Genaues Differential – Wikipedia

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In der multivariaten Analysis heißt ein Differential genau oder perfekt, im Gegensatz zu einem ungenauen Differential, wenn es von der Form dQ, für eine differenzierbare Funktion Q.

Überblick[edit]

Definition[edit]

Wir arbeiten in drei Dimensionen, wobei ähnliche Definitionen in jeder anderen Anzahl von Dimensionen gelten. In drei Dimensionen eine Form des Typs

heißt Differentialform. Dieses Formular heißt genau auf einer Domain

DR3{displaystyle Dsubset mathbb{R} ^{3}}

im Raum, wenn es eine Skalarfunktion gibt

Q=Q(x,ja,z){displaystyle Q=Q(x,y,z)}

definiert auf

D{displaystyle D}

so dass

durch D. Dies ist äquivalent zu der Aussage, dass das Vektorfeld

(EIN,B,C){displaystyle (A,B,C)}

ist ein konservatives Vektorfeld mit entsprechendem Potential

Q{displaystyle Q}

.

Hinweis: Die Indizes außerhalb der Klammer geben an, welche Variablen während der Differenzierung konstant gehalten werden. Aufgrund der Definition der partiellen Ableitung sind diese Indizes nicht erforderlich, werden aber zur Erinnerung eingefügt.

Eine Dimension[edit]

In einer Dimension eine Differentialform

ist genau solange

EIN{displaystyle A}

hat eine Stammfunktion (aber nicht unbedingt eine in Bezug auf elementare Funktionen). Wenn

EIN{displaystyle A}

hat eine Stammfunktion, sei

Q{displaystyle Q}

sei eine Stammfunktion von

EIN{displaystyle A}

und das

Q{displaystyle Q}

die Bedingung für Genauigkeit erfüllt. Wenn

EIN{displaystyle A}

tut nicht eine Stammfunktion haben, können wir nicht schreiben

DQ=EIN(x)Dx{displaystyle dQ=A(x),dx}

Die Differentialform ist also ungenau.

Zwei und drei Dimensionen[edit]

Durch Symmetrie der zweiten Ableitungen für jede “wohlerzogene” (nicht pathologische) Funktion

Q{displaystyle Q}

, wir haben

Daraus folgt, dass in einer einfach zusammenhängenden Region R des xy-Ebene, ein Differential

ist genau dann ein exaktes Differential, wenn gilt:

Für drei Dimensionen ist ein Differential

ist ein exaktes Differential in einer einfach zusammenhängenden Region R des xyz-Koordinatensystem wenn zwischen den Funktionen EIN, B und C es bestehen die beziehungen:

Diese Bedingungen entsprechen den folgenden: Wenn g ist der Graph dieser vektorwertigen Funktion dann für alle Tangentenvektoren x,Y der Oberfläche g dann S(x, Ja) = 0 mit S die symplektische Form.

Diese leicht zu verallgemeinernden Bedingungen ergeben sich aus der Unabhängigkeit der Ableitungsreihenfolge bei der Berechnung der zweiten Ableitungen. Damit ein Differential dQ, also eine Funktion von vier Variablen, um ein exaktes Differential zu sein, müssen sechs Bedingungen erfüllt werden.

Zusammenfassend lässt sich sagen, wenn ein Differential dQ ist genau:

  • die Funktion Q existiert;

In der Thermodynamik, wenn dQ ist genau, die Funktion Q ist eine Zustandsfunktion des Systems. Die thermodynamischen Funktionen U, S, h, EIN und g sind staatliche Funktionen. Im Allgemeinen sind weder Arbeit noch Wärme eine Zustandsfunktion. Ein genaues Differential wird manchmal auch als „totales Differential“ oder „volles Differential“ bezeichnet oder in der Differentialgeometrie als exakte Form bezeichnet.

Partielle Differentialbeziehungen[edit]

Wenn drei Variablen,

x{displaystyle x}

,

ja{displaystyle y}

und

z{displaystyle z}

sind an die Bedingung gebunden

F(x,ja,z)=Konstante{displaystyle F(x,y,z)={text{Konstante}}}

für eine differenzierbare Funktion

F(x,ja,z){displaystyle F(x,y,z)}

, dann existieren die folgenden totalen Differentiale[1]: 667&669

Setzen wir die erste Gleichung in die zweite ein und ordnen Sie sie um, erhalten wir[1]: 669

Schon seit

ja{displaystyle y}

und

z{displaystyle z}

sind unabhängige Variablen,

Dja{displaystyle dy}

und

Dz{displaystyle dz}

kann ohne Einschränkung gewählt werden. Damit diese letzte Gleichung im Allgemeinen gilt, müssen die Terme in Klammern gleich Null sein.[1]: 669

Reziprozitätsbeziehung[edit]

Setzen des ersten Termes in Klammern gleich Null ergibt[1]

Eine leichte Umordnung ergibt eine Reziprozitätsbeziehung,[1]: 670

Es gibt zwei weitere Permutationen der vorstehenden Ableitung, die insgesamt drei Reziprozitätsbeziehungen zwischen ergeben

x{displaystyle x}

,

ja{displaystyle y}

und

z{displaystyle z}

. Reziprozitätsrelationen zeigen, dass die Inverse einer partiellen Ableitung gleich ihrem Kehrwert ist.

Zyklische Beziehung[edit]

Die zyklische Beziehung wird auch als zyklische Regel oder Tripelproduktregel bezeichnet. Den zweiten Term in Klammern gleich Null zu setzen ergibt[1]: 670

Verwenden einer Reziprozitätsbeziehung für

zja{displaystyle {tfrac {partial z}{partial y}}}

auf dieser Gleichung und Umordnung ergibt sich eine zyklische Beziehung (die Tripelproduktregel),[1]: 670

Wenn, stattdessen, eine Reziprozitätsbeziehung für

xja{displaystyle {tfrac {partial x}{partial y}}}

mit anschließender Umordnung verwendet wird, erhält man eine Standardform zur impliziten Differenzierung:

Einige nützliche Gleichungen, die aus exakten Differentialen in zwei Dimensionen abgeleitet sind[edit]

(Siehe auch Bridgmans thermodynamische Gleichungen zur Verwendung exakter Differentiale in der Theorie thermodynamischer Gleichungen)

Angenommen, wir haben fünf Zustandsfunktionen

z,x,ja,du{displaystyle z,x,y,u}

, und

v{displaystyle v}

. Angenommen, der Zustandsraum ist zweidimensional und jede der fünf Größen sind exakte Differentiale. Dann nach der Kettenregel

(1)

aber auch nach der Kettenregel:

(2)

und

(3)

so dass:

(4)

was impliziert, dass:

(5)

Vermietung

v=ja{displaystyle v=y}

gibt:

(6)

Vermietung

du=ja{displaystyle u=y}

gibt:

(7)

Vermietung

du=ja{displaystyle u=y}

,

v=z{displaystyle v=z}

gibt:

(8)

mit (

ein/B)C=1/(B/ein)C{displaystyle partial a/partial b)_{c}=1/(partial b/partial a)_{c}}

gibt die Dreifachproduktregel:

(9)

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

  1. ^ ein B C D e F g engel, Yunus A.; Boles, Michael A. (1998) [1989]. “Thermodynamik Eigenschaftsbeziehungen”. Thermodynamik – ein technischer Ansatz. McGraw-Hill-Reihe im Maschinenbau (3. Aufl.). Boston, MA.: McGraw-Hill. ISBN 0-07-011927-9.

Externe Links[edit]

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