Struktursteifigkeit – Wikipedia

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Kombinatorische Theorie der Mechanik und diskrete Geometrie

Diagramme werden als Stäbe gezeichnet, die durch rotierende Scharniere verbunden sind. Das Zyklusdiagramm C4 als Quadrat gezeichnet, kann durch die blaue Kraft in ein Parallelogramm gekippt werden, so dass es sich um einen flexiblen Graphen handelt. K3, als Dreieck gezeichnet, kann durch keine Kraft, die darauf einwirkt, verändert werden, daher handelt es sich um einen starren Graphen.

In der diskreten Geometrie und Mechanik strukturelle Steifigkeit ist eine kombinatorische Theorie zur Vorhersage der Flexibilität von Ensembles, die aus starren Körpern bestehen, die durch flexible Verbindungen oder Scharniere verbunden sind.

Definitionen[edit]

“Starre Grafik” leitet hierher weiter. Für die Bedeutung “hat keine nichttrivialen Automorphismen”, siehe Asymmetrischer Graph.

Steifigkeit ist die Eigenschaft einer Struktur, dass sie sich unter einer aufgebrachten Kraft nicht biegt oder biegt. Das Gegenteil von Starrheit ist Flexibilität. In der strukturellen Starrheitstheorie werden Strukturen durch Ansammlungen von Objekten gebildet, die selbst starre Körper sind, von denen oft angenommen wird, dass sie einfache geometrische Formen wie gerade Stäbe (Liniensegmente) annehmen, mit Paaren von Objekten, die durch flexible Scharniere verbunden sind. Eine Struktur ist starr, wenn sie sich nicht biegen kann; das heißt, wenn es keine kontinuierliche Bewegung der Struktur gibt, die die Form ihrer starren Komponenten und das Muster ihrer Verbindungen an den Scharnieren beibehält.

Es gibt zwei grundsätzlich verschiedene Arten von Starrheit. Endlich oder makroskopische Steifigkeit bedeutet, dass sich die Struktur nicht um einen positiven Betrag biegt, faltet oder biegt. Unendliche Steifigkeit bedeutet, dass sich die Struktur nicht einmal um einen Betrag biegt, der zu klein ist, um selbst theoretisch erkannt zu werden. (Technisch bedeutet das, dass bestimmte Differentialgleichungen keine Lösungen ungleich null haben.) Die Bedeutung endlicher Steifigkeit ist offensichtlich, aber infinitesimale Steifigkeit ist auch entscheidend, da infinitesimale Flexibilität theoretisch einer winzigen Biegung in der realen Welt und der daraus resultierenden Verschlechterung der Struktur entspricht.

EIN starrer Graph ist eine Einbettung eines Graphen in einen strukturstarren euklidischen Raum.[1] Das heißt, ein Graph ist starr, wenn die Struktur, die durch Ersetzen der Kanten durch starre Stäbe und der Scheitelpunkte durch flexible Scharniere gebildet wird, starr ist. Ein nicht starrer Graph heißt flexibel. Formaler ausgedrückt ist eine Grapheneinbettung flexibel, wenn die Scheitelpunkte kontinuierlich verschoben werden können, wobei die Abstände zwischen benachbarten Scheitelpunkten erhalten bleiben, mit dem Ergebnis, dass die Abstände zwischen einigen nicht benachbarten Scheitelpunkten geändert werden.[2] Letztere Bedingung schließt euklidische Kongruenzen wie einfache Translation und Rotation aus.

Es ist auch möglich, Steifigkeitsprobleme für Graphen zu betrachten, in denen einige Kanten Kompressionselemente (kann sich auf eine längere Länge dehnen, aber nicht auf eine kürzere Länge schrumpfen), während andere Kanten darstellen Spannelemente (kann schrumpfen, aber nicht dehnen). Ein starrer Graph mit Kanten dieser Art bildet ein mathematisches Modell einer Tensegrity-Struktur.

Mathematik der Steifigkeit[edit]

Das grundlegende Problem besteht darin, die Steifigkeit einer Struktur durch theoretische Analyse vorherzusagen, ohne sie bauen zu müssen. Zu den wichtigsten Ergebnissen in diesem Bereich gehören die folgenden:

  • In jeder Dimension wird die Steifigkeit von Stangen-Scharnier-Verbindungen durch ein Matroid beschrieben. Die Basen des zweidimensionalen Starrheitsmatroids (der minimal starren Graphen in der Ebene) sind die Laman-Graphen.
  • Der Satz von Cauchy besagt, dass ein dreidimensionales konvexes Polyeder, das mit starren Platten für seine Flächen konstruiert und durch Scharniere entlang seiner Kanten verbunden ist, eine starre Struktur bildet.
  • Flexible Polyeder, nicht-konvexe Polyeder, die nicht starr sind, wurden von Raoul Bricard, Robert Connelly und anderen konstruiert. Die nun bewiesene Blasebalg-Vermutung besagt, dass jede kontinuierliche Bewegung eines flexiblen Polyeders sein Volumen erhalten muss.
  • Beim Gitterverstrebungsproblem, bei dem das zu versteifende Gerüst ein quadratisches Gitter mit zusätzlichen Diagonalen als Querverstrebung ist, kann die Steifigkeit der Struktur analysiert werden, indem sie in ein Problem der Konnektivität eines zugrunde liegenden bipartiten Graphen übersetzt wird.[3][4]

In vielen anderen einfachen Situationen ist es jedoch noch nicht immer bekannt, wie die Starrheit einer Struktur mathematisch analysiert werden kann, obwohl es eine beträchtliche mathematische Theorie gibt.

Geschichte[edit]

Einer der Begründer der mathematischen Theorie der strukturellen Starrheit war der große Physiker James Clerk Maxwell. Das späte 20. Jahrhundert erlebte eine Blütezeit der mathematischen Theorie der Starrheit, die sich im 21. Jahrhundert fortsetzt.

“[A] Die Theorie des Gleichgewichts und der Durchbiegungen von kraftbeaufschlagten Fachwerken wirkt auf die Härten der Güte… in den Fällen, in denen das Fachwerk … durch zusätzliche Verbindungsstücke … verstärkt wird, in dreidimensionalen Fällen durch die Bei der regulären Methode der Kräftegleichungen hätte jeder Punkt drei Gleichungen, um sein Gleichgewicht zu bestimmen, so dass sich 3s Gleichungen zwischen e Unbekannten ergeben, wenn s die Anzahl der Punkte und e die Anzahl der Verbindungen ist[sic]. Es gibt jedoch sechs Gleichgewichtsgleichungen des Systems, die wegen der Gleichheit von Wirkung und Reaktion in jedem Stück notwendigerweise von den Kräften erfüllt werden müssen. Wenn also e== 3s-6 ist, wird die Wirkung einer ewigen Kraft bei der Erzeugung von Spannungen oder Drücken in den verschiedenen Stücken definitiv sein; aber wenn e>3s-6, sind diese Kräfte unbestimmt…”[Maxwell 1864][citation needed]

Siehe auch[edit]

  1. ^ Weisstein, Eric W. “Starre Grafik”. MathWorld.
  2. ^ Weisstein, Eric W. “Flexible Grafik”. MathWorld.
  3. ^ Baglivo, Jenny A.; Graver, Jack E. (1983), “3.10 Stützstrukturen”, Inzidenz und Symmetrie in Design und Architektur, Cambridge Urban and Architectural Studies, Cambridge, Großbritannien: Cambridge University Press, S. 76–87, ISBN 9780521297844
  4. ^ Graver, Jack E. (2001), Auf Frameworks zählen: Mathematik zur Unterstützung des Entwurfs starrer Strukturen, Die Dolciani Mathematische Expositionen, 25, Washington, DC: Mathematical Association of America, ISBN 0-88385-331-0, HERR 1843781. Siehe insbesondere die Abschnitte 1.2 („Das Gitterverstrebungsproblem“, S. 4–12), 1.5 („Mehr zum Gitterproblem“, S. 19–22), 2.6 („Die Lösung des Gitterproblems“, S. 50–55) und 4.4 („Tensegrity: Tension Bracings“, insbesondere S. 158–161).

Verweise[edit]

  • Alfakih, Abdo Y. (2007), “Zur Dimensionssteifigkeit von Stab- und Gelenkgerüsten”, Diskrete Angewandte Mathematik, 155 (10): 1244-1253, doi:10.1016/j.dam.2006.11.011, HERR 2332317.
  • Connelly, Robert (1980), “Die Starrheit bestimmter Kabelgerüste und die Starrheit zweiter Ordnung willkürlich triangulierter konvexer Oberflächen”, Fortschritte in Mathematik, 37 (3): 272–299, doi:10.1016/0001-8708(80)90037-7, HERR 0591730.
  • Crapo, Henry (1979), “Strukturelle Starrheit”, Strukturelle Topologie (1): 26–45, 73, hdl:2099/521, HERR 0621627.
  • Maxwell, JC (1864), “Über reziproke Zahlen und Kräftediagramme”, Philosophisches Magazin, 4. Reihe, 27: 250–261, doi:10.1080/14786446408643663.
  • Rybnikow, Konstantin; Zaslavsky, Thomas (2005), “Kriterien für die Balance in abelschen Verstärkungsgraphen, mit Anwendungen auf die stückweise lineare Geometrie”, Diskrete und Computergeometrie, 34 (2): 251–268, arXiv:mathe/0210052, doi:10.1007/s00454-005-1170-6, HERR 2155721.
  • Whiteley, Walter (1988), “Die Vereinigung von Matroiden und die Starrheit von Gerüsten”, SIAM Journal on Discrete Mathematics, 1 (2): 237–255, doi:10.1137/0401025, HERR 0941354