Platonischer Körper – Wikipedia

Konvexe regelmäßige Polyeder

EIN Platonischer Körper ist ein konvexes regelmäßiges Polyeder im dreidimensionalen euklidischen Raum. Ein regelmäßiges Polyeder zu sein bedeutet, dass die Flächen kongruente (in Form und Größe identische) regelmäßige Vielecke sind (alle Winkel kongruent und alle Kanten kongruent), und an jedem Scheitelpunkt treffen sich die gleiche Anzahl von Flächen. Es gibt fünf und nur fünf solcher Polyeder:

Geometer haben die platonischen Festkörper seit Tausenden von Jahren untersucht.^[1] Sie sind nach dem antiken griechischen Philosophen Platon benannt, der in einem seiner Dialoge die Hypothese aufstellte, die Timaios, dass die klassischen Elemente aus diesen regelmäßigen Körpern bestehen.^[2]

Geschichte[edit]

Die platonischen Körper sind seit der Antike bekannt. Es wurde vermutet, dass bestimmte geschnitzte Steinkugeln, die von den spätneolithischen Menschen Schottlands geschaffen wurden, diese Formen darstellen; diese Kugeln haben jedoch eher abgerundete Noppen als polyedrisch, die Anzahl der Noppen unterschied sich häufig von der Anzahl der Ecken der platonischen Körper, es gibt keine Kugel, deren Noppen mit den 20 Ecken des Dodekaeders übereinstimmen, und die Anordnung der Noppen war nicht immer symmetrisch.

Die alten Griechen studierten die platonischen Körper ausgiebig. Einige Quellen (wie Proclus) schreiben Pythagoras ihre Entdeckung zu. Andere Beweise deuten darauf hin, dass er möglicherweise nur mit dem Tetraeder, dem Würfel und dem Dodekaeder vertraut war und dass die Entdeckung des Oktaeders und des Ikosaeders Theaetetos, einem Zeitgenossen Platons, gehört. Auf jeden Fall gab Theaetetus eine mathematische Beschreibung aller fünf und könnte für den ersten bekannten Beweis verantwortlich gewesen sein, dass keine anderen konvexen regulären Polyeder existieren.

Die platonischen Körper sind prominent in der Philosophie von Platon, ihrem Namensgeber. Platon hat im Dialog über sie geschrieben Timaios C.360 v. Chr., in dem er jedem der vier klassischen Elemente (Erde, Luft, Wasser und Feuer) einen regelmäßigen Körper zuordnete. Erde wurde mit dem Würfel assoziiert, Luft mit dem Oktaeder, Wasser mit dem Ikosaeder und Feuer mit dem Tetraeder. Diese Assoziationen waren intuitiv begründet: Die Hitze des Feuers fühlt sich scharf und stechend an (wie kleine Tetraeder). Luft besteht aus dem Oktaeder; seine winzigen Bestandteile sind so glatt, dass man es kaum spüren kann. Wasser, das Ikosaeder, fließt beim Aufheben aus der Hand, als ob es aus winzig kleinen Kugeln bestünde. Im Gegensatz dazu stellt das Hexaeder (Würfel) einen stark nichtsphärischen Körper dar “Erde”. Diese unhandlichen kleinen Feststoffe lassen Schmutz zerbröckeln und brechen, wenn sie aufgenommen werden, im Gegensatz zum glatten Wasserfluss.^{[citation needed]} Darüber hinaus wurde angenommen, dass der Würfel als einziger regelmäßiger Festkörper, der den euklidischen Raum tesselliert, die Festigkeit der Erde verursacht.

Von dem fünften platonischen Körper, dem Dodekaeder, bemerkte Plato undeutlich: “…der Gott benutzte [it] für die Anordnung der Sternbilder am ganzen Himmel”. Aristoteles fügte ein fünftes Element hinzu, aithēr (lateinisch Äther, “Äther” auf Englisch) und postulierte, dass der Himmel aus diesem Element besteht, aber er hatte kein Interesse daran, es mit Platons fünftem Körper in Einklang zu bringen.^[4]

Euklid beschrieb vollständig mathematisch die platonischen Körper im Elemente, dessen letztes Buch (Buch XIII) ihren Eigenschaften gewidmet ist. Die Sätze 13–17 in Buch XIII beschreiben den Aufbau des Tetraeders, Oktaeders, Würfels, Ikosaeders und Dodekaeders in dieser Reihenfolge. Für jeden Festkörper findet Euklid das Verhältnis des Durchmessers der umschriebenen Kugel zur Kantenlänge. In Proposition 18 argumentiert er, dass es keine weiteren konvexen regulären Polyeder gibt. Andreas Speiser hat die Ansicht vertreten, dass die Konstruktion der 5 regulären Körper das Hauptziel des deduktiven Systems ist, das in der kanonisierten Elemente. Viele der Informationen in Buch XIII stammen wahrscheinlich aus der Arbeit von Theaetetus.

Im 16. Jahrhundert versuchte der deutsche Astronom Johannes Kepler, die damals bekannten fünf außerirdischen Planeten den fünf platonischen Körpern zuzuordnen. In Mysterium Cosmographicum, veröffentlicht im Jahr 1596, schlug Kepler ein Modell des Sonnensystems vor, bei dem die fünf Körper ineinander gesetzt und durch eine Reihe von eingeschriebenen und umschriebenen Kugeln getrennt waren. Kepler schlug vor, dass die Entfernungsbeziehungen zwischen den damals bekannten sechs Planeten im Hinblick auf die fünf platonischen Körper verstanden werden könnten, die in einer Kugel eingeschlossen sind, die die Umlaufbahn des Saturn darstellt. Die sechs Sphären entsprachen jeweils einem der Planeten (Merkur, Venus, Erde, Mars, Jupiter und Saturn). Die Festkörper wurden mit dem innersten Oktaeder geordnet, gefolgt von Ikosaeder, Dodekaeder, Tetraeder und schließlich dem Würfel, wodurch die Struktur des Sonnensystems und die Abstandsbeziehungen zwischen den Planeten durch die platonischen Körper bestimmt wurden. Am Ende musste Keplers ursprüngliche Idee aufgegeben werden, aber aus seiner Forschung entstanden seine drei Gesetze der Bahndynamik, von denen das erste war, dass die Umlaufbahnen von Planeten eher Ellipsen als Kreise sind, was den Lauf der Physik und Astronomie veränderte. Er entdeckte auch die Kepler-Feststoffe.

Kartesischen Koordinaten[edit]

Für platonische Körper, die im Ursprung zentriert sind, werden unten einfache kartesische Koordinaten der Scheitelpunkte angegeben. Der griechische Buchstabe φ wird verwendet, um den Goldenen Schnitt darzustellen 1 + √5/2 1,6180.

Die Koordinaten für Tetraeder, Dodekaeder und Ikosaeder sind an zwei Stellen so angegeben, dass sie entweder beim Tetraeder durch Änderung aller Vorzeichenkoordinaten (Zentralsymmetrie) voneinander abgeleitet werden können oder in den anderen Fällen , durch Austausch von zwei Koordinaten (Reflexion in Bezug auf eine der drei diagonalen Ebenen).

Diese Koordinaten zeigen bestimmte Beziehungen zwischen den platonischen Körpern: Die Ecken des Tetraeders repräsentieren die Hälfte der des Würfels, als {4,3} oder , einer von zwei Sätzen von 4 Knoten in dualen Positionen, als h{4,3} oder . Beide Tetraederpositionen bilden das zusammengesetzte sternförmige Oktaeder.

Die Koordinaten des Ikosaeders beziehen sich auf zwei alternierende Koordinatensätze eines ungleichmäßigen abgestumpften Oktaeders, t{3,4} oder , auch a . genannt stumpfes Oktaeder, als s{3,4} oder , und in der Verbindung von zwei Ikosaedern gesehen.

Acht der Eckpunkte des Dodekaeders werden mit dem Würfel geteilt. Das Vervollständigen aller Orientierungen führt zu der Verbindung von fünf Würfeln.

Kombinatorische Eigenschaften[edit]

Ein konvexes Polyeder ist genau dann ein platonischer Körper, wenn

1. alle seine Flächen sind kongruente konvexe regelmäßige Vielecke,
2. keine seiner Flächen schneiden sich außer an ihren Kanten, und
3. an jedem seiner Scheitelpunkte trifft die gleiche Anzahl von Flächen aufeinander.

Jeder platonische Körper kann daher mit einem Symbol bezeichnet werden {P, Q} wo

P die Anzahl der Kanten (oder äquivalent der Scheitelpunkte) jeder Fläche ist, und

Q ist die Anzahl der Flächen (oder entsprechend Kanten), die sich an jedem Scheitelpunkt treffen.

Das Symbol {P, Q}, Schläfli-Symbol genannt, gibt eine kombinatorische Beschreibung des Polyeders. Die Schläfli-Symbole der fünf platonischen Körper sind in der folgenden Tabelle aufgeführt.

Alle anderen kombinatorischen Informationen zu diesen Volumenkörpern, wie die Gesamtzahl der Scheitelpunkte (V), Kanten (E) und Gesichter (F), kann bestimmt werden aus P und Q. Da jede Kante zwei Scheitelpunkte verbindet und zwei benachbarte Flächen hat, müssen wir haben:

PF=2E=QV.{displaystyle pF=2E=qV.,}

Die andere Beziehung zwischen diesen Werten ergibt sich aus der Eulerschen Formel:

V−E+F=2.{displaystyle V-E+F=2.,}

Dies lässt sich auf viele Arten belegen. Zusammen bestimmen diese drei Beziehungen vollständig V, E, und F:

V=4P4−(P−2)(Q−2),E=2PQ4−(P−2)(Q−2),F=4Q4−(P−2)(Q−2).{displaystyle V={frac {4p}{4-(p-2)(q-2)}},quad E={frac {2pq}{4-(p-2)(q-2) }},quad F={frac {4q}{4-(p-2)(q-2)}}.}

Tauschen P und Q Austauschplätze F und V beim Verlassen E unverändert. Für eine geometrische Interpretation dieser Eigenschaft siehe § Duale Polyeder.

Als Konfiguration[edit]

Die Elemente eines Polyeders können in einer Konfigurationsmatrix ausgedrückt werden. Die Zeilen und Spalten entsprechen Scheitelpunkten, Kanten und Flächen. Die Diagonalzahlen geben an, wie viele von jedem Element im gesamten Polyeder vorkommen. Die nichtdiagonalen Zahlen geben an, wie viele Elemente der Spalte im oder am Element der Zeile vorkommen. Bei dualen Polyederpaaren sind die Konfigurationsmatrizen um 180 Grad gegeneinander gedreht.^[6]

Einstufung[edit]

Das klassische Ergebnis ist, dass nur fünf konvexe reguläre Polyeder existieren. Zwei häufige Argumente unten zeigen, dass nicht mehr als fünf platonische Körper existieren können, aber die Existenz eines bestimmten Festkörpers positiv zu demonstrieren, ist eine andere Frage – eine, die eine explizite Konstruktion erfordert.

Geometrischer Nachweis[edit]

Polygonnetze um einen Scheitelpunkt

{3,3} Defekt 180°	{3,4} Defekt 120°	{3,5} Defekt 60°	{3,6} Defekt 0°
{4,3} Defekt 90°	{4,4} Defekt 0°	{5,3} Defekt 36°	{6,3} Defekt 0°
Ein Scheitelpunkt benötigt mindestens 3 Flächen und einen Winkelfehler. Ein 0°-Winkelfehler füllt die euklidische Ebene mit einer regelmäßigen Kachelung. Nach dem Satz von Descartes beträgt die Anzahl der Ecken 720°/Defekt.

Das folgende geometrische Argument ist dem von Euklid in der Elemente:

Topologischer Beweis[edit]

Ein rein topologischer Beweis kann nur mit kombinatorischen Informationen über die Festkörper erfolgen. Der Schlüssel ist Eulers Beobachtung, dass V − E + F = 2, und die Tatsache, dass pF = 2E = qV, wo P steht für die Anzahl der Kanten jeder Fläche und Q für die Anzahl der Kanten, die sich an jedem Scheitelpunkt treffen. Kombiniert man diese Gleichungen erhält man die Gleichung

Orthographische Projektionen und Schlegel-Diagramme mit Hamiltonschen Zyklen der Eckpunkte der fünf platonischen Körper – nur das Oktaeder hat eine Eulersche Bahn oder einen Kreis, indem es seinen Weg mit dem gepunkteten verlängert

2EQ−E+2EP=2.{displaystyle {frac {2E}{q}}-E+{frac {2E}{p}}=2.}

Einfache algebraische Manipulation ergibt dann

1Q+1P=12+1E.{displaystyle {1 over q}+{1 over p}={1 over 2}+{1 over E}.}

Schon seit E ist strikt positiv, das müssen wir haben

1Q+1P>12.{displaystyle {frac {1}{q}}+{frac {1}{p}}>{frac {1}{2}}.}

Geometrische Eigenschaften[edit]

Winkel[edit]

Es gibt eine Reihe von Winkeln, die mit jedem platonischen Körper verbunden sind. Der Diederwinkel ist der Innenwinkel zwischen zwei beliebigen Flächenebenen. Der Diederwinkel, θ, des festen {P,Q} ist gegeben durch die Formel

Sünde⁡(θ2)=cos⁡(πQ)Sünde⁡(πP).{displaystyle sin left({frac {theta}{2}}right)={frac {cos left({frac {pi }{q}}right)}{sin left({frac {pi }{p}}right)}}.}

Dies wird manchmal bequemer in Bezug auf den Tangens ausgedrückt durch

bräunen⁡(θ2)=cos⁡(πQ)Sünde⁡(πh).{displaystyle tan left({frac {theta}{2}}right)={frac {cos left({frac {pi }{q}}right)}{sin left({frac{pi}{h}}right)}}.}

Die Quantität h (genannt Coxeter-Zahl) ist 4, 6, 6, 10 und 10 für das Tetraeder, Würfel, Oktaeder, Dodekaeder bzw. Ikosaeder.

Der Winkelfehler am Scheitelpunkt eines Polyeders ist die Differenz zwischen der Summe der Flächenwinkel an diesem Scheitelpunkt und 2π. Der Defekt, δ, an jedem Scheitelpunkt der platonischen Körper {P,Q} ist

δ=2π−Qπ(1−2P).{displaystyle delta =2pi -qpileft(1-{2over p}right).}

Nach einem Satz von Descartes ist dies gleich 4π geteilt durch die Anzahl der Scheitelpunkte (dh der Gesamtdefekt an allen Scheitelpunkten beträgt 4π).

Das dreidimensionale Analogon eines ebenen Winkels ist ein Raumwinkel. Der feste Winkel, Ω, am Scheitelpunkt eines platonischen Körpers ist durch den Diederwinkel gegeben durch

Ω=Qθ−(Q−2)π.{displaystyle Omega =qtheta -(q-2)pi .,}

Dies folgt aus der sphärischen Exzessformel für ein sphärisches Polygon und der Tatsache, dass die Scheitelfigur des Polyeders {P,Q} ist ein Stammgast Q-gon.

Der Raumwinkel einer Fläche, die von der Mitte eines platonischen Festkörpers ausgeht, ist gleich dem Raumwinkel einer vollen Kugel (4π Steradiant) geteilt durch die Anzahl der Gesichter. Dies ist gleich dem Winkelmangel seines Duals.

Die verschiedenen Winkel, die mit den platonischen Körpern verbunden sind, sind unten tabellarisch aufgeführt. Die Zahlenwerte der Raumwinkel werden in Steradiant angegeben. Die Konstante φ = 1 + √5/2 ist der goldene Schnitt.

Radien, Fläche und Volumen[edit]

Eine weitere Tugend der Regelmäßigkeit besteht darin, dass die platonischen Körper alle drei konzentrische Kugeln besitzen:

Die Radien dieser Kugeln heißen Umkreis, das mittlerer Radius, und der Umkreis. Dies sind die Abstände vom Mittelpunkt des Polyeders zu den Scheitelpunkten, Kantenmittelpunkten bzw. Flächenmittelpunkten. Der Umkreisradius R und der Inradius R des festen {P, Q} mit Kantenlänge ein werden gegeben von

R=ein2bräunen⁡(πQ)bräunen⁡(θ2)R=ein2Kinderbett⁡(πP)bräunen⁡(θ2){displaystyle {begin{ausgerichtet}R&={frac {a}{2}}tan left({frac {pi }{q}}right)tan left({frac { theta }{2}}right)\[3pt]r&={frac{a}{2}}cotleft({frac{pi}{p}}right)tanleft({frac{theta}{2}}right) end{ausgerichtet}}}

wo θ ist der Diederwinkel. Der mittlere Radius ρ wird gegeben von

ρ=ein2cos⁡(πP)csc(πh){displaystyle rho ={frac {a}{2}}cos left({frac {pi }{p}}right),{csc }{biggl (}{frac { pi }{h}}{biggr )}}

wo h ist die oben bei der Definition des Diederwinkels verwendete Größe (h = 4, 6, 6, 10 oder 10). Das Verhältnis von Umkreisradius zu Innenradius ist symmetrisch in P und Q:

RR=bräunen⁡(πP)bräunen⁡(πQ)=csc2(θ2)−cos2(α2)Sünde⁡(α2).{displaystyle {frac {R}{r}}=tan left({frac {pi }{p}}right)tan left({frac {pi }{q}} rechts)={frac {sqrt {{csc^{2}}{Bigl (}{frac {theta}{2}}{Bigr)}-{cos ^{2}}{ Bigl (}{frac {alpha}{2}}{Bigr)}}}{sin {Bigl (}{frac {alpha}{2}}{Bigr)}}}.}

Die Fläche, EIN, eines platonischen Körpers {P, Q} lässt sich leicht als Fläche einer Regular berechnen P-gon mal die Anzahl der Gesichter F. Das ist:

EIN=(ein2)2FPKinderbett⁡(πP).{displaystyle A={biggl (}{frac {a}{2}}{biggr)}^{2}Fpcot left({frac {pi }{p}}right). }

Das Volumen wird berechnet als F mal das Volumen der Pyramide, deren Basis regelmäßig ist P-gon und dessen Höhe der Inradius ist R. Das ist,

V=13REIN.{displaystyle V={frac {1}{3}}rA.}

Die folgende Tabelle listet die verschiedenen Radien der platonischen Körper mit ihrer Oberfläche und ihrem Volumen auf. Die Gesamtgröße wird durch die Kantenlänge festgelegt, ein, gleich 2 sein.

Polyeder, ein = 2	Radius			Oberfläche, EIN	Volumen
	In-, R	Mittel-, ρ	Um-, R		V	Gerätekanten
Tetraeder	16{displaystyle 1 over {sqrt {6}}}	12{displaystyle 1 over {sqrt {2}}}	32{displaystyle {sqrt {3 over 2}}}	43{displaystyle 4{sqrt {3}}}	83≈0,942809{displaystyle {frac {sqrt {8}}{3}}ca. 0,942809}	≈0.117851{displaystyle approx 0,117851}
Würfel	1{displaystyle 1,}	2{displaystyle {sqrt {2}}}	3{displaystyle {sqrt {3}}}	24{displaystyle 24,}	8{displaystyle 8,}	1{displaystyle 1,}
Oktaeder	23{displaystyle {sqrt {2 over 3}}}	1{displaystyle 1,}	2{displaystyle {sqrt {2}}}	83{displaystyle 8{sqrt {3}}}	1283≈3.771236{displaystyle {frac {sqrt {128}}{3}}approx 3.771236}	≈0.471404{displaystyle approx 0.471404}
Dodekaeder	φ2ξ{displaystyle {frac {varphi^{2}}{xi}}}	φ2{displaystylevarphi^{2}}	3φ{displaystyle {sqrt {3}},varphi}	1225+105{displaystyle 12{sqrt {25+10{sqrt {5}}}}}}	20φ3ξ2≈61.304952{displaystyle {frac {20varphi^{3}}{xi^{2}}}approx 61,304952}	≈7,663119{displaystyle approx 7,663119}
Ikosaeder	φ23{displaystyle {frac {varphi^{2}}{sqrt {3}}}}	φ{displaystylevarphi}	ξφ{displaystyle xivarphi}	203{displaystyle 20{sqrt {3}}}	20φ23≈17.453560{displaystyle {frac {20varphi^{2}}{3}}approx 17.453560}	≈2.181695{displaystyle approx 2,181695}

Die Konstanten φ und ξ im obigen sind gegeben durch

φ=2cos⁡π5=1+52,ξ=2Sünde⁡π5=5−52=3−φ.{displaystyle varphi =2cos {piover 5}={frac {1+{sqrt {5}}}{2}},qquadxi =2sin {piover 5 }={sqrt {frac {5-{sqrt {5}}}{2}}}={sqrt {3-varphi}}.}

Unter den platonischen Körpern kann entweder das Dodekaeder oder das Ikosaeder als die beste Annäherung an die Kugel angesehen werden. Das Ikosaeder hat die größte Anzahl von Flächen und den größten Diederwinkel, es schmiegt sich am engsten an seine einbeschriebene Kugel und sein Oberflächen-Volumen-Verhältnis ist dem einer Kugel gleicher Größe am nächsten (dh entweder die gleiche Oberfläche oder die gleiches Volumen.) Das Dodekaeder hingegen hat den kleinsten Winkelfehler, den größten Scheitelraumwinkel und füllt seine umschriebene Kugel am meisten aus.

Punkt im Raum[edit]

Für einen beliebigen Punkt im Raum eines platonischen Körpers mit Umkreisradius R, deren Abstände zum Schwerpunkt des platonischen Körpers und dessen n Scheitelpunkte sind L und D_ich bzw. und

S[n](2m)=1nΣich=1nDich2m{displaystyle S_{[n]}^{(2m)}={frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}}

,

wir haben^[7]

S[4](2)=S[6](2)=S[8](2)=S[12](2)=S[20](2)=R2+L2,S[4](4)=S[6](4)=S[8](4)=S[12](4)=S[20](4)=(R2+L2)2+43R2L2,S[6](6)=S[8](6)=S[12](6)=S[20](6)=(R2+L2)3+4R2L2(R2+L2),S[12](8)=S[20](8)=(R2+L2)4+8R2L2(R2+L2)2+165R4L4,S[12](10)=S[20](10)=(R2+L2)5+403R2L2(R2+L2)3+16R4L4(R2+L2).{displaystyle {begin{ausgerichtet}S_{[4]}^{(2)}=S_{[6]}^{(2)}=S_{[8]}^{(2)}=S_{[12]}^{(2)}=S_{[20]}^{(2)}&=R^{2}+L^{2},\[4px]S_{[4]}^{(4)}=S_{[6]}^{(4)}=S_{[8]}^{(4)}=S_{[12]}^{(4)}=S_{[20]}^{(4)}&=left(R^{2}+L^{2}right)^{2}+{frac {4}{3}}R^{2}L^{2 },\[4px]S_{[6]}^{(6)}=S_{[8]}^{(6)}=S_{[12]}^{(6)}=S_{[20]}^{(6)}&=left(R^{2}+L^{2}right)^{3}+4R^{2}L^{2}left(R^{2}+ L^{2}rechts),\[4px]S_{[12]}^{(8)}=S_{[20]}^{(8)}&=left(R^{2}+L^{2}right)^{4}+8R^{2}L^{2}left(R^{2}+ L^{2}right)^{2}+{frac {16}{5}}R^{4}L^{4},\[4px]S_{[12]}^{(10)}=S_{[20]}^{(10)}&=left(R^{2}+L^{2}right)^{5}+{frac {40}{3}}R^{2}L^{2 }left(R^{2}+L^{2}right)^{3}+16R^{4}L^{4}left(R^{2}+L^{2}right) .end{ausgerichtet}}}

Für alle fünf platonischen Körper haben wir ^[7]

S[n](4)+169R4=(S[n](2)+23R2)2.{displaystyle S_{[n]}^{(4)}+{frac {16}{9}}R^{4}=left(S_{[n]}^{(2)}+{frac{2}{3}}R^{2}right)^{2}.}

Wenn D_ich sind die Entfernungen von n Ecken des platonischen Körpers zu einem beliebigen Punkt auf seiner umschriebenen Sphäre, dann ^[7]

4(Σich=1nDich2)2=3nΣich=1nDich4.{displaystyle 4left(sum_{i=1}^{n}d_{i}^{2}right)^{2}=3nsum_{i=1}^{n}d_{ ich}^{4}.}

Rupert-Eigenschaft[edit]

Ein Polyeder P soll die haben Rupert Eigenschaft, wenn ein Polyeder gleicher oder größerer Größe und gleicher Form wie P kann durch ein Loch in P.^[8]

Alle fünf platonischen Körper haben diese Eigenschaft.^[8][9][10]

Symmetrie[edit]

Doppelpolyeder[edit]

Jedes Polyeder hat ein duales (oder “Polar-“) Polyeder mit vertauschten Flächen und Scheitelpunkten. Der Dual jedes platonischen Körpers ist ein weiterer platonischer Körper, so dass wir die fünf Körper zu dualen Paaren anordnen können.

• Der Tetraeder ist selbst-dual (dh sein Dual ist ein weiterer Tetraeder).
• Würfel und Oktaeder bilden ein duales Paar.
• Das Dodekaeder und das Ikosaeder bilden ein duales Paar.

Wenn ein Polyeder das Schläfli-Symbol {P, Q}, dann hat sein Dual das Symbol {Q, P}. Tatsächlich kann jede kombinatorische Eigenschaft eines platonischen Körpers als eine andere kombinatorische Eigenschaft des Dualen interpretiert werden.

Man kann das duale Polyeder konstruieren, indem man die Eckpunkte des dualen Polyeders als Mittelpunkte der Gesichter der ursprünglichen Figur nimmt. Das Verbinden der Mittelpunkte benachbarter Flächen im Original bildet die Kanten des Duals und vertauscht dadurch die Anzahl der Flächen und Scheitelpunkte, während die Anzahl der Kanten beibehalten wird.

Allgemeiner kann man einen platonischen Körper in Bezug auf eine Kugel mit Radius dualisieren D konzentrisch zum Festkörper. Die Radien (R, ρ, R) eines Festkörpers und die seines dualen (R*, ρ*, R*) sind verwandt mit

D2=R*R=R*R=ρ*ρ.{displaystyle d^{2}=R^{ast}r=r^{ast}R=rho^{ast}rho.}

Dualisierung in Bezug auf die Mittelsphäre (D = ρ) ist oft praktisch, weil die Mittelkugel die gleiche Beziehung zu beiden Polyedern hat. Einnahme D² = Rr ergibt einen dualen Körper mit gleichem Umkreis- und Innenradius (dh R* = R und R* = R).

Symmetriegruppen[edit]

In der Mathematik wird das Konzept der Symmetrie mit dem Begriff einer mathematischen Gruppe untersucht. Jedem Polyeder ist eine Symmetriegruppe zugeordnet, die die Menge aller Transformationen (euklidische Isometrien) ist, die das Polyeder invariant lassen. Die Ordnung der Symmetriegruppe ist die Anzahl der Symmetrien des Polyeders. Man unterscheidet oft zwischen den volle Symmetriegruppe, die Reflexionen enthält, und die richtige Symmetriegruppe, die nur Drehungen enthält.

Die Symmetriegruppen der platonischen Körper sind eine spezielle Klasse von dreidimensionalen Punktgruppen, die als polyedrische Gruppen bekannt sind. Der hohe Symmetriegrad der platonischen Körper kann auf verschiedene Weise interpretiert werden. Am wichtigsten ist, dass die Eckpunkte jedes Volumenkörpers unter der Wirkung der Symmetriegruppe alle äquivalent sind, ebenso wie die Kanten und Flächen. Man sagt, dass die Wirkung der Symmetriegruppe auf die Ecken, Kanten und Flächen transitiv ist. Tatsächlich ist dies eine andere Möglichkeit, die Regelmäßigkeit eines Polyeders zu definieren: Ein Polyeder ist regulär genau dann, wenn es eckengleichförmig, kantengleichförmig und flächengleichförmig ist.

Es gibt nur drei Symmetriegruppen, die mit den platonischen Körpern verbunden sind, anstatt fünf, da die Symmetriegruppe jedes Polyeders mit der seines Duals zusammenfällt. Dies ist leicht zu erkennen, wenn man die Konstruktion des dualen Polyeders untersucht. Jede Symmetrie des Originals muss eine Symmetrie des Dualen sein und umgekehrt. Die drei polyedrischen Gruppen sind:

Die Ordnungen der richtigen (Rotations-)Gruppen sind jeweils 12, 24 und 60 – genau die doppelte Anzahl der Kanten in den jeweiligen Polyedern. Die Ordnungen der vollen Symmetriegruppen sind wieder doppelt so groß (24, 48 und 120). Siehe (Coxeter 1973) für eine Herleitung dieser Tatsachen. Alle platonischen Körper außer dem Tetraeder sind zentralsymmetrisch, das heißt, sie werden durch den Ursprung unter Reflexion bewahrt.

Die folgende Tabelle listet die verschiedenen Symmetrieeigenschaften der platonischen Körper auf. Die aufgeführten Symmetriegruppen sind die Vollgruppen mit den in Klammern angegebenen Rotationsuntergruppen (ebenfalls für die Anzahl der Symmetrien). Wythoffs Kaleidoskopkonstruktion ist eine Methode zur Konstruktion von Polyedern direkt aus ihren Symmetriegruppen. Sie sind als Referenz Wythoffs Symbol für jeden der platonischen Körper aufgelistet.

Polyeder	Schläfli Symbol	Wythoff Symbol	Dual Polyeder	Symmetriegruppe (Reflexion, Rotation)
				Polyeder	Schön.	Steuermann.	Kugel.	Befehl
Tetraeder	{3, 3}	3 | 2 3	Tetraeder	Tetraeder	TD T	[3,3] [3,3]+	*332 332	24 12
Würfel	{4, 3}	3 | 2 4	Oktaeder	Oktaeder	Öh Ö	[4,3] [4,3]+	*432 432	48 24
Oktaeder	{3, 4}	4 | 2 3	Würfel
Dodekaeder	{5, 3}	3 | 2 5	Ikosaeder	Ikosaeder	ichh ich	[5,3] [5,3]+	*532 532	120 60
Ikosaeder	{3, 5}	5 | 2 3	Dodekaeder

In Natur und Technik[edit]

Tetraeder, Würfel und Oktaeder kommen alle natürlich in Kristallstrukturen vor. Damit ist die Zahl der möglichen Kristallformen keineswegs erschöpft. Allerdings gehören weder das regelmäßige Ikosaeder noch das regelmäßige Dodekaeder dazu. Eine der Formen, Pyritoeder genannt (benannt nach der Gruppe von Mineralien, für die es typisch ist) hat zwölf fünfeckige Flächen, die im gleichen Muster wie die Flächen des regelmäßigen Dodekaeders angeordnet sind. Die Flächen des Pyritoeders sind jedoch nicht regelmäßig, so dass auch das Pyritoeder nicht regelmäßig ist. Allotrope von Bor und vielen Borverbindungen, wie Borcarbid, umfassen diskretes B₁₂ Ikosaeder in ihren Kristallstrukturen. Carboransäuren haben auch molekulare Strukturen, die regulären Ikosaedern nahekommen.

Anfang des 20. Jahrhunderts beschrieb Ernst Haeckel (Haeckel, 1904) eine Reihe von Radiolaria-Arten, deren Skelette teilweise wie verschiedene regelmäßige Polyeder geformt sind. Beispiele beinhalten Circoporus Oktaeder, Circogonia icosaeder, Lithocubus geometrisch und Zirkorrhegma dodekaeder. Die Formen dieser Kreaturen sollten aus ihren Namen ersichtlich sein.

Viele Viren, wie Herpes^[11] Virus, haben die Form eines regelmäßigen Ikosaeders. Virale Strukturen bestehen aus sich wiederholenden identischen Proteinuntereinheiten und das Ikosaeder lässt sich am einfachsten unter Verwendung dieser Untereinheiten zusammenbauen. Ein reguläres Polyeder wird verwendet, weil es aus einem einzigen Grundprotein aufgebaut werden kann, das immer wieder verwendet wird; das spart Platz im viralen Genom.

In der Meteorologie und Klimatologie sind globale numerische Modelle der atmosphärischen Strömung von zunehmendem Interesse, die geodätische Gitter verwenden, die auf einem Ikosaeder (verfeinert durch Triangulation) anstelle des häufiger verwendeten Längen-/Breitengitters basieren. Dies hat den Vorteil einer gleichmäßig verteilten Ortsauflösung ohne Singularitäten (dh die Pole) auf Kosten einer etwas größeren numerischen Schwierigkeit.

Die Geometrie von Space Frames basiert oft auf platonischen Körpern. Im MERO-System werden platonische Körper für die Namenskonvention verschiedener Space-Frame-Konfigurationen verwendet. Zum Beispiel, 1/2O+T bezieht sich auf eine Konfiguration aus einer Hälfte eines Oktaeders und einem Tetraeder.

Mehrere platonische Kohlenwasserstoffe wurden synthetisiert, darunter Cuban und Dodekaeder und nicht Tetraeder.

Ein Satz polyedrische Würfel.

Platonische Körper werden oft verwendet, um Würfel herzustellen, weil Würfel dieser Formen fair gemacht werden können. 6-seitige Würfel sind sehr verbreitet, aber die anderen Zahlen werden häufig in Rollenspielen verwendet. Solche Würfel werden allgemein als d . bezeichnetn wo n ist die Anzahl der Flächen (d8, d20 usw.); siehe Würfelnotation für weitere Details.

Diese Formen tauchen häufig in anderen Spielen oder Puzzles auf. Rätsel, die einem Zauberwürfel ähnlich sind, gibt es in allen fünf Formen – siehe magische Polyeder.

Flüssigkristalle mit Symmetrien platonischer Festkörper[edit]

Für die als Flüssigkristalle bezeichnete Zwischenstoffphase wurde die Existenz solcher Symmetrien erstmals 1981 von H. Kleinert und K. Maki vorgeschlagen.^[12][13]

In Aluminium wurde die ikosaedrische Struktur drei Jahre später von Dan Shechtman entdeckt, was ihm 2011 den Nobelpreis für Chemie einbrachte.

Verwandte Polyeder und Polytope[edit]

Einheitliche Polyeder[edit]

Es gibt vier regelmäßige Polyeder, die nicht konvex sind, die sogenannten Kepler-Poinsot-Polyeder. Diese haben alle eine Ikosaeder-Symmetrie und können als Stellationen des Dodekaeders und des Ikosaeders erhalten werden.

Die zweit regelmäßigsten konvexen Polyeder nach den platonischen Körpern sind der Kuboktaeder, der eine Gleichrichtung des Würfels und des Oktaeders ist, und der Ikosidodekaeder, der eine Gleichrichtung des Dodekaeders und des Ikosaeders ist (die Gleichrichtung des selbstdualen Tetraeders ist a regelmäßiges Oktaeder). Das sind beides quasi regelmäßig, was bedeutet, dass sie eck- und kantengleich sind und regelmäßige Flächen haben, aber die Flächen sind nicht alle kongruent (in zwei verschiedenen Klassen). Sie bilden zwei der dreizehn archimedischen Körper, die konvexe einheitliche Polyeder mit polyedrischer Symmetrie sind. Ihre Dualen, das rhombische Dodekaeder und das rhombische Triacontaeder, sind kanten- und flächentransitiv, aber ihre Flächen sind nicht regelmäßig und ihre Scheitelpunkte gibt es jeweils in zwei Typen; sie sind zwei der dreizehn katalanischen Feststoffe.

Die einheitlichen Polyeder bilden eine viel breitere Klasse von Polyedern. Diese Figuren sind vertex-einheitlich und haben eine oder mehrere Arten von regelmäßigen oder sternförmigen Polygonen für Gesichter. Dazu gehören alle oben erwähnten Polyeder zusammen mit einer unendlichen Menge von Prismen, einer unendlichen Menge von Antiprismen und 53 anderen nichtkonvexen Formen.

Die Johnson-Festkörper sind konvexe Polyeder, die regelmäßige Flächen haben, aber nicht einheitlich sind. Darunter sind fünf der acht konvexen Deltaeder, die identische, regelmäßige Flächen (alle gleichseitigen Dreiecke) haben, aber nicht einheitlich sind. (Die anderen drei konvexen Deltaeder sind das platonische Tetraeder, Oktaeder und Ikosaeder.)

Regelmäßige Tessellationen[edit]

Regelmäßige sphärische Fliesen

platonisch
{3,3}	{4,3}	{3,4}	{5,3}	{3,5}
Regelmäßige Dieder
{2,2}	{3,2}	{4,2}	{5,2}	{6,2}…
Regelmäßige Hosoeder
{2,2}	{2,3}	{2,4}	{2,5}	{2,6}…

Die drei regelmäßigen Tessellationen der Ebene sind eng mit den platonischen Körpern verwandt. Tatsächlich kann man die platonischen Körper als regelmäßige Tessellationen der Kugel betrachten. Dies geschieht, indem jeder Festkörper auf eine konzentrische Kugel projiziert wird. Die Flächen projizieren auf regelmäßige Kugelpolygone, die die Kugel exakt überdecken. Kugelförmige Kacheln bieten zwei unendliche zusätzliche Sätze regulärer Kacheln, die Hosoeder, {2,n} mit 2 Scheitelpunkten an den Polen und Mondflächen und dem dualen Dieder, {n,2} mit 2 halbkugelförmigen Flächen und regelmäßig beabstandeten Scheitelpunkten auf dem Äquator. Solche Tesselationen würden im echten 3D-Raum als Polyeder entartet.

Man kann zeigen, dass jede reguläre Tessellation der Kugel durch ein Paar ganzer Zahlen {P, Q} mit 1/P + 1/Q > 1/2. Ebenso ist eine regelmäßige Tessellation der Ebene durch die Bedingung gekennzeichnet 1/P + 1/Q = 1/2. Es gibt drei Möglichkeiten:

In ähnlicher Weise kann man regelmäßige Tessellationen der hyperbolischen Ebene betrachten. Diese sind gekennzeichnet durch die Bedingung 1/P + 1/Q < 1/2. Es gibt eine unendliche Familie solcher Tessellationen.

Höhere Abmessungen[edit]

In mehr als drei Dimensionen verallgemeinern sich Polyeder zu Polytopen, wobei höherdimensionale konvexe reguläre Polytope die Äquivalente der dreidimensionalen platonischen Körper sind.

Mitte des 19. Jahrhunderts entdeckte der Schweizer Mathematiker Ludwig Schläfli die vierdimensionalen Analoga der platonischen Körper, die sogenannten konvexen regelmäßigen 4-Polytope. Es gibt genau sechs dieser Figuren; fünf sind analog zu den platonischen Körpern 5-Zellen als {3,3,3}, 16-Zellen als {3,3,4}, 600-Zellen als {3,3,5}, Tesseract als {4,3, 3} und 120-Zellen als {5,3,3} und eine sechste, die selbst-dual 24-Zellen, {3,4,3}.

In allen Dimensionen höher als vier gibt es nur drei konvexe reguläre Polytope: das Simplex als {3,3,…,3}, den Hyperwürfel als {4,3,…,3} und das Kreuzpolytop als {3,3,…,4}. In drei Dimensionen stimmen diese mit dem Tetraeder als {3,3}, dem Würfel als {4,3} und dem Oktaeder als {3,4} überein.

Stereografische Projektion[edit]

Hier ist die stereographische Projektion jedes platonischen Körpers.

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

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Quellen[edit]

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• Haeckel, Ernst, E. (1904). Kunstformen der Natur. Erhältlich als Haeckel, E. (1998); Kunstformen in der Natur, Prestel USA. ISBN 3-7913-1990-6.
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• Kleinert, Hagen & Maki, K. (1981). “Gitterstrukturen in cholesterischen Flüssigkristallen” (PDF). Fortschritte der Physik. 29 (5): 219–259. Bibcode:1981FürPh..29..219K. mach:10.1002/prop.19810290503.
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• Wildberg, Christian (1988). Kritik an der Äthertheorie des Aristoteles von John Philoponus. Walter de Gruyter. S. 11–12. ISBN 9783110104462

Externe Links[edit]