Elliptischer Filter – Wikipedia

Ein elliptischer Filter (auch bekannt als Cauer Filter, benannt nach Wilhelm Cauer oder als Zolotarev Filter, nach Jegor Zolotarev) ist ein Signalverarbeitungsfilter mit ausgeglichenem Welligkeitsverhalten (Equiripple) sowohl im Durchlassbereich als auch im Sperrbereich. Das Ausmaß der Welligkeit in jedem Band ist unabhängig einstellbar, und kein anderes Filter gleicher Ordnung kann für die gegebenen Werte der Welligkeit (unabhängig davon, ob die Welligkeit ausgeglichen ist oder nicht) einen schnelleren Übergang der Verstärkung zwischen dem Durchlassband und dem Sperrband aufweisen.^{[citation needed]} Alternativ kann man die Möglichkeit aufgeben, die Durchlassband- und Sperrbandwelligkeit unabhängig voneinander einzustellen, und stattdessen einen Filter entwerfen, der gegenüber Komponentenschwankungen maximal unempfindlich ist.

Wenn sich die Welligkeit im Stoppband Null nähert, wird der Filter zu einem Chebyshev-Filter vom Typ I. Wenn sich die Welligkeit im Durchlassbereich Null nähert, wird das Filter zu einem Chebyshev-Filter vom Typ II, und schließlich wird das Filter zu einem Butterworth-Filter, wenn sich beide Welligkeitswerte Null nähern.

Die Verstärkung eines elliptischen Tiefpassfilters als Funktion der Winkelfrequenz ω ist gegeben durch:

${ displaystyle G_ {n} ( omega) = {1 over { sqrt {1+ epsilon ^ {2} R_ {n} ^ {2} ( xi, omega / omega _ {0}) }}}}$

wo R._n ist der nelliptische rationale Funktion th-Ordnung (manchmal als Chebyshev-rationale Funktion bekannt) und

${ displaystyle omega _ {0}}$

ist die Grenzfrequenz

${ displaystyle epsilon}$

ist der Welligkeitsfaktor

${ displaystyle xi}$

ist der Selektivitätsfaktor

Der Wert des Welligkeitsfaktors gibt die Durchlassbandwelligkeit an, während die Kombination des Welligkeitsfaktors und des Selektivitätsfaktors die Stoppbandwelligkeit angibt.

Eigenschaften[edit]

Der Frequenzgang eines elliptischen Tiefpassfilters vierter Ordnung mit ε = 0,5 und ξ = 1,05. Ebenfalls gezeigt sind die minimale Verstärkung im Durchlassbereich und die maximale Verstärkung im Sperrbereich sowie der Übergangsbereich zwischen der normalisierten Frequenz 1 und ξ

Eine Nahaufnahme des Übergangsbereichs des obigen Diagramms.

• Im Durchlassbereich variiert die elliptische rationale Funktion zwischen Null und Eins. Die Verstärkung des Durchlassbereichs variiert daher zwischen 1 und
  ${ displaystyle 1 / { sqrt {1+ epsilon ^ {2}}}}$

  .

• Im Stoppband variiert die elliptische rationale Funktion zwischen unendlich und dem Unterscheidungsfaktor
  ${ displaystyle L_ {n}}$

  welches definiert ist als:

${ displaystyle L_ {n} = R_ {n} ( xi, xi) ,}$

Die Verstärkung des Stoppbands variiert daher zwischen 0 und

${ displaystyle 1 / { sqrt {1+ epsilon ^ {2} L_ {n} ^ {2}}}$

.

${ displaystyle G ( omega) = { frac {1} { sqrt {1 + { frac {1} { alpha ^ {2} T_ {n} ^ {2} (1 / omega)}} }}}}$

Pole und Nullen[edit]

Logarithmus des Absolutwerts der Verstärkung eines elliptischen Filters 8. Ordnung im komplexen Frequenzraum {{{1}}} mit {{{1}}} {{{1}}} und {{{1}}} Die weißen Punkte sind Pole und die schwarzen Punkte sind Nullen. Es gibt insgesamt 16 Pole und 8 doppelte Nullen. Was in der Nähe des Übergangsbereichs als Einzelpol und Null erscheint, sind tatsächlich vier Pole und zwei Doppel-Nullen, wie in der erweiterten Ansicht unten gezeigt. In diesem Bild entspricht Schwarz einer Verstärkung von 0,0001 oder weniger und Weiß einer Verstärkung von 10 oder mehr.

Eine erweiterte Ansicht im Übergangsbereich des obigen Bildes, in der die vier Pole und zwei Doppel-Nullen aufgelöst werden.

Die Nullen der Verstärkung eines elliptischen Filters stimmen mit den Polen der elliptischen rationalen Funktion überein, die im Artikel über elliptische rationale Funktionen abgeleitet werden.

Die Pole der Verstärkung eines elliptischen Filters können auf eine Weise abgeleitet werden, die der Ableitung der Pole der Verstärkung eines Chebyshev-Filters vom Typ I sehr ähnlich ist. Nehmen Sie der Einfachheit halber an, dass die Grenzfrequenz gleich Eins ist. Die Pole

der Verstärkung des elliptischen Filters sind die Nullen des Nenners der Verstärkung. Verwendung der komplexen Frequenz

Dies bedeutet, dass:

${ displaystyle 1+ epsilon ^ {2} R_ {n} ^ {2} (- js, xi) = 0 ,}$

Definieren

Dabei ist cd () die elliptische Jacobi-Kosinusfunktion und die Verwendung der Definition der elliptischen rationalen Funktionen ergibt:

${ displaystyle 1+ epsilon ^ {2} mathrm {cd} ^ {2} left ({ frac {nwK_ {n}} {K}}, { frac {1} {L_ {n}}} right) = 0 ,}$

wo

und

. Auflösen nach w

${ displaystyle w = { frac {K} {nK_ {n}}} mathrm {cd} ^ {- 1} left ({ frac { pm j} { epsilon}}, { frac {1 } {L_ {n}}} right) + { frac {mK} {n}}}$

Dabei werden die Mehrfachwerte der inversen Funktion cd () mithilfe des Integer-Index explizit angegeben m.

Die Pole der elliptischen Verstärkungsfunktion sind dann:

${ displaystyle s_ {pm} = i , mathrm {cd} (w, 1 / xi) ,}$

Wie bei den Chebyshev-Polynomen kann dies in explizit komplexer Form ausgedrückt werden (Lutovac & et al. 2001, § 12.8). Harv-Fehler: kein Ziel: CITEREFLutovacet_al.2001 (Hilfe)

${ displaystyle s_ {pm} = { frac {a + jb} {c}}}$

${ displaystyle a = – zeta _ {n} { sqrt {1- zeta _ {n} ^ {2}}} { sqrt {1-x_ {m} ^ {2}}} { sqrt { 1-x_ {m} ^ {2} / xi ^ {2}}}$

${ displaystyle b = x_ {m} { sqrt {1- zeta _ {n} ^ {2} (1-1 / xi ^ {2})}}}$

${ displaystyle c = 1- zeta _ {n} ^ {2} + x_ {i} ^ {2} zeta _ {n} ^ {2} / xi ^ {2}}$

wo

ist eine Funktion von

und

und

sind die Nullen der elliptischen rationalen Funktion.

ist für alle ausdrückbar n in Bezug auf elliptische Jacobi-Funktionen oder algebraisch für einige Ordnungen, insbesondere die Ordnungen 1, 2 und 3. Für die Ordnungen 1 und 2 haben wir

${ displaystyle zeta _ {1} = { frac {1} { sqrt {1+ epsilon ^ {2}}}}$

${ displaystyle zeta _ {2} = { frac {2} {(1 + t) { sqrt {1+ epsilon ^ {2}}} + { sqrt {(1-t) ^ {2} + epsilon ^ {2} (1 + t) ^ {2}}}}}$

wo

${ displaystyle t = { sqrt {1-1 / xi ^ {2}}}}$

Der algebraische Ausdruck für

ist eher beteiligt (siehe Lutovac & et al. (2001, § 12.8.1) Harvtxt-Fehler: kein Ziel: CITEREFLutovacet_al.2001 (Hilfe)).

Die Verschachtelungseigenschaft der elliptischen rationalen Funktionen kann verwendet werden, um Ausdrücke höherer Ordnung für aufzubauen

::

${ displaystyle zeta _ {m cdot n} ( xi, epsilon) = zeta _ {m} left ( xi, { sqrt {{ frac {1} { zeta _ {n} ^ {2} (L_ {m}, epsilon)}} – 1}} right)}$

wo

.

Elliptische Filter mit minimalem Q-Faktor[edit]

Die normalisierten Q-Faktoren der Pole eines elliptischen Filters 8. Ordnung mit ξ = 1,1 als Funktion des Welligkeitsfaktors ε. Jede Kurve repräsentiert vier Pole, da komplexe konjugierte Polpaare und positiv-negative Polpaare den gleichen Q-Faktor haben. (Die blauen und cyanfarbenen Kurven stimmen fast überein). Der Q-Faktor aller Pole wird gleichzeitig bei minimiert ε_Qmin = 1 / √L._n = 0,02323 …

Siehe Lutovac & et al. (2001, § 12.11, 13.14) Harvtxt-Fehler: kein Ziel: CITEREFLutovacet_al.2001 (Hilfe).

Elliptische Filter werden im Allgemeinen spezifiziert, indem ein bestimmter Wert für die Durchlassbandwelligkeit, die Stoppbandwelligkeit und die Schärfe des Grenzwerts erforderlich ist. Dies gibt im Allgemeinen einen Mindestwert der Filterreihenfolge an, der verwendet werden muss. Eine weitere konstruktive Überlegung ist die Empfindlichkeit der Verstärkungsfunktion gegenüber den Werten der elektronischen Komponenten, die zum Aufbau des Filters verwendet werden. Diese Empfindlichkeit ist umgekehrt proportional zum Qualitätsfaktor (Q-Faktor) der Pole der Übertragungsfunktion des Filters. Der Q-Faktor eines Pols ist definiert als:

${ displaystyle Q = – { frac {| s_ {pm} |} {2 mathrm {Re} (s_ {pm})}} = – { frac {1} {2 cos ( arg (s_ { pm}))}}}$

und ist ein Maß für den Einfluss des Pols auf die Verstärkungsfunktion. Bei einem elliptischen Filter besteht für eine bestimmte Reihenfolge eine Beziehung zwischen dem Welligkeitsfaktor und dem Selektivitätsfaktor, die gleichzeitig den Q-Faktor aller Pole in der Übertragungsfunktion minimiert:

${ displaystyle epsilon _ {Qmin} = { frac {1} { sqrt {L_ {n} ( xi)}}}$

Dies führt zu einem Filter, der maximal unempfindlich gegenüber Komponentenschwankungen ist, aber die Fähigkeit, das Durchlassband und die Stoppbandwelligkeiten unabhängig voneinander anzugeben, geht verloren. Bei solchen Filtern nimmt mit zunehmender Reihenfolge die Welligkeit in beiden Bändern ab und die Abschaltrate nimmt zu. Wenn man sich entscheidet, ein elliptisches Filter mit minimalem Q zu verwenden, um eine bestimmte minimale Welligkeit in den Filterbändern zusammen mit einer bestimmten Grenzrate zu erreichen, ist die erforderliche Reihenfolge im Allgemeinen größer als die Reihenfolge, die man sonst ohne das minimale Q benötigen würde Beschränkung. Ein Bild mit dem absoluten Wert der Verstärkung sieht dem Bild im vorherigen Abschnitt sehr ähnlich, außer dass die Pole eher in einem Kreis als in einer Ellipse angeordnet sind. Sie sind nicht gleichmäßig verteilt und es gibt Nullen auf der ω-Achse, im Gegensatz zum Butterworth-Filter, dessen Pole in einem gleichmäßig verteilten Kreis ohne Nullen angeordnet sind.

Vergleich mit anderen linearen Filtern[edit]

Hier ist ein Bild, das den elliptischen Filter neben anderen gängigen Filtertypen zeigt, die mit der gleichen Anzahl von Koeffizienten erhalten wurden:

Wie aus dem Bild hervorgeht, sind elliptische Filter schärfer als alle anderen, zeigen jedoch Wellen auf der gesamten Bandbreite.

Siehe auch[edit]

• “EllipticFilterModel”. Wolfram Sprach- und Dokumentationszentrum. Wolfram, Inc.. Abgerufen 2016-11-05. Berechnung elliptischer Filterparameter mit Mathematica.

Verweise[edit]

• Daniels, Richard W. (1974). Approximationsmethoden für das elektronische Filterdesign. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-015308-6.
• Lutovac, Miroslav D.; Tosic, Dejan V.; Evans, Brian L. (2001). Filterdesign für die Signalverarbeitung mit MATLAB und Mathematica. New Jersey, USA: Prentice Hall. ISBN 0-201-36130-2.