Abgeschnittenes Kuboktaeder – Wikipedia
Archimedischer Körper in der Geometrie
| Abgeschnittenes Kuboktaeder | |
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 (Klicken Sie hier für rotierendes Modell) |
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| Art | Archimedischer Feststoff Einheitliches Polyeder |
| Elemente | F. = 26, E. = 72, V. = 48 (χ = 2) |
| Gesichter von Seiten | 12 {4} +8 {6} +6 {8} |
| Conway-Notation | bC oder taC |
| Schläfli-Symbole | tr {4,3} oder
t{43}}{ displaystyle t { begin {Bmatrix} 4 \ 3 end {Bmatrix}}}
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| t0,1,2{4,3} | |
| Wythoff-Symbol | 2 3 4 | |
| Coxeter-Diagramm |    |
| Symmetriegruppe | ÖhB.3, [4,3], (* 432), Bestellung 48 |
| Rotationsgruppe | Ö, [4,3]+, (432), Ordnung 24 |
| Diederwinkel | 4-6: Arccos (-√6/.3) = 144 ° 44’08 ” 4-8: Arccos (-√2/.3) = 135 ° 6-8: Arccos (-√3/.3) = 125 ° 15’51 ” |
| Verweise | U.11, C.23, W.15 |
| Eigenschaften | Semireguläres konvexes Zonoeder |
 Farbige Gesichter |
 4.6.8 (Scheitelpunktfigur) |
 Disdyakis Dodekaeder (Doppelpolyeder) |
 Netz |
In der Geometrie ist die abgeschnittenes Kuboktaeder ist ein archimedischer Körper, der von Kepler als Verkürzung eines Kuboktaeders bezeichnet wird. Es hat 12 quadratische Flächen, 8 regelmäßige sechseckige Flächen, 6 regelmäßige achteckige Flächen, 48 Eckpunkte und 72 Kanten. Da jede ihrer Flächen eine Punktsymmetrie aufweist (äquivalent 180 ° -Drehsymmetrie), ist das abgeschnittene Kuboktaeder ein Zonoeder. Das abgeschnittene Kuboktaeder kann mit dem achteckigen Prisma tessellieren.
Es gibt ein nicht konvexes einheitliches Polyeder mit einem ähnlichen Namen, das nicht konvexe große Rhombikuboktaeder.
Kartesischen Koordinaten[edit]
Die kartesischen Koordinaten für die Eckpunkte eines abgeschnittenen Kuboktaeders mit der Kantenlänge 2 und zentriert am Ursprung sind alle Permutationen von:
- (± 1, ± (1 +) √2), ± (1 + 2√2))
Fläche und Volumen[edit]
Das Gebiet EIN und die Lautstärke V. des abgeschnittenen Kuboktaeders der Kantenlänge ein sind:
- EIN=12(2+2+3)ein2≈61,7551724ein2V.=(22+142)ein3≈41.7989899ein3.{ displaystyle { begin {align} A & = 12 left (2 + { sqrt {2}} + { sqrt {3}} right) a ^ {2} && ca. 61.755 , 1724a ^ {2 } \ V & = left (22 + 14 { sqrt {2}} right) a ^ {3} && ca. 41.798 , 9899a ^ {3}. End {align}}}
Präparation[edit]
Das abgeschnittene Kuboktaeder ist die konvexe Hülle eines Rhombikuboktaeders mit Würfeln über seinen 12 Quadraten auf 2-fachen Symmetrieachsen. Der Rest seines Raumes kann in 6 quadratische Kuppeln unter den Achtecken und 8 dreieckige Kuppeln unter den Sechsecken aufgeteilt werden.
Ein seziertes abgeschnittenes Kuboktaeder kann einen Stewart-Toroid der Gattungen 5, 7 oder 11 erzeugen, indem das zentrale Rhombikuboktaeder und entweder die quadratischen Kuppeln, die dreieckigen Kuppeln oder die 12 Würfel entfernt werden. Viele andere Toroide mit niedrigerer Symmetrie können ebenfalls konstruiert werden, indem eine Teilmenge dieser sezierten Komponenten entfernt wird. Wenn Sie beispielsweise die Hälfte der dreieckigen Kuppeln entfernen, entsteht ein Torus der Gattung 3, der (bei entsprechender Auswahl) eine tetraedrische Symmetrie aufweist.[4][5]
| Stewart-Toroide | |||
|---|---|---|---|
| Gattung 3 | Gattung 5 | Gattung 7 | Gattung 11 |
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Gleichmäßige Färbungen[edit]
Es gibt nur eine einheitliche Färbung der Flächen dieses Polyeders, eine Farbe für jeden Gesichtstyp.
Bei abwechselnd gefärbten Sechsecken besteht eine 2-einheitliche Färbung mit tetraedrischer Symmetrie.
Orthogonale Projektionen[edit]
Das abgeschnittene Kuboktaeder hat zwei spezielle orthogonale Projektionen im A.2 und B2Coxeter Flugzeuge mit [6] und [8] projektive Symmetrie und zahlreiche [2] Symmetrien können aus verschiedenen projizierten Ebenen relativ zu den Polyederelementen konstruiert werden.
Sphärische Fliesen[edit]
Das abgeschnittene Kuboktaeder kann auch als sphärische Kachelung dargestellt und über eine stereografische Projektion auf die Ebene projiziert werden. Diese Projektion ist konform und behält Winkel bei, jedoch keine Flächen oder Längen. Gerade Linien auf der Kugel werden als Kreisbögen auf die Ebene projiziert.
Volle oktaedrische Gruppe[edit]
Wie viele andere Körper hat das abgeschnittene Oktaeder eine vollständige oktaedrische Symmetrie – aber seine Beziehung zur vollständigen oktaedrischen Gruppe ist enger als diese: Seine 48 Eckpunkte entsprechen den Elementen der Gruppe, und jede Seite ihres Duals ist eine grundlegende Domäne der Gruppe.
Das Bild rechts zeigt die 48 Permutationen in der Gruppe, die auf ein Beispielobjekt angewendet wurden (nämlich die leichte JF-Verbindung links). Die 24 hellen Elemente sind Rotationen und die dunklen sind ihre Reflexionen.
Die Kanten des Volumenkörpers entsprechen den 9 Reflexionen in der Gruppe:
- Die zwischen Achtecken und Quadraten entsprechen den 3 Reflexionen zwischen gegenüberliegenden Achtecken.
- Sechseckkanten entsprechen den 6 Reflexionen zwischen gegenüberliegenden Quadraten.
- (Es gibt keine Reflexionen zwischen gegenüberliegenden Sechsecken.)
Die Untergruppen entsprechen Volumenkörpern, die die jeweiligen Eckpunkte des Oktaederstumpfes teilen.
Beispielsweise entsprechen die 3 Untergruppen mit 24 Elementen einem ungleichmäßigen Stupswürfel mit chiraler oktaedrischer Symmetrie, einem ungleichmäßigen Oktaederstumpf mit voller tetraedrischer Symmetrie und einem ungleichmäßigen Rhombikuboktaeder mit pyritoedrischer Symmetrie (dem kantischen Stupsoktaeder).
Die eindeutige Untergruppe mit 12 Elementen ist die alternierende Gruppe A.4. Es entspricht einem ungleichmäßigen Ikosaeder mit chiraler tetraedrischer Symmetrie.
Verwandte Polyeder[edit]
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| Bowtie-Tetraeder und Würfel enthalten anstelle des Quadrats zwei trapezförmige Flächen.[6] | |
Das abgeschnittene Kuboktaeder gehört zu einer Familie einheitlicher Polyeder, die mit dem Würfel und dem regulären Oktaeder verwandt sind.
| Einheitliche oktaedrische Polyeder | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Symmetrie: [4,3], (* 432) | [4,3]+ (432) |
[1+,4,3] = [3,3] (* 332) |
[3+,4] (3 * 2) |
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| {4,3} | t {4,3} | r {4,3} r {31,1}} |
t {3,4} t {31,1}} |
{3,4} {31,1}} |
rr {4,3} s2{3,4} |
tr {4,3} | sr {4,3} | h {4,3} {3,3} |
h2{4,3} t {3,3} |
s {3,4} s {31,1}} |
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 =   |
= |
=  |
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| Duale zu einheitlichen Polyedern | ||||||||||
| V43 | V3.82 | V (3,4)2 | V4.62 | V34 | V3.43 | V4.6.8 | V34.4 | V33 | V3.62 | V35 |
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Dieses Polyeder kann als Mitglied einer Folge einheitlicher Muster mit Scheitelpunktkonfiguration betrachtet werden (4.6.2p) und Coxeter-Dynkin-Diagramm 
| * *n32 Symmetriemutationen omnitrunkierter Fliesen: 4.6.2n | ||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Sym. * *n32 [n,3] |
Sphärisch | Euklid. | Kompaktes Hyperb. | Paraco. | Nicht kompakt hyperbolisch | |||||||
| * 232 [2,3] |
* 332 [3,3] |
* 432 [4,3] |
* 532 [5,3] |
* 632 [6,3] |
* 732 [7,3] |
* 832 [8,3] |
* ∞32 [∞,3] |
[12i,3] | [9i,3] | [6i,3] | [3i,3] | |
| Zahlen |  |
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| Konfig. | 4.6.4 | 4.6.6 | 4.6.8 | 4.6.10 | 4.6.12 | 4.6.14 | 4.6.16 | 4.6.∞ | 4.6.24i | 4.6.18i | 4.6.12i | 4.6.6i |
| Duals |  |
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| Konfig. | V4.6.4 | V4.6.6 | V4.6.8 | V4.6.10 | V4.6.12 | V4.6.14 | V4.6.16 | V4.6.∞ | V4.6.24i | V4.6.18i | V4.6.12i | V4.6.6i |
Es ist das erste einer Reihe von Cantitruncated Hypercubes:
Abgeschnittener kuboktaedrischer Graph[edit]
Im mathematischen Bereich der Graphentheorie a abgeschnittener kuboktaedrischer Graph (oder großer rhombkuboktaedrischer Graph) ist der Graph der Eckpunkte und Kanten des abgeschnittenen Kuboktaeders, eines der archimedischen Körper. Es hat 48 Eckpunkte und 72 Kanten und ist ein nullsymmetrischer und kubischer archimedischer Graph.[7]
Siehe auch[edit]
Verweise[edit]
- ^ Wenninger, Magnus (1974), Polyeder-Modelle, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-09859-5, HERR 0467493 (Modell 15, S. 29)
- ^ Williams, Robert (1979). Die geometrische Grundlage der natürlichen Struktur: Ein Quellbuch des Designs. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Abschnitt 3-9, S. 82)
- ^ Cromwell, P.; PolyederCUP hbk (1997), pbk. (1999). (S. 82)
- ^ BM Stewart, Abenteuer unter den Toroiden (1970) ISBN 978-0-686-11936-4
- ^ Doskey, Alex. “Abenteuer unter den Toroiden – Kapitel 5 – Einfachste (R) (A) (Q) (T) Toroide der Gattung p = 1”. www.doskey.com.
- ^ Symmetroheder: Polyeder aus der symmetrischen Platzierung regulärer Polygone Craig S. Kaplan
- ^ Lesen Sie, RC; Wilson, RJ (1998), Ein Atlas der Graphen, Oxford University Press, p. 269
- Cromwell, P. (1997). Polyeder. Vereinigtes Königreich: Cambridge. S. 79–86 Archimedische Feststoffe. ISBN 0-521-55432-2.
Externe Links[edit]
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