Kommutative Eigenschaft – Wikipedia

Eigenschaft, mit der die Reihenfolge der Operanden einer Operation geändert werden kann

In der Mathematik ist eine binäre Operation kommutativ wenn das Ändern der Reihenfolge der Operanden das Ergebnis nicht ändert. Es ist eine grundlegende Eigenschaft vieler binärer Operationen, und viele mathematische Beweise hängen davon ab. Am bekanntesten ist der Name der Immobilie, der so etwas sagt wie “3 + 4 = 4 + 3” oder “2 × 5 = 5 × 2”, kann die Eigenschaft auch in erweiterten Einstellungen verwendet werden. Der Name wird benötigt, weil es Operationen wie Division und Subtraktion gibt, die ihn nicht haben (z. “3 − 5 ≠ 5 − 3”); solche Operationen sind nicht kommutativ und werden daher als bezeichnet nichtkommutative Operationen. Die Idee, dass einfache Operationen wie die Multiplikation und Addition von Zahlen kommutativ sind, wurde viele Jahre implizit angenommen. Daher wurde diese Eigenschaft erst im 19. Jahrhundert benannt, als die Mathematik begann, sich zu formalisieren.^[1][2] Für binäre Relationen existiert eine entsprechende Eigenschaft; eine binäre Relation wird als symmetrisch bezeichnet, wenn die Relation unabhängig von der Reihenfolge ihrer Operanden gilt; Gleichheit ist beispielsweise symmetrisch, da zwei gleiche mathematische Objekte unabhängig von ihrer Reihenfolge gleich sind.^[3]

Häufige Verwendungen[edit]

Die Kommutativgesetz (oder Kommutativgesetz) ist eine Eigenschaft, die im Allgemeinen mit binären Operationen und Funktionen verbunden ist. Wenn die Kommutativeigenschaft für ein Paar von Elementen unter einer bestimmten binären Operation gilt, dann heißen die beiden Elemente pendeln unter dieser Operation.

Mathematische Definitionen[edit]

Eine binäre Operation

${displaystyle*}$

am Set S wird genannt kommutativ wenn^[4][5]

Eine Operation, die die obige Eigenschaft nicht erfüllt, heißt nicht kommutativ.

Das sagt einer x pendelt mit ja oder das x und ja pendeln unter

${displaystyle*}$

wenn

Mit anderen Worten, eine Operation ist kommutativ, wenn jedes Elementpaar kommutiert.

Eine binäre Funktion

${displaystyle fcolon Atimes Ato B}$

heißt manchmal kommutativ wenn

Eine solche Funktion wird häufiger als symmetrische Funktion bezeichnet.

Beispiele[edit]

Kommutativer Betrieb im Alltag[edit]

• Das Anziehen von Socken ähnelt einer kommutativen Operation, da es unwichtig ist, welche Socke zuerst angezogen wird. In jedem Fall ist das Ergebnis (mit beiden Socken an) das gleiche. Im Gegensatz dazu ist das Anziehen von Unterwäsche und Hosen nicht kommutativ.
• Die Kommutativität der Addition wird beim Bezahlen eines Artikels mit Bargeld beachtet. Unabhängig von der Reihenfolge, in der die Rechnungen übergeben werden, ergeben sie immer die gleiche Summe.

Kommutative Operationen in der Mathematik[edit]

Zwei bekannte Beispiele für kommutative binäre Operationen:^[4]

• Die Addition reeller Zahlen ist kommutativ, da
  $${displaystyle y+z=z+yqquad {mbox{für alle}}y,zinmathbb{R}}$$

  

  Zum Beispiel 4 + 5 = 5 + 4, da beide Ausdrücke gleich 9 sind.

• Die Multiplikation reeller Zahlen ist kommutativ, da
  $${displaystyle yz=zyqquad {mbox{für alle }}y,zinmathbb{R}}$$

  

  Zum Beispiel 3 × 5 = 5 × 3, da beide Ausdrücke gleich 15 sind.

  Als direkte Folge davon gilt auch, dass Ausdrücke der Form y% von z und z% von y für alle reellen Zahlen y und z kommutativ sind.^[6] Zum Beispiel 64 % von 50 = 50 % von 64, da beide Ausdrücke gleich 32 sind, und 30 % von 50 % = 50 % von 30 %, da beide Ausdrücke gleich 15 % sind.

• Einige binäre Wahrheitsfunktionen sind auch kommutativ, da die Wahrheitstabellen für die Funktionen gleich sind, wenn man die Reihenfolge der Operanden ändert.

  Zum Beispiel ist die logische bikonditionale Funktion p q äquivalent zu q p. Diese Funktion wird auch als p IFF q oder als p ≡ q oder als E . geschriebenpq.

  Die letzte Form ist ein Beispiel für die prägnanteste Schreibweise im Artikel über Wahrheitsfunktionen, der die sechzehn möglichen binären Wahrheitsfunktionen auflistet, von denen acht kommutativ sind: Vpq = Vqp; EINpq (ODER) = Aqp; Dpq (NAND) = Dqp; Epq (IFF) = Eqp; Jpq = Jqp; Kpq (UND) = Kqp; xpq (NOR) = Xqp; Öpq = Oqp.

• Weitere Beispiele für kommutative Binäroperationen sind die Addition und Multiplikation komplexer Zahlen, die Addition und Skalarmultiplikation von Vektoren sowie die Schnittmenge und Vereinigung von Mengen.

Nichtkommutativer Betrieb im täglichen Leben[edit]

• Die Verkettung, das Zusammenfügen von Zeichenfolgen, ist ein nicht kommutativer Vorgang. Zum Beispiel,

  EA + T = ESSEN TEA = T + EA

• Das Waschen und Trocknen von Kleidung ähnelt einem nicht kommutativen Vorgang; Waschen und anschließendes Trocknen ergibt ein deutlich anderes Ergebnis als Trocknen und anschließendes Waschen.
• Das Drehen eines Buches um 90° um eine vertikale Achse und dann um 90° um eine horizontale Achse erzeugt eine andere Ausrichtung als wenn die Rotationen in umgekehrter Reihenfolge ausgeführt werden.
• Die Züge eines Kombinationsrätsels (wie zum Beispiel die Drehungen eines Zauberwürfels) sind nicht kommutativ. Dies kann mit Hilfe der Gruppentheorie untersucht werden.
• Denkprozesse sind nicht kommutativ: Eine Person, die eine Frage (A) und dann eine Frage (B) gestellt hat, kann auf jede Frage andere Antworten geben als eine Person, die zuerst (B) und dann (A) gestellt hat, weil das Stellen einer Frage den Zustand der Person ändern kann des Geistes.
• Der Akt des Ankleidens ist je nach Artikel entweder kommutativ oder nicht kommutativ. Das Anziehen von Unterwäsche und normaler Kleidung ist nicht kommutativ. Das Anziehen von linken und rechten Socken ist kommutativ.
• Das Mischen eines Kartenspiels ist nicht kommutativ. Bei zwei Möglichkeiten, A und B, ein Kartenspiel zu mischen, ist es im Allgemeinen nicht dasselbe, zuerst A und dann B zu tun, als zuerst B und dann A zu tun.

Nichtkommutative Operationen in der Mathematik[edit]

Einige nichtkommutative binäre Operationen:^[7]

Division, Subtraktion und Potenzierung[edit]

Division ist nichtkommutativ, da

${displaystyle 1div 2neq 2div 1}$

.

Die Subtraktion ist nichtkommutativ, da

${displaystyle 0-1neq 1-0}$

. Es wird jedoch genauer als antikommutativ klassifiziert, da

${displaystyle 0-1=-(1-0)}$

.

Die Exponentiation ist nichtkommutativ, da

${displaystyle 2^{3}neq 3^{2}}$

.

Wahrheitsfunktionen[edit]

Einige Wahrheitsfunktionen sind nicht kommutativ, da die Wahrheitstabellen für die Funktionen unterschiedlich sind, wenn man die Reihenfolge der Operanden ändert. Zum Beispiel die Wahrheitstabellen für (A ⇒ B) = (¬A ∨ B) und (B A) = (A ∨ ¬B) sind

EIN	B	A ⇒ B	B ⇒ A
F	F	T	T
F	T	T	F
T	F	F	T
T	T	T	T

Funktionszusammenstellung linearer Funktionen[edit]

Die Funktionszusammensetzung linearer Funktionen von den reellen Zahlen zu den reellen Zahlen ist fast immer nichtkommutativ. Lassen Sie zum Beispiel

${displaystyle f(x)=2x+1}$

und

${displaystyle g(x)=3x+7}$

. Dann

${displaystyle (fcirc g)(x)=f(g(x))=2(3x+7)+1=6x+15}$

und

${displaystyle (gcirc f)(x)=g(f(x))=3(2x+1)+7=6x+10}$

Dies gilt auch allgemeiner für lineare und affine Transformationen von einem Vektorraum zu sich selbst (siehe unten für die Matrixdarstellung).

Matrix-Multiplikation[edit]

Die Matrixmultiplikation quadratischer Matrizen ist fast immer nichtkommutativ, zum Beispiel:

${displaystyle {begin{bmatrix}0&2\0&1end{bmatrix}}={begin{bmatrix}1&1\0&1end{bmatrix}}{begin{bmatrix}0&1\0&1end{bmatrix }}neq {begin{bmatrix}0&1\0&1end{bmatrix}}{begin{bmatrix}1&1\0&1end{bmatrix}}={begin{bmatrix}0&1\0&1end{ bmatrix}}}$

Vektorprodukt[edit]

Das Vektorprodukt (oder Kreuzprodukt) zweier Vektoren in drei Dimensionen ist antikommutativ; dh, B × ein = −(ein × B).

Geschichte und Etymologie[edit]

Aufzeichnungen über die implizite Verwendung der Kommutativeigenschaft reichen bis in die Antike zurück. Die Ägypter nutzten die Kommutativeigenschaft der Multiplikation, um Computerprodukte zu vereinfachen.^[8][9]Es ist bekannt, dass Euklid in seinem Buch die Kommutativeigenschaft der Multiplikation angenommen hat Elemente.^[10] Formale Verwendungen der Kommutativeigenschaft entstanden im späten 18. und frühen 19. Jahrhundert, als Mathematiker begannen, an einer Funktionentheorie zu arbeiten. Heute ist die Kommutativeigenschaft eine bekannte und grundlegende Eigenschaft, die in den meisten Zweigen der Mathematik verwendet wird.

Die erste aufgezeichnete Verwendung des Begriffs kommutativ war in einer Erinnerung von François Servois im Jahr 1814,^[1][11] der das Wort benutzte Kommutative bei der Beschreibung von Funktionen, die die sogenannte Kommutativeigenschaft haben. Das Wort ist eine Kombination aus dem französischen Wort Pendler Bedeutung “ersetzen oder wechseln” und das Suffix -ativ bedeutet “neigend zu”, also bedeutet das Wort wörtlich “neigend dazu, zu ersetzen oder zu wechseln”. Der Begriff erschien dann 1838 auf Englisch^[2] in Duncan Farquharson Gregorys Artikel mit dem Titel “On the real nature of symbolical algebra”, der 1840 in den Transactions of the Royal Society of Edinburgh veröffentlicht wurde.^[12]

Aussagelogik[edit]

Ersetzungsregel[edit]

In der wahrheitsfunktionalen Aussagenlogik Kommutierung,^[13][14] oder Kommutativität^[15] siehe zwei gültige Ersetzungsregeln. Die Regeln erlauben es, propositionale Variablen innerhalb von logischen Ausdrücken in logischen Beweisen zu transponieren. Die Regeln sind:

${displaystyle (Plor Q)Linksrechtspfeil (Qlor P)}$

und

${displaystyle (Pland Q)Linksrechtspfeil (Qland P)}$

wo “

${displaystyle Leftrightarrow}$

” ist ein metalogisches Symbol für “kann in einem Beweis ersetzt werden durch”.

Wahre funktionale Konnektoren[edit]

Kommutativität ist eine Eigenschaft einiger logischer Konnektoren der wahrheitsfunktionalen Aussagenlogik. Die folgenden logischen Äquivalenzen zeigen, dass die Kommutativität eine Eigenschaft bestimmter Konnektoren ist. Die folgenden sind wahrheitsfunktionale Tautologien.

Kommutativität der Konjunktion

${displaystyle (Pland Q)leftrightarrow (Qland P)}$

Kommutativität der Disjunktion

${displaystyle (Plor Q)leftrightarrow (Qlor P)}$

Kommutativität der Implikation (auch Permutationsgesetz genannt)

${displaystyle (Pto (Qto R))leftrightarrow (Qto (Pto R))}$

Kommutativität der Äquivalenz (auch vollständiges Kommutativgesetz der Äquivalenz genannt)

${displaystyle (Pleftrightarrow Q)leftrightarrow (Qleftrightarrow P)}$

Mengenlehre[edit]

In der Gruppen- und Mengentheorie werden viele algebraische Strukturen als kommutativ bezeichnet, wenn bestimmte Operanden die kommutative Eigenschaft erfüllen. In höheren Zweigen der Mathematik, wie der Analysis und der linearen Algebra, wird in Beweisen häufig die Kommutativität bekannter Operationen (wie Addition und Multiplikation von reellen und komplexen Zahlen) verwendet (oder implizit vorausgesetzt).^[16][17][18]

Mathematische Strukturen und Kommutativität[edit]

Verwandte Eigenschaften[edit]

Assoziativität[edit]

Die Assoziativeigenschaft ist eng mit der Kommutativeigenschaft verwandt. Die assoziative Eigenschaft eines Ausdrucks, der zwei oder mehr Vorkommen desselben Operators enthält, besagt, dass die Reihenfolge der Operationen in der Reihenfolge ausgeführt wird, hat keinen Einfluss auf das Endergebnis, solange sich die Reihenfolge der Ausdrücke nicht ändert. Im Gegensatz dazu besagt die Kommutativeigenschaft, dass die Reihenfolge der Terme das Endergebnis nicht beeinflusst.

Die meisten in der Praxis anzutreffenden kommutativen Operationen sind auch assoziativ. Kommutativität bedeutet jedoch keine Assoziativität. Ein Gegenbeispiel ist die Funktion

${displaystyle f(x,y)={frac {x+y}{2}},}$

was eindeutig kommutativ ist (austauschend x und ja hat keinen Einfluss auf das Ergebnis), ist aber nicht assoziativ (da z.

${displaystyle f(-4,f(0,+4))=-1}$

aber

${displaystyle f(f(-4,0),+4)=+1}$

). Weitere solche Beispiele finden sich in kommutativen nicht-assoziativen Magmen.

Verteilend[edit]

Symmetrie[edit]

Einige Symmetrieformen können direkt mit der Kommutativität in Verbindung gebracht werden. Wenn eine kommutative Operation als binäre Funktion geschrieben wird

${displaystyle z=f(x,y),}$

dann heißt diese Funktion symmetrische Funktion, und ihr Graph im dreidimensionalen Raum ist symmetrisch über die Ebene

${displaystyle y=x}$

. Wenn zum Beispiel die Funktion F ist definiert als

${displaystyle f(x,y)=x+y}$

dann

${displaystyle f}$

ist eine symmetrische Funktion.

Für Relationen ist eine symmetrische Relation einer kommutativen Operation insofern analog, als eine Relation R symmetrisch ist, dann

${displaystyle aRbLinksrechtspfeil bRa}$

.

Nicht-kommutierende Operatoren in der Quantenmechanik[edit]

In der von Schrödinger formulierten Quantenmechanik werden physikalische Größen durch lineare Operatoren wie

${displaystyle x}$

(bedeutet multiplizieren mit

${displaystyle x}$

), und

${textstyle {frac {d}{dx}}}$

. Diese beiden Operatoren kommutieren nicht, wie man anhand der Wirkung ihrer Zusammensetzungen sehen kann

${textstyle x{frac {d}{dx}}}$

und

${textstyle {frac {d}{dx}}x}$

(auch Operatoren genannt) auf einer eindimensionalen Wellenfunktion

${displaystylepsi(x)}$

:

${displaystyle xcdot {mathrm {d} over mathrm {d} x}psi =xcdot psi ‘ neq psi +xcdot psi ‘={mathrm {d} overmathrm{d}x}left(xcdotpsiright)}$

Wenn die beiden Operatoren, die ein Variablenpaar repräsentieren, nicht kommutieren, dann sind nach dem Unschärferelationsprinzip von Heisenberg diese Variablenpaare komplementär, was bedeutet, dass sie nicht gleichzeitig gemessen oder genau bekannt sind. Zum Beispiel die Position und der Impuls im

${displaystyle x}$

-Richtung eines Teilchens werden durch die Operatoren dargestellt

${displaystyle x}$

und

${displaystyle -ihbar {frac {partial }{partial x}}}$

, bzw. (wo

${displaystyle hbar}$

ist die reduzierte Planck-Konstante). Dies ist das gleiche Beispiel mit Ausnahme der Konstanten

${displaystyle -ihbar}$

, also kommutieren die Operatoren nicht und die physikalische Bedeutung ist, dass der Ort und der Impuls in einer bestimmten Richtung komplementär sind.

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

Bücher[edit]

• Axler, Sheldon (1997). Lineare Algebra rechts gemacht, 2e. Springer. ISBN 0-387-98258-2.

  Abstrakte Algebratheorie. Deckt die Kommutativität in diesem Zusammenhang ab. Verwendet Eigentum im gesamten Buch.

• Copi, Irving M.; Cohen, Carl (2005). Einführung in die Logik (12. Aufl.). Lehrlingssaal. ISBN 9780131898349.
• Gallian, Joseph (2006). Zeitgenössische abstrakte Algebra (6e-Hrsg.). Houghton Mifflin. ISBN 0-618-51471-6.

  Theorie der linearen Algebra. Erklärt die Kommutativität in Kapitel 1, verwendet sie durchgehend.

• Goodman, Friedrich (2003). Algebra: Abstrakt und konkret, Symmetrie betonend (2e-Hrsg.). Lehrlingssaal. ISBN 0-13-067342-0.

  Abstrakte Algebratheorie. Verwendet die Kommutativitätseigenschaft im gesamten Buch.

• Hurley, Patrick J.; Watson, Lori (2016). Eine kurze Einführung in die Logik (12. Aufl.). Cengage-Lernen. ISBN 978-1-337-51478-1.

Artikel[edit]

Internetquellen[edit]

• “Kommutativität”, Enzyklopädie der Mathematik, EMS-Presse, 2001 [1994]
• Krone, Aaron, Kommutativ at PlanetMath., abgerufen am 8. August 2007.

  Definition der Kommutativität und Beispiele für kommutative Operationen

• Weisstein, Eric W. “Pendeln”. MathWorld., Aufgerufen am 8. August 2007.

  Erklärung des Begriffs pendeln

• “Yark”. Beispiele für nicht-kommutative Operationen at PlanetMath., abgerufen am 8. August 2007

  Beispiele, die einige nichtkommutative Operationen beweisen

• O’Conner, JJ; Robertson, EF “Geschichte der reellen Zahlen”. MacTutor. Abgerufen 8. August 2007.

  Artikel über die Geschichte der reellen Zahlen

• Cabillon, Julio; Müller, Jeff. “Früheste bekannte Verwendungen von mathematischen Begriffen”. Abgerufen 22. November 2008.

  Seite mit den frühesten Verwendungen mathematischer Begriffe

• O’Conner, JJ; Robertson, EF “Biographie von François Servois”. MacTutor. Abgerufen 8. August 2007.

  Biographie von Francois Servois, der den Begriff zum ersten Mal verwendete