Positive reelle Zahlen – Wikipedia

Posted on November 30, 2020 by lordneo

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In der Mathematik ist die Menge von positive reelle Zahlen,

{ displaystyle mathbb {R} _ {> 0} = left {x in mathbb {R} mid x> 0 right }}

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$mathbb {R} _ {> 0} = left {x in mathbb {R} mid x> 0 right }”/>ist die Teilmenge dieser reellen Zahlen, die größer als Null sind. Das nicht negative reelle Zahlen, <span class=$

{ displaystyle mathbb {R} _ { geq 0} = left {x in mathbb {R} mid x geq 0 right }}

$mathbb {R} _ { geq 0} = left {x in mathbb {R} mid x geq 0 right }$ , enthalten auch Null. Obwohl die Symbole

{ displaystyle mathbb {R} _ {+}}

$mathbb {R} _ {+}$ und

{ displaystyle mathbb {R} ^ {+}}

${ mathbb {R}} ^ {{+}}$ werden für beide, die Notation, mehrdeutig verwendet

{ displaystyle mathbb {R} _ {+}}

$mathbb {R} _ {+}$ oder

{ displaystyle mathbb {R} ^ {+}}

${ mathbb {R}} ^ {{+}}$ zum

{ displaystyle left {x in mathbb {R} mid x geq 0 right }}

${ displaystyle left {x in mathbb {R} mid x geq 0 right }}$ und

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{ displaystyle mathbb {R} _ {+} ^ {*}}

${ displaystyle mathbb {R} _ {+} ^ {*}}$ oder

{ displaystyle mathbb {R} _ {*} ^ {+}}

${ displaystyle mathbb {R} _ {*} ^ {+}}$ zum

{ displaystyle left {x in mathbb {R} mid x> 0 right }}

${ displaystyle left {x in mathbb {R} mid x> 0 right }}”/> ist ebenfalls weit verbreitet, entspricht der algebraischen Praxis, den Ausschluss des Nullelements mit einem Stern zu bezeichnen, und sollte für die meisten praktizierenden Mathematiker verständlich sein.<sup id=$ [1]^[2]

In einer komplexen Ebene

{ displaystyle mathbb {R} _ {> 0}}

${ mathbb {R}} _ {{> 0}}”/> wird mit dem identifiziert positive reale Achseund wird normalerweise als horizontaler Strahl gezeichnet. Dieser Strahl wird als Referenz in der polaren Form einer komplexen Zahl verwendet. Die reale positive Achse entspricht komplexen Zahlen <span class=$

{ displaystyle z = | z | mathrm {e} ^ { mathrm {i} varphi}}

$z = | z | mathrm {e} ^ { mathrm {i} varphi}$ mit Argument

{ displaystyle varphi = 0}

$varphi = 0$ .

Table of Contents

Eigenschaften[edit]

Der Satz

{ displaystyle mathbb {R} _ {> 0}}

${ mathbb {R}} _ {{> 0}}”/> wird unter Addition, Multiplikation und Division geschlossen. Es erbt eine Topologie von der realen Linie und hat somit die Struktur einer multiplikativen topologischen Gruppe oder einer additiven topologischen Halbgruppe. Für eine gegebene positive reelle Zahl <span class=$

{ displaystyle x}

$x$ , die Sequenz

{ displaystyle {x ^ {n} }}

${ displaystyle {x ^ {n} }}$ seiner integralen Kräfte hat drei verschiedene Schicksale: Wann

{ displaystyle x in (0,1)}

${ displaystyle x in (0,1)}$ ist die Grenze Null; wann

{ displaystyle x = 1}

$x = 1$ ist die Reihenfolge konstant; und wann

{ displaystyle x> 1}

$x> 1″/>ist die Sequenz unbegrenzt. <span class=$

{ displaystyle mathbb {R} _ {> 0} = (0,1) cup {1 } cup (1, infty)}

$mathbb {R} _ {> 0} = (0,1) cup {1 } cup (1, infty)”/> und die multiplikative Umkehrfunktion tauscht die Intervalle aus. Der Funktionsboden, <span class=$

{displaystyle operatorname {floor} :[1,infty )to mathbb {N} ,,xmapsto lfloor xrfloor }

$operatorname{floor} : [ 1 , infty ) to mathbb{N},, x mapsto lfloor x rfloor$ , and excess,

{displaystyle operatorname {excess} :[1,infty )to (0,1),,xmapsto x-lfloor xrfloor }

$operatorname{excess} : [ 1 , infty ) to (0,1),, x mapsto x - lfloor x rfloor$ , have been used to describe an element

{displaystyle xin mathbb {R} _{>0}}

$x in mathbb{R}_{>0}”/> as a continued fraction <span class=$

{ displaystyle [n_{0};n_{1},n_{2},ldots ]}}

$[ n_0; n_1, n_2, ldots]$ Dies ist eine Folge von ganzen Zahlen, die aus der Bodenfunktion erhalten werden, nachdem der Überschuss hin- und herbewegt wurde. Für rationale

{ displaystyle x}

$x$ endet die Sequenz mit einem exakten Bruchausdruck von

{ displaystyle x}

$x$ und für quadratische irrationale

{ displaystyle x}

$x$ wird die Sequenz zu einer periodisch fortgesetzten Fraktion.

Im Studium der klassischen Gruppen für jeden

{ displaystyle n in mathbb {N}}

$n in mathbb {N}$ gibt die Determinante eine Karte aus

{ displaystyle n times n}

$n mal n$ Matrizen über die Realzahlen zu den Realzahlen:

{ displaystyle mathrm {M} (n, mathbf {R}) bis mathbf {R}.}

${ displaystyle mathrm {M} (n, mathbf {R}) bis mathbf {R}.}$ Die Beschränkung auf invertierbare Matrizen ergibt eine Abbildung von der allgemeinen linearen Gruppe auf reelle Zahlen ungleich Null:

{ displaystyle mathrm {GL} (n, mathbf {R}) bis mathbf {R} ^ { times}}

${ displaystyle mathrm {GL} (n, mathbf {R}) bis mathbf {R} ^ { times}}$ . Die Beschränkung auf Matrizen mit einer positiven Determinante ergibt die Karte

{ displaystyle mathrm {GL} ^ {+} (n, mathbf {R}) bis mathbf {R} _ {> 0}}

${ displaystyle mathrm {GL} ^ {+} (n, mathbf {R}) bis mathbf {R} _ {> 0}}”/>;; Interpretation des Bildes als Quotientengruppe durch die normale Untergruppe, Beziehung <span class=$ SL (n, ℝ) ◁ GL⁺((n, ℝ) drückt die positiven Realitäten als Lie-Gruppe aus.

Logarithmisches Maß[edit]

Wenn

{ displaystyle [a,b] subseteq mathbb {R} _ {> 0}}

${ displaystyle [a,b] subseteq mathbb {R} _ {> 0}}”/> ist also ein Intervall <span class=$

{ displaystyle mu ([a,b]) = log (b / a) = log b- log a}

${ displaystyle mu ([a,b]) = log (b / a) = log b- log a}$ bestimmt ein Maß für bestimmte Teilmengen von

{ displaystyle mathbb {R} _ {> 0}}

${ mathbb {R}} _ {{> 0}}”/>Dies entspricht dem Rückzug des üblichen Lebesgue-Maßes für die reellen Zahlen unter dem Logarithmus: Es ist die Länge auf der logarithmischen Skala. Tatsächlich ist es ein invariantes Maß in Bezug auf die Multiplikation <span class=$

{ displaystyle [a,b]zu [az,bz]}}

${ displaystyle [a,b]zu [az,bz]}}$ durch eine

{ displaystyle z in mathbb {R} _ {> 0}}

$z in mathbb {R} _ {> 0}”/>Ebenso wie das Lebesgue-Maß unter Addition unveränderlich ist. Im Kontext topologischer Gruppen ist dieses Maß ein Beispiel für ein Haar-Maß. Die Nützlichkeit dieses Maßes zeigt sich in seiner Verwendung zur Beschreibung von Sterngrößen und Rauschpegeln in Dezibel, unter anderen Anwendungen der logarithmischen Skala. Für die Zwecke der internationalen Normen ISO 80000-3 werden die dimensionslosen Mengen als Ebenen bezeichnet. <h2><span class=$ Anwendungen[edit]

Die nicht negativen Realzahlen dienen als Bereich für Metriken, Normen und Maße in der Mathematik.

Einschließlich 0, die Menge

{ displaystyle mathbb {R} _ { geq 0}}

${ displaystyle mathbb {R} _ { geq 0}}$ hat eine Semiring-Struktur (0 ist die additive Identität), die als Wahrscheinlichkeitssemiring bekannt ist; Wenn man Logarithmen nimmt (wobei die Basis eine logarithmische Einheit ergibt), ergibt sich ein Isomorphismus mit dem logarithmischen Semiring (wobei 0 −∞ entspricht), und seine Einheiten (die endlichen Zahlen, ausgenommen −∞) entsprechen den positiven reellen Zahlen.

Quadrat[edit]

Lassen

{ displaystyle Q = mathbb {R} _ {> 0} times mathbb {R} _ {> 0},}

${ displaystyle Q = mathbb {R} _ {> 0} times mathbb {R} _ {> 0},}”/> der erste Quadrant der kartesischen Ebene. Der Quadrant selbst ist durch die Linie in vier Teile unterteilt <span class=$

{ displaystyle L = {(x, y): x = y }}

${ displaystyle L = {(x, y): x = y }}$ und die Standardhyperbel

{ displaystyle H = {(x, y): xy = 1 }.}

${ displaystyle H = {(x, y): xy = 1 }.}$

Das L. ∪ H. bildet dabei einen Dreizack L. ∩ H. = (1,1) ist der zentrale Punkt. Es ist das Identitätselement von zwei Ein-Parameter-Gruppen, die sich dort überschneiden:

{ displaystyle { {(e ^ {a}, e ^ {a}): a in R }, times }}

Schon seit

{ displaystyle mathbb {R} _ {> 0}}

${ displaystyle mathbb {R} _ {> 0}}”/> ist eine Gruppe, Q. ist ein direktes Produkt von Gruppen. Die Ein-Parameter-Untergruppen L. und H. im Q. Profil der Aktivität im Produkt, und L. × H. ist eine Auflösung der Arten von Gruppenaktionen. Die Bereiche Wirtschaft und Wissenschaft sind reich an Kennzahlen, und jede Änderung der Kennzahlen zieht die Aufmerksamkeit auf sich. Die Studie bezieht sich auf hyperbolische Koordinaten in Q.. Bewegung gegen die L. Achse zeigt eine Änderung des geometrischen Mittelwerts √ (xy) an, während eine Änderung entlang H. zeigt einen neuen hyperbolischen Winkel an. <h2><span class=$ Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

Literaturverzeichnis[edit]

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Positive reelle Zahlen – Wikipedia

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Logarithmisches Maß[edit]

Quadrat[edit]

Verweise[edit]

Literaturverzeichnis[edit]

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