Monodromiesatz – Wikipedia

Darstellung der analytischen Fortsetzung entlang einer Kurve (nur eine endliche Anzahl der Scheiben

${ displaystyle U_ {t}}$

werden gezeigt).

Analytische Fortsetzung entlang einer Kurve des natürlichen Logarithmus (nur der Imaginärteil des Logarithmus ist dargestellt).

In der komplexen Analyse wird die Monodromiesatz ist ein wichtiges Ergebnis über die analytische Fortsetzung einer komplex-analytischen Funktion zu einer größeren Menge. Die Idee ist, dass man eine komplex-analytische Funktion erweitern kann (von nun an einfach genannt) analytische Funktion) entlang von Kurven, die im ursprünglichen Bereich der Funktion beginnen und in der größeren Menge enden. Ein mögliches Problem davon analytische Fortsetzung entlang einer Kurve Strategie ist, dass es normalerweise viele Kurven gibt, die am gleichen Punkt in der größeren Menge enden. Der Monodromiesatz liefert ausreichende Bedingungen für die Fortsetzung der Analyse, um an einem bestimmten Punkt unabhängig von der verwendeten Kurve den gleichen Wert zu erhalten, sodass die resultierende erweiterte Analysefunktion genau definiert und einwertig ist.

Bevor dieser Satz aufgestellt wird, muss die analytische Fortsetzung entlang einer Kurve definiert und ihre Eigenschaften untersucht werden.

Analytische Fortsetzung entlang einer Kurve[edit]

Die Definition der analytischen Fortsetzung entlang einer Kurve ist ein bisschen technisch, aber die Grundidee ist, dass man mit einer analytischen Funktion beginnt, die um einen Punkt definiert ist, und diese Funktion entlang einer Kurve über analytische Funktionen erweitert, die auf kleinen überlappenden Scheiben definiert sind, die diese Kurve abdecken.

Betrachten Sie formal eine Kurve (eine stetige Funktion)

Lassen

eine Analysefunktion sein, die auf einer offenen Festplatte definiert ist

zentriert bei

Ein analytische Fortsetzung des Paares

entlang

ist eine Sammlung von Paaren

zum

so dass

• 
  ${ displaystyle f_ {0} = f}$

  und

  ${ displaystyle U_ {0} = U.}$

  

• Für jeden
  ${ displaystyle t in [0,1], U_ {t}}$

  ist eine offene Platte, die bei zentriert ist

  ${ displaystyle (f_ {t}, U_ {t})}$

  und

  ${ displaystyle (g_ {t}, V_ {t})}$

  

  ${ displaystyle (0 leq t leq 1)}$

  von

  ${ displaystyle (f, U)}$

  entlang

  ${ displaystyle gamma,}$

  die Funktionen

  ${ displaystyle f_ {1}}$

  und

  ${ displaystyle g_ {1}}$

  zusammenfallen auf

  ${ displaystyle U_ {1} cap V_ {1}.}$

  Informell besagt dies, dass zwei beliebige analytische Fortsetzungen von

  ${ displaystyle (f, U)}$

  entlang

  ${ displaystyle gamma}$

  wird mit den gleichen Werten in einer Nachbarschaft von enden

  ${ displaystyle gamma (1).}$

  

  Wenn die Kurve

  ${ displaystyle gamma}$

  ist geschlossen (dh

  ${ displaystyle gamma (0) = gamma (1)}$

  ) muss man nicht haben

  ${ displaystyle f_ {0}}$

  gleich

  ${ displaystyle f_ {1}}$

  in einer Nachbarschaft von

  ${ displaystyle gamma (0).}$

  Zum Beispiel, wenn man an einem Punkt beginnt

  ${ displaystyle (a, 0)}$

  mit

  ${ displaystyle a> 0}$

  

  ${ displaystyle gamma}$

  sei der Kreis des Radius

  ${ displaystyle a}$

  am Ursprung zentriert (gegen den Uhrzeigersinn von

  ${ displaystyle (a, 0)}$

  ), dann wird durch eine analytische Fortsetzung entlang dieser Kurve ein Wert des Logarithmus bei erhalten

  ${ displaystyle (a, 0)}$

  welches ist

  ${ displaystyle 2 pi i}$

  plus den ursprünglichen Wert (siehe die zweite Abbildung rechts).

  Monodromiesatz[edit]

  

  Eine Homotopie mit festen Endpunkten ist erforderlich, damit der Monodromiesatz gilt.

  Wie bereits erwähnt, ergeben zwei analytische Fortsetzungen entlang derselben Kurve am Endpunkt der Kurve dasselbe Ergebnis. Angesichts von zwei unterschiedlichen Kurven, die von demselben Punkt abzweigen, um den eine analytische Funktion definiert ist, wobei sich die Kurven am Ende wieder verbinden, ist es im Allgemeinen nicht wahr, dass die analytischen Fortsetzungen dieser Funktion entlang der beiden Kurven denselben Wert ergeben an ihrem gemeinsamen Endpunkt.

  In der Tat kann man wie im vorherigen Abschnitt den komplexen Logarithmus betrachten, der in einer Nachbarschaft eines Punktes definiert ist

  ${ displaystyle (a, 0)}$

  und der Kreis zentriert am Ursprung und Radius

  ${ displaystyle a.}$

  Dann ist es möglich, von zu reisen

  ${ displaystyle (a, 0)}$

  zu

  ${ displaystyle (-a, 0)}$

  auf zwei Arten gegen den Uhrzeigersinn auf dem oberen Halbebenenbogen dieses Kreises und im Uhrzeigersinn auf dem unteren Halbebenenbogen. Die Werte des Logarithmus bei

  ${ displaystyle (-a, 0)}$

  erhalten durch analytische Fortsetzung entlang dieser beiden Bögen unterscheiden sich durch

  ${ displaystyle 2 pi i.}$

  

  Wenn jedoch eine der Kurven kontinuierlich in eine andere verformt werden kann, während die Start- und Endpunkte festgehalten werden, und eine analytische Fortsetzung auf jeder der Zwischenkurven möglich ist, ergeben die analytischen Fortsetzungen entlang der beiden Kurven die gleichen Ergebnisse bei ihr gemeinsamer Endpunkt. Dies nennt man das Monodromiesatz und seine Aussage wird unten genau gemacht.

  Lassen

  ${ displaystyle U}$

  eine offene Scheibe in der komplexen Ebene sein, die an einem Punkt zentriert ist

  ${ displaystyle P}$

  und

  ${ displaystyle f: U to mathbb {C}}$

  eine komplex-analytische Funktion sein. Lassen

  ${ displaystyle Q}$

  sei ein weiterer Punkt in der komplexen Ebene. Wenn es eine Kurvenfamilie gibt

  ${ displaystyle gamma _ {s}:[0,1] to mathbb {C}}$

  mit

  ${ displaystyle s in [0,1]}}$

  so dass

  ${ displaystyle gamma _ {s} (0) = P}$

  und

  ${ displaystyle gamma _ {s} (1) = Q}$

  für alle

  ${ displaystyle s in [0,1],}$

  die Funktion

  ${ displaystyle U}$

  eine offene Scheibe in der komplexen Ebene sein, die an einem Punkt zentriert ist

  ${ displaystyle P}$

  und

  ${ displaystyle f: U to mathbb {C}}$

  eine komplex-analytische Funktion sein. Wenn

  ${ displaystyle W}$

  ist ein offenes, einfach verbundenes Set, das enthält

  ${ displaystyle U,}$

  und es ist möglich, eine analytische Fortsetzung von durchzuführen

  ${ displaystyle f}$

  auf jeder Kurve in enthalten

  ${ displaystyle W}$

  das beginnt bei

  ${ displaystyle P,}$

  dann

  ${ displaystyle f}$

  gibt ein direkte analytische Fortsetzung zu

  ${ displaystyle W,}$

  was bedeutet, dass es eine komplexanalytische Funktion gibt

  ${ displaystyle g: W to mathbb {C}}$

  deren Einschränkung auf

  ${ displaystyle U}$

  ist

  ${ displaystyle f.}$

  

  Siehe auch[edit]

  Verweise[edit]

  • Krantz, Steven G. (1999). Handbuch komplexer Variablen. Birkhäuser. ISBN 0-8176-4011-8.
  • Jones, Gareth A.; Singerman, David (1987). Komplexe Funktionen: ein algebraischer und geometrischer Gesichtspunkt. Cambridge University Press. ISBN 0-521-31366-X.

  Externe Links[edit]