Projektive Geometrie – Wikipedia

Art der Geometrie

In Mathematik, projektive Geometrie ist die Untersuchung geometrischer Eigenschaften, die in Bezug auf projektive Transformationen unveränderlich sind. Dies bedeutet, dass die projektive Geometrie im Vergleich zur elementaren euklidischen Geometrie eine andere Einstellung, einen anderen projektiven Raum und eine selektive Menge grundlegender geometrischer Konzepte aufweist. Die grundlegende Intuition ist, dass der projektive Raum für eine bestimmte Dimension mehr Punkte als der euklidische Raum hat und dass geometrische Transformationen zulässig sind, die die zusätzlichen Punkte (als “Punkte im Unendlichen” bezeichnet) in euklidische Punkte umwandeln und umgekehrt.

Eigenschaften, die für die projektive Geometrie von Bedeutung sind, werden von dieser neuen Transformationsidee respektiert, deren Auswirkungen radikaler sind, als sie durch eine Transformationsmatrix und Translationen (die affinen Transformationen) ausgedrückt werden können. Die erste Frage für Geometer ist, welche Art von Geometrie für eine neuartige Situation geeignet ist. Es ist nicht möglich, sich auf Winkel in der projektiven Geometrie zu beziehen, wie dies in der euklidischen Geometrie der Fall ist, da der Winkel ein Beispiel für ein Konzept ist, das in Bezug auf projektive Transformationen nicht unveränderlich ist, wie dies beim perspektivischen Zeichnen zu sehen ist. Eine Quelle für projektive Geometrie war in der Tat die Perspektiventheorie. Ein weiterer Unterschied zur elementaren Geometrie besteht darin, wie sich parallele Linien an einem Punkt im Unendlichen treffen, sobald das Konzept in die Begriffe der projektiven Geometrie übersetzt wurde. Auch dieser Begriff hat eine intuitive Grundlage, wie beispielsweise Eisenbahnschienen, die sich in einer perspektivischen Zeichnung am Horizont treffen. In der Projektionsebene finden Sie die Grundlagen der projektiven Geometrie in zwei Dimensionen.

Während die Ideen früher verfügbar waren, war die projektive Geometrie hauptsächlich eine Entwicklung des 19. Jahrhunderts. Dies beinhaltete die Theorie des komplexen projektiven Raums, wobei die verwendeten Koordinaten (homogene Koordinaten) komplexe Zahlen sind. Mehrere Haupttypen der abstrakteren Mathematik (einschließlich der Invarianten-Theorie, der italienischen Schule für algebraische Geometrie und des Erlangen-Programms von Felix Klein, das zur Untersuchung der klassischen Gruppen führte) basierten auf projektiver Geometrie. Es war auch ein Thema mit vielen Praktizierenden um seiner selbst willen, als synthetische Geometrie. Ein weiteres Thema, das sich aus axiomatischen Untersuchungen der projektiven Geometrie entwickelt hat, ist die endliche Geometrie.

Das Thema der projektiven Geometrie ist nun selbst in viele Forschungsunterthemen unterteilt, von denen zwei Beispiele die projektive algebraische Geometrie (das Studium projektiver Varietäten) und die projektive Differentialgeometrie (das Studium der Differentialinvarianten der projektiven Transformationen) sind.

Überblick[edit]

Projektive Geometrie ist eine elementare nichtmetrische Form der Geometrie, was bedeutet, dass sie nicht auf einem Konzept der Distanz basiert. In zwei Dimensionen beginnt es mit der Untersuchung von Konfigurationen von Punkten und Linien. Dass es tatsächlich ein gewisses geometrisches Interesse an dieser spärlichen Umgebung gibt, wurde zuerst von Desargues und anderen bei der Erforschung der Prinzipien der perspektivischen Kunst festgestellt.^[1] In höherdimensionalen Räumen werden Hyperebenen (die sich immer treffen) und andere lineare Teilräume betrachtet, die das Prinzip der Dualität aufweisen. Die einfachste Darstellung der Dualität findet sich in der Projektionsebene, wo die Aussagen “zwei unterschiedliche Punkte bestimmen eine eindeutige Linie” (dh die Linie durch sie) und “zwei unterschiedliche Linien bestimmen einen eindeutigen Punkt” (dh ihr Schnittpunkt) dasselbe zeigen Struktur als Sätze. Projektive Geometrie kann auch als Geometrie von Konstruktionen mit einer geraden Kante allein angesehen werden.^[2] Da die projektive Geometrie Kompasskonstruktionen ausschließt, gibt es keine Kreise, keine Winkel, keine Messungen, keine Parallelen und kein Konzept von Vermittlung.^[3] Es wurde erkannt, dass die Sätze, die für die projektive Geometrie gelten, einfachere Aussagen sind. Zum Beispiel sind die verschiedenen Kegelschnitte in (komplexer) projektiver Geometrie alle äquivalent, und einige Sätze über Kreise können als Sonderfälle dieser allgemeinen Sätze betrachtet werden.

Während des frühen 19. Jahrhunderts etablierten die Arbeiten von Jean-Victor Poncelet, Lazare Carnot und anderen die projektive Geometrie als eigenständiges Gebiet der Mathematik.^[3] Seine strengen Grundlagen wurden von Karl von Staudt angesprochen und im späten 19. Jahrhundert von den Italienern Giuseppe Peano, Mario Pieri, Alessandro Padoa und Gino Fano perfektioniert.^[4] Projektive Geometrie kann ebenso wie affine und euklidische Geometrie aus dem Erlangen-Programm von Felix Klein entwickelt werden. Die projektive Geometrie ist durch Invarianten unter Transformationen der projektiven Gruppe gekennzeichnet.

Nach viel Arbeit an der sehr großen Anzahl von Theoremen im Fach wurden daher die Grundlagen der projektiven Geometrie verstanden. Die Inzidenzstruktur und das Kreuzverhältnis sind grundlegende Invarianten bei projektiven Transformationen. Die projektive Geometrie kann durch die affine Ebene (oder den affinen Raum) plus eine Linie (Hyperebene) “im Unendlichen” modelliert werden und diese Linie (oder Hyperebene) dann als “gewöhnlich” behandelt werden.^[5] Ein algebraisches Modell für die projektive Geometrie im Stil der analytischen Geometrie wird durch homogene Koordinaten angegeben.^[6][7] Andererseits haben axiomatische Studien die Existenz nicht-desarguesianischer Ebenen gezeigt, Beispiele, die zeigen, dass die Axiome der Inzidenz (nur in zwei Dimensionen) durch Strukturen modelliert werden können, die nicht durch homogene Koordinatensysteme argumentiert werden können.

Im projektiven Sinne sind projektive Geometrie und geordnete Geometrie elementar, da sie ein Minimum an Axiomen beinhalten und entweder als Grundlage für affine und euklidische Geometrie verwendet werden können.^[8][9] Projektive Geometrie ist nicht “geordnet”^[3] und so ist es eine eindeutige Grundlage für die Geometrie.

Geschichte[edit]

Die ersten geometrischen Eigenschaften projektiver Natur wurden im 3. Jahrhundert von Pappus von Alexandria entdeckt.^[3]Filippo Brunelleschi (1404–1472) begann 1425 mit der Untersuchung der perspektivischen Geometrie^[10] (In der Geschichte der Perspektive finden Sie eine eingehendere Diskussion der Arbeiten in der bildenden Kunst, die einen Großteil der Entwicklung der projektiven Geometrie motiviert haben.) Johannes Kepler (1571–1630) und Gérard Desargues (1591–1661) entwickelten unabhängig voneinander das Konzept des “Punktes im Unendlichen”.^[11] Desargues entwickelte eine alternative Methode zur Erstellung perspektivischer Zeichnungen, indem er die Verwendung von Fluchtpunkten verallgemeinerte, um den Fall einzuschließen, in dem diese unendlich weit entfernt sind. Er machte die euklidische Geometrie, in der parallele Linien wirklich parallel sind, zu einem Sonderfall eines allumfassenden geometrischen Systems. Desargues ‘Studie über Kegelschnitte lenkte die Aufmerksamkeit des 16-jährigen Blaise Pascal auf sich und half ihm, Pascals Theorem zu formulieren. Die Arbeiten von Gaspard Monge am Ende des 18. und Anfang des 19. Jahrhunderts waren wichtig für die spätere Entwicklung der projektiven Geometrie. Die Arbeit von Desargues wurde ignoriert, bis Michel Chasles 1845 auf eine handschriftliche Kopie stieß. In der Zwischenzeit hatte Jean-Victor Poncelet 1822 die grundlegende Abhandlung über projektive Geometrie veröffentlicht. Poncelet untersuchte die projektiven Eigenschaften von Objekten (die unter zentraler Projektion unveränderlich sind) und Indem er seine Theorie auf den Betonpol und die polare Beziehung in Bezug auf einen Kreis stützte, stellte er eine Beziehung zwischen metrischen und projektiven Eigenschaften her. Es wurde schließlich gezeigt, dass die bald darauf entdeckten nichteuklidischen Geometrien Modelle wie das Klein-Modell des hyperbolischen Raums aufweisen, die sich auf die projektive Geometrie beziehen.

1855 schrieb AF Möbius einen Artikel über Permutationen, heute Möbius-Transformationen genannt, von verallgemeinerten Kreisen in der komplexen Ebene. Diese Transformationen repräsentieren Projektivitäten der komplexen Projektionslinie. Bei der Untersuchung von Linien im Raum verwendete Julius Plücker in seiner Beschreibung homogene Koordinaten, und der Satz von Linien wurde auf der Klein-Quadrik betrachtet, einem der frühen Beiträge der projektiven Geometrie zu einem neuen Feld namens algebraische Geometrie, einem Ableger der analytischen Geometrie mit projektiven Ideen.

Die projektive Geometrie war maßgeblich an der Validierung von Spekulationen von Lobachevski und Bolyai über die hyperbolische Geometrie beteiligt, indem Modelle für die hyperbolische Ebene bereitgestellt wurden:^[12] Beispielsweise entspricht das Poincaré-Scheibenmodell, bei dem verallgemeinerte Kreise senkrecht zum Einheitskreis “hyperbolischen Linien” (Geodäten) entsprechen, und die “Übersetzungen” dieses Modells durch Möbius-Transformationen, die die Einheitsscheibe auf sich selbst abbilden. Der Abstand zwischen Punkten wird durch eine Cayley-Klein-Metrik angegeben, die unter den Übersetzungen als invariant bekannt ist, da sie vom Kreuzverhältnis abhängt, einer wichtigen projektiven Invariante. Die Übersetzungen werden in der metrischen Raumtheorie unterschiedlich als Isometrien, formal als lineare fraktionelle Transformationen und als projektive lineare Transformationen der projektiven linearen Gruppe, in diesem Fall SU (1, 1), beschrieben.

Die Arbeit von Poncelet, Jakob Steiner und anderen sollte die analytische Geometrie nicht erweitern. Techniken sollten sein Synthetik: Tatsächlich sollte der jetzt verstandene projektive Raum axiomatisch eingeführt werden. Infolgedessen kann es etwas schwierig sein, frühe Arbeiten in der projektiven Geometrie so umzuformulieren, dass sie den aktuellen Strenge-Standards entsprechen. Selbst im Fall der Projektionsebene allein kann der axiomatische Ansatz zu Modellen führen, die nicht über die lineare Algebra beschrieben werden können.

Diese Periode in der Geometrie wurde durch Untersuchungen der allgemeinen algebraischen Kurve von Clebsch, Riemann, Max Noether und anderen, die bestehende Techniken dehnten, und dann durch die invariante Theorie überholt. Gegen Ende des Jahrhunderts brach die italienische Schule für algebraische Geometrie (Enriques, Segre, Severi) aus dem traditionellen Fachgebiet in ein Gebiet aus, das tiefere Techniken forderte.

In der späteren Hälfte des 19. Jahrhunderts wurde die detaillierte Untersuchung der projektiven Geometrie weniger in Mode, obwohl die Literatur umfangreich ist. Einige wichtige Arbeiten wurden insbesondere in der enumerativen Geometrie von Schubert durchgeführt, die nun die Theorie der Chern-Klassen vorwegnimmt und die algebraische Topologie der Grassmannianer darstellt.

Paul Dirac studierte projektive Geometrie und verwendete sie als Grundlage für die Entwicklung seiner Konzepte der Quantenmechanik, obwohl seine veröffentlichten Ergebnisse immer in algebraischer Form waren. Sehen ein Blog-Artikel unter Bezugnahme auf einen Artikel und ein Buch zu diesem Thema, auch auf einen Vortrag, den Dirac 1972 in Boston vor einem allgemeinen Publikum über projektive Geometrie hielt, ohne Einzelheiten zu ihrer Anwendung in seiner Physik.

Beschreibung[edit]

Die projektive Geometrie ist weniger restriktiv als die euklidische Geometrie oder die affine Geometrie. Es ist eine an sich nicht metrische Geometrie, was bedeutet, dass Fakten unabhängig von einer metrischen Struktur sind. Bei den projektiven Transformationen bleiben die Inzidenzstruktur und die Beziehung der projektiven harmonischen Konjugate erhalten. Ein projektiver Bereich ist die eindimensionale Grundlage. Die projektive Geometrie formalisiert eines der zentralen Prinzipien der perspektivischen Kunst: Parallele Linien treffen sich im Unendlichen und werden daher so gezeichnet. Im Wesentlichen kann eine projektive Geometrie als eine Erweiterung der euklidischen Geometrie betrachtet werden, in der die “Richtung” jeder Linie innerhalb der Linie als zusätzlicher “Punkt” subsumiert wird und in der ein “Horizont” von Richtungen koplanaren Linien entspricht wird als “Linie” angesehen. Somit treffen sich zwei parallele Linien auf einer Horizontlinie, weil sie dieselbe Richtung enthalten.

Idealisierte Richtungen werden als Punkte im Unendlichen bezeichnet, während idealisierte Horizonte als Linien im Unendlichen bezeichnet werden. Alle diese Linien liegen wiederum in der Ebene im Unendlichen. Unendlichkeit ist jedoch ein metrisches Konzept, sodass eine rein projektive Geometrie diesbezüglich keine Punkte, Linien oder Ebenen herausgreift – diejenigen im Unendlichen werden wie alle anderen behandelt.

Da eine euklidische Geometrie in einer projektiven Geometrie enthalten ist – wobei die projektive Geometrie eine einfachere Grundlage hat -, können allgemeine Ergebnisse in der euklidischen Geometrie transparenter abgeleitet werden, wobei separate, aber ähnliche Theoreme der euklidischen Geometrie im Rahmen der projektiven Geometrie gemeinsam behandelt werden können Geometrie. Beispielsweise müssen parallele und nicht parallele Linien nicht als separate Fälle behandelt werden. Vielmehr wird eine beliebige projektive Ebene als ideale Ebene herausgegriffen und unter Verwendung homogener Koordinaten “im Unendlichen” lokalisiert.

Zusätzliche Eigenschaften von grundlegender Bedeutung sind der Satz von Desargues und der Satz von Pappus. In projektiven Räumen der Dimension 3 oder höher gibt es eine Konstruktion, die es ermöglicht, den Satz von Desargues zu beweisen. Für Dimension 2 muss dies jedoch separat postuliert werden.

Unter Verwendung des Desargues-Theorems in Kombination mit den anderen Axiomen ist es möglich, die Grundoperationen der Arithmetik geometrisch zu definieren. Die resultierenden Operationen erfüllen die Axiome eines Feldes – außer dass die Kommutativität der Multiplikation den Sechsecksatz von Pappus erfordert. Infolgedessen stimmen die Punkte jeder Linie eins zu eins mit einem bestimmten Feld überein. F., ergänzt durch ein zusätzliches Element, ∞, so dass r ⋅ ∞ = ∞, −∞ = ∞, r + ∞ = ∞, r / 0 = ∞, r / ∞ = 0, ∞ – r = r – ∞ = ∞, außer dass 0/0, ∞ / ∞, ∞ + ∞, ∞ – ∞, 0 ⋅ ⋅ und ∞ ⋅ 0 undefiniert bleiben.

Die projektive Geometrie umfasst auch eine vollständige Theorie der Kegelschnitte, ein Thema, das auch in der euklidischen Geometrie ausführlich entwickelt wurde. Es hat Vorteile, sich eine Hyperbel und eine Ellipse vorstellen zu können, die sich nur durch die Art und Weise der Hyperbel unterscheiden liegt auf der anderen Seite der Linie im Unendlichen;; und dass eine Parabel nur dadurch unterschieden wird, dass sie dieselbe Linie berührt. Die ganze Familie der Kreise kann als betrachtet werden Kegel, die im Unendlichen durch zwei vorgegebene Punkte auf der Linie verlaufen – auf Kosten komplexer Koordinaten. Da Koordinaten nicht “synthetisch” sind, ersetzt man sie, indem man eine Linie und zwei Punkte darauf fixiert und die berücksichtigt lineares System aller Kegel, die diese Punkte als Grundgegenstand des Studiums durchlaufen. Diese Methode erwies sich für talentierte Geometer als sehr attraktiv, und das Thema wurde gründlich untersucht. Ein Beispiel für diese Methode ist die mehrbändige Abhandlung von HF Baker.

Es gibt viele projektive Geometrien, die in diskrete und kontinuierliche unterteilt werden können: a diskret Geometrie umfasst eine Reihe von Punkten, die sein können oder nicht endlich in der Anzahl, während a kontinuierlich Geometrie hat unendlich viele Punkte ohne Lücken dazwischen.

Die einzige projektive Geometrie der Dimension 0 ist ein einzelner Punkt. Eine projektive Geometrie der Dimension 1 besteht aus einer einzelnen Linie mit mindestens 3 Punkten. Die geometrische Konstruktion von arithmetischen Operationen kann in keinem dieser Fälle ausgeführt werden. Für Dimension 2 gibt es aufgrund des Fehlens des Desargues-Theorems eine reichhaltige Struktur.

Nach Greenberg (1999) und anderen ist die einfachste zweidimensionale projektive Geometrie die Fano-Ebene, die 3 Punkte auf jeder Linie mit 7 Punkten und insgesamt 7 Linien mit den folgenden Kollinearitäten aufweist:

mit homogenen Koordinaten A = (0,0,1), B = (0,1,1), C = (0,1,0), D = (1,0,1), E = (1,0,0), F = (1,1,1), G = (1,1,0)oder in affinen Koordinaten, A = (0,0), B = (0,1), C = (∞), D = (1,0), E = (0), F = (1,1)und G = (1). Die affinen Koordinaten in einer Desargues’schen Ebene für die Punkte, die als Punkte im Unendlichen bezeichnet werden (in diesem Beispiel: C, E und G), können auf verschiedene andere Arten definiert werden.

In der Standardnotation wird eine endliche projektive Geometrie geschrieben PG (ein, b) wo:

ein ist die projektive (oder geometrische) Dimension und

b ist eins weniger als die Anzahl der Punkte auf einer Linie (genannt Auftrag der Geometrie).

Somit wird das Beispiel mit nur 7 Punkten geschrieben PG (2, 2).

Der Begriff “projektive Geometrie” wird manchmal verwendet, um die verallgemeinerte zugrunde liegende abstrakte Geometrie anzuzeigen, und manchmal, um eine bestimmte Geometrie von großem Interesse anzuzeigen, wie beispielsweise die metrische Geometrie des flachen Raums, die wir unter Verwendung homogener Koordinaten analysieren und in der euklidisch Geometrie kann eingebettet sein (daher der Name Erweiterte euklidische Ebene).

Die grundlegende Eigenschaft, die alle projektiven Geometrien heraushebt, ist die elliptisch Inzidenz-Eigenschaft, dass zwei beliebige Linien L. und M. in der projektiven Ebene schneiden sich genau an einem Punkt P.. Der Sonderfall in der analytischen Geometrie von parallel Linien werden in der glatteren Form einer Linie zusammengefasst im Unendlichen auf welche P. Lügen. Das Linie im Unendlichen ist also eine Linie wie jede andere in der Theorie: Sie ist in keiner Weise speziell oder unterschieden. (Im späteren Geist des Erlangen-Programms könnte man darauf hinweisen, wie die Gruppe von Transformationen jede Linie zum verschieben kann Linie im Unendlichen).

Die parallelen Eigenschaften elliptischer, euklidischer und hyperbolischer Geometrien sind wie folgt kontrastiert:

Gegeben eine Linie l und ein Punkt P. nicht in der Leitung,

Elliptisch

Es gibt keine Linie durch P. das trifft sich nicht l

Euklidisch

Es gibt genau eine Zeile durch P. das trifft sich nicht l

Hyperbolisch

Es gibt mehr als eine Zeile durch P. das trifft sich nicht l

Die parallele Eigenschaft der elliptischen Geometrie ist die Schlüsselidee, die zum Prinzip der projektiven Dualität führt, möglicherweise der wichtigsten Eigenschaft, die alle projektiven Geometrien gemeinsam haben.

Dualität[edit]

Im Jahr 1825 bemerkte Joseph Gergonne das Prinzip der Dualität, das die Geometrie der projektiven Ebene charakterisiert: Ersetzen Sie einen Satz oder eine Definition dieser Geometrie, indem Sie ihn ersetzen Punkt zum Linie, liegen auf zum durchlaufen, kollinear zum gleichzeitig, Überschneidung zum beitretenoder umgekehrt, führt zu einem anderen Satz oder einer anderen gültigen Definition, dem “Dual” des ersten. In ähnlicher Weise gilt in drei Dimensionen die Dualitätsbeziehung zwischen Punkten und Ebenen, sodass jeder Satz durch Vertauschen transformiert werden kann Punkt und Flugzeug, ist enthalten in und enthält. Allgemeiner gesagt besteht für projektive Räume der Dimension N eine Dualität zwischen den Teilräumen der Dimension R und der Dimension N – R – 1. Für N = 2 ist dies auf die bekannteste Form der Dualität spezialisiert – die zwischen Punkten und Linien. Das Dualitätsprinzip wurde auch unabhängig von Jean-Victor Poncelet entdeckt.

Um die Dualität herzustellen, müssen nur Theoreme aufgestellt werden, die die dualen Versionen der Axiome für die betreffende Dimension sind. Für dreidimensionale Räume muss man also zeigen, dass (1 *) jeder Punkt in 3 verschiedenen Ebenen liegt, (2 *) alle zwei Ebenen sich in einer eindeutigen Linie schneiden und eine doppelte Version von (3 *) den Effekt hat: Wenn der Schnittpunkt der Ebenen P und Q koplanar mit dem Schnittpunkt der Ebenen R und S ist, sind dies auch die jeweiligen Schnittpunkte der Ebenen P und R, Q und S (vorausgesetzt, die Ebenen P und S unterscheiden sich von Q und R).

In der Praxis erlaubt uns das Prinzip der Dualität, a doppelte Korrespondenz zwischen zwei geometrischen Konstruktionen. Die bekannteste davon ist die Polarität oder Reziprozität zweier Figuren in einer konischen Kurve (in zwei Dimensionen) oder einer quadratischen Fläche (in drei Dimensionen). Ein alltägliches Beispiel ist die Hin- und Herbewegung eines symmetrischen Polyeders in einer konzentrischen Kugel, um das duale Polyeder zu erhalten.

Ein anderes Beispiel ist Brianchons Theorem, das Duale des bereits erwähnten Pascalschen Theorems, und einer seiner Beweise besteht einfach darin, das Prinzip der Dualität auf Pascals anzuwenden. Hier sind vergleichende Aussagen dieser beiden Sätze (in beiden Fällen im Rahmen der Projektionsebene):

• Pascal: Wenn alle sechs Eckpunkte eines Sechsecks auf einem Kegel liegen, dann die Schnittpunkte seiner gegenüberliegenden Seiten (als volle Linien betrachtet, da es in der Projektionsebene kein “Liniensegment” gibt) sind drei kollineare Punkte. Die Linie, die sie verbindet, heißt dann die Pascal Linie des Sechsecks.
• Brianchon: Wenn alle sechs Seiten eines Sechsecks einen Kegel tangieren, sind seine Diagonalen (dh die Linien, die entgegengesetzte Eckpunkte verbinden) drei gleichzeitige Linien. Ihr Schnittpunkt heißt dann Brianchon Punkt des Sechsecks.

(Wenn der Kegel in zwei gerade Linien degeneriert, wird Pascals zum Pappus-Theorem, das kein interessantes Dual hat, da der Brianchon-Punkt trivial zum Schnittpunkt der beiden Linien wird.)

Axiome der projektiven Geometrie[edit]

Jede gegebene Geometrie kann aus einem geeigneten Satz von Axiomen abgeleitet werden. Projektive Geometrien zeichnen sich durch das Axiom “elliptisch parallel” aus Zwei beliebige Flugzeuge treffen sich immer in nur einer Linieoder im Flugzeug, Zwei beliebige Linien treffen sich immer nur an einem Punkt. Mit anderen Worten, es gibt keine parallelen Linien oder Ebenen in der projektiven Geometrie.

Viele alternative Axiomensätze für die projektive Geometrie wurden vorgeschlagen (siehe zum Beispiel Coxeter 2003, Hilbert & Cohn-Vossen 1999, Greenberg 1980).

Whiteheads Axiome[edit]

Diese Axiome basieren auf Whitehead, “The Axioms of Projective Geometry”. Es gibt zwei Typen, Punkte und Linien, und eine “Inzidenz” -Relation zwischen Punkten und Linien. Die drei Axiome sind:

• G1: Jede Linie enthält mindestens 3 Punkte
• G2: Alle zwei unterschiedlichen Punkte A und B liegen auf einer eindeutigen Linie AB.
• G3: Wenn sich die Linien AB und CD schneiden, schneiden sich auch die Linien AC und BD (wobei angenommen wird, dass A und D sich von B und C unterscheiden).

Es wird angenommen, dass jede Linie mindestens 3 Punkte enthält, um einige entartete Fälle zu beseitigen. Die Räume, die diese drei Axiome erfüllen, haben entweder höchstens eine Linie oder sind projektive Räume mit einer gewissen Dimension über einen Teilungsring oder nicht-desarguesianische Ebenen.

Zusätzliche Axiome[edit]

Man kann weitere Axiome hinzufügen, die die Dimension oder den Koordinatenring einschränken. Zum Beispiel Coxeters Projektive Geometrie,^[13] Referenzen Veblen^[14] in den drei obigen Axiomen zusammen mit weiteren 5 Axiomen, die die Dimension 3 und den Koordinatenring zu einem kommutativen Feld der Charakteristik machen, nicht 2.

Axiome unter Verwendung einer ternären Beziehung[edit]

Man kann die Axiomatisierung verfolgen, indem man eine ternäre Beziehung postuliert. [ABC] um anzuzeigen, wann drei Punkte (nicht alle notwendigerweise verschieden) kollinear sind. Eine Axiomatisierung kann auch in Bezug auf diese Beziehung niedergeschrieben werden:

• C0: [ABA]
• C1: Wenn A und B zwei Punkte sind, so dass [ABC] und [ABD] dann [BDC]
• C2: Wenn A und B zwei Punkte sind, gibt es einen dritten Punkt C, so dass [ABC]
• C3: Wenn A und C zwei Punkte sind, B und D auch mit [BCE], [ADE] aber nicht [ABE] dann gibt es einen Punkt F, so dass [ACF] und [BDF].

Für zwei verschiedene Punkte, A und B, ist die Linie AB so definiert, dass sie aus allen Punkten C besteht, für die [ABC]. Die Axiome C0 und C1 liefern dann eine Formalisierung von G2; C2 für G1 und C3 für G3.

Das Konzept der Linie verallgemeinert sich auf Ebenen und höherdimensionale Teilräume. Ein Unterraum AB… XY kann somit rekursiv als Unterraum AB… X definiert werden, der alle Punkte aller Linien YZ enthält, da Z über AB… X liegt. Die Kollinearität verallgemeinert sich dann auf das Verhältnis der “Unabhängigkeit”. Eine Menge {A, B,…, Z} von Punkten ist unabhängig, [AB…Z] wenn {A, B,…, Z} eine minimale erzeugende Teilmenge für den Unterraum AB… Z ist.

Die projektiven Axiome können durch weitere Axiome ergänzt werden, die Grenzen für die Dimension des Raums postulieren. Die Mindestabmessung wird durch das Vorhandensein eines unabhängigen Satzes der erforderlichen Größe bestimmt. Für die niedrigsten Abmessungen können die relevanten Bedingungen in äquivalenter Form wie folgt angegeben werden. Ein projektiver Raum besteht aus:

• (L1) mindestens Dimension 0, wenn es mindestens 1 Punkt hat,
• (L2) mindestens Dimension 1, wenn es mindestens 2 verschiedene Punkte (und daher eine Linie) hat,
• (L3) mindestens Dimension 2, wenn es mindestens 3 nicht kollineare Punkte (oder zwei Linien oder eine Linie und einen Punkt, der nicht auf der Linie liegt) hat,
• (L4) mindestens Dimension 3, wenn mindestens 4 nicht koplanare Punkte vorhanden sind.

In ähnlicher Weise kann auch die maximale Abmessung bestimmt werden. Für die niedrigsten Dimensionen nehmen sie die folgenden Formen an. Ein projektiver Raum besteht aus:

• (M1) höchstens Dimension 0, wenn es nicht mehr als 1 Punkt hat,
• (M2) höchstens Dimension 1, wenn es nicht mehr als 1 Linie hat,
• (M3) höchstens Dimension 2, wenn es nicht mehr als 1 Ebene hat,

und so weiter. Es ist ein allgemeiner Satz (eine Konsequenz des Axioms (3)), dass sich alle koplanaren Linien schneiden – genau das Prinzip der projektiven Geometrie sollte ursprünglich verkörpern. Daher kann die Eigenschaft (M3) äquivalent angegeben werden, dass sich alle Linien schneiden.

Es wird allgemein angenommen, dass projektive Räume mindestens die Dimension 2 haben. In einigen Fällen kann eine Variante von M3 postuliert werden, wenn der Fokus auf projektiven Ebenen liegt. Die Axiome von (Eves 1997: 111) umfassen beispielsweise (1), (2), (L3) und (M3). Axiom (3) wird unter (M3) vakuum wahr und wird daher in diesem Zusammenhang nicht benötigt.

Axiome für projektive Ebenen[edit]

In der Inzidenzgeometrie die meisten Autoren^[15] Geben Sie eine Behandlung, die die Fano-Ebene PG (2, 2) als kleinste endliche projektive Ebene umfasst. Ein Axiomensystem, das dies erreicht, ist wie folgt:

• (P1) Zwei verschiedene Punkte liegen auf einer eindeutigen Linie.
• (P2) Zwei beliebige unterschiedliche Linien treffen sich an einem eindeutigen Punkt.
• (P3) Es gibt mindestens vier Punkte, von denen keine drei kollinear sind.

Coxeters Einführung in die Geometrie^[16] gibt eine Liste von fünf Axiomen für ein restriktiveres Konzept einer Bachmann zugeschriebenen projektiven Ebene an, fügt Pappus ‘Theorem zur Liste der Axiome oben hinzu (wodurch nicht-desarguesianische Ebenen eliminiert werden) und schließt projektive Ebenen über Feldern der Eigenschaft 2 aus (solche, die nicht’ t Fano’s Axiom nicht erfüllen). Die auf diese Weise angegebenen eingeschränkten Ebenen ähneln eher der realen projektiven Ebene.

Perspektive und Projektivität[edit]

Bei drei nicht kollinearen Punkten gibt es drei Linien, die sie verbinden, aber mit vier Punkten, keine drei kollinearen, gibt es sechs Verbindungslinien und drei zusätzliche “diagonale Punkte”, die durch ihre Schnittpunkte bestimmt werden. Die Wissenschaft der projektiven Geometrie erfasst diesen Überschuss, der durch vier Punkte durch eine quaternäre Beziehung und die Projektivitäten bestimmt wird, die die vollständige Viereckkonfiguration bewahren.

Ein harmonisches Vierfach von Punkten auf einer Linie tritt auf, wenn es ein vollständiges Viereck gibt, dessen zwei diagonale Punkte sich an der ersten und dritten Position des Vierfachen befinden, und die anderen zwei Positionen sind Punkte auf den Linien, die zwei Viereckspunkte durch den dritten diagonalen Punkt verbinden .^[17]

Eine räumliche Perspektive einer projektiven Konfiguration in einer Ebene ergibt eine solche Konfiguration in einer anderen, und dies gilt für die Konfiguration des gesamten Vierecks. Somit bleiben harmonische Vierfache durch Perspektive erhalten. Wenn eine Perspektive einer anderen folgt, folgen die Konfigurationen. Die Zusammensetzung zweier Perspektiven ist keine Perspektive mehr, sondern a Projektivität.

Während entsprechende Punkte einer Perspektive alle an einem Punkt konvergieren, ist diese Konvergenz nicht wahr für eine Projektivität, die ist nicht eine Perspektive. In der projektiven Geometrie ist der Schnittpunkt von Linien von besonderem Interesse, die durch entsprechende Punkte einer Projektivität in einer Ebene gebildet werden. Die Menge solcher Schnittpunkte heißt a projektiver Kegelund in Anerkennung der Arbeit von Jakob Steiner wird es als Steiner-Kegel bezeichnet.

Angenommen, eine Projektivität besteht aus zwei auf Punkten zentrierten Perspektiven EIN und B., bezüglich x zu X. von einem Vermittler p::

${ displaystyle x { overset {A} { doublebarwedge}} p { overset {B} { doublebarwedge}} X.}$

Die Projektivität ist dann

${ displaystyle x barwedge X.}$

Dann gegeben die Projektivität

${ displaystyle barwedge}$

der induzierte Kegel ist

${ displaystyle C ( barwedge) = bigcup {xX cdot yY: x barwedge X land y barwedge Y }.}$

Gegeben einen Kegel C. und ein Punkt P. nicht drauf, zwei verschiedene Sekantenlinien durch P. sich schneiden C. in vier Punkten. Diese vier Punkte bestimmen ein Viereck davon P. ist ein diagonaler Punkt. Die Linie durch die beiden anderen diagonalen Punkte wird als Polar von bezeichnet P. und P. ist der Pole dieser Linie.^[18] Alternativ kann die Polarlinie von P. ist die Menge der projektiven harmonischen Konjugate von P. auf einer variablen Sekantenlinie durch P. und C..

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

Externe Links[edit]