Elliptische rationale Funktionen – Wikipedia

Darstellung der elliptischen rationalen Funktionen für x zwischen -1 und 1 für die Ordnungen 1,2,3 und 4 mit dem Unterscheidungsfaktor ξ = 1,1. Alle sind zwischen -1 und 1 begrenzt und haben den Wert 1 bei x = 1.

In der Mathematik ist die elliptische rationale Funktionen sind eine Folge von rationalen Funktionen mit reellen Koeffizienten. Elliptische rationale Funktionen werden häufig beim Entwurf von elliptischen elektronischen Filtern verwendet. (Diese Funktionen werden manchmal aufgerufen Chebyshev rationale Funktionennicht zu verwechseln mit bestimmten anderen gleichnamigen Funktionen).

Rationale elliptische Funktionen werden durch eine positive ganzzahlige Reihenfolge identifiziert n und füge einen Parameter ξ ≥ 1 hinzu, der als Selektivitätsfaktor. Eine rationale elliptische Gradfunktion n im x mit Selektivitätsfaktor ξ ist allgemein definiert als:

${ displaystyle R_ {n} ( xi, x) equiv mathrm {cd} left (n { frac {K (1 / L_ {n} ( xi))} {K (1 / xi) }} , mathrm {cd} ^ {- 1} (x, 1 / xi), 1 / L_ {n} ( xi) right)}$

wo

• cd () ist die elliptische Jacobi-Kosinusfunktion.
• K () ist ein vollständiges elliptisches Integral der ersten Art.
• 
  ${ displaystyle L_ {n} ( xi) = R_ {n} ( xi, xi)}$

  ist der Diskriminierungsfaktorgleich dem Minimalwert der Größe von

  ${ displaystyle R_ {n} ( xi, x)}$

  zum

  ${ displaystyle | x | geq xi}$

  .

In vielen Fällen, insbesondere bei Bestellungen des Formulars n = 2^ein3^b wo ein und b Sind ganze Zahlen, können die elliptischen rationalen Funktionen nur mit algebraischen Funktionen ausgedrückt werden. Elliptische rationale Funktionen sind eng mit den Chebyshev-Polynomen verwandt: So wie die kreisförmigen trigonometrischen Funktionen Sonderfälle der Jacobi-Ellipsenfunktionen sind, so sind die Chebyshev-Polynome Sonderfälle der elliptischen rationalen Funktionen.

Expression als Verhältnis von Polynomen[edit]

Für gerade Ordnungen können die elliptischen rationalen Funktionen als Verhältnis von zwei Polynomen beider Ordnungen ausgedrückt werden n.

${ displaystyle R_ {n} ( xi, x) = r_ {0} , { frac { prod _ {i = 1} ^ {n} (x-x_ {i})} { prod _ { i = 1} ^ {n} (x-x_ {pi})}}}$

(für n gerade)

wo

sind die Nullen und

sind die Pole und

ist eine Normalisierungskonstante, die so gewählt ist, dass

. Die obige Form würde auch für gerade Ordnungen gelten, außer dass es für ungerade Ordnungen einen Pol bei x = ∞ und eine Null bei x = 0 gibt, so dass die obige Form geändert werden muss, um zu lesen:

${ displaystyle R_ {n} ( xi, x) = r_ {0} , x , { frac { prod _ {i = 1} ^ {n-1} (x-x_ {i})} { prod _ {i = 1} ^ {n-1} (x-x_ {pi})}}$

(für n ungerade)

Eigenschaften[edit]

Auftragung des Absolutwertes der elliptischen rationalen Funktion dritter Ordnung mit ξ = 1,4. Es gibt eine Null bei x = 0 und der Pol im Unendlichen. Da die Funktion antisymmetrisch ist, gibt es drei Nullen und drei Pole. Zwischen den Nullen steigt die Funktion auf einen Wert von 1 und zwischen den Polen fällt die Funktion auf den Wert des Unterscheidungsfaktors ab L._n

Auftragung des Absolutwertes der elliptischen rationalen Funktion vierter Ordnung mit ξ = 1,4. Da die Funktion symmetrisch ist, gibt es vier Nullen und vier Pole. Zwischen den Nullen steigt die Funktion auf einen Wert von 1 und zwischen den Polen fällt die Funktion auf den Wert des Unterscheidungsfaktors ab L._n

Auftragung der Wirkung des Selektivitätsfaktors ξ. Die elliptische rationale Funktion vierter Ordnung wird mit Werten von ξ gezeigt, die von nahezu eins bis unendlich variieren. Die schwarze Kurve, die ξ = ∞ entspricht, ist das Chebyshev-Polynom der Ordnung 4. Je näher der Selektivitätsfaktor an der Einheit liegt, desto steiler ist die Steigung im Übergangsbereich zwischen x = 1 und x = ξ.

Die kanonischen Eigenschaften[edit]

• 
  ${ displaystyle R_ {n} ^ {2} ( xi, x) leq 1}$

  zum

  ${ displaystyle | x | leq 1 ,}$

  

• 
  ${ displaystyle R_ {n} ^ {2} ( xi, x) = 1}$

  beim

  ${ displaystyle | x | = 1 ,}$

  

• 
  ${ displaystyle R_ {n} ^ {2} ( xi, -x) = R_ {n} ^ {2} ( xi, x)}$

  

• 
  ${ displaystyle R_ {n} ^ {2} ( xi, x)> 1}$

  

  ${ displaystyle x> 1 ,}$

  Harv-Fehler: kein Ziel: CITEREFLutovac2001 (Hilfe). Folgende Eigenschaften werden abgeleitet:

  Normalisierung[edit]

  Die elliptische rationale Funktion wird bei x = 1 auf Eins normiert:

  ${ displaystyle R_ {n} ( xi, 1) = 1 ,}$

  

  Nistplatz[edit]

  Die Verschachtelungseigenschaft wird geschrieben:

  ${ displaystyle R_ {m} (R_ {n} ( xi, xi), R_ {n} ( xi, x)) = R_ {m cdot n} ( xi, x) ,}$

  

  Dies ist eine sehr wichtige Eigenschaft:

  ${ displaystyle L_ {m cdot n} ( xi) = L_ {m} (L_ {n} ( xi))}$

  

  Grenzwerte[edit]

  Die elliptischen rationalen Funktionen beziehen sich auf die Chebyshev-Polynome der ersten Art

  ${ displaystyle T_ {n} (x)}$

  durch:

  ${ displaystyle lim _ { xi = rightarrow , infty} R_ {n} ( xi, x) = T_ {n} (x) ,}$

  

  Symmetrie[edit]

  ${ displaystyle R_ {n} ( xi, -x) = R_ {n} ( xi, x) ,}$

  für n gerade

  ${ displaystyle R_ {n} ( xi, -x) = – R_ {n} ( xi, x) ,}$

  für n ungerade

  Equiripple[edit]

  ${ displaystyle R_ {n} ( xi, x)}$

  hat die gleiche Welligkeit von

  ${ displaystyle pm 1}$

  in der Pause

  ${ displaystyle -1 leq x leq 1}$

  . Aus der Inversionsbeziehung (siehe unten) folgt daraus

  ${ displaystyle 1 / R_ {n} ( xi, x)}$

  hat Equiripple in

  ${ displaystyle -1 / xi leq x leq 1 / xi}$

  von

  ${ displaystyle pm 1 / L_ {n} ( xi)}$

  .

  Inversionsbeziehung[edit]

  Die folgende Inversionsbeziehung gilt:

  ${ displaystyle R_ {n} ( xi, xi / x) = { frac {R_ {n} ( xi, xi)} {R_ {n} ( xi, x)}} ,}$

  

  Dies impliziert, dass Pole und Nullen paarweise so kommen, dass

  ${ displaystyle x_ {pi} x_ {zi} = xi ,}$

  

  Funktionen ungerader Ordnung haben eine Null bei x = 0 und ein entsprechender Pol im Unendlichen.

  Pole und Nullen[edit]

  Die Nullen der elliptischen rationalen Ordnungsfunktion n wird geschrieben werden

  ${ displaystyle x_ {ni} ( xi)}$

  oder

  ${ displaystyle x_ {ni}}$

  wann

  ${ displaystyle xi}$

  ist implizit bekannt. Die Nullen der elliptischen rationalen Funktion sind die Nullen des Polynoms im Zähler der Funktion.

  Die folgende Ableitung der Nullen der elliptischen rationalen Funktion ist analog zu der Bestimmung der Nullen der Chebyshev-Polynome (Lutovac 2001, § 12.6). Harv-Fehler: kein Ziel: CITEREFLutovac2001 (Hilfe). Mit der Tatsache, dass für jeden z

  ${ displaystyle mathrm {cd} left ((2m-1) K left (1 / z right), { frac {1} {z}} right) = 0 ,}$

  

  Die definierende Gleichung für die elliptischen rationalen Funktionen impliziert dies

  ${ displaystyle n { frac {K (1 / L_ {n})} {K (1 / xi)}} mathrm {cd} ^ {- 1} (x_ {m}, 1 / xi) = (2m-1) K (1 / L_ {n})}$

  

  so dass die Nullen gegeben sind durch

  ${ displaystyle x_ {m} = mathrm {cd} left (K (1 / xi) , { frac {2m-1} {n}}, { frac {1} { xi}} Recht).}$

  

  Unter Verwendung der Inversionsbeziehung können dann die Pole berechnet werden.

  Aus der Verschachtelungseigenschaft, wenn die Nullen von

  ${ displaystyle R_ {m}}$

  und

  ${ displaystyle R_ {n}}$

  kann algebraisch ausgedrückt werden (dh ohne dass die Jacobi-Ellipsenfunktionen berechnet werden müssen), dann die Nullen von

  ${ displaystyle R_ {m cdot n}}$

  kann algebraisch ausgedrückt werden. Insbesondere die Nullen der elliptischen rationalen Ordnungsfunktionen

  ${ displaystyle 2 ^ {i} 3 ^ {j}}$

  kann algebraisch ausgedrückt werden (Lutovac 2001, § 12.9, 13.9) Harv-Fehler: kein Ziel: CITEREFLutovac2001 (Hilfe). Zum Beispiel können wir die Nullen von finden

  ${ displaystyle R_ {8} ( xi, x)}$

  wie folgt: Definieren

  ${ displaystyle X_ {n} äquiv R_ {n} ( xi, x) qquad L_ {n} äquiv R_ {n} ( xi, xi) qquad t_ {n} äquiv { sqrt { 1-1 / L_ {n} ^ {2}}}.}$

  

  Dann von der Verschachtelungseigenschaft und das wissen

  ${ displaystyle R_ {2} ( xi, x) = { frac {(t + 1) x ^ {2} -1} {(t-1) x ^ {2} +1}}}$

  

  wo

  ${ displaystyle t equiv { sqrt {1-1 / xi ^ {2}}}}$

  wir haben:

  ${ displaystyle L_ {2} = { frac {1 + t} {1-t}}, qquad L_ {4} = { frac {1 + t_ {2}} {1-t_ {2}}} , qquad L_ {8} = { frac {1 + t_ {4}} {1-t_ {4}}}$

  

  ${ displaystyle X_ {2} = { frac {(t + 1) x ^ {2} -1} {(t-1) x ^ {2} +1}}, qquad X_ {4} = { frac {(t_ {2} +1) X_ {2} ^ {2} -1} {(t_ {2} -1) X_ {2} ^ {2} +1}}, qquad X_ {8} = { frac {(t_ {4} +1) X_ {4} ^ {2} -1} {(t_ {4} -1) X_ {4} ^ {2} +1}}.}$

  

  Diese letzten drei Gleichungen können invertiert werden:

  ${ displaystyle x = { frac {1} { pm { sqrt {1 + t , left ({ frac {1-X_ {2}} {1 + X_ {2}}} right)} }}}, qquad X_ {2} = { frac {1} { pm { sqrt {1 + t_ {2} , left ({ frac {1-X_ {4}} {1 + X_ {4}}} right)}}}, qquad X_ {4} = { frac {1} { pm { sqrt {1 + t_ {4} , left ({ frac {1- X_ {8}} {1 + X_ {8}}} right)}}}. Qquad}$

  

  Berechnung der Nullen von

  ${ displaystyle R_ {8} ( xi, x)}$

  legen wir fest

  ${ displaystyle X_ {8} = 0}$

  Berechnen Sie in der dritten Gleichung die beiden Werte von

  ${ displaystyle X_ {4}}$

  Verwenden Sie dann diese Werte von

  ${ displaystyle X_ {4}}$

  in der zweiten Gleichung vier Werte von zu berechnen

  ${ displaystyle X_ {2}}$

  und schließlich verwenden Sie diese Werte in der ersten Gleichung, um die acht Nullen von zu berechnen

  ${ displaystyle R_ {8} ( xi, x)}$

  . (Das

  ${ displaystyle t_ {n}}$

  werden durch eine ähnliche Rekursion berechnet.) Wiederum können diese Nullen unter Verwendung der Inversionsbeziehung verwendet werden, um die Pole zu berechnen.

  Besondere Werte[edit]

  Wir können die ersten elliptischen rationalen Funktionen wie folgt schreiben:

  ${ displaystyle R_ {1} ( xi, x) = x ,}$

  

  ${ displaystyle R_ {2} ( xi, x) = { frac {(t + 1) x ^ {2} -1} {(t-1) x ^ {2} +1}}}$

  

  wo

  ${ displaystyle t equiv { sqrt {1 – { frac {1} { xi ^ {2}}}}}$

  

  ${ displaystyle R_ {3} ( xi, x) = x , { frac {(1-x_ {p} ^ {2}) (x ^ {2} -x_ {z} ^ {2})} {(1-x_ {z} ^ {2}) (x ^ {2} -x_ {p} ^ {2})}}$

  

  wo

  ${ displaystyle G equiv { sqrt {4 xi ^ {2} + (4 xi ^ {2} ( xi ^ {2} ! – ! 1)) ^ {2/3}}}}$

  

  ${ displaystyle x_ {p} ^ {2} equiv { frac {2 xi ^ {2} { sqrt {G}}} {{ sqrt {8 xi ^ {2} ( xi ^ {2 } ! + ! 1) + 12G xi ^ {2} -G ^ {3}}} – { sqrt {G ^ {3}}}}}$

  

  ${ displaystyle x_ {z} ^ {2} = xi ^ {2} / x_ {p} ^ {2}}$

  

  ${ displaystyle R_ {4} ( xi, x) = R_ {2} (R_ {2} ( xi, xi), R_ {2} ( xi, x)) = { frac {(1+ t) (1 + { sqrt {t}}) ^ {2} x ^ {4} -2 (1 + t) (1 + { sqrt {t}}) x ^ {2} +1} {( 1 + t) (1 – { sqrt {t}}) ^ {2} x ^ {4} -2 (1 + t) (1 – { sqrt {t}}) x ^ {2} +1} }}$

  

  ${ displaystyle R_ {6} ( xi, x) = R_ {3} (R_ {2} ( xi, xi), R_ {2} ( xi, x)) ,}$

  usw.

  Siehe Lutovac (2001, § 13) Harvtxt-Fehler: kein Ziel: CITEREFLutovac2001 (Hilfe) für weitere explizite Ordnungsäußerungen n = 5 und

  ${ displaystyle n = 2 ^ {i} , 3 ^ {j}}$

  .

  Die entsprechenden Diskriminierungsfaktoren sind:

  ${ displaystyle L_ {1} ( xi) = xi ,}$

  

  ${ displaystyle L_ {2} ( xi) = { frac {1 + t} {1-t}} = left ( xi + { sqrt { xi ^ {2} -1}} right) ^ {2}}$

  

  ${ displaystyle L_ {3} ( xi) = xi ^ {3} left ({ frac {1-x_ {p} ^ {2}} { xi ^ {2} -x_ {p} ^ { 2}}} right) ^ {2}}$

  

  ${ displaystyle L_ {4} ( xi) = left ({ sqrt { xi}} + ( xi ^ {2} -1) ^ {1/4} right) ^ {4} left ( xi + { sqrt { xi ^ {2} -1}} right) ^ {2}}$

  

  ${ displaystyle L_ {6} ( xi) = L_ {3} (L_ {2} ( xi)) ,}$

  usw.

  Die entsprechenden Nullen sind

  ${ displaystyle x_ {nj}}$

  wo n ist die Reihenfolge und j ist die Zahl der Null. Es wird insgesamt geben n Nullen für jede Bestellung.

  ${ displaystyle x_ {11} = 0 ,}$

  

  ${ displaystyle x_ {21} = xi { sqrt {1-t}} ,}$

  

  ${ displaystyle x_ {22} = – x_ {21} ,}$

  

  ${ displaystyle x_ {31} = x_ {z} ,}$

  

  ${ displaystyle x_ {32} = 0 ,}$

  

  ${ displaystyle x_ {33} = – x_ {31} ,}$

  

  ${ displaystyle x_ {41} = xi { sqrt { left (1 – { sqrt {t}} right) left (1 + t – { sqrt {t (t + 1)}} right )}} ,}$

  

  ${ displaystyle x_ {42} = xi { sqrt { left (1 – { sqrt {t}} right) left (1 + t + { sqrt {t (t + 1)}} right) }} ,}$

  

  ${ displaystyle x_ {43} = – x_ {42} ,}$

  

  ${ displaystyle x_ {44} = – x_ {41} ,}$

  

  Aus der Inversionsbeziehung ergeben sich die entsprechenden Pole

  ${ displaystyle x_ {p, ni}}$

  kann gefunden werden durch

  ${ displaystyle x_ {p, ni} = xi / (x_ {ni})}$

  

  Verweise[edit]

  • MathWorld
  • Daniels, Richard W. (1974). Approximationsmethoden für das elektronische Filterdesign. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-015308-6.CS1-Wartung: ref = harv (Link)
  • Lutovac, Miroslav D.; Tošić, Dejan V.; Evans, Brian L. (2001). Filterdesign für die Signalverarbeitung mit MATLAB © und Mathematica ©. New Jersey, USA: Prentice Hall. ISBN 0-201-36130-2.CS1-Wartung: ref = harv (Link)