Glossar der Topologie – Wikipedia

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Mathematik Glossar

Dies ist ein Glossar mit einigen Begriffen, die in dem als Topologie bekannten Zweig der Mathematik verwendet werden. Obwohl es keine absolute Unterscheidung zwischen verschiedenen Bereichen der Topologie gibt, liegt der Fokus hier auf der allgemeinen Topologie. Die folgenden Definitionen sind auch für die algebraische Topologie, die differentielle Topologie und die geometrische Topologie von grundlegender Bedeutung.

Alle Räume in diesem Glossar werden als topologische Räume angenommen, sofern nicht anders angegeben.

Absolut geschlossen
Sehen H-geschlossen
Zugänglich
Sehen

.

Sammelpunkt
Siehe Grenzpunkt.
Alexandrov-Topologie
Die Topologie eines Raumes x ist eine Alexandrov-Topologie (oder ist endlich erzeugt) falls beliebige Schnittmengen offener Mengen in x sind offen oder äquivalent, wenn beliebige Vereinigungen abgeschlossener Mengen abgeschlossen sind, oder, wiederum äquivalent, wenn die offenen Mengen die oberen Mengen eines Poset sind.[1]
Fast diskret
Ein Raum ist fast diskret, wenn jede offene Menge abgeschlossen ist (daher clopen). Die fast diskreten Räume sind genau die endlich erzeugten nulldimensionalen Räume.
α-geschlossen, α-offen
Eine Teilmenge EIN eines topologischen Raums x ist α-offen, wenn
Anfahrtsraum
Ein Annäherungsraum ist eine Verallgemeinerung des metrischen Raums basierend auf Punkt-zu-Satz-Abständen anstelle von Punkt-zu-Punkt.
Baire-Raum
Dies hat zwei verschiedene gemeinsame Bedeutungen:

  1. Ein Leerzeichen ist a Baire-Raum wenn der Schnittpunkt einer abzählbaren Sammlung dichter offener Mengen dicht ist; siehe Baire-Raum.
  2. Baire-Raum ist die Menge aller Funktionen von den natürlichen Zahlen bis zu den natürlichen Zahlen mit der Topologie der punktweisen Konvergenz; siehe Baire-Raum (Mengentheorie).
Base
Eine Sammlung B der offenen Mengen ist eine Basis (oder Basis) für eine Topologie
Basis
Sehen Base.
β-offen
Sehen Halb-vorgeöffnet.
b-offen, b-geschlossen
Eine Teilmenge
Borel-Algebra
Die Borel-Algebra auf einem topologischen Raum
Borel-Set
Eine Borel-Menge ist ein Element einer Borel-Algebra.
Grenze
Die Grenze (oder Grenze) einer Menge ist der Abschluss der Menge abzüglich ihres Inneren. Äquivalent ist die Grenze einer Menge der Schnittpunkt ihres Abschlusses mit dem Abschluss seines Komplements. Grenze einer Menge
Begrenzt
Eine Menge in einem metrischen Raum ist beschränkt, wenn sie endlichen Durchmesser hat. Äquivalent ist eine Menge beschränkt, wenn sie in einer offenen Kugel mit endlichem Radius enthalten ist. Eine Funktion, die Werte in einem metrischen Raum annimmt, ist beschränkt, wenn ihr Bild eine beschränkte Menge ist.
Kategorie topologischer Räume
Die Kategorie Oberteil hat topologische Räume als Objekte und stetige Abbildungen als Morphismen.
Cauchy-Sequenz
Eine Sequenz {xn} in einem metrischen Raum (m, D) ist eine Cauchy-Folge, falls für jede positive reelle Zahl R, es gibt eine ganze Zahl n so dass für alle ganzen Zahlen m, n > n, wir haben D(xm, xn) R.
Clopen-Set
Eine Menge ist clopen, wenn sie sowohl offen als auch geschlossen ist.
Geschlossene Kugel
Wenn (m, D) ist ein metrischer Raum, eine geschlossene Kugel ist eine Menge der Form D(x; R) := {ja in m : D(x, ja) ≤ R}, wo x ist in m und R ist eine positive reelle Zahl, die Radius der Kugel. Eine geschlossene Kugel mit Radius R ist ein abgeschlossen R-Ball. Jede abgeschlossene Kugel ist eine abgeschlossene Menge in der auf . induzierten Topologie m durch D. Beachten Sie, dass die geschlossene Kugel D(x; R) ist möglicherweise nicht gleich der Schließung der offenen Kugel B(x; R).
Geschlossenes Set
Eine Menge ist abgeschlossen, wenn ihr Komplement ein Mitglied der Topologie ist.
Geschlossene Funktion
Eine Funktion von einem Raum zum anderen ist abgeschlossen, wenn das Bild jeder abgeschlossenen Menge abgeschlossen ist.
Schließung
Der Abschluss einer Menge ist die kleinste abgeschlossene Menge, die die ursprüngliche Menge enthält. Es ist gleich dem Durchschnitt aller abgeschlossenen Mengen, die es enthalten. Ein Element des Abschlusses einer Menge S ist ein Punkt der Schließung von S.
Verschluss-Operator
Sehen Kuratowski-Abschluss-Axiome.
Gröbere Topologie
Wenn x ist eine Menge, und wenn T1 und T2 sind Topologien auf x, dann T1 ist gröber (oder kleiner, schwächer) als T2 wenn T1 ist enthalten in T2. Vorsicht, einige Autoren, insbesondere Analysten, verwenden den Begriff stärker.
Comeagre
Eine Teilmenge EIN eines Raumes x ist komm (Comeager) wenn sein Komplement xEIN ist mager. Auch genannt Restwert.
Kompakt
Ein Raum ist kompakt, wenn jede offene Hülle eine endliche Teilhülle hat. Jeder kompakte Raum ist Lindelöf und parakompakt. Daher ist jeder kompakte Hausdorff-Raum normal. Siehe auch quasikompakt.
Kompakt-offene Topologie
Die kompakt-offene Topologie am Set C(x, Ja) aller stetigen Abbildungen zwischen zwei Räumen x und Ja ist wie folgt definiert: gegeben eine kompakte Teilmenge K von x und eine offene Teilmenge U von Ja, Lassen V(K, U) bezeichnet die Menge aller Karten F in C(x, Ja) so dass F(K) ist enthalten in U. Dann die Sammlung all solcher V(K, U) ist ein Unterbau für die kompakt-offene Topologie.
Vollständig
Ein metrischer Raum ist vollständig, wenn jede Cauchy-Folge konvergiert.
Vollständig metrisierbar/vollständig metrisierbar
Sehen kompletter Raum.
Ganz normal
Ein Raum ist völlig normal, wenn zwei beliebige getrennte Mengen disjunkte Nachbarschaften haben.
Ganz normales Hausdorff
Ein ganz normaler Hausdorff-Raum (oder T5 Raum) ist ein ganz normales T1 Platz. (Ein ganz normaler Raum ist genau dann Hausdorff, wenn er T1, daher ist die Terminologie konsistent.) Jeder ganz normale Hausdorff-Raum ist normaler Hausdorff-Raum.
Völlig regelmäßig
Ein Leerzeichen ist völlig regelmäßig, wenn, wann immer C ist eine abgeschlossene Menge und x ist ein Punkt nicht in C, dann C und {x} sind funktional getrennt.
Ganz T3
Sehen Tychonoff.
Komponente
Sehen Angeschlossene Komponente/Wegverbundene Komponente.
In Verbindung gebracht
Ein Raum ist zusammenhängend, wenn er nicht die Vereinigung zweier disjunkter nichtleerer offener Mengen ist. Äquivalent ist ein Raum zusammenhängend, wenn die einzigen clopen-Mengen der ganze Raum und die leere Menge sind.
Angeschlossene Komponente
Eine Zusammenhangskomponente eines Raumes ist ein maximaler nichtleerer zusammenhängender Unterraum. Jede verbundene Komponente ist geschlossen, und die Menge der verbundenen Komponenten eines Raums ist eine Partition dieses Raums.
Kontinuierlich
Eine Funktion von einem Raum zum anderen ist stetig, wenn das Urbild jeder offenen Menge offen ist.
Kontinuum
Ein Raum heißt Kontinuum, wenn er ein kompakter, zusammenhängender Hausdorff-Raum ist.
Kontrahierbar
Ein Leerzeichen x ist kontrahierbar, wenn die Identitätskarte auf x ist homotop zu einer konstanten Abbildung. Jeder kontrahierbare Raum ist einfach verbunden.
Kuppelprodukttopologie
Wenn {xich} ist eine Sammlung von Leerzeichen und x ist die (mengentheoretische) disjunkte Vereinigung von {xich}, dann die Koprodukttopologie (oder disjunkte Unionstopologie, topologische Summe des xich) An x ist die beste Topologie, für die alle Injektionskarten kontinuierlich sind.
Kosmischer Raum
Ein kontinuierliches Bild eines trennbaren metrischen Raums.[3]
Abzählbarer Kettenzustand
Ein Leerzeichen x erfüllt die abzählbare Kettenbedingung, wenn jede Familie von nicht leeren, paarweise disjunkten offenen Mengen abzählbar ist.
Abzählbar kompakt
Ein Raum ist abzählbar kompakt, wenn jede abzählbare offene Hülle eine endliche Teilhülle hat. Jeder abzählbar kompakte Raum ist pseudokompakt und schwach abzählbar kompakt.
Abzählbar lokal endlich
Eine Sammlung von Teilmengen eines Raums x ist abzählbar lokal endlich (oder σ-lokal endlich) wenn es die Vereinigung einer abzählbaren Menge von lokal endlichen Mengen von Teilmengen von ist x.
Abdeckung
Eine Sammlung von Teilmengen eines Raums ist eine Abdeckung (oder Abdeckung) dieses Raums, wenn die Vereinigung der Sammlung den gesamten Raum ist.
Abdeckung
Sehen Abdeckung.
Schnittpunkt
Wenn x ist ein zusammenhängender Raum mit mehr als einem Punkt, dann ist ein Punkt x von x ist ein Schnittpunkt, wenn der Unterraum x − {x} ist getrennt.
δ-Cluster-Punkt, δ-geschlossen, δ-offen
Ein Punkt x eines topologischen Raums x ist ein δ-Clusterpunkt einer Teilmenge EIN wenn
Dichtes Set
Eine Menge ist dicht, wenn sie einen nichtleeren Schnitt mit jeder nichtleeren offenen Menge hat. Äquivalent ist eine Menge dicht, wenn ihr Abschluss der gesamte Raum ist.
In sich geschlossenes Set
Eine Menge ist an sich dicht, wenn sie keinen isolierten Punkt hat.
Dichte
die minimale Kardinalität einer dichten Teilmenge eines topologischen Raums. Eine Menge von Dichte ℵ0 ist ein trennbarer Raum.[5]
Abgeleitete Menge
Wenn x ist ein Raum und S ist eine Teilmenge von x, die abgeleitete Menge von S in x ist die Menge der Grenzpunkte von S in x.
Entwickelbarer Raum
Ein topologischer Raum mit einer Entwicklung.[6]
Entwicklung
Eine abzählbare Sammlung offener Hüllen eines topologischen Raums, so dass für jede abgeschlossene Menge C und jeder punkt P in seiner Ergänzung gibt es eine Abdeckung in der Sammlung, so dass jede Nachbarschaft von P in der abdeckung ist disjunkt von C.[6]
Durchmesser
Wenn (m, D) ist ein metrischer Raum und S ist eine Teilmenge von m, der Durchmesser von S ist das Höchste der Entfernungen D(x, ja), wo x und ja Reichweite über S.
Diskrete Metrik
Die diskrete Metrik auf einer Menge x ist die Funktion D : x × x → R so dass für alle x, ja in x, D(x, x) = 0 und D(x, ja) = 1 wenn x ≠ ja. Die diskrete Metrik induziert die diskrete Topologie auf x.
Diskreter Raum
Ein Leerzeichen x ist diskret, wenn jede Teilmenge von x ist offen. Wir sagen das x trägt die diskrete Topologie.[7]
Diskrete Topologie
Sehen diskreter Raum.
Disjunkte Unionstopologie
Sehen Kuppelprodukttopologie.
Ausbreitungspunkt
Wenn x ist ein zusammenhängender Raum mit mehr als einem Punkt, dann ist ein Punkt x von x ist ein Streupunkt, wenn der Unterraum x − {x} ist erblich getrennt (ihre einzigen zusammenhängenden Komponenten sind die Einpunktmengen).
Distanz
Sehen metrischer Raum.
Dummkopf (Topologie)
Gefolge
Sehen Einheitlicher Raum.
Außen
Das Äußere eines Sets ist das Innere seiner Ergänzung.
Fσ einstellen
Ein Fσ Menge ist eine abzählbare Vereinigung abgeschlossener Mengen.[8]
Filter
Siehe auch: Filter in der Topologie. Ein Filter auf einem Raum x ist eine nichtleere Familie F von Teilmengen von x so dass folgende Bedingungen gelten:

  1. Die leere Menge ist nicht in F.
  2. Der Schnittpunkt einer endlichen Anzahl von Elementen von F ist wieder dabei F.
  3. Wenn EIN ist in F und wenn B enthält EIN, dann B ist in F.
Endgültige Topologie
Am Set x bezüglich einer Familie von Funktionen in
Feintopologie (Potenzialtheorie)
Im euklidischen Raum
Feinere Topologie
Wenn x ist eine Menge, und wenn T1 und T2 sind Topologien auf x, dann T2 ist feiner (oder größer, stärker) als T1 wenn T2 enthält T1. Vorsicht, einige Autoren, insbesondere Analysten, verwenden den Begriff schwächer.
Endlich erzeugt
Sehen Alexandrov-Topologie.
Erste Kategorie
Sehen Mager.
Erstzählbar
Ein Raum ist erstzählbar, wenn jeder Punkt eine abzählbare lokale Basis hat.
Fréchet
Sehen T1.
Grenze
Sehen Grenze.
Vollständiger Satz
Eine kompakte Teilmenge K der komplexen Ebene heißt voll wenn sein Komplement verbunden ist. Zum Beispiel ist die geschlossene Einheitsscheibe voll, der Einheitskreis jedoch nicht.
Funktionell getrennt
Zwei Sets EIN und B in einem raum x sind funktional getrennt, wenn es eine stetige Abbildung gibt F: x → [0, 1] so dass F(EIN) = 0 und F(B) = 1.
gδ einstellen
EIN gδ setzen oder innerer Begrenzungssatz ist ein abzählbarer Durchschnitt offener Mengen.[8]
gδ Platz
Ein Raum, in dem jede abgeschlossene Menge a . ist gδ einstellen.[8]
Allgemeiner Punkt
Ein generischer Punkt für eine abgeschlossene Menge ist ein Punkt, für den die abgeschlossene Menge der Abschluss der Singleton-Menge ist, die diesen Punkt enthält.[11]
Hausdorff
Ein Hausdorff-Raum (oder T2 Platz) ist einer, bei dem alle zwei verschiedenen Punkte disjunkte Nachbarschaften haben. Jeder Hausdorff-Raum ist T1.
H-geschlossen
Ein Raum ist H-geschlossen, oder Hausdorff geschlossen oder absolut geschlossen, wenn sie in jedem Hausdorff-Raum, der sie enthält, abgeschlossen ist.
Erblich P
Ein Raum ist erblich P für einige Immobilien P wenn jeder Unterraum auch ist P.
Erblich
Eine Eigenschaft von Räumen heißt erblich, wenn immer dann, wenn ein Raum diese Eigenschaft hat, jeder Unterraum davon auch diese Eigenschaft hat.[12] Zum Beispiel ist die Zweitzählbarkeit eine erbliche Eigenschaft.
Homöomorphismus
Wenn x und Ja sind Räume, ein Homöomorphismus aus x zu Ja ist eine bijektive Funktion F : x → Ja so dass F und F-1 sind durchgehend. Die Räume x und Ja heißt dann homöomorph. Aus topologischer Sicht sind homöomorphe Räume identisch.
Homogen
Ein Leerzeichen x ist homogen, wenn für alle x und ja in x, es gibt einen Homöomorphismus F : x → x so dass F(x) = ja. Intuitiv sieht der Raum an jedem Punkt gleich aus. Jede topologische Gruppe ist homogen.
Homotope Karten
Zwei fortlaufende Karten F, g : x → Ja sind homotop (in Ja) wenn es eine kontinuierliche Karte gibt h : x × [0, 1] → Ja so dass h(x, 0) = F(x) und h(x, 1) = g(x) für alle x in x. Hier, x × [0, 1] ist die Produkttopologie gegeben. Die Funktion h heißt a Homotopie (in Ja) zwischen F und g.
Homotopie
Sehen Homotope Karten.
Hyper-verbunden
Ein Raum ist hyperverknüpft, wenn keine zwei nicht-leeren offenen Mengen disjunkt sind[13] Jeder hyperverbundene Raum ist verbunden.[13]
Identifikationskarte
Sehen Quotientenkarte.
Identifikationsraum
Sehen Quotientenraum.
Indiskreter Raum
Sehen Triviale Topologie.
Unendlich-dimensionale Topologie
Sehen Hilbert Mannigfaltigkeit und Q-Verteiler, dh (verallgemeinerte) Mannigfaltigkeiten, modelliert auf dem Hilbert-Raum bzw. auf dem Hilbert-Würfel.
Inneres Begrenzungsset
EIN gδ einstellen.[8]
Innere
Das Innere eines Satzes ist der größte offene Satz, der im ursprünglichen Satz enthalten ist. Sie ist gleich der Vereinigung aller darin enthaltenen offenen Mengen. Ein Element des Inneren einer Menge S ist ein innerer Punkt von S.
Innenpunkt
Sehen Innere.
Isolierter Punkt
Ein Punkt x ist ein isolierter Punkt, wenn das Singleton {x} ist offen. Allgemeiner gesagt, wenn S ist eine Teilmenge eines Raumes x, und wenn x ist ein Punkt von S, dann x ist ein isolierter Punkt von S wenn {x} ist in der Unterraumtopologie auf . offen S.
Isometrischer Isomorphismus
Wenn m1 und m2 sind metrische Räume, ein isometrischer Isomorphismus aus m1 zu m2 ist eine bijektive Isometrie F : m1 → m2. Die metrischen Räume heißen dann isometrisch isomorph. Vom Standpunkt der metrischen Raumtheorie sind isometrisch isomorphe Räume identisch.
Isometrie
Wenn (m1, D1) und (m2, D2) sind metrische Räume, eine Isometrie aus m1 zu m2 ist eine Funktion F : m1 → m2 so dass D2(F(x), F(ja)) = D1(x, ja) für alle x, ja in m1. Jede Isometrie ist injektiv, obwohl nicht jede Isometrie surjektiv ist.
Kolmogorov-Axiom
Sehen T0.
Kuratowski-Abschluss-Axiome
Die Kuratowski-Abschluss-Axiome sind eine Menge von Axiomen, die von der Funktion erfüllt sind, die jede Teilmenge von x bis zur Schließung:

  1. Isotonie: Jede Menge ist in ihrem Abschluss enthalten.
  2. Idempotenz: Der Abschluss des Abschlusses einer Menge ist gleich dem Abschluss dieser Menge.
  3. Erhaltung binärer Vereinigungen: Der Abschluss der Vereinigung zweier Mengen ist die Vereinigung ihrer Abschlüsse.
  4. Erhaltung der nullaren Gewerkschaften: Der Abschluss der leeren Menge ist leer.
Wenn C ist eine Funktion aus der Potenzmenge von x für sich, dann C ist ein Verschlussoperator wenn es die Kuratowski-Abschluss-Axiome erfüllt. Die Kuratowski-Abschluss-Axiome können dann verwendet werden, um eine Topologie auf zu definieren x indem man die abgeschlossenen Mengen als Fixpunkte dieses Operators deklariert, also eine Menge EIN ist genau dann geschlossen, wenn C(EIN) = EIN.
Kolmogorov-Topologie
TKol = {R,
L-Raum
Ein L-Raum ist ein erblich bedingter Lindelöf-Raum, der nicht erblich trennbar ist. Eine Suslin-Linie wäre ein L-Raum.[14]
Größere Topologie
Sehen Feinere Topologie.
Grenzpunkt
Ein Punkt x in einem raum x ist ein Grenzpunkt einer Teilmenge S wenn jede offene Menge enthält x enthält auch einen Punkt von S außer x selbst. Dies entspricht der Forderung, dass jede Umgebung von x enthält einen Punkt von S außer x selbst.
Grenzpunkt kompakt
Sehen Schwach abzählbar kompakt.
Lindelöf
Ein Leerzeichen ist Lindelöf, wenn jeder offene Deckel einen abzählbaren Teildeckel hat.
Lokale Basis
Ein Satz B der Nachbarschaften eines Punktes x eines Raumes x ist eine lokale Basis (oder lokale Basis, Nachbarschaftsbasis, Nachbarschaftsbasis) bei x wenn jede nachbarschaft von x enthält ein Mitglied von B.
Lokale Basis
Sehen Lokale Basis.
Lokal (P) Raum
Es gibt zwei Definitionen dafür, dass ein Raum “lokal (P)” ist, wobei (P) eine topologische oder mengentheoretische Eigenschaft ist: dass jeder Punkt eine Umgebung mit der Eigenschaft (P) hat, oder dass jeder Punkt eine Nachbarbasis hat, für die jedes Mitglied hat Eigentum (P). Die erste Definition wird normalerweise für lokal kompakt, abzählbar kompakt, metrisierbar, separierbar, abzählbar verwendet; die zweite für lokal verbunden.[15]
Lokal geschlossene Teilmenge
Eine Teilmenge eines topologischen Raums, die der Schnittpunkt einer offenen und einer geschlossenen Teilmenge ist. Äquivalent ist es eine relativ offene Teilmenge seines Abschlusses.
Lokal kompakt
Ein Raum ist lokal kompakt, wenn jeder Punkt eine kompakte Umgebung hat: Manchmal wird die alternative Definition verwendet, dass jeder Punkt eine lokale Basis hat, die aus kompakten Umgebungen besteht: diese sind äquivalent für Hausdorff-Räume.[15] Jeder lokal kompakte Hausdorff-Raum ist Tychonoff.
Lokal verbunden
Ein Raum ist lokal zusammenhängend, wenn jeder Punkt eine lokale Basis hat, die aus zusammenhängenden Umgebungen besteht.[15]
Lokal dicht
sehen Voreröffnung.
Lokal endlich
Eine Menge von Teilmengen eines Raumes ist lokal endlich, wenn jeder Punkt eine Umgebung hat, die einen nichtleeren Schnitt mit nur endlich vielen Teilmengen hat. Siehe auch abzählbar lokal endlich, Punkt endlich.
Lokal metrisierbar/Lokal meßbar
Ein Raum ist lokal metrisierbar, wenn jeder Punkt eine metrisierbare Umgebung hat.[15]
Lokal pfadverbunden
Ein Raum ist lokal pfadbezogen, wenn jeder Punkt eine lokale Basis hat, die aus pfadverbundenen Umgebungen besteht.[15] Ein lokal pfadverbundener Raum ist genau dann verbunden, wenn er pfadverbunden ist.
Lokal einfach verbunden
Ein Raum ist lokal einfach zusammenhängend, wenn jeder Punkt eine lokale Basis hat, die aus einfach zusammenhängenden Umgebungen besteht.
Schleife
Wenn x ist ein Punkt in einem Raum x, eine Schleife bei x in x (oder eine Schleife in x mit Basispunkt x) ist ein Weg F in x, so dass F(0) = F(1) = x. Äquivalent, eine Schleife in x ist eine stetige Abbildung aus dem Einheitskreis S1 hinein x.
Mager
Wenn x ist ein Raum und EIN ist eine Teilmenge von x, dann EIN ist mager in x (Oder von erste Kategorie in x), wenn es die abzählbare Vereinigung von nirgendwo dichten Mengen ist. Wenn EIN ist nicht mager in x, EIN ist von zweite Kategorie in x.[16]
Metakompakt
Ein Raum ist metakompakt, wenn jede offene Hülle eine punkt- endliche offene Verfeinerung besitzt.
Metrisch
Sehen metrischer Raum.
Messwertinvariante
Eine metrische Invariante ist eine Eigenschaft, die unter isometrischem Isomorphismus erhalten bleibt.
Metrische Karte
Wenn x und Ja sind metrische Räume mit Metriken Dx und DJa dann ist eine metrische Abbildung eine Funktion F von x zu Ja, so dass für alle Punkte x und ja in x, DJa(F(x), F(ja)) ≤ Dx(x, ja). Eine metrische Karte ist streng metrisch, wenn die obige Ungleichung für alle streng ist x und ja in x.
metrischer Raum
Ein metrischer Raum (m, D) Ist ein Satz m mit einer Funktion ausgestattet D : m × m → R die folgenden Axiome für alle erfüllen x, ja, und z in m:

  1. D(x, ja) ≥ 0
  2. D(x, x) = 0
  3. wenn D(x, ja) = 0 dann x = ja (Identität der Ununterscheidbaren)
  4. D(x, ja) = D(ja, x) (Symmetrie)
  5. D(x, z) ≤ D(x, ja) + D(ja, z) (Dreiecksungleichung)
Die Funktion D ist ein metrisch An m, und D(x, ja) ist der Distanz zwischen x und ja. Die Sammlung aller offenen Bälle von m ist eine Basis für eine Topologie auf m; das ist die topologie auf m verursacht durch D. Jeder metrische Raum ist Hausdorff und parakompakt (und damit normal und Tychonoff). Jeder metrische Raum ist zuerst abzählbar.
Metrisierbar/Messbar
Ein Raum ist metrisierbar, wenn er zu einem metrischen Raum homöomorph ist. Jeder metrisierbare Raum ist Hausdorff und parakompakt (und damit normal und Tychonoff). Jeder metrisierbare Raum ist zuerst abzählbar.
Monolith
Jeder nicht leere ultra-verbundene kompakte Raum x hat eine größte echte offene Teilmenge; diese Teilmenge heißt a Monolith.
Moore-Raum
Ein Moore-Raum ist ein entwickelbarer regulärer Hausdorff-Raum.[6]
Fast geöffnet
sehen voreröffnen.
Nachbarschaft/Gegend
Eine Nachbarschaft eines Punktes x ist eine Menge, die eine offene Menge enthält, die wiederum den Punkt enthält x. Allgemeiner gesagt, eine Nachbarschaft einer Menge S ist eine Menge, die eine offene Menge enthält, die wiederum die Menge enthält S. Eine Nachbarschaft eines Punktes x ist also eine Umgebung der Singletonmenge {x}. (Beachten Sie, dass nach dieser Definition die Nachbarschaft selbst nicht offen sein muss. Viele Autoren verlangen, dass Nachbarschaften offen sind; beachten Sie dabei die Konventionen.)
Nachbarschaftsbasis/Basis
Sehen Lokale Basis.
Nachbarschaftssystem für einen Punkt x
Ein Nachbarschaftssystem an einem Punkt x in einem Raum ist die Sammlung aller Stadtteile von x.
Netz
Ein Netz im Raum x ist eine Karte aus einer gerichteten Menge EIN zu x. Ein Netz von EIN zu x wird normalerweise bezeichnet (xα), wobei α eine Indexvariable ist, die über reicht EIN. Jede Folge ist ein Netz, wobei EIN die gerichtete Menge der natürlichen Zahlen mit der üblichen Ordnung sein.
Normal
Ein Raum ist normal, wenn zwei beliebige disjunkte abgeschlossene Mengen disjunkte Nachbarschaften haben.[8] Jeder normale Raum lässt eine Einheitspartition zu.
Normales Hausdorff
Ein normaler Hausdorff-Raum (oder T4 Leerzeichen) ist ein normales T1 Platz. (Ein normaler Raum ist genau dann Hausdorff, wenn er T1, daher ist die Terminologie konsistent.) Jeder normale Hausdorff-Raum ist Tychonoff.
Nirgendwo dicht
Eine nirgendwo dichte Menge ist eine Menge, deren Abschluss ein leeres Inneres hat.
Offene Abdeckung
Eine offene Abdeckung ist eine Abdeckung, die aus offenen Sätzen besteht.[6]
Offener Ball
Wenn (m, D) ist ein metrischer Raum, eine offene Kugel ist eine Menge der Form B(x; R) := {ja in m : D(x, ja) R}, wo x ist in m und R ist eine positive reelle Zahl, die Radius der Kugel. Eine offene Kugel mit Radius R ist ein offen R-Ball. Jede offene Kugel ist eine offene Menge in der Topologie auf m verursacht durch D.
Offener Zustand
Sehen offenes Grundstück.
Offenes Set
Eine offene Menge ist ein Mitglied der Topologie.
Öffnen-Funktion
Eine Funktion von einem Raum zum anderen ist offen, wenn das Bild jeder offenen Menge offen ist.
Immobilie öffnen
Eine Eigenschaft von Punkten in einem topologischen Raum heißt “offen”, wenn die Punkte, die sie besitzen, eine offene Menge bilden. Solche Bedingungen nehmen oft eine gemeinsame Form an, und diese Form kann als ein . bezeichnet werden offener Zustand; in metrischen Räumen definiert man beispielsweise eine offene Kugel wie oben und sagt, dass “strenge Ungleichung eine offene Bedingung ist”.
Parakompakt
Ein Raum ist parakompakt, wenn jede offene Hülle eine lokal endliche offene Verfeinerung besitzt. Parakompakt impliziert Metakompakt.[17] Parakompakte Hausdorff-Räume sind normal.[18]
Teilung der Einheit
Eine Teilung der Einheit eines Raumes x ist eine Menge stetiger Funktionen von x zu [0, 1] so dass jeder Punkt eine Umgebung hat, in der alle Funktionen bis auf eine endliche Anzahl identisch Null sind und die Summe aller Funktionen auf dem gesamten Raum identisch 1 ist.
Weg
Ein Weg in einem Raum x ist eine kontinuierliche Karte F aus dem geschlossenen Einheitsintervall [0, 1] hinein x. Der Punkt F(0) ist der Anfangspunkt von F; Der Punkt F(1) ist der Endpunkt von F.[13]
Wegverbunden
Ein Leerzeichen x ist wegzusammenhängend, wenn für alle zwei Punkte x, ja in x, es gibt einen Weg F von x zu ja, dh ein Weg mit Anfangspunkt F(0) = x und Endpunkt F(1) = ja. Jeder weggebundene Raum ist zusammenhängend.[13]
Wegverbundene Komponente
Eine pfadbezogene Komponente eines Raums ist ein maximaler nichtleerer pfadbezogener Unterraum. Die Menge der pfadbezogenen Komponenten eines Raums ist eine Aufteilung dieses Raums, die feiner ist als die Aufteilung in verbundene Komponenten.[13] Die Menge der wegbezogenen Komponenten eines Raumes x wird mit π . bezeichnet0(x).
Vollkommen normal
ein normaler Raum, der auch ein G . istδ.[8]
π-Basis
Eine Sammlung B nichtleerer offener Mengen ist eine π-Basis für eine Topologie τ wenn jede nichtleere offene Menge in τ eine Menge aus enthält B.[19]
Punkt
Ein Punkt ist ein Element eines topologischen Raums. Allgemeiner gesagt ist ein Punkt ein Element einer beliebigen Menge mit einer zugrunde liegenden topologischen Struktur; zB ist ein Element eines metrischen Raumes oder einer topologischen Gruppe auch ein “Punkt”.
Verschlusspunkt
Sehen Schließung.
Polieren
Ein Raum ist polnisch, wenn er separierbar und vollständig metrisierbar ist, dh wenn er zu einem separierbaren und vollständigen metrischen Raum homöomorph ist.
Polyadisch
Ein Raum ist polyadisch, wenn er das stetige Abbild der Kraft einer Einpunktkompaktifizierung eines lokal kompakten, nicht kompakten Hausdorff-Raums ist.
P-Punkt
Ein Punkt eines topologischen Raums ist ein P-Punkt, wenn sein Nachbarschaftsfilter unter abzählbaren Schnittpunkten geschlossen ist.
Vorkompakt
Sehen Relativ kompakt.
Voröffnungsset
Eine Teilmenge EIN eines topologischen Raums x ist vorgeöffnet, wenn
Prodiskrete Topologie
Die prodiskrete Topologie eines Produkts EINg ist die Produkttopologie, wenn jeder Faktor EIN ist die diskrete Topologie gegeben.[20]
Produkttopologie
Wenn
Richtige Funktion/Zuordnung
Eine stetige Funktion F aus einem raum x zu einem raum Ja ist richtig, wenn
Nähe Raum
Ein Nahraum (x, D) Ist ein Satz x ausgestattet mit einer binären Relation D zwischen Teilmengen von x die folgenden Eigenschaften erfüllen:
Für alle Teilmengen EIN, B und C von x,

  1. EIN D B impliziert B D EIN
  2. EIN D B impliziert EIN ist nicht leer
  3. Wenn EIN und B einen nicht leeren Schnittpunkt haben, dann EIN D B
  4. EIN D (B
  5. Wenn für alle Teilmengen E von x, wir haben (EIN D E oder B D E), dann müssen wir haben EIN D (x − B)
Pseudokompakt
Ein Raum ist pseudokompakt, wenn jede reellwertige stetige Funktion auf dem Raum beschränkt ist.
Pseudometrisch
Sehen Pseudometrischer Raum.
Pseudometrischer Raum
Ein pseudometrischer Raum (m, D) Ist ein Satz m ausgestattet mit einer Echtwertfunktion
Durchbohrte Nachbarschaft/Durchbohrte Nachbarschaft
Eine punktierte Umgebung eines Punktes x ist ein Stadtteil von x, minus {x}. Zum Beispiel ist das Intervall (−1, 1) = {ja : -1 ja < 1} ist eine Nachbarschaft von x = 0 in der reellen Zeile, also die Menge
Quasikompakt
Sehen kompakt. Einige Autoren definieren “kompakt”, um das Hausdorff-Trennungs-Axiom einzuschließen, und sie verwenden den Begriff quasikompakt was wir in diesem Glossar einfach “kompakt” nennen (ohne das Hausdorff-Axiom). Diese Konvention findet sich am häufigsten im Französischen und in Zweigen der Mathematik, die stark vom Französischen beeinflusst sind.
Quotientenkarte
Wenn x und Ja sind Leerzeichen, und wenn F ist eine Surjektion von x zu Ja, dann F ist eine Quotientenabbildung (oder Identifikationskarte) wenn für jede Teilmenge U von Ja, U ist geöffnet in Ja dann und nur dann, wenn F -1(U) ist geöffnet in x. Mit anderen Worten, Ja hat die F-starke Topologie. Äquivalent,
Quotientenraum
Wenn x ist ein Raum, Ja ist eine Menge, und F : x → Ja eine surjektive Funktion ist, dann ist die Quotiententopologie auf Ja verursacht durch F ist die beste Topologie für die F ist kontinuierlich. Der Raum x ist ein Quotientenraum oder Identifikationsraum. Per Definition, F ist eine Quotientenkarte. Das gängigste Beispiel hierfür ist die Betrachtung einer Äquivalenzrelation auf x, mit Ja die Menge der Äquivalenzklassen und F die natürliche Projektionskarte. Diese Konstruktion ist dual zur Konstruktion der Unterraumtopologie.
Raffinesse
Eine Deckung K ist eine Verfeinerung eines Covers L wenn jedes Mitglied von K ist eine Teilmenge eines Mitglieds von L.
Regulär
Ein Leerzeichen ist regulär, wenn, wann immer C ist eine abgeschlossene Menge und x ist ein Punkt nicht in C, dann C und x unzusammenhängende Nachbarschaften haben.
Regelmäßige Hausdorff
Ein Raum ist reguläres Hausdorff (oder T3) wenn es ein reguläres T . ist0 Platz. (Ein regulärer Raum ist genau dann Hausdorff, wenn er T0, daher ist die Terminologie konsistent.)
Regulär geöffnet
Eine Teilmenge eines Raumes x ist regulär offen, wenn es dem Inneren seines Verschlusses entspricht; dual ist eine reguläre geschlossene Menge gleich der Schließung ihres Inneren.[21] Ein Beispiel für eine nicht-reguläre offene Menge ist die Menge U = (0,1) ∪ (1,2) in R mit seiner normalen Topologie, da 1 im Inneren des Abschlusses von liegt U, aber nicht in U. Die regulären offenen Teilmengen eines Raumes bilden eine vollständige Boolesche Algebra.[21]
Relativ kompakt
Eine Teilmenge Ja eines Raumes x ist relativ kompakt in x wenn die Schließung von Ja in x ist kompakt.
Restwert
Wenn x ist ein Raum und EIN ist eine Teilmenge von x, dann EIN ist Rest in x wenn das Komplement von EIN ist mager in x. Auch genannt komm oder Comeager.
Auflösbar
Ein topologischer Raum heißt auflösbar, wenn er als Vereinigung zweier disjunkter dichter Teilmengen ausdrückbar ist.
Felgen-kompakt
Ein Raum ist randkompakt, wenn er eine Basis von offenen Mengen hat, deren Grenzen kompakt sind.
S-Raum
Ein S-Raum ist ein erblich trennbarer Raum, der nicht erblich Lindelöf ist.[14]
Verstreut
Ein Leerzeichen x ist gestreut, wenn jede nichtleere Teilmenge EIN von x enthält einen Punkt isoliert in EIN.
Scott
Die Scott-Topologie auf einem Poset ist diejenige, in der die offenen Mengen die oberen Mengen sind, auf die durch gerichtete Verknüpfungen nicht zugegriffen werden kann.[22]
Zweite Kategorie
Sehen Mager.
Sekundenzählbar
Ein Leerzeichen ist zweitzählbar oder perfekt trennbar wenn es eine abzählbare Basis für seine Topologie hat.[8] Jeder zweitzählbare Raum ist erstzählbar, trennbar und Lindelöf.
Semilokal einfach verbunden
Ein Leerzeichen x ist semilokal einfach zusammenhängend, wenn für jeden Punkt x in x, es gibt eine Nachbarschaft U von x so dass jede Schleife bei x in U ist homotop in x zur Dauerschleife x. Jeder einfach zusammenhängende Raum und jeder lokal einfach zusammenhängende Raum ist semilokal einfach zusammenhängend. (Vergleiche mit lokal einfach verbunden; hier darf die Homotopie leben x, während in der Definition von lokal einfach zusammenhängend die Homotopie in U.)
Halboffen
Eine Teilmenge EIN eines topologischen Raums x heißt halboffen, wenn
Halb-vorgeöffnet
Eine Teilmenge EIN eines topologischen Raums x heißt semi-preopen, wenn
Halbregulär
Ein Raum ist semiregulär, wenn die regulären offenen Mengen eine Basis bilden.
Trennbar
Ein Raum ist separierbar, wenn er eine abzählbare dichte Teilmenge hat.[8][16]
Getrennt
Zwei Sets EIN und B werden getrennt, wenn jeder von der Schließung des anderen getrennt ist.
Sequentiell kompakt
Ein Raum ist sequentiell kompakt, wenn jede Folge eine konvergente Teilfolge hat. Jeder sequentiell kompakte Raum ist abzählbar kompakt, und jeder erst abzählbare abzählbar kompakte Raum ist sequentiell kompakt.
Kurze Karte
Sehen metrische Karte
Einfach verbunden
Ein Raum ist einfach zusammenhängend, wenn er pfadgebunden ist und jede Schleife homotop zu einer konstanten Abbildung ist.
Kleinere Topologie
Sehen Gröbere Topologie.
Nüchtern
In einem nüchternen Raum ist jede irreduzible abgeschlossene Teilmenge der Abschluss genau eines Punktes, dh sie hat einen eindeutigen generischen Punkt.[24]
Stern
Der Stern eines Punktes in einer gegebenen Hülle eines topologischen Raums ist die Vereinigung aller Mengen in der Hülle, die den Punkt enthalten. Sehen Sternenveredelung.
Lassen
Stärkere Topologie
Sehen Feinere Topologie. Vorsicht, einige Autoren, insbesondere Analysten, verwenden den Begriff schwächere Topologie.
Unterbau
Eine Sammlung offener Mengen ist eine Unterbasis (oder Unterbasis) für eine Topologie, wenn jede nichtleere echte offene Menge in der Topologie eine Vereinigung endlicher Schnittmengen von Mengen in der Teilbasis ist. Wenn B ist beliebig Sammlung von Teilmengen einer Menge x, die Topologie auf x generiert von B ist die kleinste Topologie mit B; diese Topologie besteht aus der leeren Menge, x und alle Vereinigungen endlicher Schnittmengen von Elementen von B.
Unterbasis
Sehen Unterbau.
Teilcover
Eine Deckung K ist ein Subcover (oder unterdeckend) einer Abdeckung L wenn jedes Mitglied von K ist Mitglied von L.
Unterdeckung
Sehen Teilcover.
Submaximaler Raum
Ein topologischer Raum heißt submaximal wenn jede Teilmenge davon lokal abgeschlossen ist, dh jede Teilmenge ist der Schnittpunkt einer offenen und einer abgeschlossenen Menge.

Hier einige Fakten zur Submaximalität als Eigenschaft topologischer Räume:

  • Jeder Türraum ist submaximal.
  • Jeder submaximale Raum ist schwach submaximal nämlich jede endliche Menge ist lokal abgeschlossen.
  • Jeder submaximale Raum ist unauflösbar[25]
Unterraum
Wenn T ist eine Topologie auf einem Raum x, und wenn EIN ist eine Teilmenge von x, dann ist die Unterraumtopologie auf EIN verursacht durch T besteht aus allen Schnittmengen offener Mengen in T mit EIN. Diese Konstruktion ist dual zur Konstruktion der Quotiententopologie.
T0
Ein Raum ist T0 (oder Kolmogorov) wenn für jedes Paar unterschiedlicher Punkte x und ja im Raum gibt es entweder eine offene Menge mit x aber nicht ja, oder es gibt eine offene Menge mit ja aber nicht x.
T1
Ein Raum ist T1 (oder Fréchet oder zugänglich) wenn für jedes Paar unterschiedlicher Punkte x und ja im Raum gibt es eine offene Menge mit x aber nicht ja. (Vergleiche mit T0; hier dürfen wir angeben, welcher Punkt in der offenen Menge enthalten sein soll.) Äquivalent ist ein Raum T1 wenn alle seine Singletons geschlossen sind. Jedes T1 Raum ist T0.
T2
Sehen Hausdorff-Raum.
T3
Sehen Regelmäßige Hausdorff.
T3½
Sehen Tychonoff-Raum.
T4
Sehen Normales Hausdorff.
T5
Sehen Ganz normales Hausdorff.
Oberteil
Sehen Kategorie topologischer Räume.
θ-Cluster-Punkt, θ-geschlossen, θ-offen
Ein Punkt x eines topologischen Raums x ist ein θ-Clusterpunkt einer Teilmenge EIN wenn
Topologische Invariante
Eine topologische Invariante ist eine Eigenschaft, die unter Homöomorphismus erhalten bleibt. Kompaktheit und Verbundenheit sind beispielsweise topologische Eigenschaften, Beschränktheit und Vollständigkeit hingegen nicht. Algebraische Topologie ist das Studium topologisch invarianten abstrakter algebraischer Konstruktionen auf topologischen Räumen.
Topologischer Raum
Ein topologischer Raum (x, T) Ist ein Satz x ausgestattet mit einer Sammlung T von Teilmengen von x die folgenden Axiome erfüllen:
  1. Die leere Menge und x sind in T.
  2. Die Vereinigung einer beliebigen Sammlung von Mengen in T ist auch dabei T.
  3. Der Schnittpunkt eines beliebigen Paars von Mengen in T ist auch dabei T.
Die Sammlung T ist ein Topologie An x.
Topologische Summe
Sehen Kuppelprodukttopologie.
Topologisch vollständig
Vollständig metrisierbare Räume (dh topologische Räume, die zu vollständig metrischen Räumen homöomorph sind) werden oft als topologisch vollständig; manchmal wird der Begriff auch für ech-vollständige Räume oder vollständig uniformisierbare Räume verwendet.
Topologie
Sehen Topologischer Raum.
Völlig begrenzt
Ein metrischer Raum m ist total beschränkt, wenn für alle R > 0 existiert eine endliche Überdeckung von m durch offene Kugeln mit Radius R. Ein metrischer Raum ist genau dann kompakt, wenn er vollständig und total beschränkt ist.
Völlig getrennt
Ein Raum ist völlig unverbunden, wenn er keine zusammenhängende Teilmenge mit mehr als einem Punkt hat.
Triviale Topologie
Die triviale Topologie (oder indiskrete Topologie) auf einem Set x besteht aus genau der leeren Menge und dem gesamten Raum x.
Tychonoff
Ein Tychonoff-Raum (oder ganz normal Hausdorff Platz, ganz T3 Platz, T3.5 Raum) ist ein ganz reguläres T0 Platz. (Ein vollständig regulärer Raum ist Hausdorff genau dann, wenn er T0, daher ist die Terminologie konsistent.) Jeder Tychonoff-Raum ist reguläres Hausdorff.
Ultra-verbunden
Ein Raum ist ultrazusammenhängend, wenn keine zwei nichtleeren abgeschlossenen Mengen disjunkt sind.[13] Jeder ultra-verbundene Raum ist wegverbunden.
Ultrametrisch
Eine Metrik ist ultrametrisch, wenn sie die folgende stärkere Version der Dreiecksungleichung erfüllt: für alle x, ja, z in m, D(x, z) ≤ max(D(x, ja), D(ja, z)).
Einheitlicher Isomorphismus
Wenn x und Ja sind gleichförmige Räume, ein gleichförmiger Isomorphismus von x zu Ja ist eine bijektive Funktion F : x → Ja so dass F und F-1 sind gleichmäßig durchgehend. Die Räume heißen dann einheitlich isomorph und haben die gleichen einheitlichen Eigenschaften.
Uniformisierbar/Uniformisierbar
Ein Raum ist uniformisierbar, wenn er zu einem uniformen Raum homöomorph ist.
Einheitlicher Raum
Ein einheitlicher Raum ist eine Menge x ausgestattet mit einer nichtleeren Sammlung Φ von Teilmengen des kartesischen Produkts x × x die folgenden Axiome erfüllen:
  1. wenn U ist in Φ, dann U enthält { (x, x) | x in x }.
  2. wenn U ist in Φ, dann { (ja, x) | (x, ja) in U } ist auch in Φ
  3. wenn U ist in Φ und V ist eine Teilmenge von x × x was beinhaltet U, dann V ist in Φ
  4. wenn U und V sind in Φ, dann U ∩ V ist in Φ
  5. wenn U in Φ ist, dann existiert V in Φ so dass, wann immer (x, ja) und (ja, z) sind in V, dann (x, z) ist in U.
Die Elemente von Φ heißen Gefolge, und Φ selbst heißt a einheitliche Struktur An x. Die einheitliche Struktur induziert eine Topologie auf x wo die grundlegenden Viertel von x sind Mengen der Form {ja : (x,ja)∈U} zum U.
Einheitliche Struktur
Sehen Einheitlicher Raum.
Schwache Topologie
Die schwache Topologie auf einer Menge in Bezug auf eine Sammlung von Funktionen aus dieser Menge in topologische Räume ist die gröbste Topologie auf der Menge, die alle Funktionen stetig macht.
Schwächere Topologie
Sehen Gröbere Topologie. Vorsicht, einige Autoren, insbesondere Analysten, verwenden den Begriff stärkere Topologie.
Schwach abzählbar kompakt
Ein Raum ist schwach abzählbar kompakt (oder Grenzpunkt kompakt) wenn jede unendliche Teilmenge einen Grenzpunkt hat.
Schwach erblich
Eine Eigenschaft von Räumen heißt schwach erblich, wenn immer dann, wenn ein Raum diese Eigenschaft hat, auch jeder abgeschlossene Unterraum von ihm diese Eigenschaft hat. Zum Beispiel sind Kompaktheit und die Lindelöf-Eigenschaft beide schwach erbliche Eigenschaften, obwohl keine erblich ist.
Gewicht
Das Gewicht eines Raumes x ist die kleinste Kardinalzahl κ so dass x hat eine Basis von Kardinal κ. (Beachten Sie, dass eine solche Kardinalzahl existiert, weil die gesamte Topologie eine Basis bildet und weil die Klasse der Kardinalzahlen wohlgeordnet ist.)
Gut vernetzt
Sehen Ultra-verbunden. (Einige Autoren verwenden diesen Begriff ausschließlich für ultra-verbundene kompakte Räume.)
Nulldimensional
Ein Raum ist nulldimensional, wenn er eine Basis von Clopen-Mengen hat.[26]

Siehe auch[edit]

Topologiespezifische Konzepte
Andere Glossare

Verweise[edit]

  1. ^ Vickers (1989) S.22
  2. ^ Deza, Michel-Marie; Deza, Elena (2012). Enzyklopädie der Entfernungen. Springer-Verlag. P. 64. ISBN 978-3642309588.
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  4. ^ ein B C D Steen & Seebach (1978) S.163
  5. ^ Steen & Seebach (1978) S.41
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  13. ^ ein B C D e Hart et al. (2004) S.65
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  • Hart, Klaas Pieter; Nagata, Jun-iti; Vaughan, Jerry E. (2004). Enzyklopädie der allgemeinen Topologie. Sonst. ISBN 978-0-444-50355-8.
  • Kunen, Kenneth; Vaughan, Jerry E., Hrsg. (1984). Handbuch der mengentheoretischen Topologie. Nordholland. ISBN 0-444-86580-2.
  • Nagata, Jun-iti (1985). Moderne allgemeine Topologie. Nordholländische Mathematische Bibliothek. 33 (2. überarbeitete Aufl.). Amsterdam-New York-Oxford: Nord-Holland. ISBN 0080933793. Zbl 0598.54001.
  • Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1978). Gegenbeispiele in Topologie (Dover-Nachdruck der Ausgabe von 1978). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3. HERR 0507446.
  • Vickers, Steven (1989). Topologie über Logik. Cambridge Tracts in Theoretischer Informatik. 5. ISBN 0-521-36062-5. Zbl 0668.54001.
  • Willard, Stephen (1970). Allgemeine Topologie. Addison-Wesley-Reihe in Mathematik. Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-08707-9. Zbl 0205.26601. Auch als Dover-Nachdruck erhältlich.

Externe Links[edit]


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