Trunkierungsfehler (numerische Integration) – Wikipedia

Posted on November 25, 2021 by lordneo

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Fehler bei der numerischen Integration

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Kürzungsfehler bei der numerischen Integration gibt es zwei Arten:

lokale Kürzungsfehler – der durch eine Iteration verursachte Fehler und
globale Kürzungsfehler – der kumulative Fehler, der durch viele Iterationen verursacht wird.

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Definitionen[edit]

Angenommen, wir haben eine stetige Differentialgleichung

{displaystyle y’=f(t,y),qquad y(t_{0})=y_{0},qquad tgeq t_{0}}

und wir wollen eine Näherung berechnen

{displaystyle y_{n}}

$j_n$ der wahren Lösung

{displaystyle y(t_{n})}

$j(t_{n})$ in diskreten Zeitschritten

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{displaystyle t_{1},t_{2},ldots ,t_{N}}

$t_{1},t_{2},ldots,t_{N}$ . Nehmen Sie der Einfachheit halber an, dass die Zeitschritte gleichmäßig verteilt sind:

{displaystyle h=t_{n}-t_{n-1},qquad n=1,2,ldots ,N.}

Angenommen, wir berechnen die Folge

{displaystyle y_{n}}

$j_n$ mit einer einstufigen Methode der Form

{displaystyle y_{n}=y_{n-1}+hA(t_{n-1},y_{n-1},h,f).}

Die Funktion

{displaystyle A}

$EIN$ heißt der Inkrementfunktion, und kann als Schätzung der Steigung interpretiert werden

{displaystyle {frac {y(t_{n})-y(t_{n-1})}{h}}}

${displaystyle {frac {y(t_{n})-y(t_{n-1})}{h}}}$ .

Lokaler Kürzungsfehler[edit]

Die lokaler Kürzungsfehler

{displaystyle tau_{n}}

$tau_{n}$ ist der Fehler, den unsere Inkrement-Funktion,

{displaystyle A}

$EIN$ , Ursachen während einer einzelnen Iteration, vorausgesetzt, dass die wahre Lösung bei der vorherigen Iteration vollkommen bekannt ist.

Formaler ist der lokale Trunkierungsfehler,

{displaystyle tau_{n}}

$tau_{n}$ , bei Schritt

{displaystyle n}

$n$ berechnet sich aus der Differenz zwischen linker und rechter Seite der Gleichung für das Inkrement

{displaystyle y_{n}approx y_{n-1}+hA(t_{n-1},y_{n-1},h,f)}

$y_{n}approx y_{{n-1}}+hA(t_{{n-1}},y_{{n-1}},h,f)$ :

{displaystyle tau_{n}=y(t_{n})-y(t_{n-1})-hA(t_{n-1},y(t_{n-1}),h,f ).}

Die numerische Methode ist konsistent wenn der lokale Kürzungsfehler ist

{displaystyle o(h)}

$Oh)$ (das bedeutet, dass für jeden

{displaystyle varepsilon >0}

$varepsilon >0″/></span> es existiert ein <span class=$

{displaystyle H}

$h$ so dass

{displaystyle |tau_{n}|

$|tau_{n}|<varepsilon h$ für alle

{displaystyle h

$h<H$ ; siehe Little-O-Notation). Wenn die Inkrement-Funktion

{displaystyle A}

$EIN$ stetig ist, dann ist die Methode genau dann konsistent, wenn

{displaystyle A(t,y,0,f)=f(t,y)}

$A(t,y,0,f)=f(t,y)$ .^[3]

Weiterhin sagen wir, dass die numerische Methode Auftrag

${displaystyle p}$

$P$ falls für eine hinreichend glatte Lösung des Anfangswertproblems der lokale Abschneidefehler

{displaystyle O(h^{p+1})}

$O(h^{{p+1}})$ (was bedeutet, dass es Konstanten gibt

{displaystyle C}

$C$ und

{displaystyle H}

$h$ so dass

{displaystyle |tau_{n}|

$|tau_{n}|<Ch^{{p+1}}$ für alle

{displaystyle h

$h<H$ ).^[4]

Globaler Kürzungsfehler[edit]

Die globaler Kürzungsfehler ist die Ansammlung von lokaler Kürzungsfehler über alle Iterationen unter der Annahme einer perfekten Kenntnis der wahren Lösung im anfänglichen Zeitschritt.^{[citation needed]}

Formaler ist der globale Trunkierungsfehler,

{displaystyle e_{n}}

$e_{n}$ , zum Zeitpunkt

{displaystyle t_{n}}

$t_n$ ist definiert durch:

{displaystyle {begin{aligned}e_{n}&=y(t_{n})-y_{n}\&=y(t_{n})-{Big (}y_{0}+hA (t_{0},y_{0},h,f)+hA(t_{1},y_{1},h,f)+cdots +hA(t_{n-1},y_{n-1 },h,f){Big)}.end{ausgerichtet}}}

Die numerische Methode ist konvergent wenn der globale Kürzungsfehler auf null geht, wenn die Schrittgröße auf null geht; mit anderen Worten, die numerische Lösung konvergiert gegen die exakte Lösung:

{displaystyle lim_{hto 0}max_{n}|e_{n}|=0}

$lim_{{hto 0}}max_{n}|e_{n}|=0$ .^[6]

Zusammenhang zwischen lokalen und globalen Kürzungsfehlern[edit]

Manchmal ist es möglich, eine Obergrenze für den globalen Trunkierungsfehler zu berechnen, wenn wir den lokalen Trunkierungsfehler bereits kennen. Dies erfordert, dass sich unsere Inkrementfunktion ausreichend gut verhält.

Der globale Trunkierungsfehler erfüllt die Wiederholungsbeziehung:

{displaystyle e_{n+1}=e_{n}+h{Groß (}A(t_{n},y(t_{n}),h,f)-A(t_{n},y_{ n},h,f){Groß)}+tau_{n+1}.}

Dies folgt unmittelbar aus den Definitionen. Nehmen wir nun an, dass die Inkrementfunktion im zweiten Argument Lipschitz-stetig ist, d. h. es existiert eine Konstante

{displaystyle L}

$L$ so dass für alle

{displaystyle t}

$T$ und

{displaystyle y_{1}}

$j_{1}$ und

{displaystyle y_{2}}

$j_{2}$ , wir haben:

{displaystyle |A(t,y_{1},h,f)-A(t,y_{2},h,f)|leq L|y_{1}-y_{2}|.}

Dann erfüllt der globale Fehler die Schranke

{displaystyle |e_{n}|leq {frac {max_{j}tau_{j}}{hL}}left(mathrm {e} ^{L(t_{n}-t_ {0})}-1right).}

Aus der obigen Schranke für den globalen Fehler folgt, dass wenn die Funktion

{displaystyle f}

$F$ in der Differentialgleichung ist im ersten Argument stetig und im zweiten Argument Lipschitz-stetig (die Bedingung aus dem Satz von Picard-Lindelöf), und die Inkrementfunktion

{displaystyle A}

$EIN$ in allen Argumenten stetig und im zweiten Argument Lipschitz stetig ist, dann geht der globale Fehler als Schrittweite gegen Null

{displaystyle h}

$h$ gegen Null geht (mit anderen Worten, die numerische Methode konvergiert gegen die exakte Lösung).^[8]

Erweiterung auf lineare Mehrschrittverfahren[edit]

Betrachten Sie nun eine lineare Mehrschrittmethode, gegeben durch die Formel

{displaystyle {begin{ausgerichtet}&y_{n+s}+a_{s-1}y_{n+s-1}+a_{s-2}y_{n+s-2}+cdots +a_ {0}y_{n}\&qquad {}=h{bigl (}b_{s}f(t_{n+s},y_{n+s})+b_{s-1}f( t_{n+s-1},y_{n+s-1})+cdots +b_{0}f(t_{n},y_{n}){bigr)},end{ausgerichtet}} }

Somit wird der nächste Wert für die numerische Lösung berechnet nach

{displaystyle y_{n+s}=-sum _{k=0}^{s-1}a_{k}y_{n+k}+hsum _{k=0}^{s}b_ {k}f(t_{n+k},y_{n+k}).}

Die nächste Iteration einer linearen Mehrschrittmethode hängt von der vorherigen ab S iteriert. Somit wird bei der Definition für den lokalen Trunkierungsfehler nun davon ausgegangen, dass der vorherige S iteriert alle entsprechen der exakten Lösung:

{displaystyle tau_{n}=y(t_{n+s})+sum_{k=0}^{s-1}a_{k}y(t_{n+k})-h Summe _{k=0}^{s}b_{k}f(t_{n+k},y(t_{n+k})).}

Auch hier ist die Methode konsistent, wenn

{displaystyle tau_{n}=o(h)}

$tau_{n}=o(h)$ und es hat ordnung P wenn

{displaystyle tau_{n}=O(h^{p+1})}

$tau_{n}=O(h^{{p+1}})$ . Auch die Definition des globalen Trunkierungsfehlers bleibt unverändert.

Die Beziehung zwischen lokalen und globalen Trunkierungsfehlern unterscheidet sich geringfügig von der einfacheren Einstellung von Einschrittverfahren. Für lineare Mehrschrittverfahren wird ein zusätzliches Konzept namens Nullstabilität benötigt, um die Beziehung zwischen lokalen und globalen Trunkierungsfehlern zu erklären. Lineare Mehrschrittverfahren, die die Bedingung der Nullstabilität erfüllen, haben dieselbe Beziehung zwischen lokalen und globalen Fehlern wie Einschrittverfahren. Mit anderen Worten, wenn ein lineares Mehrschrittverfahren nullstabil und konsistent ist, dann konvergiert es. Und wenn eine lineare Mehrschrittmethode nullstabil ist und einen lokalen Fehler hat

{displaystyle tau_{n}=O(h^{p+1})}

$tau_{n}=O(h^{{p+1}})$ , dann ist sein globaler Fehler erfüllt

{displaystyle e_{n}=O(h^{p})}

$e_{n}=O(h^{p})$ .^[10]

Siehe auch[edit]

^ Gupta, GK; Sacks-Davis, R.; Tischer, PE (März 1985). “Ein Überblick über die jüngsten Entwicklungen bei der Lösung von ODEs”. Computerumfragen. 17 (1): 5–47. CiteSeerX 10.1.1.85.783. mach:10.1145/4078.4079.
^ Süli & Mayers 2003, S. 317, Anrufe ${displaystyle tau_{n}/h}$
^ Süli & Mayers 2003, S. 321 & 322
^ Iserles 1996, p. 8; Süli & Mayers 2003, S. 323
^ Süli & Mayers 2003, S. 317
^ Iserles 1996, p. 5
^ Süli & Mayers 2003, p. 318
^ Süli & Mayers 2003, p. 322
^ Süli & Mayers 2003, S. 337, verwendet eine andere Definition und dividiert diese im Wesentlichen durch h
^ Süli & Mayers 2003, S. 340

Verweise[edit]

Externe Links[edit]

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Trunkierungsfehler (numerische Integration) – Wikipedia

Definitionen[edit]

Lokaler Kürzungsfehler[edit]

Globaler Kürzungsfehler[edit]

Zusammenhang zwischen lokalen und globalen Kürzungsfehlern[edit]

Erweiterung auf lineare Mehrschrittverfahren[edit]

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

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