Kelvin-Funktionen – Wikipedia

In der angewandten Mathematik ist die Kelvin funktioniert ber_ν((x) und bei_ν((x) sind die Real- bzw. Imaginärteile von

${ displaystyle J _ { nu} left (xe ^ { frac {3 pi i} {4}} right), ,}$

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wo x ist real und J._ν((z), ist der ν^th Bessel-Funktion der ersten Art bestellen. Ebenso ker die Funktionen_ν((x) und Kei_ν((x) sind die Real- bzw. Imaginärteile von

${ displaystyle K _ { nu} left (xe ^ { frac { pi i} {4}} right), ,}$

wo K._ν((z) ist der ν^th Auftrag modifizierte Bessel-Funktion der zweiten Art.

Diese Funktionen sind nach William Thomson, 1. Baron Kelvin, benannt.

Während die Kelvin-Funktionen als Real- und Imaginärteil von Bessel-Funktionen mit definiert sind x Als real angesehen, können die Funktionen für komplexe Argumente analytisch fortgesetzt werden xe^iφ, 0 ≤ φ <2π. Mit Ausnahme von ber_n((x) und bei_n((x) für Integral nhaben die Kelvin-Funktionen einen Verzweigungspunkt bei x = 0.

Unten, Γ (z) ist die Gammafunktion und ψ((z) ist die Digamma-Funktion.

Für ganze Zahlen nber_n((x) hat die Serienerweiterung

${ displaystyle mathrm {ber} _ {n} (x) = left ({ frac {x} {2}} right) ^ {n} sum _ {k geq 0} { frac { cos left[left({frac {3n}{4}}+{frac {k}{2}}right)pi right]} {k! Gamma (n + k + 1)}} left ({ frac {x ^ {2}} {4}} right) ^ {k},}$

wo Γ (z) ist die Gammafunktion. Der Sonderfall ber₀((x), allgemein als nur ber bezeichnet (x), hat die Serienerweiterung

${ displaystyle mathrm {ber} (x) = 1 + sum _ {k geq 1} { frac {(-1) ^ {k}} {[(2k)!]^ {2}}} left ({ frac {x} {2}} right) ^ {4k}}$

und asymptotische Serien

${ displaystyle mathrm {ber} (x) sim { frac {e ^ { frac {x} { sqrt {2}}} { sqrt {2 pi x}}} left (f_ { 1} (x) cos alpha + g_ {1} (x) sin alpha right) – { frac { mathrm {kei} (x)} { pi}}}$

,

wo

${ displaystyle alpha = { frac {x} { sqrt {2}}} – { frac { pi} {8}},}$

${ displaystyle f_ {1} (x) = 1 + sum _ {k geq 1} { frac { cos (k pi / 4)} {k! (8x) ^ {k}}} prod _ {l = 1} ^ {k} (2l-1) ^ {2}}$

${ displaystyle g_ {1} (x) = sum _ {k geq 1} { frac { sin (k pi / 4)} {k! (8x) ^ {k}}} prod _ { l = 1} ^ {k} (2l-1) ^ {2}.}$

Für ganze Zahlen nbei_n((x) hat die Serienerweiterung

${ displaystyle mathrm {bei} _ {n} (x) = left ({ frac {x} {2}} right) ^ {n} sum _ {k geq 0} { frac { Sünde links[left({frac {3n}{4}}+{frac {k}{2}}right)pi right]} {k! Gamma (n + k + 1)}} left ({ frac {x ^ {2}} {4}} right) ^ {k}.}$

Der Sonderfall bei₀((x), allgemein als nur bei (x), hat die Serienerweiterung

${ displaystyle mathrm {bei} (x) = sum _ {k geq 0} { frac {(-1) ^ {k}} {[(2k+1)!]^ {2}}} left ({ frac {x} {2}} right) ^ {4k + 2}}$

und asymptotische Serien

${ displaystyle mathrm {bei} (x) sim { frac {e ^ { frac {x} { sqrt {2}}} { sqrt {2 pi x}}}[f_{1}(x)sin alpha -g_{1}(x)cos alpha ]- { frac { mathrm {ker} (x)} { pi}},}$

wo α,

${ displaystyle f_ {1} (x)}$

, und

${ displaystyle g_ {1} (x)}$

sind definiert als für ber (x).

Für ganze Zahlen n, ker_n((x) hat die (komplizierte) Serienerweiterung

${ displaystyle { begin {align} & mathrm {ker} _ {n} (x) = – ln left ({ frac {x} {2}} right) mathrm {ber} _ {n } (x) + { frac { pi} {4}} mathrm {bei} _ {n} (x) \ & + { frac {1} {2}} left ({ frac {x } {2}} right) ^ {- n} sum _ {k = 0} ^ {n-1} cos left[left({frac {3n}{4}}+{frac {k}{2}}right)pi right]{ frac {(nk-1)!} {k!}} left ({ frac {x ^ {2}} {4}} right) ^ {k} \ & + { frac {1} {2}} left ({ frac {x} {2}} right) ^ {n} sum _ {k geq 0} cos left[left({frac {3n}{4}}+{frac {k}{2}}right)pi right]{ frac { psi (k + 1) + psi (n + k + 1)} {k! (n + k)!}} left ({ frac {x ^ {2}} {4}} right) ^ {k}. end {align}}}$

Der Sonderfall ker₀((x), allgemein als nur ker bezeichnet (x), hat die Serienerweiterung

${ displaystyle mathrm {ker} (x) = – ln left ({ frac {x} {2}} right) mathrm {ber} (x) + { frac { pi} {4} } mathrm {bei} (x) + sum _ {k geq 0} (- 1) ^ {k} { frac { psi (2k + 1)} {[(2k)!]^ {2}}} left ({ frac {x ^ {2}} {4}} right) ^ {2k}}$

und die asymptotische Reihe

${ displaystyle mathrm {ker} (x) sim { sqrt { frac { pi} {2x}}} e ^ {- { frac {x} { sqrt {2}}}[f_{2}(x)cos beta +g_{2}(x)sin beta ],}$

wo

${ displaystyle beta = { frac {x} { sqrt {2}}} + { frac { pi} {8}},}$

${ displaystyle f_ {2} (x) = 1 + sum _ {k geq 1} (- 1) ^ {k} { frac { cos (k pi / 4)} {k! (8x) ^ {k}}} prod _ {l = 1} ^ {k} (2l-1) ^ {2}}$

${ displaystyle g_ {2} (x) = sum _ {k geq 1} (- 1) ^ {k} { frac { sin (k pi / 4)} {k! (8x) ^ { k}}} prod _ {l = 1} ^ {k} (2l-1) ^ {2}.}$

Für Ganzzahl n, kei_n((x) hat die Serienerweiterung

${ displaystyle { begin {align} & mathrm {kei} _ {n} (x) = – ln left ({ frac {x} {2}} right) mathrm {bei} _ {n } (x) – { frac { pi} {4}} mathrm {ber} _ {n} (x) \ & – { frac {1} {2}} left ({ frac {x } {2}} right) ^ {- n} sum _ {k = 0} ^ {n-1} sin left[left({frac {3n}{4}}+{frac {k}{2}}right)pi right]{ frac {(nk-1)!} {k!}} left ({ frac {x ^ {2}} {4}} right) ^ {k} \ & + { frac {1} {2}} left ({ frac {x} {2}} right) ^ {n} sum _ {k geq 0} sin left[left({frac {3n}{4}}+{frac {k}{2}}right)pi right]{ frac { psi (k + 1) + psi (n + k + 1)} {k! (n + k)!}} left ({ frac {x ^ {2}} {4}} right) ^ {k}. end {align}}}$

Der Sonderfall Kei₀((x), allgemein nur als Kei bezeichnet (x), hat die Serienerweiterung

${ displaystyle mathrm {kei} (x) = – ln left ({ frac {x} {2}} right) mathrm {bei} (x) – { frac { pi} {4} } mathrm {ber} (x) + sum _ {k geq 0} (- 1) ^ {k} { frac { psi (2k + 2)} {[(2k+1)!]^ {2}}} left ({ frac {x ^ {2}} {4}} right) ^ {2k + 1}}$

und die asymptotische Reihe

${ displaystyle mathrm {kei} (x) sim – { sqrt { frac { pi} {2x}}} e ^ {- { frac {x} { sqrt {2}}}[f_{2}(x)sin beta +g_{2}(x)cos beta ],}$

wo β, f₂((x), und G₂((x) sind definiert als für ker (x).

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, Hrsg. (1983) [June 1964]. “Kapitel 9”. Handbuch der mathematischen Funktionen mit Formeln, Graphen und mathematischen Tabellen. Angewandte Mathematik. 55 (Neunter Nachdruck mit zusätzlichen Korrekturen des zehnten Originaldrucks mit Korrekturen (Dezember 1972); erste Ausgabe). Washington, D.C; New York: Handelsministerium der Vereinigten Staaten, National Bureau of Standards; Dover-Veröffentlichungen. p. 379. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. HERR 0167642. LCCN 65-12253.
• Olver, FWJ; Maximon, LC (2010), “Bessel-Funktionen”in Olver Frank WJ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (Hrsg.), NIST-Handbuch für mathematische Funktionen, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, HERR 2723248

Externe Links[edit]

• Weisstein, Eric W. “Kelvin-Funktionen.” Aus MathWorld – Eine Wolfram-Webressource. [1]
• GPL-lizenzierter C / C ++ – Quellcode zur Berechnung von Kelvin-Funktionen bei codecogs.com: [2]