Goldene Spirale – Wikipedia

Posted on December 24, 2020 by lordneo

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Goldene Spiralen sind sich selbst ähnlich. Die Form wird bei Vergrößerung unendlich oft wiederholt.

In der Geometrie a goldene Spirale ist eine logarithmische Spirale, deren Wachstumsfaktor ist $φ$ , der goldene Schnitt.^[1] Das heißt, eine goldene Spirale wird um einen Faktor von breiter (oder weiter von ihrem Ursprung entfernt) $φ$ für jede viertel Umdrehung macht es.

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Annäherungen an die goldene Spirale[edit]

Ungefähre und wahre goldene Spiralen: die Grün Die Spirale besteht aus Viertelkreisen, die das Innere jedes Quadrats tangieren, während die rot Spirale ist eine goldene Spirale, eine spezielle Art von logarithmischer Spirale. Überlappende Teile werden angezeigt Gelb. Die Länge der Seite eines größeren Quadrats zum nächst kleineren Quadrat liegt im goldenen Schnitt. Für ein Quadrat mit Seitenlänge 1ist das nächst kleinere Quadrat 1 / φ breit. Die nächste Breite ist 1 / φ², dann 1 / φ³, und so weiter.

Es gibt mehrere vergleichbare Spiralen, die einer goldenen Spirale nahe kommen, aber nicht genau gleich sind.^[2]

Zum Beispiel kann eine goldene Spirale angenähert werden, indem zuerst mit einem Rechteck begonnen wird, für das das Verhältnis zwischen Länge und Breite der goldene Schnitt ist. Dieses Rechteck kann dann in ein Quadrat und ein ähnliches Rechteck unterteilt werden, und dieses neueste Rechteck kann dann auf die gleiche Weise geteilt werden. Nachdem Sie diesen Vorgang für eine beliebige Anzahl von Schritten fortgesetzt haben, wird das Rechteck fast vollständig in Quadrate unterteilt. Die Ecken dieser Quadrate können durch Viertelkreise verbunden werden. Das Ergebnis ist zwar keine echte logarithmische Spirale, kommt aber einer goldenen Spirale sehr nahe.^[2]

Eine weitere Annäherung ist eine Fibonacci-Spirale, die etwas anders aufgebaut ist. Eine Fibonacci-Spirale beginnt mit einem Rechteck, das in zwei Quadrate unterteilt ist. In jedem Schritt wird dem Rechteck ein Quadrat mit der Länge der längsten Seite des Rechtecks hinzugefügt. Da sich das Verhältnis zwischen aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen dem Goldenen Schnitt nähert, wenn sich die Fibonacci-Zahlen der Unendlichkeit nähern, wird auch diese Spirale der vorherigen Näherung ähnlicher, je mehr Quadrate hinzugefügt werden, wie das Bild zeigt.

Spiralen in der Natur[edit]

In der Natur können ungefähre logarithmische Spiralen auftreten, beispielsweise die Arme von Spiralgalaxien^[3] – Goldene Spiralen sind ein Sonderfall dieser logarithmischen Spiralen, obwohl es keine Hinweise darauf gibt, dass eine allgemeine Tendenz zu diesem Fall besteht. Die Phyllotaxis ist mit dem goldenen Schnitt verbunden, da aufeinanderfolgende Blätter oder Blütenblätter durch den goldenen Winkel getrennt werden. es führt auch zur Entstehung von Spiralen, obwohl wiederum keine von ihnen (notwendigerweise) goldene Spiralen sind. Es wird manchmal behauptet, dass Spiralgalaxien und Nautilusschalen im Muster einer goldenen Spirale breiter werden und daher mit beiden verwandt sind $φ$ und die Fibonacci-Serie.^[4]

In Wahrheit weisen Spiralgalaxien und Nautilusschalen (und viele Molluskenschalen) ein logarithmisches Spiralwachstum auf, jedoch in einer Vielzahl von Winkeln, die sich normalerweise deutlich von denen der goldenen Spirale unterscheiden.^[5]^[6]^[7] Dieses Muster ermöglicht es dem Organismus zu wachsen, ohne seine Form zu ändern.^{[citation needed]}

Mathematik[edit]

Eine Fibonacci-Spirale approximiert die goldene Spirale unter Verwendung von Viertelkreisbögen, die in Quadrate eingeschrieben sind, die aus der Fibonacci-Sequenz abgeleitet sind.

Eine goldene Spirale mit dem Anfangsradius 1 ist der Ort der Punkte der Polarkoordinaten

{ displaystyle (r, theta)}

$(r, theta)$ befriedigend

{ displaystyle r = varphi ^ { theta { frac {2} { pi}}} ,}

Die polare Gleichung für eine goldene Spirale ist dieselbe wie für andere logarithmische Spiralen, jedoch mit einem speziellen Wert des Wachstumsfaktors $b$ ::^[8]

{ displaystyle r = ae ^ {b theta} ,}

oder

{ displaystyle theta = { frac {1} {b}} ln (r / a),}

mit $e$ die Basis natürlicher Logarithmen sein, $ein$ der Anfangsradius der Spirale ist, und $b$ so dass wenn $θ$ ist ein rechter Winkel (eine viertel Umdrehung in beide Richtungen):

{ displaystyle e ^ {b theta _ { mathrm {right}}} , = varphi}

Deshalb, $b$ ist gegeben durch

{ displaystyle b = { ln { varphi} over theta _ { mathrm {right}}}.}

Die Lucas-Spirale nähert sich der goldenen Spirale an, wenn ihre Begriffe groß sind, aber nicht, wenn sie klein sind. 10 Begriffe von 2 bis 76 sind enthalten.

Der numerische Wert von $b$ hängt davon ab, ob der rechte Winkel als 90 Grad oder als gemessen wird

{ displaystyle textstyle { frac { pi} {2}}}

$textstyle frac { pi} {2}$ Bogenmaß; und da der Winkel in beide Richtungen sein kann, ist es am einfachsten, die Formel für den absoluten Wert von zu schreiben

{ displaystyle b}

$b$ (das ist, $b$ kann auch das Negative dieses Wertes sein):

{ displaystyle | b | = { ln { varphi} over 90} doteq 0.0053468 ,}

{ displaystyle | b | = { ln { varphi} over pi / 2} doteq 0.3063489 ,}

Eine alternative Formel für eine logarithmische und goldene Spirale lautet:^[9]

{ displaystyle r = ac ^ { theta} ,}

wo die Konstante $c$ ist gegeben durch:

{ displaystyle c = e ^ {b} ,}

was für die goldene Spirale gibt $c$ Werte von:

{ displaystyle c = varphi ^ { frac {1} {90}} doteq 1.0053611}

wenn $θ$ wird in Grad gemessen und

{ displaystyle c = varphi ^ { frac {2} { pi}} doteq 1.358456.}

wenn $θ$ wird im Bogenmaß gemessen.

In Bezug auf logarithmische Spiralen hat die goldene Spirale die unterscheidende Eigenschaft, dass für vier kollineare Spiralpunkte A, B, C, D zu Argumenten gehören
$θ$ , $θ + π$ , $θ + 2π$ , $θ + 3π$
der Punkt C ist das projektive harmonische Konjugat von B in Bezug auf A, D, dh das Kreuzverhältnis (A, D; B, C) hat den Singularwert −1. Die goldene Spirale ist die einzige logarithmische Spirale mit (A, D; B, C) = (A, D; C, B).

Polare Neigung[edit]

Definition von Neigungswinkel und Sektor

In der polaren Gleichung für eine logarithmische Spirale:

{ displaystyle r = ae ^ {b theta} ,}

der Parameter $b$ hängt mit dem polaren Neigungswinkel zusammen

{ displaystyle alpha}

$Alpha$ ::

{ displaystyle tan alpha = b}

In einer goldenen Spirale sein

{ displaystyle b}

$b$ konstant und gleich

{ displaystyle | b | = { ln { varphi} over pi / 2}}

${ displaystyle | b | = { ln { varphi} over pi / 2}}$ (zum $θ$ im Bogenmaß (wie oben definiert) der Neigungswinkel

{ displaystyle alpha}

$Alpha$ ist:

{ displaystyle alpha = arctan (| b |) = arctan left ({ ln { varphi} over pi / 2} right)}

{ displaystyle alpha doteq 17.03239113}

{ displaystyle alpha doteq 0.2972713047}

Sein komplementärer Winkel

{ displaystyle beta = pi / 2- alpha doteq 1.273525022}

{ displaystyle beta = 90- alpha doteq 73}

ist der Winkel, den die goldenen Spiralarme mit einer Linie von der Mitte der Spirale bilden.

Siehe auch[edit]

Litauische Münze mit der Spirale

Verweise[edit]

^ Chang, Yu-sung, “Goldene Spirale Archiviert 2019-07-28 at the Wayback Machine “, Das Wolfram-Demonstrationsprojekt.
^ ^ein ^b Madden, Charles B. (2005) [1999]. Fib und Phi in der Musik: Die musikalische Form des goldenen Anteils. Hohe Kunstpresse. S. 14–16. ISBN 978-0967172767.
^
Midhat Gazale (1999). Gnomon: Von Pharaonen zu Fraktalen. Princeton University Press. p. 3. ISBN 9780691005140.
^
Zum Beispiel diese Bücher:
Jan CA Boeyens (2009). Chemie nach ersten Prinzipien. Springer. p. 261. ISBN 9781402085451.,
PD Frey (2011). Grenzen der Identität: Die persönliche Erforschung eines Psychologen. Xlibris Corporation. ISBN 9781465355850.^{[self-published source]},
Russell Howell und James Bradley (2011). Mathematik mit den Augen des Glaubens. HarperCollins. p. 162. ISBN 978-0062024473.,
Charles Seife (2000). Null: Die Biographie einer gefährlichen Idee. Pinguin. p. 40. ISBN 978-0140296471.,
Sandra Kynes (2008). Seemagie: Verbindung mit der Energie des Ozeans. Llewellyn weltweit. p. 100. ISBN 9780738713533.,
Bruce Burger (1998). Esoterische Anatomie: Der Körper als Bewusstsein. Nordatlantische Bücher. p. 144. ISBN 9781556432248.
^
David Darling (2004). Das universelle Buch der Mathematik: Von Abrakadabra zu Zenos Paradoxien. John Wiley & Sons. p. 188. ISBN 9780471270478.
^ Devlin, Keith (Mai 2007). “Der Mythos, der nicht verschwinden wird”.
^ Peterson, Ivars (01.04.2005). “Sea Shell Spirals”. Wissenschaftsnachrichten. Gesellschaft für Wissenschaft und Öffentlichkeit.
^ Priya Hemenway (2005). Göttlicher Anteil: $Φ$ Phi in Kunst, Natur und Wissenschaft. Sterling Publishing Co., S. 127–129. ISBN 1-4027-3522-7.
^ Klaus Mainzer (1996). Symmetrien der Natur: Ein Handbuch für Natur- und Wissenschaftstheorie. Walter de Gruyter. S. 45, 199–200. ISBN 3-11-012990-6.

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Mathematik[edit]

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