Topologische Gruppe – Wikipedia

Posted on November 29, 2020 by lordneo

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Gruppe, die ein topologischer Raum mit kontinuierlicher Gruppenaktion ist

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In der Mathematik a topologische Gruppe ist eine Gruppe $G$ zusammen mit einer Topologie auf $G$ so dass sowohl die binäre Operation der Gruppe als auch die Funktionszuordnung von Gruppenelementen zu ihren jeweiligen Inversen kontinuierliche Funktionen in Bezug auf die Topologie sind. Eine topologische Gruppe ist ein mathematisches Objekt mit sowohl einer algebraischen als auch einer topologischen Struktur. Daher kann man aufgrund der Gruppenstruktur algebraische Operationen ausführen und aufgrund der Topologie über kontinuierliche Funktionen sprechen.

Topologische Gruppen werden zusammen mit kontinuierlichen Gruppenaktionen verwendet, um kontinuierliche Symmetrien zu untersuchen, die beispielsweise in der Physik viele Anwendungen haben. Bei der Funktionsanalyse ist jeder topologische Vektorraum eine additive topologische Gruppe mit der zusätzlichen Eigenschaft, dass die Skalarmultiplikation kontinuierlich ist. Folglich können viele Ergebnisse aus der Theorie der topologischen Gruppen auf die Funktionsanalyse angewendet werden.

Table of Contents

Formale Definition[edit]

EIN topologische Gruppe, $G$ ist ein topologischer Raum, der auch eine Gruppe ist, so dass die Gruppenoperation (in diesem Fall Produkt):

\cdot: G \times G \to G

((x, y) \mapsto xy

und Inversionskarte:

-1 :: G \to G

x \mapsto x -1

sind kontinuierlich^{[note 1]}

Hier $G \times G$ wird als topologischer Raum mit der Produkttopologie angesehen. Eine solche Topologie soll sein kompatibel mit den Gruppenoperationen und heißt a Gruppentopologie.

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Durchgang prüfen

Die Produktkarte ist genau dann fortlaufend, wenn überhaupt $x, y \in G$ und jede Nachbarschaft $W.$ von $xy$ im $G$ Es gibt Nachbarschaften $U.$ von $x$ und $V.$ von $y$ im $G$ so dass $U. \cdot V. \subseteq W.$ , wo $U. \cdot V. : = {u \cdot v :: u \in U., v \in V.$ }. Die Inversionskarte ist genau dann kontinuierlich, wenn für welche $x \in G$ und jede Nachbarschaft $V.$ von $x -1$ im $G$ Es gibt Nachbarschaften $U.$ von $x$ im $G$ so dass $U. -1 \subseteq V.$ , wo $U. -1 : = {u -1 :: u \in U.$ }.

Um zu zeigen, dass eine Topologie mit den Gruppenoperationen kompatibel ist, reicht es aus, die Karte zu überprüfen

G \times G \to G

((x, y) \mapsto xy -1

ist kontinuierlich. Explizit bedeutet dies, dass für jeden $x, y \in G$ und jede Nachbarschaft $W.$ im $G$ von $xy -1$ Es gibt Nachbarschaften $U.$ von $x$ und $V.$ von $y$ im $G$ so dass $U. \cdot (V. -1) \subseteq W.$ .

Additive Notation

Diese Definition verwendete die Notation für multiplikative Gruppen; Das Äquivalent für additive Gruppen wäre, dass die folgenden zwei Operationen kontinuierlich sind:

+: G \times G \to G

((x, y) \mapsto x + y

-: G \to G

x \mapsto - x

Hausdorffness

Obwohl nicht Teil dieser Definition, viele Autoren^[1] erfordern, dass die Topologie aktiviert ist $G$ sei Hausdorff. Ein Grund dafür ist, dass jede topologische Gruppe kanonisch mit einer topologischen Hausdorff-Gruppe assoziiert werden kann, indem ein geeigneter kanonischer Quotient genommen wird; Dies erfordert jedoch häufig noch die Arbeit mit der ursprünglichen topologischen Nicht-Hausdorff-Gruppe. Andere Gründe und einige äquivalente Bedingungen werden unten diskutiert.

In diesem Artikel wird nicht davon ausgegangen, dass topologische Gruppen notwendigerweise Hausdorff sind.

Kategorie

In der Sprache der Kategorietheorie können topologische Gruppen präzise als Gruppenobjekte in der Kategorie der topologischen Räume definiert werden, genauso wie gewöhnliche Gruppen Gruppenobjekte in der Kategorie der Mengen sind. Beachten Sie, dass die Axiome in Form der Karten (binäres Produkt, unäre inverse und nulläre Identität) angegeben werden und daher kategoriale Definitionen sind.

Homomorphismen[edit]

EIN Homomorphismus von topologischen Gruppen bedeutet einen kontinuierlichen Gruppenhomomorphismus $G \to H.$ . Topologische Gruppen bilden zusammen mit ihren Homomorphismen eine Kategorie. Ein Gruppenhomomorphismus zwischen kommutativen topologischen Gruppen ist genau dann kontinuierlich, wenn er bei kontinuierlich ist etwas Punkt.

Ein Isomorphismus von topologischen Gruppen ist ein Gruppenisomorphismus, der auch ein Homöomorphismus der zugrunde liegenden topologischen Räume ist. Dies ist stärker als nur das Erfordernis eines kontinuierlichen Gruppenisomorphismus – die Umkehrung muss auch kontinuierlich sein. Es gibt Beispiele für topologische Gruppen, die als gewöhnliche Gruppen isomorph sind, jedoch nicht als topologische Gruppen. In der Tat ist jede nicht diskrete topologische Gruppe auch eine topologische Gruppe, wenn sie mit der diskreten Topologie betrachtet wird. Die zugrunde liegenden Gruppen sind dieselben, aber als topologische Gruppen gibt es keinen Isomorphismus.

Beispiele[edit]

Jede Gruppe kann trivial zu einer topologischen Gruppe gemacht werden, indem sie mit der diskreten Topologie betrachtet wird. Solche Gruppen werden diskrete Gruppen genannt. In diesem Sinne fasst die Theorie der topologischen Gruppen die der gewöhnlichen Gruppen zusammen. Die indiskrete Topologie (dh die triviale Topologie) macht auch jede Gruppe zu einer topologischen Gruppe.

Die reellen Zahlen, $ℝ$ bilden mit der üblichen Topologie eine topologische Gruppe unter Addition. Euklidisch $n$ -Raum $ℝ n$ ist auch eine hinzugefügte topologische Gruppe, und allgemeiner bildet jeder topologische Vektorraum eine (abelsche) topologische Gruppe. Einige andere Beispiele für abelsche topologische Gruppen sind die Kreisgruppen $S. 1$ oder der Torus $((S. 1) n$ für jede natürliche Zahl $n$ .

Die klassischen Gruppen sind wichtige Beispiele für nicht-abelsche topologische Gruppen. Zum Beispiel die allgemeine lineare Gruppe $GL (n, ℝ)$ von allen invertierbar $n$ -durch- $n$ Matrizen mit realen Einträgen können als topologische Gruppe mit der durch Anzeigen definierten Topologie angezeigt werden $GL (n, ℝ)$ als Unterraum des euklidischen Raumes $ℝ n \times n$ . Eine andere klassische Gruppe ist die orthogonale Gruppe $Ö(n)$ , die Gruppe aller linearen Karten aus $ℝ n$ zu sich selbst, die die Länge aller Vektoren bewahren. Die orthogonale Gruppe ist als topologischer Raum kompakt. Ein Großteil der euklidischen Geometrie kann als Untersuchung der Struktur der orthogonalen Gruppe oder der eng verwandten Gruppe angesehen werden $Ö ((n) ⋉ ℝ n$ von Isometrien von $ℝ n$ .

Die bisher genannten Gruppen sind alle Lie-Gruppen, was bedeutet, dass sie glatte Mannigfaltigkeiten sind, so dass die Gruppenoperationen glatt und nicht nur kontinuierlich sind. Lügengruppen sind die am besten verstandenen topologischen Gruppen; Viele Fragen zu Lie-Gruppen können in rein algebraische Fragen zu Lie-Algebren umgewandelt und dann gelöst werden.

Ein Beispiel für eine topologische Gruppe, die keine Lie-Gruppe ist, ist die additive Gruppe $ℚ$ von rationalen Zahlen, mit der Topologie von geerbt $ℝ$ . Dies ist ein zählbarer Raum, und er hat nicht die diskrete Topologie. Ein wichtiges Beispiel für die Zahlentheorie ist die Gruppe $ℤ p$ von p-adische Ganzzahlen für eine Primzahl $p$ , was die inverse Grenze der endlichen Gruppen bedeutet $ℤ / p n$ wie n geht ins Unendliche. Die Gruppe $ℤ p$ ist insofern gut benommen, als es kompakt ist (tatsächlich homöomorph zum Cantor-Set), aber es unterscheidet sich von (realen) Lie-Gruppen darin, dass es völlig getrennt ist. Allgemeiner gibt es eine Theorie von p-adische Lie-Gruppen, einschließlich kompakter Gruppen wie $GL (n, ℤ p)$ sowie lokal kompakte Gruppen wie $GL (n, ℚ p)$ , wo $ℚ p$ ist das lokal kompakte Feld von p-adische Zahlen.

Die Gruppe $ℤ p$ ist eine pro-endliche Gruppe; es ist isomorph zu einer Untergruppe des Produkts

{ displaystyle prod _ {n geq 1} mathbb {Z} / p ^ {n}}

${ displaystyle prod _ {n geq 1} mathbb {Z} / p ^ {n}}$ so, dass seine Topologie durch die Produkttopologie induziert wird, wo die endlichen Gruppen

{ displaystyle mathbb {Z} / p ^ {n}}

${ displaystyle mathbb {Z} / p ^ {n}}$ erhalten die diskrete Topologie. Eine weitere große Klasse von pro-endlichen Gruppen, die in der Zahlentheorie wichtig sind, sind absolute Galois-Gruppen.

Einige topologische Gruppen können als unendlich dimensionale Lie-Gruppen angesehen werden. Dieser Satz wird am besten informell verstanden, um mehrere verschiedene Familien von Beispielen einzuschließen. Beispielsweise ist ein topologischer Vektorraum, wie ein Banachraum oder ein Hilbertraum, eine abelsche topologische Gruppe, die hinzugefügt wird. Einige andere unendlich dimensionale Gruppen, die mit unterschiedlichem Erfolg untersucht wurden, sind Schleifengruppen, Kac-Moody-Gruppen, Diffeomorphismusgruppen, Homöomorphismusgruppen und Eichgruppen.

In jeder Banach-Algebra mit multiplikativer Identität bildet die Menge der invertierbaren Elemente eine topologische Gruppe unter Multiplikation. Auf diese Weise entsteht beispielsweise die Gruppe invertierbar begrenzter Operatoren in einem Hilbert-Raum.

Eigenschaften[edit]

Übersetzungsinvarianz

Die Inversionsoperation an einer topologischen Gruppe $G$ ist ein Homöomorphismus aus $G$ zu sich selbst. Ebenso wenn ein ist ein beliebiges Element von $G$ , dann linke oder rechte Multiplikation mit ein ergibt einen Homöomorphismus $G \to G$ . Folglich, wenn $?$ ist eine Nachbarschaftsbasis des Identitätselements in einer kommutativen topologischen Gruppe $G$ dann für alle $x \in X.$ ,

x ?: = {xN :: N. \in \in

}}

ist eine Nachbarschaftsbasis von $x$ im $G$ , wo $xN : = {xn :: n \in N.$ }. Insbesondere wird jede Gruppentopologie in einer kommutativen topologischen Gruppe vollständig durch jede Nachbarschaftsbasis am Identitätselement bestimmt. Wenn $S.$ ist eine beliebige Teilmenge von $G$ und $U.$ ist eine offene Teilmenge von $G$ , dann $SU : = {su :: s \in S., u \in U.$ } ist eine offene Teilmenge von $G$ .

Symmetrische Nachbarschaften

Eine Teilmenge $S.$ von $G$ soll symmetrisch sein, wenn $S. -1 = S.$ . Der Abschluss jeder symmetrischen Menge in einer kommutativen topologischen Gruppe ist symmetrisch. Wenn $S.$ ist eine beliebige Teilmenge einer kommutativen topologischen Gruppe $G$ , dann sind auch die folgenden Sätze symmetrisch: $S. -1 \cap S.$ , $S. -1 \cup S.$ , und $S. -1 S.$ .

Für jede Nachbarschaft $N.$ in einer kommutativen topologischen Gruppe $G$ des Identitätselements existiert eine symmetrische Nachbarschaft $M.$ des Identitätselements so, dass $M. -1 M. \subseteq N.$ , wo beachte das $M. -1 M.$ ist notwendigerweise eine symmetrische Nachbarschaft des Identitätselements. Somit hat jede topologische Gruppe eine Nachbarschaftsbasis am Identitätselement, das aus symmetrischen Mengen besteht.

Wenn $G$ ist eine lokal kompakte kommutative Gruppe, also für jede Nachbarschaft $N.$ im $G$ des Identitätselements existiert eine symmetrische relativ kompakte Nachbarschaft $M.$ des Identitätselements so, dass $cl M. \subseteq N.$ (wo $cl M.$ ist auch symmetrisch).

Einheitlicher Raum

Jede topologische Gruppe kann auf zwei Arten als einheitlicher Raum betrachtet werden. das Linke Einheitlichkeit wandelt alle linken Multiplikationen in gleichmäßig kontinuierliche Karten um, während die richtige Einheitlichkeit verwandelt alle richtigen Multiplikationen in gleichmäßig kontinuierliche Karten. Wenn $G$ ist nicht abelisch, dann müssen diese beiden nicht zusammenfallen. Die einheitlichen Strukturen ermöglichen es, über Begriffe wie Vollständigkeit, einheitliche Kontinuität und einheitliche Konvergenz in topologischen Gruppen zu sprechen.

Trenneigenschaften

Wenn $U.$ ist eine offene Teilmenge einer kommutativen topologischen Gruppe $G$ und $U.$ enthält ein kompaktes Set $K.$ Dann gibt es eine Nachbarschaft $N.$ des Identitätselements so, dass $KN \subseteq U.$ .

Als einheitlicher Raum ist jede kommutative topologische Gruppe völlig regelmäßig. Folglich für eine multiplikative topologische Gruppe $G$ Mit Identitätselement 1 sind folgende äquivalent:

$G$ ist ein T.₀-Raum (Kolmogorov);
$G$ ist ein T.₂-raum (Hausdorff);
$G$ ist ein T._3½ (Tychonoff);
${1$ } ist geschlossen in $G$ ;;
${1}: = \cap N \in \in N.$ , wo $?$ ist eine Nachbarschaftsbasis des Identitätselements in $G$ ;;
für jeden $x \in G$ so dass $x \neq 1$ Es gibt eine Nachbarschaft $U.$ im $G$ des Identitätselements so, dass $x \notin U.$ .

Eine Untergruppe einer kommutativen topologischen Gruppe ist genau dann diskret, wenn sie einen isolierten Punkt hat.

Wenn $G$ ist nicht Hausdorff, dann kann man eine Hausdorff-Gruppe erhalten, indem man zur Quotientengruppe übergeht $G /. K.$ , wo $K.$ ist die Schließung der Identität. Dies entspricht der Annahme des Kolmogorov-Quotienten von $G$ .

Messbarkeit

Das Satz von Birkhoff-Kakutani (benannt nach den Mathematikern Garrett Birkhoff und Shizuo Kakutani) gibt an, dass die folgenden drei Bedingungen für eine topologische Gruppe gelten $G$ sind gleichwertig:

Das Identitätselement 1 ist geschlossen $G$ und es gibt eine zählbare Basis von Nachbarschaften für 1 in $G$ .
$G$ ist messbar (als topologischer Raum).
Es gibt eine linksinvariante Metrik $G$ das induziert die gegebene Topologie auf $G$ .

(Eine Metrik auf $G$ wird für jeden Punkt als linksinvariant bezeichnet $ein \in G$ , die Karte $x \mapsto Axt$ ist eine Isometrie von $G$ zu sich selbst.)

Untergruppen

Jede Untergruppe einer topologischen Gruppe ist selbst eine topologische Gruppe, wenn die Subraumtopologie angegeben wird. Jede offene Untergruppe $H.$ ist auch geschlossen in $G$ , da die Ergänzung von $H.$ ist die offene Menge, die durch die Vereinigung offener Mengen gegeben ist $gH$ zum $G \in G . H.$ . Wenn $H.$ ist eine Untergruppe von $G$ dann die Schließung von $H.$ ist auch eine Untergruppe. Ebenso wenn $H.$ ist eine normale Untergruppe von $G$ , die Schließung von $H.$ ist normal in $G$ .

Quotienten und normale Untergruppen

Wenn $H.$ ist eine Untergruppe von $G$ , die Menge der linken Nebenmengen $G /. H.$ mit der Quotiententopologie wird ein homogener Raum für genannt $G$ . Die Quotientenkarte $q :: G \to G /. H.$ ist immer offen. Zum Beispiel für eine positive ganze Zahl $n$ , Die Sphäre $S. n$ ist ein homogener Raum für die Rotationsgruppe $DAMIT(n +1)$ im $ℝ n +1$ mit $S. n = SO (n +1) / SO (n)$ . Ein homogener Raum $G /. H.$ ist Hausdorff genau dann, wenn $H.$ ist geschlossen in $G$ . Teilweise aus diesem Grund ist es natürlich, sich bei der Untersuchung topologischer Gruppen auf geschlossene Untergruppen zu konzentrieren.

Wenn $H.$ ist eine normale Untergruppe von $G$ , dann die Quotientengruppe $G /. H.$ wird zu einer topologischen Gruppe, wenn die Quotiententopologie angegeben wird. Es ist Hausdorff genau dann, wenn $H.$ ist geschlossen in $G$ . Zum Beispiel die Quotientengruppe $ℝ / ℤ$ ist isomorph zur Kreisgruppe $S. 1$ .

In jeder topologischen Gruppe ist die Identitätskomponente (dh die verbundene Komponente, die das Identitätselement enthält) eine geschlossene normale Untergruppe. Wenn $C.$ ist die Identitätskomponente und ein ist irgendein Punkt von $G$ , dann der linke Coset $aC$ ist die Komponente von $G$ enthält ein. Also die Sammlung aller linken Cosets (oder rechten Cosets) von $C.$ im $G$ ist gleich der Sammlung aller Komponenten von $G$ . Daraus folgt die Quotientengruppe $G /. C.$ ist völlig getrennt.

Verschluss und Kompaktheit

In jeder kommutativen topologischen Gruppe ist das Produkt (vorausgesetzt, die Gruppe ist multiplikativ) $KC$ eines kompakten Satzes $K.$ und ein geschlossener Satz $C.$ ist ein geschlossener Satz. Darüber hinaus für alle Teilmengen $R.$ und $S.$ von $G$ , $(cl R.) (cl S.) \subseteq cl (RS)$ .

Wenn $H.$ ist eine Untergruppe einer kommutativen topologischen Gruppe $G$ und wenn $N.$ ist eine Nachbarschaft in $G$ des Identitätselements so, dass $H. \cap cl N.$ ist dann geschlossen $H.$ ist geschlossen. Jede einzelne Untergruppe einer kommutativen topologischen Gruppe nach Hausdorff ist geschlossen.

Isomorphismus-Theoreme

Die Isomorphismussätze aus der gewöhnlichen Gruppentheorie sind in der topologischen Umgebung nicht immer wahr. Dies liegt daran, dass ein bijektiver Homomorphismus kein Isomorphismus topologischer Gruppen sein muss. Die Sätze sind gültig, wenn man den beteiligten Karten bestimmte Einschränkungen auferlegt. Zum Beispiel besagt der erste Isomorphismus-Satz, dass wenn $f :: G \to H.$ ist ein Homomorphismus, dann der Homomorphismus aus $G / ker (f)$ zu $Ich bin(f)$ ist ein Isomorphismus genau dann, wenn die Karte $f$ ist offen für sein Bild.

Hilberts fünftes Problem[edit]

Es gibt mehrere starke Ergebnisse bezüglich der Beziehung zwischen topologischen Gruppen und Lie-Gruppen. Erstens jeder kontinuierliche Homomorphismus von Lie-Gruppen

{ displaystyle G to H}

$G bis H.$ ist glatt. Daraus folgt, dass eine topologische Gruppe eine eindeutige Struktur einer Lie-Gruppe hat, falls eine existiert. Der Satz von Cartan besagt auch, dass jede geschlossene Untergruppe einer Lie-Gruppe eine Lie-Untergruppe ist, insbesondere eine glatte Untergruppe.

Hilberts fünftes Problem fragte, ob eine topologische Gruppe $G$ das ist eine topologische Mannigfaltigkeit muss eine Lie-Gruppe sein. Mit anderen Worten $G$ Haben Sie die Struktur eines reibungslosen Verteilers, der die Gruppenoperationen reibungslos macht? Wie Andrew Gleason, Deane Montgomery und Leo Zippin gezeigt haben, lautet die Antwort auf dieses Problem Ja. Eigentlich, $G$ hat eine echte analytische Struktur. Mit der glatten Struktur kann man die Lie-Algebra von definieren $G$ , ein Objekt der linearen Algebra, das eine verbundene Gruppe bestimmt $G$ bis zur Abdeckung von Räumen. Infolgedessen reduziert die Lösung von Hilberts fünftem Problem die Klassifizierung topologischer Gruppen, die topologische Mannigfaltigkeiten sind, auf ein algebraisches Problem, wenn auch ein kompliziertes Problem im Allgemeinen.

Der Satz hat auch Konsequenzen für breitere Klassen topologischer Gruppen. Erstens ist jede kompakte Gruppe (verstanden als Hausdorff) eine inverse Grenze kompakter Lie-Gruppen. (Ein wichtiger Fall ist eine inverse Grenze endlicher Gruppen, die als profinite Gruppe bezeichnet wird. Zum Beispiel die Gruppe $ℤ p$ von p-adische ganze Zahlen und die absolute Galois-Gruppe eines Feldes sind profinite Gruppen.) Darüber hinaus ist jede verbundene lokal kompakte Gruppe eine inverse Grenze verbundener Lie-Gruppen. Im anderen Extremfall enthält eine vollständig getrennte lokal kompakte Gruppe immer eine kompakte offene Untergruppe, die notwendigerweise eine profinite Gruppe ist. (Zum Beispiel die lokal kompakte Gruppe $GL (n, ℚ p)$ enthält die kompakte offene Untergruppe $GL (n, ℤ p)$ Dies ist die inverse Grenze der endlichen Gruppen $GL (n, ℤ / p r)$ wie $r$ geht ins Unendliche.)

Darstellungen von kompakten oder lokal kompakten Gruppen[edit]

Ein Aktion einer topologischen Gruppe $G$ auf einem topologischen Raum X. ist eine Gruppenaktion von $G$ auf X. so dass die entsprechende Funktion $G \times X. \to X.$ ist kontinuierlich. Ebenso a Darstellung einer topologischen Gruppe $G$ auf einem realen oder komplexen topologischen Vektorraum V. ist eine kontinuierliche Aktion von $G$ auf V. so dass für jeden $G \in G$ , die Karte $v \mapsto gv$ von V. zu sich selbst ist linear.

Gruppenaktionen und Repräsentationstheorie sind für kompakte Gruppen besonders gut bekannt und verallgemeinern, was für endliche Gruppen geschieht. Beispielsweise ist jede endlich dimensionale (reale oder komplexe) Darstellung einer kompakten Gruppe eine direkte Summe irreduzibler Darstellungen. Eine unendlich dimensionale einheitliche Darstellung einer kompakten Gruppe kann als direkte Hilbert-Raum-Summe irreduzibler Darstellungen zerlegt werden, die alle endlichdimensional sind; Dies ist Teil des Peter-Weyl-Theorems. Beispielsweise beschreibt die Theorie der Fourierreihen die Zerlegung der einheitlichen Darstellung der Kreisgruppe $S. 1$ auf dem komplexen Hilbert-Raum $L. 2 ((S. 1)$ . Die irreduziblen Darstellungen von $S. 1$ sind alle eindimensional, von der Form $z \mapsto z n$ für ganze Zahlen $n$ (wo $S. 1$ wird als Untergruppe der multiplikativen Gruppe angesehen $ℂ$ *). Jede dieser Darstellungen tritt mit einer Multiplizität von 1 Zoll auf $L. 2 ((S. 1)$ .

Die irreduziblen Darstellungen aller kompakten verbundenen Lie-Gruppen wurden klassifiziert. Insbesondere wird der Charakter jeder irreduziblen Darstellung durch die Weyl-Zeichenformel angegeben.

Im Allgemeinen haben lokal kompakte Gruppen eine reichhaltige Theorie der harmonischen Analyse, da sie einen natürlichen Begriff von Maß und Integral zulassen, der durch das Haar-Maß gegeben ist. Jede einheitliche Darstellung einer lokal kompakten Gruppe kann als direktes Integral irreduzibler einheitlicher Darstellungen beschrieben werden. (Die Zerlegung ist im Wesentlichen eindeutig, wenn $G$ ist vom Typ I, der die wichtigsten Beispiele wie abelsche Gruppen und halb-einfache Lie-Gruppen enthält.) Ein grundlegendes Beispiel ist die Fourier-Transformation, die die Wirkung der additiven Gruppe zerlegt $ℝ$ auf dem Hilbert-Raum $L. 2 (ℝ)$ als direktes Integral der irreduziblen einheitlichen Darstellungen von $ℝ$ . Die irreduziblen einheitlichen Darstellungen von $ℝ$ sind alle eindimensional, von der Form $x \mapsto e 2π iax$ zum $ein \in \in$ .

Die irreduziblen einheitlichen Darstellungen einer lokal kompakten Gruppe können unendlich dimensional sein. Ein Hauptziel der Darstellungstheorie im Zusammenhang mit der Langlands-Klassifikation zulässiger Darstellungen besteht darin, das einheitliche Dual (den Raum aller irreduziblen einheitlichen Darstellungen) für die halb-einfachen Lie-Gruppen zu finden. Das einheitliche Dual ist in vielen Fällen bekannt, wie z $SL (2, ℝ)$ , aber nicht alles.

Für eine lokal kompakte abelsche Gruppe $G$ hat jede irreduzible einheitliche Darstellung die Dimension 1. In diesem Fall ist das einheitliche Dual

{ displaystyle { hat {G}}}

${ displaystyle { hat {G}}}$ ist eine Gruppe, in der Tat eine andere lokal kompakte abelsche Gruppe. Die Pontryagin-Dualität besagt, dass für eine lokal kompakte abelsche Gruppe $G$ , das Dual von

{ displaystyle { hat {G}}}

${ displaystyle { hat {G}}}$ ist die ursprüngliche Gruppe $G$ . Zum Beispiel die doppelte Gruppe der ganzen Zahlen $ℤ$ ist die Kreisgruppe $S. 1$ , während die Gruppe $ℝ$ von reellen Zahlen ist isomorph zu seinem eigenen Dual.

Jede lokal kompakte Gruppe $G$ hat ein gutes Angebot an irreduziblen einheitlichen Darstellungen; Zum Beispiel genug Darstellungen, um die Punkte von zu unterscheiden $G$ (das Gelfand-Raikov-Theorem). Im Gegensatz dazu wurde die Darstellungstheorie für topologische Gruppen, die nicht lokal kompakt sind, bisher nur in speziellen Situationen entwickelt, und es ist möglicherweise nicht sinnvoll, eine allgemeine Theorie zu erwarten. Zum Beispiel gibt es viele abelsche Banach-Lie-Gruppen, für die jede Darstellung im Hilbert-Raum trivial ist.

Homotopietheorie topologischer Gruppen[edit]

Topologische Gruppen sind unter allen topologischen Räumen besonders in Bezug auf ihren Homotopietyp besonders. Ein grundlegender Punkt ist, dass eine topologische Gruppe $G$ bestimmt einen pfadverbundenen topologischen Raum, den Klassifizierungsraum $BG$ (das Prinzipal klassifiziert $G$ -Bündel über topologischen Räumen, unter milden Hypothesen). Die Gruppe $G$ ist in der Kategorie Homotopie isomorph zum Schleifenraum von $BG$ ;; das impliziert verschiedene Einschränkungen für den Homotopietyp von $G$ . Einige dieser Einschränkungen gelten im breiteren Kontext von H-Räumen.

Zum Beispiel die Grundgruppe einer topologischen Gruppe $G$ ist abelisch. (Allgemeiner das Whitehead-Produkt auf den Homotopiegruppen von $G$ ist Null.) Auch für jedes Feld k, der Kohomologiering $H. * (G, k)$ hat die Struktur einer Hopf-Algebra. In Anbetracht der Struktursätze zu Hopf-Algebren von Heinz Hopf und Armand Borel werden die möglichen Kohomologieringe topologischer Gruppen stark eingeschränkt. Insbesondere wenn $G$ ist eine pfadgebundene topologische Gruppe, deren rationale Kohomologie klingelt $H. * (G, ℚ)$ ist in jedem Grad endlichdimensional, dann muss dieser Ring eine frei abgestufte kommutative Algebra sein $ℚ$ das heißt, das Tensorprodukt eines Polynomrings bei Generatoren geraden Grades mit einer äußeren Algebra bei Generatoren ungeraden Grades.

Insbesondere für eine verbundene Lie-Gruppe $G$ , der Ring der rationalen Kohomologie von $G$ ist eine äußere Algebra für Generatoren ungeraden Grades. Darüber hinaus eine verbundene Lie-Gruppe $G$ hat eine maximal kompakte Untergruppe K., was bis zur Konjugation und der Einbeziehung von einzigartig ist K. in $G$ ist eine Homotopieäquivalenz. Die Beschreibung der Homotopietypen von Lie-Gruppen reduziert sich also auf den Fall kompakter Lie-Gruppen. Zum Beispiel die maximal kompakte Untergruppe von $SL (2, ℝ)$ ist die Kreisgruppe $SO (2)$ und der homogene Raum $SL (2, ℝ) / SO (2)$ kann mit der hyperbolischen Ebene identifiziert werden. Da die hyperbolische Ebene kontrahierbar ist, erfolgt die Einbeziehung der Kreisgruppe in $SL (2, ℝ)$ ist eine Homotopieäquivalenz.

Schließlich wurden kompakte verbundene Lie-Gruppen von Wilhelm Killing, Élie Cartan und Hermann Weyl klassifiziert. Infolgedessen gibt es eine im Wesentlichen vollständige Beschreibung der möglichen Homotopietypen von Lie-Gruppen. Zum Beispiel ist eine kompakt verbundene Lie-Gruppe mit höchstens 3 entweder ein Torus, die Gruppe SU (2) (diffeomorph zur 3-Kugel) $S. 3$ ) oder seine Quotientengruppe $SU (2) / {\pm 1} ≅ SO (3)$ (diffeomorph zu $RP 3$ ).

Komplette abelsche topologische Gruppen[edit]

Informationen zur Konvergenz von Netzen und Filtern, wie Definitionen und Eigenschaften, finden Sie im Artikel über Filter in der Topologie.

Kanonische Einheitlichkeit in einer kommutativen topologischen Gruppe[edit]

Wir werden fortan annehmen, dass jede topologische Gruppe, die wir betrachten, eine additive kommutative topologische Gruppe mit Identitätselement ist $0$ .

Definition ((Kanonisches Gefolge und Diagonale):

Das Diagonale von $X.$ ist das Set

$Δ X. : = {(x, x): x \in X.$ }}

und für jeden $N. \subseteq X.$ enthält $0$ , das kanonisches Gefolge oder kanonische Umgebung $N.$ ist das Set

$Δ X. ((N.): = {(x, y) \in X. \times X. :: x - - y \in N.} = \cup y \in X. [(y + N) \times {y}] = Δ X. + ((N. \times {0})$

Definition ((Kanonische Einheitlichkeit): Für eine topologische Gruppe $((X., τ)$ , das kanonische Einheitlichkeit auf $X.$ ist die einheitliche Struktur, die durch die Menge aller kanonischen Gefolgsleute induziert wird $Δ (N.)$ wie $N.$ erstreckt sich über alle Stadtteile von $0$ im $X.$ .

Das heißt, es ist das Schließen des folgenden Vorfilters nach oben $X. \times X.$ ,

${Δ (N.): N. ist eine Nachbarschaft von 0 in X.$ }}

wo dieser Vorfilter eine sogenannte Basis von Entouragen der kanonischen Einheitlichkeit bildet.

Definition ((Übersetzungsinvariante Einheitlichkeit): Für eine kommutative additive Gruppe $X.$ , ein grundlegendes System von Gefolgsleuten $ℬ$ wird genannt übersetzungsinvariant wenn für jeden $B. \in \in$ , $((x, y) \in B.$ dann und nur dann, wenn $((x + z, y + z) \in B.$ für alle $x, y, z \in X.$ . Eine Einheitlichkeit $ℬ$ wird genannt übersetzungsinvariant wenn es eine Basis von Gefolgsleuten hat, die übersetzungsinvariant ist.

Bemerkungen::

Die kanonische Einheitlichkeit für jede kommutative topologische Gruppe ist übersetzungsinvariant.
Die gleiche kanonische Einheitlichkeit würde sich ergeben, wenn eine Nachbarschaftsbasis des Ursprungs verwendet würde, anstatt den Filter aller Nachbarschaften des Ursprungs.
Jedes Gefolge $Δ X. ((N.)$ enthält die Diagonale $Δ X. : = Δ X. ({0}) = {(x, x): x \in X.$ } da $0 \in N.$ .
Wenn $N.$ ist symmetrisch (dh $- - N. = N.$ ) dann $Δ X. ((N.)$ ist symmetrisch (dh $(Δ X. ((N.)) op = Δ X. ((N.)$ ) und

$Δ X. ((N.) \circ Δ X. ((N.) = {(x, z): \exists y \in X. so dass x, z \in y + N.} = \cup y \in X. [(y + N) \times (y + N)] = Δ X. + ((N. \times N.)$ .
Die Topologie induziert am $X.$ durch die kanonische Einheitlichkeit ist die gleiche wie die Topologie, die $X.$ begann mit (dh es ist $τ$ ).

Cauchy Vorfilter und Netze[edit]

Die allgemeine Theorie der einheitlichen Räume hat ihre eigene Definition eines “Cauchy-Vorfilters” und eines “Cauchy-Netzes”. Für die kanonische Einheitlichkeit weiter $X.$ Diese reduzieren sich auf die unten beschriebene Definition.

Definition ((Summe und Produkt der Netze): Annehmen $x • • = (x ich) ich \in ich$ ist ein Netz in $X.$ und $y • • = (y ich) j \in J.$ ist ein Netz in $Y.$ . Machen $ich \times J.$ in eine gerichtete Menge durch Deklaration $((ich, j) \leq (ich 2, j 2)$ dann und nur dann, wenn $ich \leq ich 2$ und $j \leq j 2$ . Dann $x • • \times y • • : = (x ich, y j) ((ich, j) \in ich \times J.$ bezeichnet die Produktnetz. Wenn $X. = Y.$ dann das Bild dieses Netzes unter der Zusatzkarte $X. \times X. \to X.$ bezeichnet die Summe dieser beiden Netze:

$x • • + y • • : = (x ich + y j) ((ich, j) \in ich \times J.$

und ähnlich ihre Unterschied ist definiert als das Bild des Produktnetzes unter der Subtraktionskarte:

$x • • - - y • • : = (x ich - - y j) ((ich, j) \in ich \times J.$ .

Definition ((Cauchy Netz): Ein Netz $x • • = (x ich) ich \in ich$ in einer additiven topologischen Gruppe $X.$ heißt a Cauchy Netz wenn

$((x ich - - x j) ((ich, j) \in ich \times ich \to 0$ im $X.$

oder gleichwertig, wenn für jede Nachbarschaft $N.$ von $0$ im $X.$ gibt es einige $ich 0 \in ich$ so dass $x ich - - x j \in N.$ für alle $ich, j \geq ich 0$ mit $ich, j \in ich$ .

EIN Cauchy-Sequenz ist ein Cauchy-Netz, das eine Sequenz ist.

Definition (( $N.$ -kleines Set): Wenn $B.$ ist eine Teilmenge einer additiven Gruppe $X.$ und $N.$ ist ein Set mit $0$ , dann sagen wir das $B.$ ist $N.$ -klein oder klein von Ordnung $N.$ wenn $B. - - B. \subseteq N.$ .

Definition ((Cauchy Vorfilter): Ein Vorfilter $ℬ$ auf einer additiven topologischen Gruppe $X.$ genannt Cauchy Vorfilter wenn es eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

$ℬ - ℬ \to 0$ im $X.$ , wo $ℬ - ℬ: = {B. - - C. :: B., C. \in \in}$ ist ein Vorfilter.

${B. - - B. :: B. \in ℬ} \to 0$ im $X.$ , wo ${B. - - B. :: B. \in \in}$ ist ein Vorfilter äquivalent zu $ℬ - ℬ$ .

Für jede Nachbarschaft $N.$ von $0$ im $X.$ , $ℬ$ enthält einige $N.$ -kleine Menge (dh es gibt einige $B. \in \in$ so dass $B. - - B. \subseteq N.$ ).

und wenn $X.$ ist dann auch kommutativ:

Für jede Nachbarschaft $N.$ von $0$ im $X.$ gibt es einige $B. \in \in$ und einige $x \in X.$ so dass $B. \subseteq x + N.$ .

Es reicht aus, eine der oben genannten Bedingungen für eine bestimmte Nachbarschaftsbasis von zu überprüfen $0$ im $X.$ .

Anmerkung:

Annehmen $ℬ$ ist ein Vorfilter für eine kommutative topologische Gruppe $X.$ und $x \in X.$ . Dann $ℬ \to x$ im $X.$ dann und nur dann, wenn $x \in cl ℬ$ und $ℬ$ ist Cauchy.

Komplette kommutative topologische Gruppe[edit]

Anmerkung: Erinnern Sie sich daran für jeden

S. \subseteq X.

, ein Vorfilter

?

auf $S.$ ist notwendigerweise eine Teilmenge von

℘ (S.)

;; das ist,

? \subseteq ℘ (S.)

Definition ((Komplette Teilmenge): Eine Teilmenge $S.$ einer topologischen Gruppe $X.$ wird genannt Komplett wenn es eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

Jeder Cauchy-Vorfilter $? \subseteq ℘ (S.)$ auf $S.$ konvergiert zu mindestens einem Punkt von $S.$ .

Wenn $X.$ ist Hausdorff dann jeder Vorfilter an $S.$ wird zu höchstens einem Punkt von konvergieren $X.$ . Aber wenn $X.$ Ist nicht Hausdorff, dann kann ein Vorfilter zu mehreren Punkten in konvergieren $X.$ . Gleiches gilt für Netze.

Jedes Cauchy-Netz in $S.$ konvergiert zu mindestens einem Punkt von $S.$ ;;

Jeder Cauchy-Filter $?$ auf $S.$ konvergiert zu mindestens einem Punkt von $S.$ .

$S.$ ist ein vollständiger einheitlicher Raum (unter der Punktesatztopologiedefinition von “vollständiger einheitlicher Raum”), wenn $S.$ ist mit der Gleichförmigkeit ausgestattet, die durch die kanonische Gleichförmigkeit von $X.$ ;;

Definition Die Teilmenge $S.$ wird genannt nacheinander abgeschlossen wenn jede Cauchy-Sequenz in $S.$ (oder gleichwertig jeder elementare Cauchy-Filter / Vorfilter an $S.$ ) konvergiert zu mindestens einem Punkt von $S.$ .

Anmerkung ((Konvergenz außerhalb von $S.$ ist erlaubt): Wenn X. ist nicht Hausdorff und wenn jeder Cauchy vorfiltert S. konvergiert zu einem gewissen Punkt von S., dann S. wird auch dann vollständig sein, wenn einige oder alle Cauchy-Vorfilter aktiviert sind S. ebenfalls konvergieren zu Punkten in X. ∖ S.. Kurz gesagt, es ist nicht erforderlich, dass diese Cauchy-Vorfilter aktiviert sind S. konvergieren nur zu Punkten in S.. Gleiches gilt für die Konvergenz der Cauchy-Netze in S..
- Infolgedessen, wenn eine kommutative topologische Gruppe $X.$ ist nicht Hausdorff, dann jede Teilmenge der Schließung von ${0$ }, sagen $S. \subseteq Cl {0$ }, ist vollständig (da es eindeutig kompakt ist und jeder kompakte Satz notwendigerweise vollständig ist). Also insbesondere wenn $S. \neq \neq$ (zB wenn $S.$ a ist eine Singleton-Menge wie $S. = {0$ }) dann $S.$ wäre aber komplett jeder Cauchy net in $S.$ (und jeder Cauchy-Vorfilter auf $S.$ ), konvergiert zu jeder hinweisen $Cl {0$ } (Fügen Sie diese Punkte in ein $Cl {0$ } die nicht in sind $S.$ ).
- Dieses Beispiel zeigt auch, dass vollständige Teilmengen (in der Tat sogar kompakte Teilmengen) eines Nicht-Hausdorff-Raums möglicherweise nicht geschlossen werden können. (zB wenn $\emptyset \neq S. \subseteq Cl {0$ } dann $S.$ ist genau dann geschlossen, wenn $S. = Cl {0$ }).

Definition ((Komplette Gruppe): Eine kommutative topologische Gruppe $X.$ wird genannt Komplett wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen zutrifft:

$X.$ ist als Teilmenge von sich selbst vollständig.

Jedes Cauchy-Netz in $X.$ konvergiert zu mindestens einem Punkt von $X.$ .

Es gibt eine Nachbarschaft von $0$ im $X.$ das ist auch eine vollständige Teilmenge von $X.$ .

Dies impliziert, dass jede lokal kompakte kommutative topologische Gruppe vollständig ist.

Wenn mit seiner kanonischen Einheitlichkeit ausgestattet, $X.$ wird ist ein völlig einheitlicher Raum.

Definition ((Nacheinander vollständige Gruppe): Es wird genannt nacheinander abgeschlossen wenn $X.$ ist eine sequentiell vollständige Teilmenge von sich.

Anmerkung:

Nachbarschaftsbasis: Annehmen $C.$ ist eine Vervollständigung einer kommutativen topologischen Gruppe $X.$ mit $X. \subseteq C.$ und das $?$ ist eine Nachbarschaftsbasis des Ursprungs in $X.$ . Dann das Set

${Cl C. N. :: N. \in \in$ }}

ist eine Nachbarschaftsbasis am Ursprung in $C.$ .

Einheitliche Kontinuität

Definition ((Einheitliche Kontinuität): Lassen $X.$ und $Y.$ topologische Gruppen sein, $D. \subseteq X.$ , und $f :: D. \to Y.$ sei eine Karte. Dann $f :: D. \to Y.$ ist gleichmäßig durchgehend wenn für jede Nachbarschaft $U.$ des Ursprungs in $X.$ Es gibt eine Nachbarschaft $V.$ des Ursprungs in $Y.$ so dass für alle $x, y \in D.$ , wenn $y - - x \in U.$ dann $f ((y) - f ((x) \in V.$ .

Verallgemeinerungen[edit]

Verschiedene Verallgemeinerungen topologischer Gruppen können erhalten werden, indem die Kontinuitätsbedingungen geschwächt werden:

Eine semitopologische Gruppe ist eine Gruppe $G$ mit einer Topologie so, dass für jeden $c \in G$ die beiden Funktionen $G \to G$ definiert von $x \mapsto xc$ und $x \mapsto cx$ sind kontinuierlich.
Eine quasitopologische Gruppe ist eine semitopologische Gruppe, in der die Funktionszuordnung von Elementen zu ihren Inversen ebenfalls kontinuierlich ist.
Eine paratopologische Gruppe ist eine Gruppe mit einer solchen Topologie, dass die Gruppenoperation kontinuierlich ist.

Siehe auch[edit]

^ dhKontinuierlich bedeutet, dass für jeden offenen Satz $U. \subseteq G$ , $f -1 ((U.)$ ist in der Domain geöffnet $dom f$ von $f$ .

Verweise[edit]

Literaturverzeichnis[edit]

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Topologische Gruppe – Wikipedia

Formale Definition[edit]

Homomorphismen[edit]

Beispiele[edit]

Eigenschaften[edit]

Hilberts fünftes Problem[edit]

Darstellungen von kompakten oder lokal kompakten Gruppen[edit]

Homotopietheorie topologischer Gruppen[edit]

Komplette abelsche topologische Gruppen[edit]

Kanonische Einheitlichkeit in einer kommutativen topologischen Gruppe[edit]

Cauchy Vorfilter und Netze[edit]

Komplette kommutative topologische Gruppe[edit]

Verallgemeinerungen[edit]

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

Literaturverzeichnis[edit]

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