Kartenprojektion – Wikipedia

Systematische Darstellung der Oberfläche einer Kugel oder eines Ellipsoids auf einer Ebene

Eine mittelalterliche Darstellung der Ökumene (1482, Johannes Schnitzer, Kupferstecher), konstruiert nach den Koordinaten in Ptolemäus Geographie und mit seiner zweiten Kartenprojektion

In der Kartographie, u.a Kartenprojektion ist eine Möglichkeit, die Oberfläche eines Globus in eine Ebene zu ebnen, um eine Karte zu erstellen. Dies erfordert eine systematische Transformation der Breiten- und Längengrade von Orten von der Erdoberfläche in Orte auf einer Ebene.^[1][2]

Alle Projektionen einer Kugel auf eine Ebene verzerren notwendigerweise die Oberfläche in gewisser Weise und bis zu einem gewissen Grad. Je nach Verwendungszweck der Karte sind einige Verzerrungen akzeptabel und andere nicht; daher existieren verschiedene Kartenprojektionen, um einige Eigenschaften des kugelähnlichen Körpers auf Kosten anderer Eigenschaften zu erhalten. Das Studium von Kartenprojektionen ist die Charakterisierung der Verzerrungen. Die Anzahl der möglichen Kartenprojektionen ist unbegrenzt.^{[3]: 1}
Projektionen sind Gegenstand mehrerer rein mathematischer Gebiete, darunter Differentialgeometrie, projektive Geometrie und Mannigfaltigkeiten. “Kartenprojektion” bezieht sich jedoch speziell auf eine kartographische Projektion.

Trotz der wörtlichen Bedeutung des Namens ist die Projektion nicht auf perspektivische Projektionen beschränkt, wie sie beispielsweise durch einen Schattenwurf auf einer Leinwand oder das geradlinige Bild einer Lochkamera auf einer flachen Filmplatte entstehen. Vielmehr ist jede mathematische Funktion, die Koordinaten von der gekrümmten Oberfläche deutlich und glatt in die Ebene transformiert, eine Projektion. Einige Projektionen in der praktischen Anwendung sind perspektivisch.^{[citation needed]}

Der Großteil dieses Artikels geht davon aus, dass die abzubildende Oberfläche die einer Kugel ist. Die Erde und andere große Himmelskörper werden im Allgemeinen besser als abgeflachte Sphäroide modelliert, während kleine Objekte wie Asteroiden oft unregelmäßige Formen haben. Die Oberflächen von Planetenkörpern können auch dann abgebildet werden, wenn sie zu unregelmäßig sind, um gut mit einer Kugel oder einem Ellipsoid modelliert zu werden.^[4] Daher ist eine Kartenprojektion allgemeiner ein beliebiges Verfahren zum Abflachen einer kontinuierlichen gekrümmten Oberfläche auf eine Ebene.^{[citation needed]}

Ein Modellglobus verzerrt Oberflächenbeziehungen nicht wie Karten, aber Karten können in vielen Situationen nützlicher sein: Sie sind kompakter und einfacher zu speichern; sie nehmen leicht eine enorme Skala von Skalen auf; sie werden leicht auf Computerbildschirmen angezeigt; sie können gemessen werden, um Eigenschaften der kartierten Region zu finden; sie können größere Teile der Erdoberfläche auf einmal zeigen; und sie sind billiger zu produzieren und zu transportieren. Diese nützlichen Eigenschaften von Karten motivieren die Entwicklung von Kartenprojektionen.

Die bekannteste Kartenprojektion ist die Mercator-Projektion.^{[3]: 45} Trotz seiner wichtigen konformen Eigenschaften wurde es im Laufe des 20. Jahrhunderts dafür kritisiert, dass es das Gebiet weiter vom Äquator entfernt vergrößert.^{[3]: 156–157} Kartenprojektionen mit gleichen Flächen wie die Sinusoidal-Projektion und die Gall-Peters-Projektion zeigen die korrekten Größen der Länder relativ zueinander, verzerren jedoch die Winkel. Die National Geographic Society und die meisten Atlanten bevorzugen Kartenprojektionen, die einen Kompromiss zwischen Flächen- und Winkelverzerrung eingehen, wie die Robinson-Projektion oder die Winkel-Tripel-Projektion^[3][5]

Metrische Eigenschaften von Karten[edit]

Auf der Erdoberfläche können viele Eigenschaften unabhängig von ihrer Geographie gemessen werden:

Kartenprojektionen können erstellt werden, um einige dieser Eigenschaften auf Kosten anderer zu erhalten. Da die gekrümmte Erdoberfläche nicht isometrisch zu einer Ebene ist, führt die Beibehaltung von Formen unweigerlich zu einem veränderlichen Maßstab und folglich zu einer nicht proportionalen Darstellung von Flächen. Umgekehrt kann eine flächenerhaltende Projektion nicht konform sein, was zu verzerrten Formen und Peilungen an den meisten Stellen der Karte führt. Jede Projektion bewahrt, kompromittiert oder approximiert grundlegende metrische Eigenschaften auf unterschiedliche Weise. Der Zweck der Karte bestimmt, welche Projektion die Basis für die Karte bilden soll. Da es viele Zwecke für Karten gibt, wurde eine Vielzahl von Projektionen erstellt, um diesen Zwecken gerecht zu werden.

Eine weitere Überlegung bei der Konfiguration einer Projektion ist ihre Kompatibilität mit Datensätzen, die auf der Karte verwendet werden sollen. Datensätze sind geografische Informationen; ihre Sammlung hängt vom gewählten Datum (Modell) der Erde ab. Unterschiedliche Datumsangaben weisen dem gleichen Standort leicht unterschiedliche Koordinaten zu. Daher ist es bei großmaßstäblichen Karten, z. Die geringfügigen Unterschiede in der Koordinatenzuweisung zwischen verschiedenen Datumsangaben sind für Weltkarten oder andere riesige Gebiete kein Problem, wo solche Unterschiede zur Unkenntlichkeit geschrumpft werden.

Verzerrung[edit]

Das Theorema Egregium von Carl Friedrich Gauß bewies, dass die Oberfläche einer Kugel nicht ohne Verzerrung in einer Ebene dargestellt werden kann. Gleiches gilt für andere Referenzflächen, die als Modelle für die Erde verwendet werden, wie zum Beispiel abgeplattete Sphäroide, Ellipsoide und Geoide. Da jede Kartenprojektion eine Darstellung einer dieser Oberflächen auf einer Ebene ist, werden alle Kartenprojektionen verzerrt.^[2]

Die klassische Methode, die einer Projektion innewohnende Verzerrung darzustellen, besteht darin, die Indikatrix von Tissot zu verwenden. Für einen gegebenen Punkt unter Verwendung des Skalierungsfaktors h entlang des Meridians, der Skalierungsfaktor k entlang der Parallelen und der Winkel Ich dazwischen beschrieb Nicolas Tissot, wie man eine Ellipse konstruiert, die die Menge und Ausrichtung der Verzerrungskomponenten charakterisiert.^{[3]: 147–149[6]} Durch regelmäßiges Anordnen der Ellipsen entlang der Meridiane und Parallelen zeigt das Netz der Indikatrizen, wie die Verzerrung über die Karte variiert.

Andere Verzerrungsmetriken[edit]

Es sind viele andere Wege beschrieben worden, um Verzerrungen in Projektionen zu charakterisieren.^[7][8] Wie Tissots Indikatrix ist die Goldberg-Gott-Indikatrix basiert auf Infinitesimals und zeigt Beugung und Schiefe (Biegung und Schiefe) Verzerrungen.^[9]

Anstelle des ursprünglichen (vergrößerten) infinitesimalen Kreises wie in Tissots Indikatrix projizieren einige visuelle Methoden endliche Formen, die sich über einen Teil der Karte erstrecken. Zum Beispiel ein kleiner Kreis mit festem Radius (zB 15-Grad-Winkelradius).^[10] Manchmal werden sphärische Dreiecke verwendet.^{[citation needed]}

In der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts war es üblich, einen menschlichen Kopf auf verschiedene Projektionen zu projizieren, um zu zeigen, wie sich die Verzerrung zwischen einer Projektion im Vergleich zu einer anderen unterscheidet.^[11]

In dynamischen Medien können Formen bekannter Küstenlinien und Grenzen über eine interaktive Karte gezogen werden, um zu zeigen, wie die Projektion Größen und Formen entsprechend der Position auf der Karte verzerrt.^[12]

Eine andere Möglichkeit, lokale Verzerrungen zu visualisieren, sind Graustufen- oder Farbabstufungen, deren Schattierung die Größe der Winkelverformung oder Flächeninflation darstellt. Manchmal werden beide gleichzeitig angezeigt, indem zwei Farben gemischt werden, um eine bivariate Karte zu erstellen.^[13]

Das Problem, Verzerrungen global und nicht nur an einem einzigen Punkt zu charakterisieren, besteht darin, dass sie zwangsläufig Prioritäten setzen müssen, um einen Kompromiss zu erzielen. Einige Schemata verwenden eine Entfernungsverzerrung als Proxy für die Kombination von Winkelverformung und Flächeninflation; solche Methoden wählen willkürlich aus, welche Pfade gemessen und wie sie gewichtet werden, um ein einziges Ergebnis zu erhalten. Viele wurden beschrieben.^{[9][14][15][16][17]}

Gestaltung und Konstruktion[edit]

Die Erstellung einer Kartenprojektion umfasst zwei Schritte:

1. Auswahl eines Modells für die Form der Erde oder des Planetenkörpers (normalerweise die Wahl zwischen einer Kugel oder einem Ellipsoid). Da die tatsächliche Form der Erde unregelmäßig ist, gehen bei diesem Schritt Informationen verloren.
2. Transformation geographischer Koordinaten (Längen- und Breitengrad) in Kartesische (x,ja) oder Polarebenenkoordinaten. In großmaßstäblichen Karten haben kartesische Koordinaten normalerweise eine einfache Beziehung zu Rechts- und Hochwerten, die als ein der Projektion überlagertes Gitter definiert sind. In kleinmaßstäblichen Karten sind Rechts- und Hochwerte nicht aussagekräftig, und Gitter werden nicht überlagert.

Einige der einfachsten Kartenprojektionen sind wörtliche Projektionen, die erhalten werden, indem eine Lichtquelle an einem bestimmten Punkt relativ zum Globus platziert und ihre Merkmale auf eine bestimmte Oberfläche projiziert werden. Obwohl die meisten Projektionen nicht auf diese Weise definiert sind, kann die Darstellung des Lichtquellen-Kugel-Modells hilfreich sein, um das Grundkonzept einer Kartenprojektion zu verstehen.

Auswahl einer Projektionsfläche[edit]

Als a abwickelbare Oberfläche. Zylinder, Kegel und Ebene sind alle abwickelbare Flächen. Die Kugel und das Ellipsoid haben keine entwickelbaren Oberflächen, daher muss jede Projektion auf eine Ebene das Bild verzerren. (Zum Vergleich kann man eine Orangenschale nicht glätten, ohne sie zu zerreißen und zu verziehen.)

Eine Möglichkeit, eine Projektion zu beschreiben, besteht darin, zuerst von der Erdoberfläche auf eine abwickelbare Oberfläche wie einen Zylinder oder Kegel zu projizieren und dann die Oberfläche in eine Ebene abzurollen. Während im ersten Schritt zwangsläufig einige Eigenschaften des Globus verzerrt werden, kann die abwickelbare Oberfläche dann ohne weitere Verzerrung entfaltet werden.

Aspekt der Projektion[edit]

Sobald Sie die Wahl haben, auf einen Zylinder, Kegel oder eine Ebene zu projizieren, Aspekt der Form muss angegeben werden. Der Aspekt beschreibt, wie die abwickelbare Fläche relativ zum Globus platziert wird: Es kann normal (so dass die Symmetrieachse der Oberfläche mit der Erdachse zusammenfällt), quer (senkrecht zur Erdachse) oder schräg (beliebiger Winkel dazwischen).

Bemerkenswerte Linien[edit]

Vergleich von tangentialen und sekanten zylindrischen, konischen und azimutalen Kartenprojektionen mit Standardparallelen in rot dargestellt

Die abwickelbare Oberfläche kann auch entweder Tangente oder Sekante zur Kugel oder zum Ellipsoid. Tangente bedeutet, dass die Oberfläche den Globus berührt, aber nicht durchschneidet; Sekante bedeutet, dass die Oberfläche den Globus durchschneidet. Das Verschieben der entwickelbaren Oberfläche weg vom Kontakt mit dem Globus bewahrt oder optimiert niemals metrische Eigenschaften, so dass diese Möglichkeit hier nicht weiter diskutiert wird.

Tangenten- und Sekantenlinien (Standardleitungen) werden unverzerrt dargestellt. Wenn diese Geraden ein Breitengrad sind, wie bei konischen Projektionen, heißt sie a Standardparallel. Die Mittelmeridian ist der Meridian, auf den der Globus vor der Projektion gedreht wird. Der Mittelmeridian (normalerweise geschrieben λ₀) und eine Ursprungsparallelität (normalerweise geschrieben φ₀) werden häufig verwendet, um den Ursprung der Kartenprojektion zu definieren.^[18][19]

Skala[edit]

Ein Globus ist die einzige Möglichkeit, die Erde mit konstantem Maßstab über die gesamte Karte in alle Richtungen darzustellen. Eine Karte kann diese Eigenschaft nicht für einen noch so kleinen Bereich erreichen. Es kann jedoch entlang bestimmter Linien eine konstante Skalierung erreichen.

Einige mögliche Eigenschaften sind:

• Der Maßstab hängt vom Standort ab, aber nicht von der Richtung. Dies entspricht der Erhaltung von Winkeln, dem definierenden Merkmal einer konformen Abbildung.
• Der Maßstab ist entlang jeder Parallele in Richtung der Parallelen konstant. Dies gilt für jede zylindrische oder pseudozylindrische Projektion in normaler Ausrichtung.
• Kombination aus dem oben Gesagten: Die Skala hängt nur vom Breitengrad ab, nicht vom Längengrad oder der Richtung. Dies gilt für die Mercator-Projektion in normaler Ansicht.
• Der Maßstab ist entlang aller geraden Linien konstant, die von einem bestimmten geografischen Standort ausgehen. Dies ist das definierende Merkmal einer äquidistanten Projektion wie der azimutalen äquidistanten Projektion. Es gibt auch Projektionen (Maurer’s Two-Point Equidistant Projection, Close), bei denen wahre Abstände von zwei Punkte bleiben erhalten.^{[3]: 234}

Auswahl eines Modells für die Körperform[edit]

Die Projektionskonstruktion wird auch davon beeinflusst, wie die Form der Erde oder des Planetenkörpers angenähert wird. Im folgenden Abschnitt über Projektionskategorien wird die Erde als Kugel verwendet, um die Diskussion zu vereinfachen. Die tatsächliche Form der Erde ähnelt jedoch eher einem abgeflachten Ellipsoid. Ob sphärisch oder ellipsoid, die diskutierten Prinzipien gelten ohne Einschränkung der Allgemeinheit.

Die Auswahl eines Modells für eine Form der Erde beinhaltet die Wahl zwischen den Vor- und Nachteilen einer Kugel gegenüber einem Ellipsoid. Sphärische Modelle sind nützlich für kleinmaßstäbliche Karten wie Weltatlanten und Globen, da der Fehler bei diesem Maßstab normalerweise nicht wahrnehmbar oder wichtig genug ist, um die Verwendung des komplizierteren Ellipsoids zu rechtfertigen. Das Ellipsoidmodell wird häufig verwendet, um topografische Karten zu erstellen und für andere groß- und mittelgroße Karten, die die Landoberfläche genau darstellen müssen. Bei der Projektion des Ellipsoids werden häufig Hilfsbreiten verwendet.

Ein drittes Modell ist das Geoid, eine komplexere und genauere Darstellung der Erdform, die mit dem durchschnittlichen Meeresspiegel übereinstimmt, der ohne Wind, Gezeiten oder Land wäre. Im Vergleich zum am besten passenden Ellipsoid würde ein Geoidmodell die Charakterisierung wichtiger Eigenschaften wie Abstand, Konformität und Äquivalenz verändern. Daher würde bei geoidalen Projektionen, die solche Eigenschaften beibehalten, das abgebildete Gradnetz von dem Gradnetz eines abgebildeten Ellipsoids abweichen. Normalerweise wird das Geoid jedoch nicht als Erdmodell für Projektionen verwendet, da die Erdform sehr regelmäßig ist, wobei die Welligkeit des Geoids weniger als 100 m vom Ellipsoidmodell aus dem 6,3 Millionen m Erdradius beträgt. Bei unregelmäßigen planetarischen Körpern wie Asteroiden werden jedoch manchmal Modelle verwendet, die dem Geoid analog sind, um Karten zu projizieren.^{[20][21][22][23][24]}

Andere reguläre Körper werden manchmal als Verallgemeinerungen für das geoidale Äquivalent kleinerer Körper verwendet. Zum Beispiel wird Io besser durch ein triaxiales Ellipsoid oder ein prolatiertes Sphäroid mit kleinen Exzentrizitäten modelliert. Haumeas Form ist ein Jacobi-Ellipsoid, mit seiner Hauptachse doppelt so lang wie seine Nebenachse und mit seiner Mittelachse eineinhalbmal so lang wie seine Nebenachse. Siehe Kartenprojektion des triaxialen Ellipsoids für weitere Informationen.

Einstufung[edit]

Eine grundlegende Projektionsklassifikation basiert auf der Art der Projektionsfläche, auf die der Globus konzeptionell projiziert wird. Die Projektionen werden so beschrieben, dass eine gigantische Oberfläche in Kontakt mit der Erde gebracht wird, gefolgt von einer impliziten Skalierungsoperation. Diese Oberflächen sind zylindrisch (zB Mercator), konisch (zB Albers) und eben (zB stereographisch). Viele mathematische Projektionen passen jedoch in keine dieser drei konzeptionellen Projektionsmethoden. Daher wurden in der Literatur andere Peer-Kategorien beschrieben, wie beispielsweise pseudokonisch, pseudozylindrisch, pseudoazimutal, retroazimutal und polykonisch.

Eine andere Möglichkeit, Projektionen zu klassifizieren, besteht darin, die Eigenschaften des Modells zu berücksichtigen, das sie beibehalten. Einige der häufigeren Kategorien sind:

• Richtung beibehalten (azimutal oder zenital), ein Merkmal, das nur von einem oder zwei Punkten zu jedem anderen Punkt möglich ist^[25]
• Lokale Formerhaltung (konform oder orthomorph)
• Aufbewahrungsbereich (flächentreu oder gleichgroß oder Äquivalent oder authentisch)
• Abstand wahren (gleich weit), ein Merkmal, das nur zwischen einem oder zwei Punkten und jedem anderen Punkt möglich ist
• Erhaltung der kürzesten Route, eine Eigenschaft, die nur durch die gnomonische Projektion erhalten bleibt

Da die Kugel keine entwickelbare Fläche ist, ist es unmöglich, eine Kartenprojektion zu konstruieren, die sowohl flächentreu als auch konform ist.

Projektionen nach Oberfläche[edit]

Die drei abwickelbaren Flächen (Ebene, Zylinder, Kegel) bieten nützliche Modelle zum Verstehen, Beschreiben und Entwickeln von Kartenprojektionen. Diese Modelle sind jedoch auf zwei grundlegende Arten beschränkt. Zum einen fallen die meisten verwendeten Weltprojektionen in keine dieser Kategorien. Zum anderen sind selbst die meisten Projektionen, die in diese Kategorien fallen, nicht auf natürliche Weise durch physische Projektion erreichbar. Wie LP Lee feststellt,

In den obigen Definitionen wurde kein Bezug auf Zylinder, Kegel oder Ebenen genommen. Die Vorsprünge werden zylindrisch oder konisch genannt, weil sie als auf einem Zylinder bzw. einem Kegel entwickelt betrachtet werden können, aber auf die Darstellung von Zylindern und Kegeln sollte auch verzichtet werden, da sie zu vielen Missverständnissen geführt haben. Dies gilt insbesondere für die Kegelprojektionen mit zwei Standardparallelen: Sie können als auf Kegeln entwickelt betrachtet werden, sind aber Kegel, die keine einfache Beziehung zur Kugel haben. In Wirklichkeit liefern uns Zylinder und Kegel praktische beschreibende Begriffe, aber sonst wenig.^[26]

Lees Einwand bezieht sich auf die Art und Weise, wie die Begriffe zylindrisch, konisch, und planar (azimutal) wurden im Bereich der Kartenprojektionen abstrahiert. Würde man Karten wie durch einen Globus scheinendes Licht auf eine abwickelbare Fläche projizieren, dann würde der Abstand der Parallelen nur sehr begrenzten Möglichkeiten folgen. Ein solcher zylindrischer Vorsprung (zum Beispiel) ist einer, der:

1. Ist rechteckig;
2. Hat gerade vertikale Meridiane, die gleichmäßig verteilt sind;
3. Hat gerade Parallelen, die symmetrisch um den Äquator angeordnet sind;
4. Hat Parallelen, die darauf beschränkt sind, wo sie fallen, wenn Licht durch die Kugel auf den Zylinder scheint, wobei die Lichtquelle irgendwo entlang der Linie liegt, die durch den Schnittpunkt des Nullmeridians mit dem Äquator und dem Mittelpunkt der Kugel gebildet wird.

(Wenn Sie den Globus vor der Projektion drehen, sind die Parallelen und Meridiane nicht unbedingt immer noch gerade Linien. Drehungen werden normalerweise zum Zwecke der Klassifizierung ignoriert.)

Wo die Lichtquelle entlang der in dieser letzten Einschränkung beschriebenen Linie ausstrahlt, ergeben sich die Unterschiede zwischen den verschiedenen “natürlichen” zylindrischen Projektionen. Aber der Begriff zylindrisch wie im Bereich der Kartenprojektionen verwendet, lockert die letzte Einschränkung vollständig. Stattdessen können die Parallelen nach einem beliebigen Algorithmus platziert werden, den der Designer für die Anforderungen der Karte entschieden hat. Die berühmte Mercator-Projektion ist eine Projektion, bei der die Platzierung von Parallelen nicht durch Projektion entsteht; stattdessen werden Parallelen so platziert, wie sie sein müssen, um die Eigenschaft zu erfüllen, dass ein Kurs mit konstanter Peilung immer als gerade Linie gezeichnet wird.

Zylindrisch[edit]

Die Mercator-Projektion zeigt Rauten als gerade Linien. Ein Rhumb ist ein Kurs von konstanter Peilung. Peilung ist die Kompass-Bewegungsrichtung.

Eine normale zylindrische Projektion ist jede Projektion, bei der Meridiane auf gleichmäßig beabstandete vertikale Linien und Breitenkreise (Parallel) auf horizontale Linien abgebildet werden.

Die Abbildung von Meridianen auf vertikale Linien kann visualisiert werden, indem man sich einen Zylinder vorstellt, dessen Achse mit der Rotationsachse der Erde zusammenfällt. Dieser Zylinder wird um die Erde gewickelt, auf ihn projiziert und dann abgerollt.

Durch die Geometrie ihrer Konstruktion erstrecken sich zylindrische Vorsprünge über Entfernungen von Ost nach West. Der Dehnungsbetrag ist bei jedem gewählten Breitengrad auf allen zylindrischen Projektionen gleich und wird durch die Sekante des Breitengrads als Vielfaches der Äquatorskala angegeben. Die verschiedenen zylindrischen Projektionen unterscheiden sich allein durch ihre Nord-Süd-Streckung (wobei die Breite durch φ gegeben ist):

• Nord-Süd-Streckung entspricht Ost-West-Streckung (sec φ): Die Ost-West-Skala entspricht der Nord-Süd-Skala: konform zylindrisch oder Mercator; dies verzerrt Gebiete in hohen Breiten übermäßig (siehe auch Mercator quer).
• Die Nord-Süd-Ausdehnung wächst mit dem Breitengrad schneller als die Ost-West-Ausdehnung (sec²φ): Die zylindrische perspektivische (oder zentrale zylindrische) Projektion; ungeeignet, da die Verzerrung noch schlimmer ist als bei der Mercator-Projektion.
• Die Nord-Süd-Ausdehnung wächst mit dem Breitengrad, aber weniger schnell als die Ost-West-Ausdehnung: wie die Miller-Zylinderprojektion (sec 4/5φ).
• Nord-Süd-Abstände weder gestreckt noch gestaucht (1): gleicheckige Projektion oder “Plattenkarree”.
• Die Nord-Süd-Kompression entspricht dem Kosinus des Breitengrades (dem Kehrwert der Ost-West-Streckung): flächengleich zylindrisch. Diese Projektion weist viele benannte Spezialisierungen auf, die sich nur in der Skalierungskonstante unterscheiden, wie z Der Equator). Da diese Projektion Nord-Süd-Entfernungen durch den Kehrwert der Ost-West-Streckung skaliert, bleibt die Fläche auf Kosten der Formen erhalten.

Im ersten Fall (Mercator) entspricht die Ost-West-Skala immer der Nord-Süd-Skala. Im zweiten Fall (zentralzylindrisch) überschreitet die Nord-Süd-Skala die Ost-West-Skala überall vom Äquator entfernt. Jeder verbleibende Fall hat ein Paar Sekanten – ein Paar identischer Breiten mit entgegengesetztem Vorzeichen (oder dem Äquator), bei denen die Ost-West-Skala mit der Nord-Süd-Skala übereinstimmt.

Normale zylindrische Projektionen bilden die gesamte Erde als endliches Rechteck ab, außer in den ersten beiden Fällen, in denen sich das Rechteck unendlich weit ausdehnt, während es eine konstante Breite behält.

Pseudozylindrisch[edit]

Eine sinusförmige Projektion zeigt die relativen Größen genau, verzerrt jedoch die Formen stark. Verzerrungen können durch “Unterbrechen” der Karte reduziert werden.

Pseudozylindrische Projektionen repräsentieren die zentral Meridian als gerades Liniensegment. Andere Meridiane sind länger als der Mittelmeridian und biegen sich nach außen, weg vom Mittelmeridian. Pseudozylindrische Projektionen bilden Parallelen als gerade Linien ab. Entlang von Parallelen wird jeder Punkt von der Oberfläche in einem Abstand vom Mittelmeridian abgebildet, der proportional zu seiner Längendifferenz vom Mittelmeridian ist. Daher sind Meridiane entlang einer gegebenen Parallele gleich beabstandet. Auf einer pseudozylindrischen Karte hat jeder Punkt, der weiter vom Äquator entfernt ist als ein anderer Punkt, einen höheren Breitengrad als der andere Punkt, wodurch die Nord-Süd-Beziehungen erhalten bleiben. Dieses Merkmal ist nützlich, wenn Sie Phänomene veranschaulichen, die vom Breitengrad abhängen, wie z. B. das Klima. Beispiele für pseudozylindrische Projektionen sind:

• Sinusoidal, die erste entwickelte pseudozylindrische Projektion. Auf der Karte ist die Länge jeder Parallele wie in der Realität proportional zum Kosinus der Breite.^[27] Die Fläche jeder Region ist wahr.
• Collignon-Projektion, die in ihren häufigsten Formen jeden Meridian als zwei gerade Liniensegmente darstellt, eines von jedem Pol zum Äquator.

Hybrid[edit]

Die HEALPix-Projektion kombiniert eine flächentreue zylindrische Projektion in äquatorialen Regionen mit der Collignon-Projektion in Polargebieten.

Konisch[edit]

Albers konisch.

Der Begriff “konische Projektion” wird verwendet, um sich auf jede Projektion zu beziehen, bei der Meridiane auf gleich beabstandete Linien abgebildet werden, die vom Scheitel ausstrahlen und Breitenkreise (Parallel) auf Kreisbögen abgebildet werden, die auf dem Scheitel zentriert sind.^[28]

Beim Erstellen einer konischen Karte wählt der Kartenhersteller willkürlich zwei Standardparallelen aus. Diese Standardparallelen können als Sekantenlinien visualisiert werden, an denen der Kegel die Erdkugel schneidet – oder, wenn der Kartenersteller dieselbe Parallele zweimal wählt, als Tangente, an der der Kegel die Erdkugel tangiert. Die resultierende konische Karte weist eine geringe Verzerrung in Maßstab, Form und Fläche in der Nähe dieser Standardparallelen auf. Abstände entlang der Parallelen nördlich beider Standardparallelen oder südlich beider Standardparallelen werden gestreckt; Abstände entlang von Parallelen zwischen den Standardparallelen werden komprimiert. Wenn eine einzelne Standardparallele verwendet wird, werden die Abstände entlang aller anderen Parallelen gedehnt.

Konische Projektionen, die häufig verwendet werden, sind:

• Äquidistanter Kegelschnitt, der Parallelen entlang der Meridiane gleichmäßig beabstandet hält, um eine konstante Entfernungsskala entlang jedes Meridians beizubehalten, typischerweise die gleiche oder eine ähnliche Skala wie entlang der Standardparallelen.
• Albers-Kegel, der den Nord-Süd-Abstand zwischen nicht standardmäßigen Parallelen anpasst, um die Ost-West-Streckung oder -Stauchung zu kompensieren, wodurch eine flächentreue Karte entsteht.
• Lambert-konformer Kegelschnitt, der den Nord-Süd-Abstand zwischen nicht standardmäßigen Parallelen an die Ost-West-Streckung anpasst, wodurch eine konforme Karte entsteht.

Pseudokonisch[edit]

• Bonne, eine flächentreue Projektion, auf der die meisten Meridiane und Parallelen als gekrümmte Linien erscheinen. Es hat eine konfigurierbare Standardparallele, entlang der es keine Verzerrungen gibt.
• Werner herzförmig, auf dem die Abstände von einem Pol sowie entlang aller Parallelen korrekt sind.
• Amerikanische polykonische und andere Projektionen in der polykonischen Projektionsklasse.

Azimutal (Projektionen auf eine Ebene)[edit]

Eine azimutale äquidistante Projektion zeigt Entfernungen und Richtungen vom Mittelpunkt genau an, verzerrt jedoch Formen und Größen an anderer Stelle.

Azimutale Projektionen haben die Eigenschaft, dass Richtungen von einem Mittelpunkt aus erhalten bleiben und daher Großkreise durch den Mittelpunkt durch gerade Linien auf der Karte dargestellt werden. Auch diese Projektionen haben eine radiale Symmetrie in den Maßstäben und damit in den Verzerrungen: Kartenentfernungen vom Mittelpunkt werden durch eine Funktion berechnet R(D) der wahren Entfernung D, unabhängig vom Winkel; entsprechend werden Kreise mit dem Mittelpunkt als Mittelpunkt in Kreise abgebildet, die als Mittelpunkt den Mittelpunkt auf der Karte haben.

Die Abbildung radialer Linien kann visualisiert werden, indem man sich eine ebene Tangente an die Erde vorstellt, mit dem Mittelpunkt als Tangentenpunkt.

Die radiale Skala ist R’(D) und die Querskala R(D)/(R Sünde D/R) wo R ist der Radius der Erde.

Einige azimutale Projektionen sind echte perspektivische Projektionen; das heißt, sie können mechanisch konstruiert werden, indem sie die Erdoberfläche durch Verlängern von Linien von einem Perspektivenpunkt (entlang einer unendlichen Linie durch den Tangentialpunkt und die Antipode des Tangentialpunkts) auf die Ebene projizieren:

• Die gnomonische Projektion stellt Großkreise als gerade Linien dar. Kann unter Verwendung eines Perspektivenpunkts im Mittelpunkt der Erde konstruiert werden. R(D) = C bräunen D/R; so dass auch nur eine Halbkugel schon unendlich groß ist.^[29][30]
• Die orthographische Projektion bildet jeden Punkt auf der Erde auf den nächstgelegenen Punkt auf der Ebene ab. Kann aus einer Perspektive in unendlicher Entfernung vom Tangentenpunkt konstruiert werden; R(D) = C Sünde D/R.^[31] Kann bis zu einer Halbkugel auf einem endlichen Kreis darstellen. Aufnahmen der Erde aus ausreichender Entfernung, wie zum Beispiel des Mondes, kommen dieser Perspektive nahe.
• Nahseitige perspektivische Projektion, die den Blick aus dem Weltraum in endlicher Entfernung simuliert und daher weniger als eine volle Halbkugel zeigt, wie sie in . verwendet wird Der blaue Marmor 2012).^[32]
• Die Projektion der allgemeinen Perspektive kann konstruiert werden, indem ein Perspektivenpunkt außerhalb der Erde verwendet wird. Fotografien der Erde (wie die von der Internationalen Raumstation) geben diese Perspektive. Es ist eine Verallgemeinerung der nahseitigen perspektivischen Projektion, die eine Neigung ermöglicht.
• Die stereographische Projektion, die konform ist, kann konstruiert werden, indem man den Antipoden des Tangentenpunktes als Perspektivenpunkt verwendet. R(D) = C bräunen D/2R; die skala ist C/(2R cos² D/2R).^[33] Kann fast die gesamte Oberfläche der Kugel auf einem endlichen Kreis darstellen. Die volle Oberfläche der Kugel erfordert eine unendliche Karte.

Andere azimutale Projektionen sind keine echten perspektivischen Projektionen:

• Azimutal äquidistant: R(D) = CD; Es wird von Funkamateuren verwendet, um die Richtung zu kennen, in die ihre Antennen auf einen Punkt ausgerichtet werden, und um die Entfernung zu diesem zu sehen. Die Entfernung vom Tangentenpunkt auf der Karte ist proportional zur Oberflächenentfernung auf der Erde (;^[34] für den Fall, dass der Tangentenpunkt der Nordpol ist, siehe die Flagge der Vereinten Nationen)
• Lambert azimutale flächentreue. Die Entfernung vom Tangentenpunkt auf der Karte ist proportional zur geradlinigen Entfernung durch die Erde: R(D) = C Sünde D/2R^[35]
• Das logarithmische Azimut ist so konstruiert, dass die Entfernung jedes Punktes vom Mittelpunkt der Karte dem Logarithmus seiner Entfernung vom Tangentenpunkt auf der Erde entspricht. R(D) = C ln D/D₀); Orte näher als in einer Entfernung gleich der Konstante D₀ werden nicht angezeigt.^[36][37]

Vergleich einiger auf 90° N zentrierter azimutaler Projektionen im gleichen Maßstab, geordnet nach Projektionshöhe in Erdradien. (klicken Sie für Details)

Projektionen durch Erhaltung einer metrischen Eigenschaft[edit]

konform[edit]

Konforme oder orthomorphe Kartenprojektionen behalten Winkel lokal bei, was bedeutet, dass sie infinitesimale Kreise konstanter Größe überall auf der Erde auf infinitesimale Kreise unterschiedlicher Größe auf der Karte abbilden. Im Gegensatz dazu verzerren Abbildungen, die nicht konform sind, die meisten dieser kleinen Kreise zu Verzerrungsellipsen. Eine wichtige Konsequenz der Konformität besteht darin, dass die relativen Winkel an jedem Punkt der Karte korrekt sind und der lokale Maßstab (obwohl er in der gesamten Karte variiert) in jeder Richtung um jeden Punkt konstant ist. Dies sind einige konforme Projektionen:

Flächengleich[edit]

Flächengleiche Karten behalten das Flächenmaß bei und verzerren im Allgemeinen die Formen, um dies zu tun. Flächengleiche Karten werden auch genannt Äquivalent oder authentisch. Dies sind einige Projektionen, die den Bereich erhalten:

Äquidistant[edit]

Wenn die Länge des Liniensegments, das zwei projizierte Punkte auf der Ebene verbindet, proportional zum geodätischen Abstand (kürzeste Fläche) zwischen den beiden nicht projizierten Punkten auf dem Globus ist, dann sagen wir, dass der Abstand zwischen diesen beiden Punkten beibehalten wurde. Ein äquidistante Projektion behält Abstände von einem oder zwei speziellen Punkten zu allen anderen Punkten bei. Der oder die Sonderpunkte können bei der Projektion zu einer Linie oder einem Kurvensegment gestreckt werden. In diesem Fall muss der Punkt auf der Linie oder dem Kurvensegment verwendet werden, der dem Messpunkt am nächsten liegt, um die Entfernung zu messen.

Gnomonic[edit]

Großkreise werden als gerade Linien dargestellt:

Retroazimutal[edit]

Richtung zu einem festen Ort B (die Peilung am Startort A der kürzesten Route) entspricht der Richtung auf der Karte von A nach B:

Kompromissvorhersagen[edit]

Kompromissprojektionen geben die Idee auf, metrische Eigenschaften perfekt zu erhalten, und versuchen stattdessen, ein Gleichgewicht zwischen Verzerrungen zu finden oder einfach alles richtig aussehen zu lassen. Die meisten dieser Projektionsarten verzerren die Form in den Polarregionen stärker als am Äquator. Dies sind einige Kompromissprognosen:

Welche Projektion ist die beste?[edit]

Die Mathematik der Projektion erlaubt es nicht, dass eine bestimmte Kartenprojektion für alles am besten ist.^[38] Etwas wird immer verzerrt sein. Daher gibt es viele Projektionen, die den vielen Verwendungszwecken von Karten und ihren großen Skalenbereichen dienen.

Moderne nationale Kartierungssysteme verwenden typischerweise einen transversalen Mercator oder eine enge Variante für großräumige Karten, um Konformität und geringe Maßstabsabweichungen über kleine Gebiete zu bewahren. Für Karten in kleinerem Maßstab, etwa über Kontinente oder die ganze Welt, sind viele Projektionen entsprechend ihrer Eignung für diesen Zweck gebräuchlich, wie etwa Winkeltripel, Robinson und Mollweide.^[39] Referenzkarten der Welt erscheinen oft auf Kompromissprojektionen. Aufgrund von Verzerrungen, die jeder Weltkarte innewohnen, wird die Wahl der Projektion weitgehend eine ästhetische.

Thematische Karten erfordern normalerweise eine flächentreue Projektion, damit Phänomene pro Flächeneinheit im richtigen Verhältnis dargestellt werden.^[40]

Die korrekte Darstellung von Flächenverhältnissen verzerrt jedoch zwangsläufig Formen stärker als viele Karten, die nicht flächengleich sind.

Die für Navigationszwecke entwickelte Mercator-Projektion wurde oft in Weltkarten verwendet, wo andere Projektionen besser geeignet gewesen wären.^{[41][42][43][44]} Dieses Problem ist auch außerhalb der Fachkreise längst erkannt. Zum Beispiel ein 1943 New York Times redaktionell heißt es:

Es ist an der Zeit zu verwerfen [the Mercator] für etwas, das die Kontinente und Richtungen weniger trügerisch darstellt … Obwohl seine Verwendung … zurückgegangen ist … ist es als Wandkarte immer noch sehr beliebt, anscheinend zum Teil, weil es als rechteckige Karte eine rechteckige Wandfläche mit . ausfüllt mehr Karte, und zwar eindeutig, weil ihre Vertrautheit zu mehr Popularität führt.^{[3]: 166}

Eine Kontroverse in den 1980er Jahren über die Peters-Karte motivierte die American Cartographic Association (jetzt Cartography and Geographic Information Society), eine Reihe von Broschüren (einschließlich Welche Karte ist die beste?^[45]) entwickelt, um die Öffentlichkeit über Kartenprojektionen und Verzerrungen in Karten aufzuklären. In den Jahren 1989 und 1990 verabschiedeten sieben nordamerikanische geographische Organisationen nach einigen internen Debatten eine Resolution, in der sie empfahl, keine rechteckigen Projektionen (einschließlich Mercator und Gall-Peters) für Referenzkarten der Welt zu verwenden.^[46][47]

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

Zitate[edit]

Quellen[edit]

Externe Links[edit]