von Koordinaten). Bei kartesischen Koordinaten im euklidischen Raum kann man schreiben

${ displaystyle V ^ { alpha} {} _ { beta} = { partielles V ^ { alpha} über partielles x ^ { beta}}.}$

Wenn dann der Index β in α geändert wird, wird das Indexpaar aneinander gebunden, so dass sich das Derivat mit sich zusammenzieht, um die folgende Summe zu erhalten:

${ displaystyle V ^ { alpha} {} _ { alpha} = V ^ {0} {} _ {0} + cdots + V ^ {n} {} _ {n}}$

Welches ist die Divergenz div V.. Dann

${ displaystyle operatorname {div} V = V ^ { alpha} {} _ { alpha} = 0}$

ist eine Kontinuitätsgleichung für V..

Im Allgemeinen kann man verschiedene Divergenzoperationen für Tensorfelder mit höherem Rang wie folgt definieren. Wenn T. ist ein Tensorfeld mit mindestens einem Kontravariantenindex, wobei das kovariante Differential genommen und der gewählte Kontravariantenindex mit dem neuen Kovariantenindex, der dem Differential entspricht, kontrahiert wird, was zu einem neuen Tensor mit Rang eins führt, der niedriger als der von ist T..^[5]

Kontraktion eines Tensorpaares[edit]

Man kann die Kernkontraktionsoperation (Vektor mit Doppelvektor) auf etwas andere Weise verallgemeinern, indem man ein Paar von Tensoren betrachtet T. und U.. Das Tensorprodukt

${ displaystyle T otimes U}$

ist ein neuer Tensor, der, wenn er mindestens einen Kovarianten- und einen Kontravariantenindex aufweist, kontrahiert werden kann. Der Fall wo T. ist ein Vektor und U. ist ein Doppelvektor ist genau die Kernoperation, die zuerst in diesem Artikel vorgestellt wurde.

Wenn in der Tensorindexnotation zwei Tensoren miteinander kontrahiert werden, werden sie als Faktoren desselben Terms nebeneinander (nebeneinander) platziert. Dies implementiert das Tensorprodukt und ergibt einen zusammengesetzten Tensor. Das Zusammenziehen von zwei Indizes in diesem zusammengesetzten Tensor implementiert die gewünschte Kontraktion der beiden Tensoren.

Beispielsweise können Matrizen als Tensoren vom Typ (1,1) dargestellt werden, wobei der erste Index kontravariant und der zweite Index kovariant ist. Lassen

${ displaystyle Lambda ^ { alpha} {} _ { beta}}$

seien Sie die Komponenten einer Matrix und lassen Sie

${ displaystyle mathrm {M} ^ { beta} {} _ { gamma}}$

seien die Komponenten einer zweiten Matrix. Dann ist ihre Multiplikation durch die folgende Kontraktion gegeben, ein Beispiel für die Kontraktion eines Tensorpaares:

${ displaystyle Lambda ^ { alpha} {} _ { beta} mathrm {M} ^ { beta} {} _ { gamma} = mathrm {N} ^ { alpha} {} _ { gamma}}$

.

Auch das innere Produkt eines Vektors mit einer Differentialform ist ein Sonderfall der Kontraktion zweier Tensoren miteinander.

Allgemeinere algebraische Kontexte[edit]

Lassen R. sei ein kommutativer Ring und lass M. sei ein endliches freies Modul vorbei R.. Dann arbeitet die Kontraktion mit der vollen (gemischten) Tensoralgebra von M. genauso wie bei Vektorräumen über einem Feld. (Die entscheidende Tatsache ist, dass die natürliche Paarung in diesem Fall immer noch perfekt ist.)

Im Allgemeinen lassen Ö_X. sei ein Bündel kommutativer Ringe über einem topologischen Raum X., z.B Ö_X. könnte die Strukturgarbe einer komplexen Mannigfaltigkeit, eines analytischen Raums oder eines Schemas sein. Lassen M. sei ein lokal freies Bündel von Modulen über Ö_X. von endlichem Rang. Dann das Dual von M. ist immer noch brav^[6] und Kontraktionsoperationen sind in diesem Zusammenhang sinnvoll.

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]