Quantenzahl – Wikipedia

Posted on January 27, 2021 by lordneo

before-content-x4

Notation für konservierte Größen in Physik und Chemie

Einzelelektronenorbitale für wasserstoffähnliche Atome mit Quantenzahlen

n = 1, 2, 3

(Blöcke),

ℓ

(Zeilen) und

m

(Säulen). Der Spin

s

ist nicht sichtbar, weil es keine räumliche Abhängigkeit hat.

In der Chemie und Quantenphysik Quantenzahlen beschreiben Werte konservierter Größen in der Dynamik eines Quantensystems. Quantenzahlen entsprechen Eigenwerten von Operatoren, die mit dem Hamilton-Operator pendeln – Größen, die gleichzeitig mit der Energie des Systems genau bekannt sein können^{[note 1]}– und ihre entsprechenden Eigenräume. Zusammen charakterisiert eine Spezifikation aller Quantenzahlen eines Quantensystems einen Basiszustand des Systems vollständig und kann im Prinzip zusammen gemessen werden.

Ein wichtiger Aspekt der Quantenmechanik ist die Quantisierung vieler beobachtbarer interessierender Größen.^{[note 2]} Dies führt insbesondere zu Quantenzahlen, die Werte in diskreten Mengen von ganzen oder halben ganzen Zahlen annehmen. obwohl sie sich in einigen Fällen der Unendlichkeit nähern könnten. Dies unterscheidet die Quantenmechanik von der klassischen Mechanik, bei der die das System charakterisierenden Werte wie Masse, Ladung oder Impuls kontinuierlich variieren. Quantenzahlen beschreiben häufig spezifisch die Energieniveaus von Elektronen in Atomen, aber andere Möglichkeiten umfassen Drehimpuls, Spin usw. Eine wichtige Familie sind Geschmacksquantenzahlen – interne Quantenzahlen, die den Typ eines Teilchens und seine Wechselwirkungen mit anderen Teilchen durch das Atom bestimmen fundamentale Kräfte. Jedes Quantensystem kann eine oder mehrere Quantenzahlen haben; Es ist daher schwierig, alle möglichen Quantenzahlen aufzulisten.

Für ein bestimmtes System benötigte Quantenzahlen[edit]

Die Anzahl der Quantenzahlen variiert von System zu System und hat keine universelle Antwort. Daher müssen diese Parameter für jedes zu analysierende System gefunden werden. Ein quantisiertes System benötigt mindestens eine Quantenzahl. Die Dynamik (dh die Zeitentwicklung) eines Quantensystems wird von einem Quantenoperator in Form eines Hamilton-Operators beschrieben. $H.$ . Es gibt eine Quantenzahl des Systems, die der Energie des Systems entspricht; dh einer der Eigenwerte des Hamilton-Operators. Es gibt auch eine Quantenzahl für jeden linear unabhängigen Operator $Ö$ das pendelt mit dem Hamiltonianer. Ein vollständiger Satz von Pendel-Observablen (CSCO), die mit dem Hamilton-Operator pendeln, charakterisiert das System mit all seinen Quantenzahlen. Es gibt eine Eins-zu-Eins-Beziehung zwischen den Quantenzahlen und den Operatoren des CSCO, wobei jede Quantenzahl einen der Eigenwerte ihres entsprechenden Operators annimmt. Aufgrund der unterschiedlichen Basis, die willkürlich ausgewählt werden kann, um einen vollständigen Satz von Pendeloperatoren zu bilden, können unterschiedliche Sätze von Quantenzahlen zur Beschreibung desselben Systems in unterschiedlichen Situationen verwendet werden.

Elektron in einem Atom[edit]

Vier Quantenzahlen können ein Elektron in einem Atom vollständig beschreiben:

Die Spin-Orbital-Wechselwirkung bezieht sich jedoch auf diese Zahlen. Somit kann eine vollständige Beschreibung des Systems mit weniger Quantenzahlen gegeben werden, wenn für diese Basisvektoren orthogonale Entscheidungen getroffen werden.

Spezifität[edit]

Unterschiedliche Elektronen in einem System haben unterschiedliche Quantenzahlen. Zum Beispiel das am höchsten besetzte Orbitalelektron, das tatsächlich differenzierende Elektron (dh das Elektron, das ein Element vom vorherigen unterscheidet); , r das differenzierende Elektron nach dem aufbau Annäherung. In Lanthan sind zur weiteren Veranschaulichung die beteiligten Elektronen in den 6ern; 5d; bzw. 4f Orbitale. In diesem Fall sind die Hauptquantenzahlen 6, 5 und 4.

Gemeinsame Terminologie[edit]

Das hier verwendete Modell beschreibt Elektronen unter Verwendung von vier Quantenzahlen. $n$ , $ℓ$ , $m ℓ$ , $m s$ , unten angegeben. Es ist auch die gebräuchliche Nomenklatur in der klassischen Beschreibung von Kernpartikelzuständen (z. B. Protonen und Neutronen). Eine Quantenbeschreibung von Molekülorbitalen erfordert andere Quantenzahlen, da der Hamilton-Operator und seine Symmetrien unterschiedlich sind.

Hauptquantenzahl[edit]

Die Hauptquantenzahl beschreibt die Elektronenhülle oder das Energieniveau eines Elektrons. Der Wert von $n$ reicht von 1 bis zur Hülle, die das äußerste Elektron dieses Atoms enthält, das heißt^[1]

n = 1, 2, \dots

Beispielsweise befindet sich in Cäsium (Cs) das äußerste Valenzelektron in der Schale mit dem Energieniveau 6, sodass ein Elektron in Cäsium eine haben kann $n$ Wert von 1 bis 6.

Für Teilchen in einem zeitunabhängigen Potential (siehe Schrödinger-Gleichung) wird auch die bezeichnet $n$ th Eigenwert von Hamiltonian ( $H.$ ), das heißt die Energie $E.$ mit dem Beitrag aufgrund des Drehimpulses (der Begriff beinhaltet $J. 2$ ) ausgelassen. Diese Zahl hängt also nur vom Abstand zwischen dem Elektron und dem Kern ab (dh von der Radialkoordinate $r$ ). Die durchschnittliche Entfernung erhöht sich mit $n$ . Daher sollen Quantenzustände mit unterschiedlichen Hauptquantenzahlen zu unterschiedlichen Schalen gehören.

Azimutale Quantenzahl[edit]

Die azimutale Quantenzahl, auch bekannt als (Winkelquantenzahl oder Orbitalquantenzahl), beschreibt die Unterschale und gibt die Größe des Bahndrehimpulses durch die Beziehung an.

L. 2 = ħ 2 ℓ ((ℓ + 1)

In Chemie und Spektroskopie $ℓ = 0$ heißt s Orbital, $ℓ = 1$ , p Orbital, $ℓ = 2$ , d Orbital und $ℓ = 3$ , f Orbital.

Der Wert von $ℓ$ reicht von 0 bis $n - 1$ , also das erste p-Orbital ( $ℓ = 1$ ) erscheint in der zweiten Elektronenhülle ( $n = 2$ ), das erste d-Orbital ( $ℓ = 2$ ) erscheint in der dritten Shell ( $n = 3$ ), und so weiter:^[2]

ℓ = 0, 1, 2, \dots, n - 1

Eine Quantenzahl, die in beginnt $n$ = 3,ℓ = 0, beschreibt ein Elektron im s-Orbital der dritten Elektronenhülle eines Atoms. In der Chemie ist diese Quantenzahl sehr wichtig, da sie die Form eines Atomorbitals spezifiziert und chemische Bindungen und Bindungswinkel stark beeinflusst. Die azimutale Quantenzahl kann auch die Anzahl der in einem Orbital vorhandenen Winkelknoten bezeichnen. Zum Beispiel für p-Orbitale, $ℓ = 1$ und somit beträgt die Anzahl der Winkelknoten im ap-Orbital 1.

Gestalten des Orbitals ist auch durch die azimutale Quantenzahl gegeben.

Magnetische Quantenzahl[edit]

Die magnetische Quantenzahl beschreibt das spezifische Orbital (oder die “Wolke”) innerhalb dieser Unterschale und ergibt die Projektion des Bahndrehimpulses entlang einer bestimmten Achse::

L. z = m ℓ ħ

Die Werte von $m ℓ$ Bereich von $- - ℓ$ zu $ℓ$ mit ganzzahligen Intervallen.^[3]

Die s-Unterschale ( $ℓ = 0$ ) enthält nur ein Orbital und daher das $m ℓ$ eines Elektrons in einem s-Orbital ist immer 0. Die p-Unterschale ( $ℓ = 1$ ) enthält drei Orbitale (in einigen Systemen als drei “hantelförmige” Wolken dargestellt) $m ℓ$ eines Elektrons im ap-Orbital ist −1, 0 oder 1. Die d-Unterschale ( $ℓ = 2$ ) enthält fünf Orbitale mit $m ℓ$ Werte von −2, −1, 0, 1 und 2.

Spinquantenzahl[edit]

Die Spinquantenzahl beschreibt den (intrinsischen Spin-Drehimpuls) des Elektrons in jedem Orbital und gibt die Projektion des Spin-Drehimpulses an $S.$ entlang der angegebenen Achse:

S. z = m s ħ

Im Allgemeinen sind die Werte von $m s$ Bereich von $- - s$ zu $s$ , wo $s$ ist die Spinquantenzahl, die mit dem intrinsischen Spin-Drehimpuls des Teilchens verbunden ist:^[4]

m s = - s, - s + 1, - s + 2, \dots, s - 2, s - 1, s

Ein Elektron hat eine Spinzahl $s = 1 /. 2$ , Folglich $m s$ wird ± sein1/.2unter Bezugnahme auf “Spin-up” – und “Spin-down” -Zustände. Jedes Elektron in einem einzelnen Orbital muss aufgrund des Pauli-Ausschlussprinzips unterschiedliche Quantenzahlen haben, daher enthält ein Orbital niemals mehr als zwei Elektronen.

Regeln[edit]

Es gibt keine universellen festen Werte für $m ℓ$ und $m s$ . Vielmehr ist die $m ℓ$ und $m s$ Werte sind beliebig. Die einzige Einschränkung bei der Auswahl dieser Konstanten besteht darin, dass das in einem bestimmten Satz von Berechnungen oder Beschreibungen verwendete Namensschema konsistent sein muss (z. B. könnte das Orbital, das das erste Elektron im ap-Orbital einnimmt, als beschrieben werden $m ℓ = -1$ oder $m ℓ = 0$ oder $m ℓ = 1$ , aber die $m ℓ$ Der Wert des nächsten ungepaarten Elektrons in diesem Orbital muss unterschiedlich sein. noch die $m ℓ$ Elektronen in anderen Orbitalen wieder zugeordnet werden können $m ℓ = -1$ oder $m ℓ = 0$ oder $m ℓ = 1$ ).

Diese Regeln sind wie folgt zusammengefasst:

Name	Symbol	Orbitalbedeutung	Wertebereich	Wertebeispiele
Hauptquantenzahl	$n$	Schale	$1 \leq n$	$n = 1, 2, 3,\dots$
Azimutale Quantenzahl (Drehimpuls)	$ℓ$	Unterschale (s Orbital ist als 0 aufgeführt, p Orbital als 1 usw.)	$0 \leq ℓ \leq n - 1$	zum $n = 3$ :: $ℓ = 0, 1, 2$ (s, p, d)
Magnetische Quantenzahl (Projektion des Drehimpulses)	$m ℓ$	Energieverschiebung (Ausrichtung der Form der Unterschale)	$- - ℓ \leq m ℓ \leq ℓ$	zum $ℓ = 2$ :: $m ℓ = -2, -1, 0, 1, 2$
Spinquantenzahl	$m s$	Spin des Elektrons (-1/.2 = “Spin Down”, 1/.2 = “Spin up”)	$- - s \leq m s \leq s$	für ein Elektron $s = 1 /. 2$ , damit $m s = - 1 /. 2, + 1 /. 2$

Beispiel: Die Quantenzahlen, die verwendet werden, um sich auf die äußersten Valenzelektronen eines Kohlenstoffatoms (C) zu beziehen, die sich im 2p-Atomorbital befinden, sind: $n = 2$ (2. Elektronenhülle), $ℓ = 1$ (p Orbital Subshell), $m ℓ = 1, 0, -1$ , $m s = 1 /. 2$ (parallele Drehungen).

Ergebnisse der Spektroskopie zeigten, dass bis zu zwei Elektronen ein einzelnes Orbital besetzen können. Zwei Elektronen können jedoch niemals den gleichen exakten Quantenzustand oder den gleichen Satz von Quantenzahlen nach den Hundschen Regeln haben, die das Pauli-Ausschlussprinzip ansprechen. Eine vierte Quantenzahl, die Spin mit zwei möglichen Werten darstellt, wurde als hinzugefügt Ad hoc Annahme, den Konflikt zu lösen; Diese Annahme wird später durch die relativistische Quantenmechanik und aus den Ergebnissen des bekannten Stern-Gerlach-Experiments ausführlich erklärt.

Hintergrund[edit]

Im Laufe der Geschichte der Quantenmechanik wurden viele verschiedene Modelle vorgeschlagen, aber das bekannteste Nomenklatursystem ist aus der Hund-Mulliken-Molekülorbitaltheorie von Friedrich Hund, Robert S. Mulliken und Beiträgen von Schrödinger, Slater und John Lennard-Jones hervorgegangen. Dieses Nomenklatursystem umfasste Bohr-Energieniveaus, die Hund-Mulliken-Orbital-Theorie und Beobachtungen zum Elektronenspin basierend auf Spektroskopie und Hundschen Regeln.^[5]

Gesamtzahl der Drehimpulszahlen[edit]

Gesamtimpuls eines Teilchens[edit]

Wenn man die Spin-Bahn-Wechselwirkung berücksichtigt, wird die $L.$ und $S.$ Operatoren pendeln nicht mehr mit dem Hamilton-Operator, und ihre Eigenwerte ändern sich daher im Laufe der Zeit. Daher sollte ein anderer Satz von Quantenzahlen verwendet werden. Dieses Set enthält^[6]^[7]

Betrachten Sie zum Beispiel die folgenden 8 Zustände, die durch ihre Quantenzahlen definiert sind:

	$n$	$ℓ$	$m ℓ$	$m s$	$ℓ + s$	$ℓ - - s$	$m ℓ + m s$
(1)	2	1	1	+1/.2	3/.2	~~1/.2~~	3/.2
(2)	2	1	1	– –1/.2	3/.2	1/.2	1/.2
(3)	2	1	0	+1/.2	3/.2	1/.2	1/.2
(4)	2	1	0	– –1/.2	3/.2	1/.2	– –1/.2
(5)	2	1	−1	+1/.2	3/.2	1/.2	– –1/.2
(6)	2	1	−1	– –1/.2	3/.2	~~1/.2~~	– –3/.2
(7)	2	0	0	+1/.2	1/.2	– –1/.2	1/.2
(8)	2	0	0	– –1/.2	1/.2	– –1/.2	– –1/.2

Die Quantenzustände im System können als lineare Kombination dieser 8 Zustände beschrieben werden. Wenn man jedoch bei Vorhandensein einer Spin-Bahn-Wechselwirkung dasselbe System durch 8 Zustände beschreiben möchte, die Eigenvektoren des Hamilton-Operators sind (dh jeder stellt einen Zustand dar, der sich im Laufe der Zeit nicht mit anderen vermischt), sollten wir die folgenden 8 berücksichtigen Zustände:

$j$	$m j$	Parität
3/.2	3/.2	seltsam	aus dem obigen Zustand (1) kommen
3/.2	1/.2	seltsam	aus den oben genannten Staaten (2) und (3)
3/.2	– –1/.2	seltsam	aus den oben genannten Staaten (4) und (5)
3/.2	– –3/.2	seltsam	kommt aus Zustand (6) oben
1/.2	1/.2	seltsam	aus den oben genannten Staaten (2) und (3)
1/.2	– –1/.2	seltsam	aus den oben genannten Staaten (4) und (5)
1/.2	1/.2	sogar	kommt aus Zustand (7) oben
1/.2	– –1/.2	sogar	kommt aus Zustand (8) oben

Quantenzahlen des Kerndrehimpulses[edit]

In Kernen hat die gesamte Anordnung von Protonen und Neutronen (Nukleonen) aufgrund der üblicherweise bezeichneten Drehimpulse jedes Nukleons einen resultierenden Drehimpuls $ich$ . Wenn der Gesamtdrehimpuls eines Neutrons ist $j n = ℓ + s$ und für ein Proton ist $j p = ℓ + s$ (wo $s$ denn Protonen und Neutronen sind es zufällig 1/.2 nochmal (siehe Anmerkung)), dann ist die Quantenzahlen des Kerndrehimpulses $ich$ sind gegeben durch:

ich = | j n - - j p |, | j n - - j p | + 1, | j n - - j p | + 2, \dots, (j n + j p) - 2, (j n + j p) - 1, (j n + j p)

Hinweis: Die Bahndrehimpulse der nuklearen (und atomaren) Zustände sind alle ganzzahlige Vielfache von ħ, während der intrinsische Drehimpuls von Neutron und Proton halbzahlige Vielfache sind. Es sollte sofort ersichtlich sein, dass die Kombination der intrinsischen Spins der Nukleonen mit ihrer Orbitalbewegung immer halbe ganzzahlige Werte für den Gesamtspin ergibt. $ich$ von jedem ungeraden A-Kern und ganzzahligen Werten für jeden geraden A-Kern.

Parität mit der Zahl $ich$ wird verwendet, um Kerndrehimpulszustände zu kennzeichnen, Beispiele für einige Isotope von Wasserstoff (H), Kohlenstoff (C) und Natrium (Na) sind;^[8]

Der Grund für die ungewöhnlichen Schwankungen in $ich$ Selbst durch Unterschiede von nur einem Nukleon ist dies auf die ungerade und gerade Anzahl von Protonen und Neutronen zurückzuführen – Nukleonenpaare haben einen Gesamtdrehimpuls von Null (genau wie Elektronen in Orbitalen), so dass eine ungerade oder gerade Anzahl von ungepaarten Nukleonen übrig bleibt. Die Eigenschaft des Kernspins ist ein wichtiger Faktor für den Betrieb der NMR-Spektroskopie in der organischen Chemie.^[7] und MRT in der Nuklearmedizin,^[8] aufgrund des kernmagnetischen Moments, das mit einem externen Magnetfeld wechselwirkt.

Elementarteilchen[edit]

Elementarteilchen enthalten viele Quantenzahlen, von denen gewöhnlich gesagt wird, dass sie ihnen eigen sind. Es versteht sich jedoch, dass die Elementarteilchen Quantenzustände des Standardmodells der Teilchenphysik sind und daher die Quantenzahlen dieser Teilchen dieselbe Beziehung zum Hamilton-Operator dieses Modells haben wie die Quantenzahlen des Bohr-Atoms zu seinem Hamiltonianer. Mit anderen Worten bezeichnet jede Quantenzahl eine Symmetrie des Problems. In der Quantenfeldtheorie ist es nützlicher, zwischen Raumzeit und zu unterscheiden intern Symmetrien.

Typische Quantenzahlen in Bezug auf Raumzeitsymmetrien sind Spin (bezogen auf Rotationssymmetrie), Parität, C-Parität und T-Parität (bezogen auf die Poincaré-Symmetrie der Raumzeit). Typisch interne Symmetrien^{[clarification needed]} sind Leptonzahl und Baryonenzahl oder die elektrische Ladung. (Eine vollständige Liste der Quantenzahlen dieser Art finden Sie im Artikel über Geschmack.)

Multiplikative Quantenzahlen[edit]

Ein kleiner, aber oft verwirrender Punkt ist folgender: Die meisten konservierten Quantenzahlen sind additiv, so dass bei einer Elementarteilchenreaktion die Summe der Quantenzahlen sollten vor und nach der Reaktion gleich sein. Einige, normalerweise als a bezeichnet Paritätsind multiplikativ; dh ihre Produkt ist erhalten. Alle multiplikativen Quantenzahlen gehören zu einer Symmetrie (wie Parität), bei der das zweimalige Anwenden der Symmetrietransformation gleichbedeutend ist mit Nichtstun (Involution).

Siehe auch[edit]

^ speziell Observablen ${ displaystyle { widehat {A}}}$
^ Viele Observablen haben diskrete Spektren (Sätze von Eigenwerten) in der Quantenmechanik, so dass die Größen nur in diskreten (oft ganzzahligen) Werten gemessen werden können.

Verweise[edit]

^ Beiser, A. (1987). Konzepte der modernen Physik (4. Aufl.). McGraw-Hill (International). ISBN 0-07-100144-1.^{[page needed]}
^ Atkins, PW (1977). Molekulare Quantenmechanik Teil I und II: Eine Einführung in die Quantenchemie. 1. Oxford University Press. ISBN 0-19-855129-0.^{[page needed]}
^ Eisberg, R.; Resnick, R. (1985). Quantenphysik von Atomen, Molekülen, Festkörpern, Kernen und Teilchen (2. Aufl.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-87373-0.^{[page needed]}
^ Peleg, Y.; Pnini, R.; Zaarur, E.; Hecht, E. (2010). Quantenmechanik. Schuams Umrisse (2. Aufl.). McGraw Hill (USA). ISBN 978-0-07-162358-2.^{[page needed]}
^ Chemie, Materie und das Universum, RE Dickerson, I. Geis, WA Benjamin Inc. (USA), 1976, ISBN 0-19-855148-7
^ Atkins, PW (1977). Molekulare Quantenmechanik Teil I und II: Eine Einführung in die Quantenchemie. 1. Oxford University Press. ISBN 0-19-855129-0.^{[page needed]}
^ ^ein ^b Atkins, PW (1977). Molekulare Quantenmechanik Teil III: Eine Einführung in die Quantenchemie. 2. Oxford University Press.^{[ISBN missing]}^{[page needed]}
^ ^ein ^b Krane, KS (1988). Einführende Kernphysik. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-80553-3.^{[page needed]}

Weiterführende Literatur[edit]

Externe Links[edit]

after-content-x4