Coxeter-Gruppe – Wikipedia

Posted on July 17, 2021 by lordneo

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Gruppe, die eine formale Beschreibung in Form von Reflexionen zulässt

In der Mathematik, a Coxeter-Gruppe, benannt nach HSM Coxeter, ist eine abstrakte Gruppe, die eine formale Beschreibung durch Reflexionen (oder kaleidoskopische Spiegel) zulässt. Tatsächlich sind die endlichen Coxeter-Gruppen genau die endlichen euklidischen Reflexionsgruppen; die Symmetriegruppen regelmäßiger Polyeder sind ein Beispiel. Allerdings sind nicht alle Coxeter-Gruppen endlich, und nicht alle können durch Symmetrien und euklidische Reflexionen beschrieben werden. Coxeter-Gruppen wurden 1934 als Abstraktionen von Reflexionsgruppen eingeführt (Coxeter 1934), und endliche Coxeter-Gruppen wurden 1935 klassifiziert (Coxeter 1935).

Coxeter-Gruppen finden in vielen Bereichen der Mathematik Anwendung. Beispiele für endliche Coxeter-Gruppen sind die Symmetriegruppen regelmäßiger Polytope und die Weyl-Gruppen einfacher Lie-Algebren. Beispiele für unendliche Coxeter-Gruppen umfassen die Dreiecksgruppen, die regulären Tessellationen der euklidischen Ebene und der hyperbolischen Ebene entsprechen, und die Weyl-Gruppen unendlichdimensionaler Kac-Moody-Algebren.

Zu den Standardreferenzen gehören (Humphreys 1992) und (Davis 2007).

Table of Contents

Definition[edit]

Formal, a Coxeter-Gruppe kann mit der Präsentation als Gruppe definiert werden

{displaystyle leftlangle r_{1},r_{2},ldots,r_{n}mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1rightrangle}

{displaystyle m_{ii}=1}

$m_{ii}=1$ und

{displaystyle m_{ij}geq 2}

$m_{ij}geq 2$ zum

{displaystyle ineq j}

$ineq j$ . Die Bedingung

{displaystyle m_{ij}=infty}

${displaystyle m_{ij}=infty}$ bedeutet keine Beziehung der Form

{displaystyle (r_{i}r_{j})^{m}}

${displaystyle (r_{i}r_{j})^{m}}$ auferlegt werden sollte.

Das Paar

{displaystyle (W,S)}

$(W,S)$ wo

{displaystyle W}

$W$ ist eine Coxeter-Gruppe mit Generatoren

{displaystyle S={r_{1},dots,r_{n}}}

${displaystyle S={r_{1},dots,r_{n}}}$ heißt a Coxeter-System. Beachten Sie, dass im Allgemeinen

{displaystyle S}

$S$ ist nicht eindeutig bestimmt durch

{displaystyle W}

$W$ . Zum Beispiel die Coxeter-Gruppen vom Typ

{displaystyle B_{3}}

$B_{3}$ und

{displaystyle A_{1}times A_{3}}

${displaystyle A_{1}times A_{3}}$ sind isomorph, aber die Coxeter-Systeme sind nicht äquivalent (siehe unten für eine Erklärung dieser Notation).

Aus der obigen Definition lassen sich sofort eine Reihe von Schlussfolgerungen ziehen.

{displaystyle xx=yy=1}

zusammen mit

{displaystyle xyxy=1}

impliziert, dass

{displaystyle xy=x(xyxy)y=(xx)yx(yy)=yx}

Da es sich bei den Generatoren alternativ um Involutionen handelt,

{displaystyle r_{i}=r_{i}^{-1}}

Um Redundanzen zwischen den Relationen zu vermeiden, muss davon ausgegangen werden, dass ${displaystyle m_{ij}=m_{ji}}$

{displaystyle yy=1}

zusammen mit

{displaystyle (xy)^{m}=1}

impliziert, dass

{displaystyle (yx)^{m}=(yx)^{m}yy=y(xy)^{m}y=yy=1}

Alternative,

{displaystyle (xy)^{k}}

Coxeter-Matrix und Schläfli-Matrix[edit]

Das Coxeter-Matrix ist der

{displaystyle nmal n}

$nmal n$ , symmetrische Matrix mit Einträgen

{displaystyle m_{ij}}

$m_{ij}$ . Tatsächlich ist jede symmetrische Matrix mit diagonalen Einträgen ausschließlich 1 und nichtdiagonalen Einträgen in der Menge

{displaystyle {2,3,ldots}cup {infty}}

${displaystyle {2,3,ldots}cup {infty}}$ ist eine Coxeter-Matrix.

Die Coxeter-Matrix kann bequem durch a . kodiert werden Coxeter-Diagramm, nach den folgenden Regeln.

Insbesondere kommutieren zwei Generatoren genau dann, wenn sie nicht durch eine Kante verbunden sind. Wenn ein Coxeter-Graphen außerdem zwei oder mehr verbundene Komponenten hat, ist die zugehörige Gruppe das direkte Produkt der Gruppen, die den einzelnen Komponenten zugeordnet sind. Somit ergibt die disjunkte Vereinigung von Coxeter-Graphen ein direktes Produkt von Coxeter-Gruppen.

Die Coxeter-Matrix,

{displaystyle M_{ij}}

$M_{ij}$ , hängt mit dem zusammen

{displaystyle nmal n}

$nmal n$ Schläfli-Matrix

{displaystyle C}

$C$ mit Einträgen

{displaystyle C_{ij}=-2cos(pi /M_{ij})}

${displaystyle C_{ij}=-2cos(pi /M_{ij})}$ , aber die Elemente werden modifiziert und sind proportional zum Skalarprodukt der paarweisen Generatoren. Die Schläfli-Matrix ist nützlich, weil ihre Eigenwerte bestimmen, ob die Coxeter-Gruppe von endlicher Typ (alles positiv), affiner Typ (alle nicht negativ, mindestens eine Null), oder unbestimmter Typ (Andernfalls). Der unbestimmte Typ wird manchmal weiter unterteilt, zB in hyperbolische und andere Coxeter-Gruppen. Es gibt jedoch mehrere nicht äquivalente Definitionen für hyperbolische Coxeter-Gruppen.

Beispiele
Coxeter-Gruppe	EIN₁×A₁	EIN₂	B₂	H₂	G₂	${displaystyle {tilde {I}}_{1}}$	EIN₃	B₃	D₄	${displaystyle {tilde {A}}_{3}}$
Coxeter-Diagramm
Coxeter-Matrix	${displaystyle left[{begin{smallmatrix}1&2\2&1\end{smallmatrix}}right]}$	${displaystyle left[{begin{smallmatrix}1&3\3&1\end{smallmatrix}}right]}$	${displaystyle left[{begin{smallmatrix}1&4\4&1\end{smallmatrix}}right]}$	${displaystyle left[{begin{smallmatrix}1&5\5&1\end{smallmatrix}}right]}$	${displaystyle left[{begin{smallmatrix}1&6\6&1\end{smallmatrix}}right]}$	${displaystyle left[{begin{smallmatrix}1&infty \infty &1\end{smallmatrix}}right]}$	${displaystyle left[{begin{smallmatrix}1&3&2\3&1&3\2&3&1end{smallmatrix}}right]}$	${displaystyle left[{begin{smallmatrix}1&4&2\4&1&3\2&3&1end{smallmatrix}}right]}$	${displaystyle left[{begin{smallmatrix}1&3&2&2\3&1&3&3\2&3&1&2\2&3&2&1end{smallmatrix}}right]}$	${displaystyle left[{begin{smallmatrix}1&3&2&3\3&1&3&2\2&3&1&3\3&2&3&1end{smallmatrix}}right]}$
Schläfli-Matrix	${displaystyle left[{begin{smallmatrix}2&0\0&2end{smallmatrix}}right]}$	${displaystyle left[{begin{smallmatrix} ,2&-1\-1& ,2end{smallmatrix}}right]}$	${displaystyle left[{begin{smallmatrix} ,2&-{sqrt {2}}\-{sqrt {2}}& ,2end{smallmatrix}}right]}$	${displaystyle left[{begin{smallmatrix} ,2&-phi \-phi & ,2end{smallmatrix}}right]}$	${displaystyle left[{begin{smallmatrix} ,2&-{sqrt {3}}\-{sqrt {3}}& ,2end{smallmatrix}}right]}$	${displaystyle left[{begin{smallmatrix} ,2&-2\-2& ,2end{smallmatrix}}right]}$	${displaystyle left[{begin{smallmatrix} ,2&-1& ,0\-1& ,2&-1\ ,0&-1& ,2end{smallmatrix}}right]}$	${displaystyle left[{begin{smallmatrix} , 2&-{sqrt {2}}& ,0\-{sqrt {2}}& , 2&-1\ , 0& ,-1& ,2end{smallmatrix}}right]}$	${displaystyle left[{begin{smallmatrix} ,2&-1& ,0& ,0\-1& ,2&-1&-1\ ,0&-1& ,2& ,0\ ,0&-1& ,0& ,2end{smallmatrix}}right]}$	${displaystyle left[{begin{smallmatrix} ,2&-1& ,0&-1\-1& ,2&-1& ,0\ ,0&-1& ,2&-1\-1& ,0&-1& ,2end{smallmatrix}}right]}$

Ein Beispiel[edit]

Der Graph

{displaystyle A_{n}}

$Ein}$ in denen Knoten 1 bis nein in einer Reihe platziert werden, wobei jeder Knoten durch eine unbeschriftete Kante mit seinen unmittelbaren Nachbarn verbunden ist, ergibt sich die symmetrische Gruppe S_nein+1; die Generatoren entsprechen den Transpositionen (1 2), (2 3), … , (nein nein+1). Zwei nicht aufeinanderfolgende Transpositionen kommutieren immer, während (k k+1) (k+1 k+2) ergibt den 3-Zyklus (k k+2 k+1). Das zeigt natürlich nur das S_n+1 ist eine Quotientengruppe der durch den Graphen beschriebenen Coxeter-Gruppe, aber es ist nicht allzu schwierig, die Gleichheit zu überprüfen.

Verbindung mit Reflexionsgruppen[edit]

Coxeter-Gruppen sind eng mit Reflexionsgruppen verbunden. Einfach ausgedrückt sind Coxeter-Gruppen abstrakt Gruppen (durch eine Präsentation gegeben), während Reflexionsgruppen Beton Gruppen (als Untergruppen linearer Gruppen oder verschiedene Verallgemeinerungen angegeben). Coxeter-Gruppen sind aus dem Studium von Reflexionsgruppen hervorgegangen — sie sind eine Abstraktion: Eine Reflexionsgruppe ist eine Untergruppe einer durch Reflexionen erzeugten linearen Gruppe (die Ordnung 2 haben), während eine Coxeter-Gruppe eine abstrakte Gruppe ist, die durch Involutionen (Elemente von Ordnung 2, von Reflexionen abstrahierend) und deren Beziehungen eine bestimmte Form haben (

{displaystyle (r_{i}r_{j})^{k}}

$(r_{i}r_{j})^{k}$ , entsprechend Hyperebenen, die sich unter einem Winkel von . treffen

{displaystyle pi /k}

$pi /k$ , mit

{displaystyle r_{i}r_{j}}

$r_{i}r_{j}$ in Ordnung sein k abstrahieren von einer Drehung um

{displaystyle 2pi /k}

$2pi /k$ ).

Die abstrakte Gruppe einer Reflexionsgruppe ist eine Coxeter-Gruppe, während umgekehrt eine Reflexionsgruppe als lineare Darstellung einer Coxeter-Gruppe angesehen werden kann. Zum endlich Reflexionsgruppen ergibt dies eine exakte Entsprechung: Jede endliche Coxeter-Gruppe lässt eine getreue Darstellung als endliche Reflexionsgruppe eines euklidischen Raums zu. Bei unendlichen Coxeter-Gruppen kann eine Coxeter-Gruppe jedoch keine Darstellung als Reflexionsgruppe zulassen.

Historisch hat (Coxeter 1934) bewiesen, dass jede Reflexionsgruppe eine Coxeter-Gruppe ist (dh eine Präsentation hat, in der alle Beziehungen die Form of

{displaystyle r_{i}^{2}}

$r_{i}^{2}$ oder

{displaystyle (r_{i}r_{j})^{k}}

$(r_{i}r_{j})^{k}$ ), und tatsächlich führte diese Arbeit den Begriff einer Coxeter-Gruppe ein, während (Coxeter 1935) bewies, dass jede endliche Coxeter-Gruppe eine Repräsentation als Reflexionsgruppe hatte, und endliche Coxeter-Gruppen klassifizierte.

Finite Coxeter-Gruppen[edit]

Coxeter-Graphen der endlichen Coxeter-Gruppen.

Einstufung[edit]

Die endlichen Coxeter-Gruppen wurden in (Coxeter 1935) in Form von Coxeter-Dynkin-Diagrammen klassifiziert; sie werden alle durch Reflexionsgruppen endlichdimensionaler euklidischer Räume dargestellt.

Die endlichen Coxeter-Gruppen bestehen aus drei einparametrigen Familien mit steigendem Rang

{displaystyle A_{n},B_{n},D_{n},}

$A_{n},B_{n},D_{n},$ eine einparametrige Familie der Dimension zwei,

{displaystyle I_{2}(p),}

$I_{2}(p),$ und sechs außergewöhnliche Gruppen:

{displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},H_{3},}

$E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},H_{3},$ und

{displaystyle H_{4}}

$H_{4}$ . Das Produkt endlich vieler Coxeter-Gruppen in dieser Liste ist wieder eine Coxeter-Gruppe, und auf diese Weise entstehen alle endlichen Coxeter-Gruppen.

Weyl-Gruppen[edit]

Viele, aber nicht alle, sind Weyl-Gruppen, und jede Weyl-Gruppe kann als Coxeter-Gruppe realisiert werden. Die Weyl-Gruppen sind die Familien

{displaystyle A_{n},B_{n},}

$A_{n},B_{n},$ und

{displaystyle D_{n},}

$D_{n},$ und die Ausnahmen

{displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},}

$E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},$ und

{displaystyle I_{2}(6),}

$Ich_{2}(6),$ in Weyl-Gruppennotation bezeichnet als

{displaystyle G_{2}.}

$G_{2}.$ Ausnahmen sind die Nicht-Weyl-Gruppen

{displaystyle H_{3}}

$H_{3}$ und

{displaystyle H_{4},}

$H_{4},$ und die Familie

{displaystyle I_{2}(p)}

$Ich_{2}(p)$ es sei denn, dies fällt mit einer der Weyl-Gruppen zusammen (nämlich

{displaystyle I_{2}(3)cong A_{2},I_{2}(4)cong B_{2},}

$I_{2}(3)cong A_{2},I_{2}(4)cong B_{2},$ und

{displaystyle I_{2}(6)cong G_{2}}

$I_{2}(6)cong G_{2}$ ).

Dies lässt sich belegen, indem man die Restriktionen auf (ungerichtete) Dynkin-Diagramme mit den Restriktionen auf Coxeter-Diagramme endlicher Gruppen vergleicht: Formal erhält man den Coxeter-Graphen aus dem Dynkin-Diagramm, indem man die Richtung der Kanten weglässt und jede Doppelkante durch . ersetzt eine Kante mit der Bezeichnung 4 und jede Dreifachkante durch eine Kante mit der Bezeichnung 6. Beachten Sie auch, dass jede endlich erzeugte Coxeter-Gruppe eine automatische Gruppe ist.^[1] Dynkin-Diagramme haben die zusätzliche Einschränkung, dass die einzigen zulässigen Kantenbeschriftungen 2, 3, 4 und 6 sind, was das Obige ergibt. Geometrisch entspricht dies dem kristallographischen Restriktionssatz und der Tatsache, dass ausgeschlossene Polytope weder den Raum füllen noch die Ebene kacheln – für

{displaystyle H_{3},}

$H_{3},$ das Dodekaeder (zweifach Ikosaeder) füllt den Raum nicht aus; zum

{displaystyle H_{4},}

$H_{4},$ die 120-Zelle (dual 600-Zelle) füllt den Raum nicht aus; zum

{displaystyle I_{2}(p)}

$Ich_{2}(p)$ ein p-gon deckt das Flugzeug nicht ab, außer für

{displaystyle p=3,4,}

$p=3,4,$ oder

{displaystyle 6}

$6$ (die dreieckigen, quadratischen bzw. sechseckigen Kacheln).

Beachten Sie weiterhin, dass die (gerichteten) Dynkin-Diagramme B_nein und C_nein ergeben die gleiche Weyl-Gruppe (daher Coxeter-Gruppe), weil sie sich unterscheiden als gerichtet Grafiken, aber stimme zu wie ungerichtet Graphen – Richtung ist für Wurzelsysteme wichtig, aber nicht für die Weyl-Gruppe; dies entspricht dem Hyperwürfel und dem Kreuzpolytop, die verschiedene reguläre Polytope sind, aber dieselbe Symmetriegruppe haben.

Eigenschaften[edit]

Einige Eigenschaften der endlichen irreduziblen Coxeter-Gruppen sind in der folgenden Tabelle angegeben. Die Ordnung der reduzierbaren Gruppen kann durch das Produkt ihrer irreduziblen Untergruppenordnungen berechnet werden.

Rang nein	Gruppe Symbol	Wechseln Symbol	Halterung Notation	Coxeter Graph	Reflexionen ich = 1/2nh^[2]	Coxeter-Nummer ha	Auftrag	Gruppenstruktur^[3]	Verwandte Polytope
1	EIN₁	EIN₁	[ ]		1	2	2	${displaystyle S_{2}}$	{ }
2	EIN₂	EIN₂	[3]		3	3	6	${displaystyle S_{3}cong D_{6}cong operatorname {GO} _{2}^{-}(2)cong operatorname {GO} _{2}^{+}(4)}$	{3}
3	EIN₃	EIN₃	[3,3]		6	4	24	${displaystyle S_{4}}$	{3,3}
4	EIN₄	EIN₄	[3,3,3]		10	5	120	${displaystyle S_{5}}$	{3,3,3}
5	EIN₅	EIN₅	[3,3,3,3]		fünfzehn	6	720	${displaystyle S_{6}}$	{3,3,3,3}
nein	EIN_nein	EIN_nein	[3ⁿ⁻¹]	…	nein(nein + 1)/2	nein + 1	(nein + 1)!	${displaystyle S_{n+1}}$	nein-Simplex
2	B₂	C₂	[4]		4	4	8	${displaystyle C_{2}wr S_{2}cong D_{8}cong operatorname {GO} _{2}^{-}(3)cong operatorname {GO} _{2}^{ +}(5)}$	{4}
3	B₃	C₃	[4,3]		9	6	48	${displaystyle C_{2}wr S_{3}cong S_{4}times 2}$	{4,3} / {3,4}
4	B₄	C₄	[4,3,3]		16	8	384	${displaystyle C_{2}wr S_{4}}$	-{4,3,3} / {3,3,4}
5	B₅	C₅	[4,3,3,3]		25	10	3840	${displaystyle C_{2}wr S_{5}}$	{4,3,3,3} / {3,3,3,4}
nein	B_nein	C_nein	[4,3ⁿ⁻²]	…	nein²	2nein	2^neinnein!	${displaystyle C_{2}wr S_{n}}$	nein-Würfel / nein-orthoplex
4	D₄	B₄	[3^1,1,1]		12	6	192	${displaystyle C_{2}^{3}S_{4}cong 2^{1+4}colon S_{3}}$	h{4,3,3} / {3,3^1,1}
5	D₅	B₅	[3^2,1,1]		20	8	1920	${displaystyle C_{2}^{4}S_{5}}$	h{4,3,3,3} / {3,3,3^1,1}
nein	D_nein	B_nein	[3^n−3,1,1]	…	nein(nein − 1)	2(nein − 1)	2^nein-1nein!	${displaystyle C_{2}^{n-1}S_{n}}$	nein-Zweiwürfel / nein-orthoplex
6	E₆	E₆	[3^2,2,1]		36	12	51840 (72×6!)	${displaystyle operatorname {GO} _{6}^{-}(2)cong operatorname {SO} _{5}(3)cong operatorname {PSp} _{4}(3)colon 2 cong operatorname {PSU} _{4}(2)colon 2}$ ${displaystyle operatorname {GO} _{6}^{-}(2)cong operatorname {SO} _{5}(3)cong operatorname {PSp} _{4}(3)colon 2 cong operatorname {PSU} _{4}(2)colon 2}$	2₂₁, 1₂₂
7	E₇	E₇	[3^3,2,1]		63	18	2903040 (72×8!)	${displaystyle operatorname {GO} _{7}(2)times 2cong operatorname {Sp} _{6}(2)times 2}$	3₂₁, 2₃₁, 1₃₂
8	E₈	E₈	[3^4,2,1]		120	30	696729600 (192×10!)	${displaystyle 2cdot operatorname {GO} _{8}^{+}(2)}$	4₂₁, 2₄₁, 1₄₂
4	F₄	F₄	[3,4,3]		24	12	1152	${displaystyle operatorname {GO} _{4}^{+}(3)cong 2^{1+4}colon (S_{3}times S_{3})}$	{3,4,3}
2	G₂	– (D⁶ ₂)	[6]		6	6	12	${displaystyle D_{12}cong operatorname {GO} _{2}^{-}(5)cong operatorname {GO} _{2}^{+}(7)}$	{6}
2	H₂	G₂	[5]		5	5	10	${displaystyle D_{10}congoperatorname {GO} _{2}^{-}(4)}$	{5}
3	H₃	G₃	[3,5]		fünfzehn	10	120	${displaystyle 2times A_{5}}$	{3,5} / {5,3}
4	H₄	G₄	[3,3,5]		60	30	14400	${displaystyle 2cdot (A_{5}times A_{5})colon 2}$	{5,3,3} / {3,3,5}
2	ich₂(nein)	D^nein ₂	[n]		nein	nein	2nein	${displaystyle D_{2n}}$ $D_{{2n}}$ ${displaystyle cong operatorname {GO} _{2}^{-}(n-1)}$ ${displaystyle cong operatorname {GO} _{2}^{-}(n-1)}$ wann nein = p^k + 1, p prim ${displaystyle cong operatorname {GO} _{2}^{+}(n+1)}$ ${displaystyle cong operatorname {GO} _{2}^{+}(n+1)}$ wann nein = p^k − 1, p prim	{p}

Symmetriegruppen regelmäßiger Polytope[edit]

Alle Symmetriegruppen regelmäßiger Polytope sind endliche Coxeter-Gruppen. Beachten Sie, dass duale Polytope dieselbe Symmetriegruppe haben.

Es gibt drei Reihen regelmäßiger Polytope in allen Dimensionen. Die Symmetriegruppe eines Regular nein-simplex ist die symmetrische Gruppe S_nein+1, auch bekannt als Coxeter-Gruppe des Typs EIN_nein. Die Symmetriegruppe der nein-Würfel und sein Dual, der nein-Kreuzpolytop, is B_nein, und wird als hyperoktaedrische Gruppe bezeichnet.

Die außergewöhnlichen regelmäßigen Polytope in den Dimensionen zwei, drei und vier entsprechen anderen Coxeter-Gruppen. In zwei Dimensionen bilden die Diedergruppen, die Symmetriegruppen regelmäßiger Vielecke, die Reihe ich₂(p). In drei Dimensionen ist die Symmetriegruppe des regulären Dodekaeders und seines dualen, des regulären Ikosaeders H₃, bekannt als die vollständige ikosaedrische Gruppe. In vier Dimensionen gibt es drei spezielle regelmäßige Polytope, die 24-Zellen, die 120-Zellen und die 600-Zellen. Die erste hat Symmetriegruppe F₄, während die anderen beiden dual sind und eine Symmetriegruppe haben H₄.

Die Coxeter-Gruppen vom Typ D_nein, E₆, E₇, und E₈ sind die Symmetriegruppen bestimmter semiregulärer Polytope.

Affine Coxeter-Gruppen[edit]

Coxeter-Diagramme für die affinen Coxeter-Gruppen

Stiefel-Diagramm für die

{displaystyle G_{2}}

Das affine Coxeter-Gruppen bilden eine zweite wichtige Reihe von Coxeter-Gruppen. Diese sind selbst nicht endlich, sondern enthalten jeweils eine normal abelsche Untergruppe, sodass die entsprechende Quotientengruppe endlich ist. In jedem Fall ist die Quotientengruppe selbst eine Coxeter-Gruppe, und der Coxeter-Graphen der affinen Coxeter-Gruppe ergibt sich aus dem Coxeter-Graphen der Quotientengruppe durch Hinzufügen einer weiteren Ecke und einer oder zweier zusätzlicher Kanten. Zum Beispiel für nein ≥ 2, der Graph bestehend aus nein+1 Eckpunkte in einem Kreis erhält man aus EIN_nein auf diese Weise, und die entsprechende Coxeter-Gruppe ist die affine Weyl-Gruppe von EIN_nein (die affine symmetrische Gruppe). Zum nein = 2, kann man sich dies als Untergruppe der Symmetriegruppe der Standardfliesen der Ebene durch gleichseitige Dreiecke vorstellen.

Im Allgemeinen kann man bei einem gegebenen Wurzelsystem das zugehörige Stiefel-Diagramm, bestehend aus den zu den Wurzeln orthogonalen Hyperebenen zusammen mit bestimmten Übersetzungen dieser Hyperebenen. Die affine Coxeter-Gruppe (oder affine Weyl-Gruppe) ist dann die Gruppe, die durch die (affinen) Reflexionen über alle Hyperebenen im Diagramm erzeugt wird.^[4] Das Stiefel-Diagramm teilt die Ebene in unendlich viele zusammenhängende Komponenten, genannt Nischen, und die affine Coxeter-Gruppe wirkt frei und transitiv auf die Nischen, genauso wie die gewöhnliche Weyl-Gruppe frei und transitiv auf die Weyl-Kammern wirkt. Die Abbildung rechts zeigt das Stiefel-Diagramm für die

{displaystyle G_{2}}

$G_{2}$ Wurzelsystem.

Annehmen

{displaystyle R}

$R$ ist ein irreduzibles Wurzelsystem von Rang

{displaystyle r>1}

$r>1″/></span> und lass <span class=$

{displaystyle alpha_{1},ldots,alpha_{r}}

${displaystyle alpha_{1},ldots,alpha_{r}}$ eine Sammlung einfacher Wurzeln sein. Lassen Sie auch

{displaystyle alpha_{r+1}}

${displaystyle alpha_{r+1}}$ bezeichnet die höchste Wurzel. Dann wird die affine Coxeter-Gruppe durch die gewöhnlichen (linearen) Reflexionen an den Hyperebenen senkrecht zu erzeugt

{displaystyle alpha_{1},ldots,alpha_{r}}

${displaystyle alpha_{1},ldots,alpha_{r}}$ , zusammen mit einer affinen Reflexion über eine Verschiebung der Hyperebene senkrecht zu

{displaystyle alpha_{r+1}}

${displaystyle alpha_{r+1}}$ . Der Coxeter-Graphen für die affine Weyl-Gruppe ist das Coxeter-Dynkin-Diagramm für

{displaystyle R}

$R$ , zusammen mit einem zusätzlichen Knoten, der mit . verbunden ist

{displaystyle alpha_{r+1}}

${displaystyle alpha_{r+1}}$ . In diesem Fall kann man eine Nische des Stiefel-Diagramms erhalten, indem man die fundamentale Weyl-Kammer nimmt und sie durch eine Verschiebung der Hyperebene senkrecht zu schneidet

{displaystyle alpha_{r+1}}

${displaystyle alpha_{r+1}}$ .^[5]

Eine Liste der affinen Coxeter-Gruppen folgt:

Gruppe Symbol	Witt Symbol	Klammernotation	Coxeter Graph	Zugehörige einheitliche Tesselation(en)
${displaystyle {tilde {A}}_{n}}$	${displaystyle P_{n+1}}$	[3^[n]]	… oder …	Simplektische Wabe
${displaystyle {tilde {B}}_{n}}$	${displaystyle S_{n+1}}$	[4,3^{n − 3},3^1,1]	…	Demihyperkubische Wabe
${displaystyle {tilde {C}}_{n}}$	${displaystyle R_{n+1}}$	[4,3ⁿ⁻²,4]	…	Hyperkubische Wabe
${displaystyle {tilde {D}}_{n}}$	${displaystyle Q_{n+1}}$	[ 3^1,1,3ⁿ⁻⁴,3^1,1]	…	Demihyperkubische Wabe
${displaystyle {tilde {E}}_{6}}$	${displaystyle T_{7}}$	[3^2,2,2]	oder	2₂₂
${displaystyle {tilde {E}}_{7}}$	${displaystyle T_{8}}$	[3^3,3,1]	oder	3₃₁, 1₃₃
${displaystyle {tilde {E}}_{8}}$	${displaystyle T_{9}}$	[3^5,2,1]		5₂₁, 2₅₁, 1₅₂
${displaystyle {tilde {F}}_{4}}$	${displaystyle U_{5}}$	[3,4,3,3]		16-zellige Wabe 24-zellige Wabe
${displaystyle {tilde {G}}_{2}}$	${displaystyle V_{3}}$	[6,3]		Sechseckige Fliesen und Dreieckige Fliesen
${displaystyle {tilde {I}}_{1}}$	${displaystyle W_{2}}$	[∞]		Apeirogon

Der Index des Gruppensymbols ist in jedem Fall um eins kleiner als die Anzahl der Knoten, da jede dieser Gruppen durch Hinzufügen eines Knotens zu einem Graphen einer endlichen Gruppe erhalten wurde.

Hyperbolische Coxeter-Gruppen[edit]

Es gibt unendlich viele hyperbolische Coxeter-Gruppen, die Reflexionsgruppen im hyperbolischen Raum beschreiben, insbesondere die hyperbolischen Dreiecksgruppen.

Teilbestellungen[edit]

Eine Auswahl von Reflexionsgeneratoren führt zu einer Längenfunktion l auf eine Coxeter-Gruppe, nämlich die Mindestanzahl von Generatoren, die erforderlich ist, um ein Gruppenelement auszudrücken; dies ist genau die Länge in der Wortmetrik im Cayley-Diagramm. Ein Ausdruck für v mit l(v) Generatoren ist a reduziertes Wort. Zum Beispiel die Permutation (13) in S₃ hat zwei reduzierte Wörter, (12)(23)(12) und (23)(12)(23). Die Funktion

{displaystyle vto (-1)^{ell (v)}}

${displaystyle vto (-1)^{ell (v)}}$ definiert eine Karte

{displaystyle Gto {pm 1},}

$Gto {pm 1},$ Verallgemeinerung der Vorzeichenkarte für die symmetrische Gruppe.

Mit reduzierten Wörtern kann man auf der Coxeter-Gruppe drei Teilordnungen definieren, die (rechts) schwache Ordnung, das absolute Ordnung und der Bruhat-Auftrag (benannt nach François Bruhat). Ein Element v überschreitet ein Element du in der Bruhat-Reihenfolge, wenn irgendein (oder äquivalent irgendein) reduziertes Wort für v enthält ein reduziertes Wort für du als Teilzeichenfolge, bei der einige Buchstaben (an beliebiger Position) weggelassen werden. In der schwachen Ordnung, v ≥ du wenn ein reduziertes Wort für v enthält ein reduziertes Wort für du als Anfangssegment. Tatsächlich macht die Wortlänge dies zu einem abgestuften Poset. Die diesen Ordnungen entsprechenden Hasse-Diagramme sind Studienobjekte und beziehen sich auf den von den Generatoren bestimmten Cayley-Graphen. Die absolute Ordnung wird analog zur schwachen Ordnung definiert, jedoch mit Erzeugungsmenge/Alphabet bestehend aus allen Konjugaten der Coxeter-Generatoren.

Zum Beispiel die Permutation (1 2 3) in S₃ hat nur ein reduziertes Wort, (12)(23), deckt also (12) und (23) in der Bruhat-Reihenfolge ab, aber nur (12) in der schwachen Reihenfolge.

Homologie[edit]

Da eine Coxeter-Gruppe

{displaystyle W}

$W$ aus endlich vielen Elementen der Ordnung 2 erzeugt wird, ist seine Abelianisierung eine elementare abelsche 2-Gruppe, dh sie ist isomorph zur direkten Summe mehrerer Kopien der zyklischen Gruppe

{displaystyle Z_{2}}

$Z_{2}$ . Dies kann in Bezug auf die erste Homologiegruppe von

{displaystyle W}

$W$ .

Der Schur-Multiplikator

{displaystyle M(W)}

${displaystyle M(W)}$ , gleich der zweiten Homologiegruppe von

{displaystyle W}

$W$ , wurde in (Ihara & Yokonuma 1965) für endliche Reflexionsgruppen und in (Yokonuma 1965) für affine Reflexionsgruppen berechnet, mit einer einheitlicheren Darstellung in (Howlett 1988). In allen Fällen ist auch der Schur-Multiplikator eine elementare abelsche 2-Gruppe. Für jede unendliche Familie

{displaystyle {W_{n}}}

${displaystyle {W_{n}}}$ endlicher oder affiner Weyl-Gruppen, der Rang von

{displaystyle M(W_{n})}

${displaystyle M(W_{n})}$ stabilisiert sich wie

{displaystyle n}

$nein$ geht ins Unendliche.

Siehe auch[edit]

^ eine Index-2-Untergruppe von ${displaystyle operatorname {GO} _{4}^{+}(5)}$

Verweise[edit]

^ Brink, Brigitte; Howlett, Robert B. (1993), “Eine Endlichkeitseigenschaft und eine automatische Struktur für Coxeter-Gruppen”, Mathematische Annalen, 296 (1): 179–190, doi:10.1007/BF01445101, Zbl 0793.20036.
^ Steuermann, Regelmäßige Polytope, §12.6 Die Anzahl der Reflexionen, Gleichung 12.61
^ Wilson, Robert A. (2009), “Kapitel 2”, Die endlichen einfachen Gruppen, Abschlusstexte in Mathematik 251, 251, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-84800-988-2, ISBN 978-1-84800-987-5
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Weiterlesen[edit]

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Externe Links[edit]

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