Abstrakte Algebra – Wikipedia

Mathematische Untersuchung algebraischer Strukturen

In der Algebra, die eine breite Abteilung der Mathematik darstellt, abstrakte Algebra (gelegentlich genannt moderne Algebra) ist das Studium algebraischer Strukturen. Algebraische Strukturen umfassen Gruppen, Ringe, Felder, Module, Vektorräume, Gitter und Algebren. Der Begriff abstrakte Algebra wurde im frühen 20. Jahrhundert geprägt, um diesen Studienbereich von den anderen Teilen der Algebra zu unterscheiden.

Algebraische Strukturen mit ihren zugehörigen Homomorphismen bilden mathematische Kategorien. Die Kategorietheorie ist ein Formalismus, der eine einheitliche Möglichkeit bietet, Eigenschaften und Konstruktionen auszudrücken, die für verschiedene Strukturen ähnlich sind.

Die universelle Algebra ist ein verwandtes Thema, das Arten algebraischer Strukturen als einzelne Objekte untersucht. Zum Beispiel ist die Struktur von Gruppen ein einzelnes Objekt in der universellen Algebra, das aufgerufen wird Vielzahl von Gruppen.

Geschichte[edit]

Wie in anderen Teilen der Mathematik haben konkrete Probleme und Beispiele eine wichtige Rolle bei der Entwicklung der abstrakten Algebra gespielt. Bis zum Ende des neunzehnten Jahrhunderts waren viele – vielleicht die meisten – dieser Probleme in irgendeiner Weise mit der Theorie der algebraischen Gleichungen verbunden. Hauptthemen sind:

Zahlreiche Lehrbücher in der abstrakten Algebra beginnen mit axiomatischen Definitionen verschiedener algebraischer Strukturen und legen dann deren Eigenschaften fest. Dies erzeugt den falschen Eindruck, dass in der Algebra Axiome zuerst gekommen waren und dann als Motivation und als Grundlage für weitere Studien dienten. Die wahre Reihenfolge der historischen Entwicklung war fast genau das Gegenteil. Zum Beispiel hatten die hyperkomplexen Zahlen des neunzehnten Jahrhunderts kinematische und physische Motivationen, forderten jedoch das Verständnis heraus. Die meisten Theorien, die heute als Teile der Algebra anerkannt sind, begannen als Sammlung unterschiedlicher Fakten aus verschiedenen Bereichen der Mathematik, erwarben ein gemeinsames Thema, das als Kern diente, um den verschiedene Ergebnisse gruppiert wurden, und wurden schließlich auf der Grundlage einer gemeinsamen Reihe von Ergebnissen vereinheitlicht Konzepte. Ein archetypisches Beispiel für diese fortschreitende Synthese ist in der Geschichte der Gruppentheorie zu sehen.^{[citation needed]}

Frühe Gruppentheorie[edit]

In der frühen Entwicklung der Gruppentheorie gab es mehrere Fäden, die in der modernen Sprache lose entsprachen Zahlentheorie, Theorie der Gleichungen, und Geometrie.

Leonhard Euler betrachtete algebraische Operationen an Zahlen modulo als eine ganze Zahl – modulare Arithmetik – in seiner Verallgemeinerung von Fermats kleinem Theorem. Diese Untersuchungen wurden von Carl Friedrich Gauss, der die Struktur multiplikativer Gruppen von Resten mod n berücksichtigte und viele Eigenschaften von zyklischen und allgemeineren abelschen Gruppen feststellte, die auf diese Weise entstehen, viel weiter vorangetrieben. In seinen Untersuchungen zur Zusammensetzung binärer quadratischer Formen hat Gauß das assoziative Gesetz für die Zusammensetzung von Formen ausdrücklich angegeben, aber wie Euler vor ihm scheint er mehr an konkreten Ergebnissen als an der allgemeinen Theorie interessiert gewesen zu sein. 1870 definierte Leopold Kronecker eine abelsche Gruppe im Kontext idealer Klassengruppen eines Zahlenfeldes und verallgemeinerte Gauß ‘Arbeit; aber es scheint, dass er seine Definition nicht mit früheren Arbeiten über Gruppen, insbesondere Permutationsgruppen, verknüpft hat. Unter Berücksichtigung derselben Frage erkannte Heinrich M. Weber 1882 den Zusammenhang und gab eine ähnliche Definition, die die Löschungseigenschaft betraf, ließ jedoch die Existenz des inversen Elements aus, was in seinem Kontext ausreichend war (endliche Gruppen).^{[citation needed]}

Permutationen wurden von Joseph-Louis Lagrange in seiner Arbeit von 1770 untersucht Réflexions sur la résolution algébrique des équations (Gedanken zur algebraischen Lösung von Gleichungen) widmete sich Lösungen algebraischer Gleichungen, in denen er Lagrange-Resolventen einführte. Lagranges Ziel war es zu verstehen, warum Gleichungen dritten und vierten Grades Formeln für Lösungen zulassen, und er identifizierte als Schlüsselobjekte Permutationen der Wurzeln. Ein wichtiger neuer Schritt, den Lagrange in diesem Artikel unternahm, war die abstrakte Sicht auf die Wurzeln, dh als Symbole und nicht als Zahlen. Die Zusammensetzung der Permutationen berücksichtigte er jedoch nicht. Zufällig die erste Ausgabe von Edward Waring Meditationes Algebraicae ((Meditationen über Algebra) erschien im selben Jahr mit einer erweiterten Version, die 1782 veröffentlicht wurde. Waring erwies sich als grundlegender Satz symmetrischer Polynome und berücksichtigte insbesondere die Beziehung zwischen den Wurzeln einer Quartikgleichung und ihrer auflösenden Kubik. Mémoire sur la résolution des équations ((Memoire über das Lösen von Gleichungen) von Alexandre Vandermonde (1771) entwickelte die Theorie der symmetrischen Funktionen aus einem etwas anderen Blickwinkel, jedoch wie Lagrange, mit dem Ziel, die Lösbarkeit algebraischer Gleichungen zu verstehen.

Kronecker behauptete 1888, dass das Studium der modernen Algebra mit dieser ersten Arbeit von Vandermonde begann. Cauchy stellt ganz klar fest, dass Vandermonde für diese bemerkenswerte Idee Vorrang vor Lagrange hatte, was schließlich zum Studium der Gruppentheorie führte.^[1]

Paolo Ruffini war der erste, der die Theorie der Permutationsgruppen entwickelte, und wie seine Vorgänger auch im Zusammenhang mit der Lösung algebraischer Gleichungen. Sein Ziel war es, die Unmöglichkeit einer algebraischen Lösung für eine allgemeine algebraische Gleichung mit einem Grad größer als vier festzustellen. Auf dem Weg zu diesem Ziel führte er den Begriff der Ordnung eines Elements einer Gruppe, die Konjugation, die Zykluszerlegung von Elementen von Permutationsgruppen und die Begriffe primitiv und imprimitiv ein und bewies einige wichtige Theoreme, die diese Konzepte in Beziehung setzen, wie z

wenn G eine Untergruppe von S ist₅ deren Ordnung durch 5 teilbar ist, dann enthält G ein Element der Ordnung 5.

Er kam jedoch aus, ohne das Konzept einer Gruppe oder sogar einer Permutationsgruppe zu formalisieren. Der nächste Schritt wurde 1832 von Évariste Galois unternommen, obwohl sein Werk bis 1846 unveröffentlicht blieb, als er zum ersten Mal überlegte, was heute das heißt Schließungseigenschaft einer Gruppe von Permutationen, die er als ausdrückte

Wenn man in einer solchen Gruppe die Substitutionen S und T hat, dann hat man die Substitution ST.

Die Theorie der Permutationsgruppen wurde in den Händen von Augustin Cauchy und Camille Jordan weiter entwickelt, sowohl durch die Einführung neuer Konzepte als auch vor allem durch eine Fülle von Ergebnissen über spezielle Klassen von Permutationsgruppen und sogar einige allgemeine Theoreme. Jordan definierte unter anderem einen Begriff des Isomorphismus, der immer noch im Kontext von Permutationsgruppen steht, und im Übrigen war er es, der den Begriff formulierte Gruppe weit verbreitet.

Der abstrakte Begriff einer Gruppe tauchte 1854 zum ersten Mal in Arthur Cayleys Papieren auf. Cayley erkannte, dass eine Gruppe keine Permutationsgruppe sein muss (oder sogar endlich) und kann stattdessen aus Matrizen bestehen, deren algebraische Eigenschaften wie Multiplikation und Inverse er in den folgenden Jahren systematisch untersucht hat. Viel später würde Cayley die Frage erneut prüfen, ob abstrakte Gruppen allgemeiner als Permutationsgruppen sind, und feststellen, dass tatsächlich jede Gruppe zu einer Gruppe von Permutationen isomorph ist.

Moderne Algebra[edit]

Ende des 19. und Anfang des 20. Jahrhunderts veränderte sich die Methodik der Mathematik. Die abstrakte Algebra entstand zu Beginn des 20. Jahrhunderts unter dem Namen moderne Algebra. Seine Studie war Teil des Strebens nach mehr intellektueller Genauigkeit in der Mathematik. Die Annahmen in der klassischen Algebra, von denen die gesamte Mathematik (und wesentliche Teile der Naturwissenschaften) abhängt, hatten zunächst die Form von axiomatischen Systemen. Die Mathematiker waren nicht mehr damit zufrieden, Eigenschaften konkreter Objekte zu bestimmen, und wandten sich der allgemeinen Theorie zu. Formale Definitionen bestimmter algebraischer Strukturen entstanden im 19. Jahrhundert. Zum Beispiel wurden Ergebnisse über verschiedene Gruppen von Permutationen als Beispiele allgemeiner Theoreme angesehen, die einen allgemeinen Begriff von a betreffen abstrakte Gruppe. Fragen der Struktur und Klassifizierung verschiedener mathematischer Objekte standen im Vordergrund.

Diese Prozesse fanden in der gesamten Mathematik statt, wurden jedoch in der Algebra besonders ausgeprägt. Für viele grundlegende algebraische Strukturen wie Gruppen, Ringe und Felder wurde eine formale Definition durch primitive Operationen und Axiome vorgeschlagen. Daher nahmen solche Dinge wie Gruppentheorie und Ringtheorie ihren Platz in der reinen Mathematik ein. Die algebraischen Untersuchungen allgemeiner Felder von Ernst Steinitz und kommutativer und dann allgemeiner Ringe von David Hilbert, Emil Artin und Emmy Noether bauen auf der Arbeit von Ernst Kummer, Leopold Kronecker und Richard Dedekind auf, die Ideale in kommutativen Ringen in Betracht gezogen hatten, und von Georg Frobenius und Issai Schur, die die Darstellungstheorie von Gruppen betrafen, definierten die abstrakte Algebra. Diese Entwicklungen des letzten Viertels des 19. Jahrhunderts und des ersten Viertels des 20. Jahrhunderts wurden bei Bartel van der Waerden systematisch aufgedeckt Moderne Algebra, die 1930–1931 veröffentlichte zweibändige Monographie, die für die mathematische Welt die Bedeutung des Wortes für immer veränderte Algebra von die Theorie der Gleichungen zum Theorie algebraischer Strukturen.

Grundlegendes Konzept[edit]

Durch das Abstrahieren verschiedener Detailmengen haben Mathematiker verschiedene algebraische Strukturen definiert, die in vielen Bereichen der Mathematik verwendet werden. Beispielsweise sind fast alle untersuchten Systeme Mengen, für die die Sätze der Mengenlehre gelten. Diejenigen Mengen, auf denen eine bestimmte binäre Operation definiert ist, bilden Magmen, für die die Konzepte bezüglich Magmen sowie diejenigen bezüglich Mengen gelten. Wir können der algebraischen Struktur zusätzliche Einschränkungen hinzufügen, wie z. B. Assoziativität (um Halbgruppen zu bilden); Identität und Umkehrungen (um Gruppen zu bilden); und andere komplexere Strukturen. Mit zusätzlicher Struktur könnten mehr Theoreme bewiesen werden, aber die Allgemeinheit wird reduziert. Die “Hierarchie” algebraischer Objekte (in Bezug auf die Allgemeinheit) erzeugt eine Hierarchie der entsprechenden Theorien: Beispielsweise können die Theoreme der Gruppentheorie verwendet werden, wenn Ringe (algebraische Objekte, die zwei binäre Operationen mit bestimmten Axiomen haben) seit einem Ring untersucht werden ist eine Gruppe über eine ihrer Operationen. Im Allgemeinen besteht ein Gleichgewicht zwischen dem Umfang der Allgemeinheit und dem Reichtum der Theorie: Allgemeinere Strukturen haben normalerweise weniger nichttriviale Theoreme und weniger Anwendungen.

Beispiele für algebraische Strukturen mit einer einzelnen binären Operation sind:

Beispiele für mehrere Operationen sind:

Anwendungen[edit]

Aufgrund ihrer Allgemeinheit wird die abstrakte Algebra in vielen Bereichen der Mathematik und Naturwissenschaften verwendet. Beispielsweise verwendet die algebraische Topologie algebraische Objekte, um Topologien zu untersuchen. Die 2003 bewiesene Poincaré-Vermutung besagt, dass die Grundgruppe einer Mannigfaltigkeit, die Informationen über die Verbundenheit codiert, verwendet werden kann, um zu bestimmen, ob eine Mannigfaltigkeit eine Kugel ist oder nicht. Die algebraische Zahlentheorie untersucht verschiedene Zahlenringe, die die Menge der ganzen Zahlen verallgemeinern. Mit Werkzeugen der algebraischen Zahlentheorie bewies Andrew Wiles Fermats letzten Satz.

In der Physik werden Gruppen verwendet, um Symmetrieoperationen darzustellen, und die Verwendung der Gruppentheorie könnte Differentialgleichungen vereinfachen. In der Eichentheorie kann das Erfordernis der lokalen Symmetrie verwendet werden, um die Gleichungen abzuleiten, die ein System beschreiben. Die Gruppen, die diese Symmetrien beschreiben, sind Lie-Gruppen, und das Studium von Lie-Gruppen und Lie-Algebren offenbart viel über das physikalische System; Zum Beispiel ist die Anzahl der Kraftträger in einer Theorie gleich der Dimension der Lie-Algebra, und diese Bosonen interagieren mit der Kraft, die sie vermitteln, wenn die Lie-Algebra nichtabelisch ist.^[2]

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

Quellen[edit]

• Allenby, RBJT (1991), Ringe, Felder und Gruppen, Butterworth-Heinemann, ISBN 978-0-340-54440-2
• Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice Hall, ISBN 978-0-89871-510-1
• Burris, Stanley N.; Sankappanavar, HP (1999) [1981], Ein Kurs in universeller Algebra
• Gilbert, Jimmie; Gilbert, Linda (2005), Elemente der modernen Algebra, Thomson Brooks / Cole, ISBN 978-0-534-40264-8
• Lang, Serge (2002), Algebra, Diplomtexte in Mathematik, 211 (Überarbeitete dritte Ausgabe), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, HERR 1878556
• Sethuraman, BA (1996), Ringe, Felder, Vektorräume und Gruppentheorie: Eine Einführung in die abstrakte Algebra über geometrische Konstruierbarkeit, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94848-5
• Whitehead, C. (2002), Leitfaden zur abstrakten Algebra (2. Aufl.), Houndmills: Palgrave, ISBN 978-0-333-79447-0
• W. Keith Nicholson (2012) Einführung in die abstrakte Algebra, 4. Auflage, John Wiley & Sons ISBN 978-1-118-13535-8.
• John R. Durbin (1992) Moderne Algebra: eine Einführung, John Wiley & Sons

Externe Links[edit]