Positive reelle Zahlen – Wikipedia

In der Mathematik ist die Menge von positive reelle Zahlen,

R.>0={x∈R.∣x>0}}{ displaystyle mathbb {R} _ {> 0} = left {x in mathbb {R} mid x> 0 right }}

R.≥0={x∈R.∣x≥0}}{ displaystyle mathbb {R} _ { geq 0} = left {x in mathbb {R} mid x geq 0 right }}

, enthalten auch Null. Obwohl die Symbole

R.+{ displaystyle mathbb {R} _ {+}}

und

R.+{ displaystyle mathbb {R} ^ {+}}

werden für beide, die Notation, mehrdeutig verwendet

R.+{ displaystyle mathbb {R} _ {+}}

oder

R.+{ displaystyle mathbb {R} ^ {+}}

zum

{x∈R.∣x≥0}}{ displaystyle left {x in mathbb {R} mid x geq 0 right }}

und

R.+∗{ displaystyle mathbb {R} _ {+} ^ {*}}

oder

R.∗+{ displaystyle mathbb {R} _ {*} ^ {+}}

zum

{x∈R.∣x>0}}{ displaystyle left {x in mathbb {R} mid x> 0 right }}

[1]^[2]

In einer komplexen Ebene

R.>0{ displaystyle mathbb {R} _ {> 0}}

z=|z|eichφ{ displaystyle z = | z | mathrm {e} ^ { mathrm {i} varphi}}

mit Argument

φ=0{ displaystyle varphi = 0}

.

Eigenschaften[edit]

Der Satz

R.>0{ displaystyle mathbb {R} _ {> 0}}

x{ displaystyle x}

, die Sequenz

{xn}}{ displaystyle {x ^ {n} }}

seiner integralen Kräfte hat drei verschiedene Schicksale: Wann

x∈((0,1){ displaystyle x in (0,1)}

ist die Grenze Null; wann

x=1{ displaystyle x = 1}

ist die Reihenfolge konstant; und wann

x>1{ displaystyle x> 1}

R.>0=((0,1)∪{1}}∪((1,∞){ displaystyle mathbb {R} _ {> 0} = (0,1) cup {1 } cup (1, infty)}

floor:[1,∞)→N,x↦⌊x⌋{displaystyle operatorname {floor} :[1,infty )to mathbb {N} ,,xmapsto lfloor xrfloor }

, and excess,

excess:[1,∞)→(0,1),x↦x−⌊x⌋{displaystyle operatorname {excess} :[1,infty )to (0,1),,xmapsto x-lfloor xrfloor }

, have been used to describe an element

x∈R>0{displaystyle xin mathbb {R} _{>0}}

[n0;n1,n2,…]{ displaystyle [n_{0};n_{1},n_{2},ldots ]}}

Dies ist eine Folge von ganzen Zahlen, die aus der Bodenfunktion erhalten werden, nachdem der Überschuss hin- und herbewegt wurde. Für rationale

x{ displaystyle x}

endet die Sequenz mit einem exakten Bruchausdruck von

x{ displaystyle x}

und für quadratische irrationale

x{ displaystyle x}

wird die Sequenz zu einer periodisch fortgesetzten Fraktion.

Im Studium der klassischen Gruppen für jeden

n∈N.{ displaystyle n in mathbb {N}}

gibt die Determinante eine Karte aus

n×n{ displaystyle n times n}

Matrizen über die Realzahlen zu den Realzahlen:

M.((n,R.)→R..{ displaystyle mathrm {M} (n, mathbf {R}) bis mathbf {R}.}

Die Beschränkung auf invertierbare Matrizen ergibt eine Abbildung von der allgemeinen linearen Gruppe auf reelle Zahlen ungleich Null:

GL.((n,R.)→R.×{ displaystyle mathrm {GL} (n, mathbf {R}) bis mathbf {R} ^ { times}}

. Die Beschränkung auf Matrizen mit einer positiven Determinante ergibt die Karte

GL.+((n,R.)→R.>0{ displaystyle mathrm {GL} ^ {+} (n, mathbf {R}) bis mathbf {R} _ {> 0}}

SL (n, ℝ) ◁ GL⁺((n, ℝ) drückt die positiven Realitäten als Lie-Gruppe aus.

Logarithmisches Maß[edit]

Wenn

[a,b]⊆R.>0{ displaystyle [a,b] subseteq mathbb {R} _ {> 0}}

μ(([a,b])=Log⁡((b/.ein)=Log⁡b– –Log⁡ein{ displaystyle mu ([a,b]) = log (b / a) = log b- log a}

bestimmt ein Maß für bestimmte Teilmengen von

R.>0{ displaystyle mathbb {R} _ {> 0}}

[a,b]→[az,bz]{ displaystyle [a,b]zu [az,bz]}}

durch eine

z∈R.>0{ displaystyle z in mathbb {R} _ {> 0}}

Anwendungen[edit]

Die nicht negativen Realzahlen dienen als Bereich für Metriken, Normen und Maße in der Mathematik.

Einschließlich 0, die Menge

R.≥0{ displaystyle mathbb {R} _ { geq 0}}

hat eine Semiring-Struktur (0 ist die additive Identität), die als Wahrscheinlichkeitssemiring bekannt ist; Wenn man Logarithmen nimmt (wobei die Basis eine logarithmische Einheit ergibt), ergibt sich ein Isomorphismus mit dem logarithmischen Semiring (wobei 0 −∞ entspricht), und seine Einheiten (die endlichen Zahlen, ausgenommen −∞) entsprechen den positiven reellen Zahlen.

Quadrat[edit]

Lassen

Q. = R.>0×R.>0,{ displaystyle Q = mathbb {R} _ {> 0} times mathbb {R} _ {> 0},}

L. = {((x,y)::x=y}}{ displaystyle L = {(x, y): x = y }}

und die Standardhyperbel

H. = {((x,y)::xy=1}}.{ displaystyle H = {(x, y): xy = 1 }.}

Das L. ∪ H. bildet dabei einen Dreizack L. ∩ H. = (1,1) ist der zentrale Punkt. Es ist das Identitätselement von zwei Ein-Parameter-Gruppen, die sich dort überschneiden:

{{((eein, eein)::ein∈R.}},×}}{ displaystyle { {(e ^ {a}, e ^ {a}): a in R }, times }}

auf L. und {{((eein, e– –ein)::ein∈R.}},×}}{ displaystyle { {(e ^ {a}, e ^ {- a}): a in R }, times }}

auf H..

Schon seit

R.>0{ displaystyle mathbb {R} _ {> 0}}

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

Literaturverzeichnis[edit]