Genaues Differential – Wikipedia

In der multivariaten Analysis heißt ein Differential genau oder perfekt, im Gegensatz zu einem ungenauen Differential, wenn es von der Form dQ, für eine differenzierbare Funktion Q.

Überblick[edit]

Definition[edit]

Wir arbeiten in drei Dimensionen, wobei ähnliche Definitionen in jeder anderen Anzahl von Dimensionen gelten. In drei Dimensionen eine Form des Typs

EIN(x,ja,z)Dx+B(x,ja,z)Dja+C(x,ja,z)Dz{displaystyle A(x,y,z),dx+B(x,y,z),dy+C(x,y,z),dz}

heißt Differentialform. Dieses Formular heißt genau auf einer Domain

D⊂R3{displaystyle Dsubset mathbb{R} ^{3}}

im Raum, wenn es eine Skalarfunktion gibt

Q=Q(x,ja,z){displaystyle Q=Q(x,y,z)}

definiert auf

D{displaystyle D}

so dass

DQ≡(∂Q∂x)ja,zDx+(∂Q∂ja)x,zDja+(∂Q∂z)x,jaDz,{displaystyle dQequiv left({frac {partial Q}{partial x}}right)_{y,z},dx+left({frac {partial Q}{partial y }}right)_{x,z},dy+left({frac {partial Q}{partial z}}right)_{x,y},dz,}

DQ=EINDx+BDja+CDz{displaystyle dQ=A,dx+B,dy+C,dz}

durch D. Dies ist äquivalent zu der Aussage, dass das Vektorfeld

(EIN,B,C){displaystyle (A,B,C)}

ist ein konservatives Vektorfeld mit entsprechendem Potential

Q{displaystyle Q}

.

Hinweis: Die Indizes außerhalb der Klammer geben an, welche Variablen während der Differenzierung konstant gehalten werden. Aufgrund der Definition der partiellen Ableitung sind diese Indizes nicht erforderlich, werden aber zur Erinnerung eingefügt.

Eine Dimension[edit]

In einer Dimension eine Differentialform

EIN(x)Dx{displaystyle A(x),dx}

ist genau solange

EIN{displaystyle A}

hat eine Stammfunktion (aber nicht unbedingt eine in Bezug auf elementare Funktionen). Wenn

EIN{displaystyle A}

hat eine Stammfunktion, sei

Q{displaystyle Q}

sei eine Stammfunktion von

EIN{displaystyle A}

und das

Q{displaystyle Q}

die Bedingung für Genauigkeit erfüllt. Wenn

EIN{displaystyle A}

tut nicht eine Stammfunktion haben, können wir nicht schreiben

DQ=EIN(x)Dx{displaystyle dQ=A(x),dx}

Die Differentialform ist also ungenau.

Zwei und drei Dimensionen[edit]

Durch Symmetrie der zweiten Ableitungen für jede “wohlerzogene” (nicht pathologische) Funktion

Q{displaystyle Q}

, wir haben

∂2Q∂x∂ja=∂2Q∂ja∂x{displaystyle {frac {partial^{2}Q}{partial x,partial y}}={frac {partial^{2}Q}{partial y,partial x}} }

Daraus folgt, dass in einer einfach zusammenhängenden Region R des xy-Ebene, ein Differential

EIN(x,ja)Dx+B(x,ja)Dja{displaystyle A(x,y),dx+B(x,y),dy}

ist genau dann ein exaktes Differential, wenn gilt:

(∂EIN∂ja)x=(∂B∂x)ja{displaystyle left({frac {partial A}{partial y}}right)_{x}=left({frac {partial B}{partial x}}right)_{ j}}

Für drei Dimensionen ist ein Differential

DQ=EIN(x,ja,z)Dx+B(x,ja,z)Dja+C(x,ja,z)Dz{displaystyle dQ=A(x,y,z),dx+B(x,y,z),dy+C(x,y,z),dz}

ist ein exaktes Differential in einer einfach zusammenhängenden Region R des xyz-Koordinatensystem wenn zwischen den Funktionen EIN, B und C es bestehen die beziehungen:

(∂EIN∂ja)x,z=(∂B∂x)ja,z{displaystyle left({frac {partial A}{partial y}}right)_{x,z}!!!=left({frac {partial B}{partial x}}right)_{y,z}}

; (∂EIN∂z)x,ja=(∂C∂x)ja,z{displaystyle left({frac {partial A}{partial z}}right)_{x,y}!!!=left({frac {partial C}{partial x}}right)_{y,z}}

; (∂B∂z)x,ja=(∂C∂ja)x,z{displaystyle left({frac {partial B}{partial z}}right)_{x,y}!!!=left({frac {partial C}{partial y}}right)_{x,z}}

Diese Bedingungen entsprechen den folgenden: Wenn g ist der Graph dieser vektorwertigen Funktion dann für alle Tangentenvektoren x,Y der Oberfläche g dann S(x, Ja) = 0 mit S die symplektische Form.

Diese leicht zu verallgemeinernden Bedingungen ergeben sich aus der Unabhängigkeit der Ableitungsreihenfolge bei der Berechnung der zweiten Ableitungen. Damit ein Differential dQ, also eine Funktion von vier Variablen, um ein exaktes Differential zu sein, müssen sechs Bedingungen erfüllt werden.

Zusammenfassend lässt sich sagen, wenn ein Differential dQ ist genau:

• die Funktion Q existiert;
• 
  ∫ichFDQ=Q(F)−Q(ich),{displaystyle int _{i}^{f}dQ=Q(f)-Q(i),}
  unabhängig vom eingeschlagenen Weg.

In der Thermodynamik, wenn dQ ist genau, die Funktion Q ist eine Zustandsfunktion des Systems. Die thermodynamischen Funktionen U, S, h, EIN und g sind staatliche Funktionen. Im Allgemeinen sind weder Arbeit noch Wärme eine Zustandsfunktion. Ein genaues Differential wird manchmal auch als „totales Differential“ oder „volles Differential“ bezeichnet oder in der Differentialgeometrie als exakte Form bezeichnet.

Partielle Differentialbeziehungen[edit]

Wenn drei Variablen,

x{displaystyle x}

,

ja{displaystyle y}

und

z{displaystyle z}

sind an die Bedingung gebunden

F(x,ja,z)=Konstante{displaystyle F(x,y,z)={text{Konstante}}}

für eine differenzierbare Funktion

F(x,ja,z){displaystyle F(x,y,z)}

, dann existieren die folgenden totalen Differentiale^{[1]: 667&669}

Dx=(∂x∂ja)zDja+(∂x∂z)jaDz{displaystyle dx={left({frac {partial x}{partial y}}right)}_{z},dy+{left({frac {partial x}{partial z }}right)}_{y},dz}

Dz=(∂z∂x)jaDx+(∂z∂ja)xDja.{displaystyle dz={left({frac {partial z}{partial x}}right)}_{y},dx+{left({frac {partial z}{partial y }}right)}_{x},dy.}

Setzen wir die erste Gleichung in die zweite ein und ordnen Sie sie um, erhalten wir^{[1]: 669}

Dz=(∂z∂x)ja[(∂x∂y)zdy+(∂x∂z)ydz]+(∂z∂ja)xDja,{displaystyle dz={left({frac {partial z}{partial x}}right)}_{y}left[{left({frac {partial x}{partial y}}right)}_{z}dy+{left({frac {partial x}{partial z}}right)}_{y}dzright]+{left({frac{partial z}{partial y}}right)}_{x}dy,}

Dz=[(∂z∂x)y(∂x∂y)z+(∂z∂y)x]Dja+(∂z∂x)ja(∂x∂z)jaDz,{displaystyle dz=left[{left({frac {partial z}{partial x}}right)}_{y}{left({frac {partial x}{partial y}}right)}_{z}+{left({frac {partial z}{partial y}}right)}_{x}right]dy+{left({frac {partial z}{partial x}}right)}_{y}{left({frac {partial x}{partial z}}right)}_ {y}dz,}

[1−(∂z∂x)y(∂x∂z)y]Dz=[(∂z∂x)y(∂x∂y)z+(∂z∂y)x]Dja.{displaystyle left[1-{left({frac {partial z}{partial x}}right)}_{y}{left({frac {partial x}{partial z}}right)}_{y}right]dz=links[{left({frac {partial z}{partial x}}right)}_{y}{left({frac {partial x}{partial y}}right)}_{z}+{left({frac {partial z}{partial y}}right)}_{x}right]dy.}

Schon seit

ja{displaystyle y}

und

z{displaystyle z}

sind unabhängige Variablen,

Dja{displaystyle dy}

und

Dz{displaystyle dz}

kann ohne Einschränkung gewählt werden. Damit diese letzte Gleichung im Allgemeinen gilt, müssen die Terme in Klammern gleich Null sein.^{[1]: 669}

Reziprozitätsbeziehung[edit]

Setzen des ersten Termes in Klammern gleich Null ergibt^[1]

(∂z∂x)ja(∂x∂z)ja=1.{displaystyle {left({frac {partial z}{partial x}}right)}_{y}{left({frac {partial x}{partial z}}right) }_{y}=1.}

Eine leichte Umordnung ergibt eine Reziprozitätsbeziehung,^{[1]: 670}

(∂z∂x)ja=1(∂x∂z)ja.{displaystyle {left({frac {partial z}{partial x}}right)}_{y}={frac {1}{{left({frac {partial x}{ partial z}}right)}_{y}}}.}

Es gibt zwei weitere Permutationen der vorstehenden Ableitung, die insgesamt drei Reziprozitätsbeziehungen zwischen ergeben

x{displaystyle x}

,

ja{displaystyle y}

und

z{displaystyle z}

. Reziprozitätsrelationen zeigen, dass die Inverse einer partiellen Ableitung gleich ihrem Kehrwert ist.

Zyklische Beziehung[edit]

Die zyklische Beziehung wird auch als zyklische Regel oder Tripelproduktregel bezeichnet. Den zweiten Term in Klammern gleich Null zu setzen ergibt^{[1]: 670}

(∂z∂x)ja(∂x∂ja)z=−(∂z∂ja)x.{displaystyle {left({frac {partial z}{partial x}}right)}_{y}{left({frac {partial x}{partial y}}right) }_{z}=-{left({frac {partial z}{partial y}}right)}_{x}.}

Verwenden einer Reziprozitätsbeziehung für

∂z∂ja{displaystyle {tfrac {partial z}{partial y}}}

auf dieser Gleichung und Umordnung ergibt sich eine zyklische Beziehung (die Tripelproduktregel),^{[1]: 670}

(∂x∂ja)z(∂ja∂z)x(∂z∂x)ja=−1.{displaystyle {left({frac {partial x}{partial y}}right)}_{z}{left({frac {partial y}{partial z}}right) }_{x}{left({frac{partial z}{partial x}}right)}_{y}=-1.}

Wenn, stattdessen, eine Reziprozitätsbeziehung für

∂x∂ja{displaystyle {tfrac {partial x}{partial y}}}

mit anschließender Umordnung verwendet wird, erhält man eine Standardform zur impliziten Differenzierung:

(∂ja∂x)z=−(∂z∂x)ja(∂z∂ja)x.{displaystyle {left({frac {partial y}{partial x}}right)}_{z}=-{frac {{left({frac {partial z}{partial x}}right)}_{y}}{{left({frac {partial z}{partial y}}right)}_{x}}}.}

Einige nützliche Gleichungen, die aus exakten Differentialen in zwei Dimensionen abgeleitet sind[edit]

(Siehe auch Bridgmans thermodynamische Gleichungen zur Verwendung exakter Differentiale in der Theorie thermodynamischer Gleichungen)

Angenommen, wir haben fünf Zustandsfunktionen

z,x,ja,du{displaystyle z,x,y,u}

, und

v{displaystyle v}

. Angenommen, der Zustandsraum ist zweidimensional und jede der fünf Größen sind exakte Differentiale. Dann nach der Kettenregel

Dz=(∂z∂x)jaDx+(∂z∂ja)xDja=(∂z∂du)vDdu+(∂z∂v)duDv{displaystyle dz=left({frac {partial z}{partial x}}right)_{y}dx+left({frac {partial z}{partial y}}right) _{x}dy=left({frac {partial z}{partial u}}right)_{v}du+left({frac {partial z}{partial v}}right )_{u}dv}

(1)

aber auch nach der Kettenregel:

Dx=(∂x∂du)vDdu+(∂x∂v)duDv{displaystyle dx=left({frac {partial x}{partial u}}right)_{v}du+left({frac {partial x}{partial v}}right) _{u}dv}

(2)

und

Dja=(∂ja∂du)vDdu+(∂ja∂v)duDv{displaystyle dy=left({frac {partial y}{partial u}}right)_{v}du+left({frac {partial y}{partial v}}right) _{u}dv}

(3)

so dass:

Dz=[(∂z∂x)y(∂x∂u)v+(∂z∂y)x(∂y∂u)v]Ddu+[(∂z∂x)y(∂x∂v)u+(∂z∂y)x(∂y∂v)u]Dv{displaystyle {begin{aligned}dz=&left[left({frac {partial z}{partial x}}right)_{y}left({frac {partial x}{partial u}}right)_{v}+left({frac {partial z}{partial y}}right)_{x}left({frac {partial y}{partial u}}right)_{v}right]du\+&links[left({frac {partial z}{partial x}}right)_{y}left({frac {partial x}{partial v}}right)_{u}+left({frac {partial z}{partial y}}right)_{x}left({frac {partial y}{partial v}}right)_{u}right]dvend{ausgerichtet}}}

(4)

was impliziert, dass:

(∂z∂du)v=(∂z∂x)ja(∂x∂du)v+(∂z∂ja)x(∂ja∂du)v{displaystyle left({frac {partial z}{partial u}}right)_{v}=left({frac {partial z}{partial x}}right)_{ y}left({frac {partial x}{partial u}}right)_{v}+left({frac {partial z}{partial y}}right)_{x }left({frac{partial y}{partial u}}right)_{v}}

(5)

Vermietung

v=ja{displaystyle v=y}

gibt:

(∂z∂du)ja=(∂z∂x)ja(∂x∂du)ja{displaystyle left({frac {partial z}{partial u}}right)_{y}=left({frac {partial z}{partial x}}right)_{ y}left({frac{partial x}{partial u}}right)_{y}}

(6)

Vermietung

du=ja{displaystyle u=y}

gibt:

(∂z∂ja)v=(∂z∂ja)x+(∂z∂x)ja(∂x∂ja)v{displaystyle left({frac {partial z}{partial y}}right)_{v}=left({frac {partial z}{partial y}}right)_{ x}+left({frac {partial z}{partial x}}right)_{y}left({frac {partial x}{partial y}}right)_{v }}

(7)

Vermietung

du=ja{displaystyle u=y}

,

v=z{displaystyle v=z}

gibt:

(∂z∂ja)x=−(∂z∂x)ja(∂x∂ja)z{displaystyle left({frac {partial z}{partial y}}right)_{x}=-left({frac {partial z}{partial x}}right)_ {y}left({frac {partial x}{partial y}}right)_{z}}

(8)

mit (

∂ein/∂B)C=1/(∂B/∂ein)C{displaystyle partial a/partial b)_{c}=1/(partial b/partial a)_{c}}

gibt die Dreifachproduktregel:

(∂z∂x)ja(∂x∂ja)z(∂ja∂z)x=−1{displaystyle left({frac {partial z}{partial x}}right)_{y}left({frac {partial x}{partial y}}right)_{z }left({frac{partial y}{partial z}}right)_{x}=-1}

(9)

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

Externe Links[edit]