L-Theorie – Wikipedia

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In der Mathematik algebraisch L.-Theorie ist der K.-Theorie quadratischer Formen; Der Begriff wurde von CTC Wall mit geprägt L. wird als der Brief danach verwendet K.. Algebraisch L.-Theorie, auch bekannt als “Hermitian K.-Theorie”ist wichtig in der Chirurgietheorie.[1]

Definition[edit]

Man kann definieren L.-Gruppen für jeden Ring mit Involution R.: das Quadrat L.-Gruppen

L.∗((R.){ displaystyle L _ {*} (R)}

(Wand) und die symmetrische L.-Gruppen

L.∗((R.){ displaystyle L ^ {*} (R)}

(Mischchenko, Ranicki).

Gleichmäßige Abmessung[edit]

Das gerade-dimensionale L.-Gruppen

L.2k((R.){ displaystyle L_ {2k} (R)}

sind definiert als die Witt-Gruppen von ε-quadratischen Formen über dem Ring R. mit

ϵ=((– –1)k{ displaystyle epsilon = (- 1) ^ {k}}

. Etwas präziser,

L.2k((R.){ displaystyle L_ {2k} (R)}

ist die abelsche Gruppe von Äquivalenzklassen

[ψ]{ displaystyle [psi ]}}

von nicht entarteten ε-quadratischen Formen

ψ∈Q.ϵ((F.){ displaystyle psi in Q _ { epsilon} (F)}

über R, wo die zugrunde liegenden R-Module F endlich frei erzeugt werden. Die Äquivalenzbeziehung ist durch Stabilisierung in Bezug auf hyperbolische ε-quadratische Formen gegeben:

[ψ]=[ψ′]⟺n,n‘∈N.0::ψ⊕H.((– –1)k((R.)n≅ψ‘⊕H.((– –1)k((R.)n‘{ displaystyle [psi ]=[psi ‘] Longleftrightarrow n, n ‘ in { mathbb {N}} _ {0}: psi oplus H _ {(- 1) ^ {k}} (R) ^ {n} cong psi’ oplus H_ {(-1) ^ {k}} (R) ^ {n ‘}}

.

Der Zusatz in

L.2k((R.){ displaystyle L_ {2k} (R)}

wird definiert durch

[ψ1]+[ψ2]: =[ψ1⊕ψ2].{ displaystyle [psi _{1}]+[psi _{2}]: =[psi _{1}oplus psi _{2}].}

Das Nullelement wird durch dargestellt

H.((– –1)k((R.)n{ displaystyle H _ {(- 1) ^ {k}} (R) ^ {n}}

für jeden

n∈N.0{ displaystyle n in { mathbb {N}} _ {0}}

. Die Umkehrung von

[ψ]{ displaystyle [psi ]}}

ist

[−ψ]{ displaystyle [-psi ]}}

.

Ungerade Dimension[edit]

Ungeraddimensional definieren L.-Gruppen ist komplizierter; weitere Details und die Definition der ungeraden Dimension L.-Gruppen finden Sie in den unten genannten Referenzen.

Beispiele und Anwendungen[edit]

Das L.-Gruppen einer Gruppe

π{ displaystyle pi}

sind die L.-Gruppen

L.∗((Z.[π]){ displaystyle L _ {*} ( mathbf {Z} [pi ])}

des Gruppenrings

Z.[π]{ displaystyle mathbf {Z} [pi ]}}

. In den Anwendungen zur Topologie

π{ displaystyle pi}

ist die Grundgruppe

π1((X.){ displaystyle pi _ {1} (X)}

eines Raumes

X.{ displaystyle X}

. Das Quadrat L.-Gruppen

L.∗((Z.[π]){ displaystyle L _ {*} ( mathbf {Z} [pi ])}

spielen eine zentrale Rolle bei der chirurgischen Klassifizierung der Homotopietypen von

n{ displaystyle n}

-dimensionale Mannigfaltigkeiten der Dimension

n>4{ displaystyle n> 4}

H.∗{ displaystyle H ^ {*}}

der cyclischen Gruppe

Z.2{ displaystyle mathbf {Z} _ {2}}

befasst sich mit den Fixpunkten von a

Z.2{ displaystyle mathbf {Z} _ {2}}

-Aktion, während die Gruppenhomologie

H.∗{ displaystyle H _ {*}}

befasst sich mit den Umlaufbahnen von a

Z.2{ displaystyle mathbf {Z} _ {2}}

-Aktion; vergleichen Sie

X.G{ displaystyle X ^ {G}}

(Fixpunkte) und

X.G=X./.G{ displaystyle X_ {G} = X / G}

(Bahnen, Quotient) für die Notation des oberen / unteren Index.

Das Quadrat L.-Gruppen:

L.n((R.){ displaystyle L_ {n} (R)}

und das symmetrische L.-Gruppen:

L.n((R.){ displaystyle L ^ {n} (R)}

sind durch eine Symmetrisierungskarte verbunden

L.n((R.)→L.n((R.){ displaystyle L_ {n} (R) bis L ^ {n} (R)}

Dies ist eine Isomorphismus-Modulo-2-Torsion, die den Polarisationsidentitäten entspricht.

Das Quadratische und das Symmetrische L.-Gruppen sind 4-fach periodisch (der Kommentar von Ranicki, Seite 12, zur Nichtperiodizität der Symmetrie L.-groups bezieht sich auf einen anderen Typ von L.-Gruppen, definiert mit “kurze Komplexe”).

Im Hinblick auf die Anwendungen zur Klassifizierung von Verteilern gibt es umfangreiche Berechnungen des Quadrats

L.{ displaystyle L}

-Gruppen

L.∗((Z.[π]){ displaystyle L _ {*} ( mathbf {Z} [pi ])}

. Für endlich

π{ displaystyle pi}

Es werden algebraische Methoden verwendet, und meistens werden geometrische Methoden (z. B. kontrollierte Topologie) für unendlich verwendet

π{ displaystyle pi}

.

Allgemeiner kann man definieren L.-Gruppen für jede additive Kategorie mit a Kettendualitätwie in Ranicki (Abschnitt 1).

Ganzzahlen[edit]

Das einfach verbunden L.-Gruppen sind auch die L.-Gruppen der ganzen Zahlen, as

L.((e): =L.((Z.[e])=L.((Z.){ displaystyle L (e): = L ( mathbf {Z} [e]) = L ( mathbf {Z})}

für beide

L.{ displaystyle L}

=

L.∗{ displaystyle L ^ {*}}

oder

L.∗.{ displaystyle L _ {*}.}

Für quadratisch L.-Gruppen, dies sind die Operationshindernisse für einfach verbundene Operationen.

Das Quadrat L.-Gruppen der ganzen Zahlen sind:

L.4k((Z.)=Z.Unterschrift/.8L.4k+1((Z.)=0L.4k+2((Z.)=Z./.2Arf invariantL.4k+3((Z.)=0.{ displaystyle { begin {align} L_ {4k} ( mathbf {Z}) & = mathbf {Z} && { text {Signatur}} / 8 \ L_ {4k + 1} ( mathbf {Z. }) & = 0 \ L_ {4k + 2} ( mathbf {Z}) & = mathbf {Z} / 2 && { text {Arf invariant}} \ L_ {4k + 3} ( mathbf {Z. }) & = 0. end {align}}}

In doppelt gleichmäßiger Dimension (4k), das Quadrat L.-Gruppen erkennen die Signatur; in einfach gleichmäßiger Dimension (4k+2), die L.-Gruppen erkennen die Arf-Invariante (topologisch die Kervaire-Invariante).

Das Symmetrische L.-Gruppen der ganzen Zahlen sind:

L.4k((Z.)=Z.UnterschriftL.4k+1((Z.)=Z./.2de Rham invariantL.4k+2((Z.)=0L.4k+3((Z.)=0.{ displaystyle { begin {align} L ^ {4k} ( mathbf {Z}) & = mathbf {Z} && { text {Signatur}} \ L ^ {4k + 1} ( mathbf {Z. }) & = mathbf {Z} / 2 && { text {de Rham invariant}} \ L ^ {4k + 2} ( mathbf {Z}) & = 0 \ L ^ {4k + 3} ( mathbf {Z}) & = 0. end {align}}}

In doppelt gleichmäßiger Dimension (4k), die symmetrische L.-Gruppen, wie beim Quadrat L.-Gruppen, erkennen Sie die Signatur; in der Dimension (4k+1), die L.-Gruppen erkennen die de Rham-Invariante.

Verweise[edit]