Nicht-Standard-Modell der Arithmetik – Wikipedia

Modell der Peano-Arithmetik (erster Ordnung), das Nicht-Standard-Zahlen enthält

In der mathematischen Logik ist a Nicht-Standard-Modell der Arithmetik ist ein Modell der Peano-Arithmetik (erster Ordnung), das Nicht-Standard-Zahlen enthält. Der Begriff Standardmodell der Arithmetik bezieht sich auf die natürlichen Standardzahlen 0, 1, 2, …. Die Elemente jedes Modells der Peano-Arithmetik sind linear geordnet und besitzen ein Anfangssegment, das zu den natürlichen Standardzahlen isomorph ist. Ein Nicht-Standard-Modell ist eines, das zusätzliche Elemente außerhalb dieses Anfangssegments enthält. Die Konstruktion solcher Modelle geht auf Thoralf Skolem (1934) zurück.

Existenz[edit]

Es gibt mehrere Methoden, die verwendet werden können, um die Existenz von Nicht-Standard-Modellen der Arithmetik zu beweisen.

Aus dem Kompaktheitssatz[edit]

Die Existenz von Nicht-Standard-Modellen der Arithmetik kann durch eine Anwendung des Kompaktheitssatzes gezeigt werden. Dazu wird eine Menge von Axiomen P* in einer Sprache einschließlich der Sprache der Peano-Arithmetik zusammen mit einem neuen konstanten Symbol definiert x. Die Axiome bestehen aus den Axiomen der Peano-Arithmetik P zusammen mit einer weiteren unendlichen Menge von Axiomen: für jede Zahl n, das Axiom x > n ist enthalten. Jede endliche Teilmenge dieser Axiome wird von einem Modell erfüllt, das das Standardmodell der Arithmetik plus die Konstante x interpretiert als eine Zahl, die größer ist als jede Zahl, die in der endlichen Teilmenge von P* erwähnt wird. Somit gibt es nach dem Kompaktheitssatz ein Modell, das alle Axiome P* erfüllt. Da jedes Modell von P* ein Modell von P ist (da ein Modell einer Menge von Axiomen offensichtlich auch ein Modell einer beliebigen Teilmenge dieser Menge von Axiomen ist), haben wir, dass unser erweitertes Modell auch ein Modell der Peano-Axiome ist. Das Element dieses Modells, das entspricht x kann keine Standardzahl sein, da sie wie angegeben größer als jede Standardzahl ist.

Mit komplexeren Methoden ist es möglich, vom Standard abweichende Modelle mit komplizierteren Eigenschaften zu erstellen. Zum Beispiel gibt es Modelle der Peano-Arithmetik, bei denen der Satz von Goodstein versagt. In der Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie kann bewiesen werden, dass der Satz von Goodstein im Standardmodell gilt, so dass ein Modell, bei dem Goodsteins Satz versagt, nicht standardisiert sein muss.

Aus den Unvollständigkeitssätzen[edit]

Gödels Unvollständigkeitssätze implizieren auch die Existenz von nicht standardisierten Modellen der Arithmetik. Die Unvollständigkeitssätze zeigen, dass ein bestimmter Satz g, der Gödel-Satz der Peano-Arithmetik, ist in der Peano-Arithmetik weder beweisbar noch widerlegbar. Nach dem Vollständigkeitssatz bedeutet dies, dass g ist in einem Modell der Peano-Arithmetik falsch. Jedoch, g ist im Standardmodell der Arithmetik wahr, und daher in jedem Modell, in dem g ist false muss ein nicht standardmäßiges Modell sein. So befriedigend ~g ist eine hinreichende Bedingung dafür, dass ein Modell nicht dem Standard entspricht. Es ist jedoch keine notwendige Bedingung; für jeden Gödel-Satz g und für jede unendliche Kardinalität gibt es ein Modell der Arithmetik mit g wahr und von dieser Kardinalität.

Rechenfehler für Modelle mit ~g wahr[edit]

Angenommen, Arithmetik ist konsistent, Arithmetik mit ~g ist auch stimmig. Da jedoch ~g besagt, dass die Arithmetik inkonsistent ist, ist das Ergebnis nicht ω-konsistent (weil ~g ist falsch und dies verletzt die ω-Konsistenz).

Aus einem Ultraprodukt[edit]

Ein weiteres Verfahren zum Konstruieren eines nicht standardmäßigen Arithmetikmodells erfolgt über ein Ultraprodukt. Eine typische Konstruktion verwendet die Menge aller Folgen natürlicher Zahlen,

${displaystyle mathbb{N} ^{mathbb{N}}}$

. Identifizieren Sie zwei Sequenzen, wenn sie fast überall übereinstimmen. Der resultierende Halbring ist ein nicht standardmäßiges Modell der Arithmetik. Es kann mit den übernatürlichen Zahlen identifiziert werden.^[1]

Struktur zählbarer Nicht-Standard-Modelle[edit]

Die Ultraproduct-Modelle sind unzählig. Eine Möglichkeit, dies zu sehen, besteht darin, eine Injektion des unendlichen Produkts von zu konstruieren n in das Ultraprodukt. Nach dem Löwenheim-Skolem-Theorem müssen jedoch abzählbare Nicht-Standard-Modelle der Arithmetik existieren. Eine Möglichkeit, ein solches Modell zu definieren, besteht darin, die Henkin-Semantik zu verwenden.

Jedes zählbare Nicht-Standard-Rechenmodell hat einen Ordnungstyp + (ω* + ω) ⋅ η, wobei ω der Ordnungstyp der natürlichen Standardzahlen ist, ω* die duale Ordnung (eine unendlich absteigende Folge) und η der Ordnungstyp der rationalen Zahlen ist. Mit anderen Worten, ein abzählbares Nicht-Standard-Modell beginnt mit einer unendlich ansteigenden Folge (den Standardelementen des Modells). Darauf folgt eine Sammlung von “Blöcken”, jeder vom Auftragstyp ω* + ω, der Auftragstyp der Ganzzahlen. Diese Blöcke sind wiederum dicht geordnet mit dem Ordnungstyp der rationalen Zahlen. Das Ergebnis folgt ziemlich leicht, weil leicht zu erkennen ist, dass die Blöcke von Nicht-Standard-Zahlen dicht und linear ohne Endpunkte geordnet sein müssen und der Ordnungstyp der rationalen Zahlen die einzige abzählbare dichte lineare Ordnung ohne Endpunkte ist.^[2][3][4]

Somit ist die Auftragsart der zählbaren Nicht-Standard-Modelle bekannt. Die arithmetischen Operationen sind jedoch viel komplizierter.

Es ist leicht zu erkennen, dass sich die arithmetische Struktur von + (ω* + ω) ⋅ η. Zum Beispiel, wenn ein nichtstandardisiertes (nicht-finites) Element du ist im Modell, dann ist es auch m ⋅ du für jeden m im Anfangssegment n, noch du² ist größer als m ⋅ du für jeden endlichen Standard m.

Man kann auch “Quadratwurzeln” wie die kleinste definieren v so dass v² > 2 du. Diese können nicht innerhalb einer endlichen Standardzahl eines rationalen Vielfachen von liegen du. Durch analoge Methoden zur Nicht-Standard-Analyse kann man auch PA verwenden, um enge Näherungen an irrationale Vielfache einer Nicht-Standard-Zahl zu definieren du wie am wenigsten v mit v > π ⋅ du (diese können in PA unter Verwendung nicht standardmäßiger endlicher rationaler Näherungen von . definiert werden π obwohl π selbst kann nicht sein). Einmal mehr, v − (m/n) ⋅ (du/n) muss für jede endliche Standardzahl größer sein als jede endliche Standardzahl m, n.^{[citation needed]}

Dies zeigt, dass die arithmetische Struktur eines abzählbaren Nicht-Standard-Modells komplexer ist als die Struktur der rationalen Zahlen. Aber es steckt mehr dahinter: Tennenbaums Theorem zeigt, dass es für jedes abzählbare Nicht-Standard-Modell der Peano-Arithmetik keine Möglichkeit gibt, die Elemente des Modells als (Standard-)natürliche Zahlen zu codieren, so dass entweder die Additions- oder Multiplikationsoperation der model ist eine berechenbare auf den Codes. Dieses Ergebnis wurde erstmals 1959 von Stanley Tennenbaum erzielt.

Verweise[edit]

Zitate[edit]

Quellen[edit]