Grad einer Felderweiterung

Dimension des Erweiterungsfelds als Vektorraum über dem Basisfeld

In der Mathematik, genauer gesagt in der Feldtheorie, ist die Grad einer Felderweiterung ist ein grobes Maß für die “Größe” der Felderweiterung. Das Konzept spielt in vielen Bereichen der Mathematik eine wichtige Rolle, einschließlich der Algebra und der Zahlentheorie – und zwar in allen Bereichen, in denen Felder eine herausragende Rolle spielen.

Definition und Notation[edit]

Nehme an, dass E./.F. ist eine Felderweiterung. Dann E. kann als Vektorraum über betrachtet werden F. (das Feld der Skalare). Die Dimension dieses Vektorraums wird als bezeichnet Grad der Felderweiterungund es wird mit bezeichnet [E:F].

Der Grad kann endlich oder unendlich sein, wobei das Feld a genannt wird endliche Erweiterung oder unendliche Erweiterung entsprechend. Eine Erweiterung E./.F. wird auch manchmal einfach gesagt endlich wenn es eine endliche Erweiterung ist; Dies sollte nicht mit den Feldern selbst verwechselt werden, die endliche Felder sind (Felder mit endlich vielen Elementen).

Der Grad sollte nicht mit dem Transzendenzgrad eines Feldes verwechselt werden. Zum Beispiel das Feld Q.((X.) der rationalen Funktionen hat unendlich viel über Q., aber Transzendenzgrad nur gleich 1.

Die Multiplikativitätsformel für Grade[edit]

Sagen wir, drei Felder sind in einem Turm angeordnet K. ein Unterfeld von L. Das ist wiederum ein Unterfeld von M.Es gibt eine einfache Beziehung zwischen den Graden der drei Erweiterungen L./.K., M./.L. und M./.K.::

[M:K]=[M:L]⋅[L:K].{ displaystyle [M:K]=[M:L] cdot [L:K].}

Mit anderen Worten, der Grad, der von “unten” nach “oben” geht, ist nur das Produkt der Grade, die von “unten” nach “Mitte” und dann von “Mitte” nach “oben” gehen. Es ist ziemlich analog zu Lagranges Satz in der Gruppentheorie, der die Ordnung einer Gruppe mit der Ordnung und dem Index einer Untergruppe in Beziehung setzt – tatsächlich zeigt die Galois-Theorie, dass diese Analogie mehr als nur ein Zufall ist.

Die Formel gilt sowohl für endliche als auch für unendliche Graderweiterungen. Im unendlichen Fall wird das Produkt im Sinne von Produkten mit Kardinalzahlen interpretiert. Dies bedeutet insbesondere, dass wenn M./.K. ist endlich, dann beides M./.L. und L./.K. sind endlich.

Wenn M./.K. ist endlich, dann legt die Formel starke Einschränkungen für die Arten von Feldern fest, die zwischen auftreten können M. und K.über einfache arithmetische Überlegungen. Zum Beispiel, wenn der Abschluss [M:K] ist eine Primzahl p, dann für jedes Zwischenfeld L.kann eines von zwei Dingen passieren: entweder [M:L] = p und [L:K] = 1, in welchem ​​Fall L. entspricht K., oder [M:L] = 1 und [L:K] = p, in welchem ​​Fall L. entspricht M.. Daher gibt es keine Zwischenfelder (außer M. und K. sich).

Beweis der Multiplikativitätsformel im endlichen Fall[edit]

Nehme an, dass K., L. und M. bilden einen Feldturm wie in der obigen Gradformel, und das beides d = [L:K] und e = [M:L] sind endlich. Dies bedeutet, dass wir eine Basis auswählen können {u₁, …, u_d} zum L. Über K.und eine Basis {w₁, …, w_e} zum M. Über L.. Wir werden zeigen, dass die Elemente u_mw_n, zum m im Bereich von 1, 2, …, d und n im Bereich von 1, 2, …, ebilden eine Basis für M./.K.;; da gibt es genau de von ihnen beweist dies, dass die Dimension von M./.K. ist de, was das gewünschte Ergebnis ist.

Zuerst überprüfen wir, ob sie sich überspannen M./.K.. Wenn x ist ein beliebiges Element von M., dann seit dem w_n bilden eine Basis für M. Über L.können wir Elemente finden ein_n im L. so dass

x=∑n=1eeinnwn=ein1w1+⋯+einewe.{ displaystyle x = sum _ {n = 1} ^ {e} a_ {n} w_ {n} = a_ {1} w_ {1} + cdots + a_ {e} w_ {e}.}

Dann, seit dem u_m bilden eine Basis für L. Über K.können wir Elemente finden b_m,n im K. so dass für jeden n,

einn=∑m=1dbm,num=b1,nu1+⋯+bd,nud.{ displaystyle a_ {n} = sum _ {m = 1} ^ {d} b_ {m, n} u_ {m} = b_ {1, n} u_ {1} + cdots + b_ {d, n } u_ {d}.}

Dann unter Verwendung des Verteilungsgesetzes und der Assoziativität der Multiplikation in M. wir haben

x=∑n=1e((∑m=1dbm,num)wn=∑n=1e∑m=1dbm,n((umwn),{ displaystyle x = sum _ {n = 1} ^ {e} left ( sum _ {m = 1} ^ {d} b_ {m, n} u_ {m} right) w_ {n} = sum _ {n = 1} ^ {e} sum _ {m = 1} ^ {d} b_ {m, n} (u_ {m} w_ {n}),}

was das zeigt x ist eine lineare Kombination der u_mw_n mit Koeffizienten von K.;; mit anderen Worten, sie überspannen M. Über K..

Zweitens müssen wir überprüfen, ob sie linear unabhängig sind K.. Nehmen wir das an

0=∑n=1e∑m=1dbm,n((umwn){ displaystyle 0 = sum _ {n = 1} ^ {e} sum _ {m = 1} ^ {d} b_ {m, n} (u_ {m} w_ {n})}

für einige Koeffizienten b_m,n im K.. Wenn wir wieder Verteilungs- und Assoziativität verwenden, können wir die Begriffe wie folgt gruppieren

0=∑n=1e((∑m=1dbm,num)wn,{ displaystyle 0 = sum _ {n = 1} ^ {e} left ( sum _ {m = 1} ^ {d} b_ {m, n} u_ {m} right) w_ {n}, }}

und wir sehen, dass die Begriffe in Klammern Null sein müssen, weil sie Elemente von sind L., und die w_n sind linear unabhängig über L.. Das ist,

0=∑m=1dbm,num{ displaystyle 0 = sum _ {m = 1} ^ {d} b_ {m, n} u_ {m}}

für jeden n. Dann, seit dem b_m,n Koeffizienten sind in K., und die u_m sind linear unabhängig über K.Das müssen wir haben b_m,n = 0 für alle m und alles n. Dies zeigt, dass die Elemente u_mw_n sind linear unabhängig über K.. Damit ist der Beweis abgeschlossen.

Beweis der Formel im unendlichen Fall[edit]

In diesem Fall beginnen wir mit Basen u_α und w_β von L./.K. und M./.L. wobei jeweils α aus einem Indexsatz entnommen wird EINund β aus einem Indexsatz B.. Unter Verwendung eines völlig ähnlichen Arguments wie oben finden wir, dass die Produkte u_αw_β bilden eine Basis für M./.K.. Diese werden vom kartesischen Produkt indiziert EIN × B., dessen Kardinalität per Definition gleich dem Produkt der Kardinalitäten von ist EIN und B..

Beispiele[edit]

• Die komplexen Zahlen sind eine Felderweiterung über die reellen Zahlen mit Grad [C:R] = 2, und daher gibt es keine nicht trivialen Felder zwischen ihnen.
• Die Felderweiterung Q.((√2, √3), erhalten durch angrenzende √2 und √3 auf das Feld Q. von rationalen Zahlen hat Grad 4, das heißt, [Q(√2, √3):Q] = 4. Das Zwischenfeld Q.((√2) hat Grad 2 vorbei Q.;; Wir schließen aus der Multiplikativitätsformel, dass [Q(√2, √3):Q(√2)] = 4/2 = 2.
• Das endliche Feld (Galois-Feld) GF(125) = GF(5³) hat Grad 3 über seinem Unterfeld GF(5). Allgemeiner, wenn p ist eine Primzahl und n, m sind positive ganze Zahlen mit n Teilen m, dann [GF(p^m):GF(pⁿ)] = m/.n.
• Die Felderweiterung C.((T.) /C., wo C.((T.) ist das Feld der rationalen Funktionen vorbei C.hat einen unendlichen Grad (in der Tat ist es eine rein transzendentale Erweiterung). Dies kann gesehen werden, indem beobachtet wird, dass die Elemente 1, T., T.²usw. sind linear unabhängig von C..
• Die Felderweiterung C.((T.²) hat auch unendlich viel über C.. Wenn wir jedoch sehen C.((T.²) als Teilfeld von C.((T.), dann in der Tat [C(T):C(T²)] = 2. Allgemeiner, wenn X. und Y. sind algebraische Kurven über einem Feld K., und F. :: X. → Y. ist ein surjektiver Morphismus zwischen ihnen von Grad d, dann die Funktionsfelder K.((X.) und K.((Y.) sind beide von unendlichem Grad vorbei K., aber der Grad [K(X):K(Y)] stellt sich als gleich heraus d.

Verallgemeinerung[edit]

Gegeben zwei Teilungsringe E. und F. mit F. Enthalten in E. und die Multiplikation und Addition von F. als die Einschränkung der Operationen in E.können wir überlegen E. als Vektorraum über F. auf zwei Arten: Die Skalare wirken links und geben eine Dimension [E:F]_lund sie rechts handeln lassen, um eine Dimension zu geben [E:F]_r. Die beiden Dimensionen müssen nicht übereinstimmen. Beide Dimensionen erfüllen jedoch eine Multiplikationsformel für Türme von Teilungsringen; Der obige Beweis gilt für linkswirkende Skalare ohne Änderung.

Verweise[edit]