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風通しの良い機能 WHO（ バツ ）これは、英国の天文学者ジョージ・ビデル・エアリー（1801–1892）にちなんで名付けられた特別な機能です。関数 WHO（ バツ ）） および関連する関数 とともに（ バツ ）） 、時には風通しの良い機能とも呼ばれますが、それらは通常の微分方程式の直線的に独立した解です。

（ 初め ））

${displaystyle {frac {d^{2} y} {dx^{2}} -xy = 0、！}$

。

この微分方程式は呼び出されます 風通しの良い方程式 o ストークス方程式 。これは、溶液が振動挙動を行うことから指数関数的成長へと進むポイントを持つ最も単純な線形微分方程式です。

さらに、Airyの関数は、三角形の電位井戸内の閉じ込められた粒子のシュレディンガー方程式の解とまた、一定の力によって影響を受ける量子粒子の一次元の動きの解とまた、解決策です。

定義 [ 編集します ]

の実際の値のため バツ 、風通しの良い関数は、積分によって定義されます。

${displaystyle mathrm {ai}（x）= {frac {1} {pi}} int _ {0}^{infty} cos left（{frac {t^{3}} {3}}+xtright）、dt。}$

これは、振動の正と負の部分が互いにキャンセルされるため（部品ごとに統合することで検証できるため）収束します。

統合記号内で導出されると、この関数が微分方程式を満たすことがわかります（ 初め ）。

この方程式には、2つの線形独立したソリューションがあります。他のソリューションの標準的な選択は、BIと呼ばれる2番目のタイプの風通しの良い関数です（ バツ ）。これは、AIと同じ振幅の振幅を持つ溶液として定義されます（AI） バツ ） として バツ 彼は-∞に行き、π/2の遅れを持っています：

${displaystyle mathrm {bi}（x）= {frac {1} {pi}} int _ {0}^{infty} 。}$

。

プロパティ [ 編集します ]

ai値（ バツ y bi（ バツ ）およびその起源の派生物（ バツ = 0）が与えられます：

${displaystyle {begin {aligned} mathrm {ai}（0）＆{} = {frac {1} {3^{2/3} gamma（{frac {2}}}}}}}}}、＆quad mathrm {ai} ma（{frac {1} {3}}）}}、\ mathrm {bi}（0）＆{} = {frac {1} {3^{1/6} gamma（{frac {2} {3}}）}}}} }} {gamma（{frac {1} {3}}）}}。end {aligned}}}}}$

ここで、γはガンマ関数を示します。上記は、AIのWronskianを意味します バツ y bi（ バツ ）は1/πです。

と バツ それはポジティブです、ai（ バツ ）陽性であり、凸で、指数関数的にゼロに減少し、bi（ バツ ）陽性で凸で、指数関数的に成長します。いつ バツ ネガティブです、ai（ バツ ）y b（ バツ ）周波数が増加し、振幅が減少すると、ゼロ前後に振動します。これは、以下の漸近式と一致します。

アプリケーション [ 編集します ]

単一寸法で移動し、線形電位（電子上の均一な電界によって生成されるものなど）の影響を受ける粒子に対するシュレディンガーの方程式は

${displaystyle {frac {-hbar^{2}} {2m}} {frac {d^{2} psi（x）} {dx^{2}}}}+fxpsi（x）= epsi（x）}}$

どこ

${displaystyle f}$

粒子に加えられるのは力です。変数を変更します：

${displaystyle u = left（{frac {2m} {hbar^{2} f^{2}}}右）^{1/3}（fx-e）}$

次に、チェーンルールによって：

${displaystyle {frac {dx} {dx}} = {frac {partial u} {partial x}} {frac {du}} = left（{frac {2mf} {hbar ^{2}}} {du} {1/3} {du} {du} {du}$

として

${displaystyleu}$

それは線形です：

${displaystyle {frac {d^{2}} {dx^{2}}} = left（{frac {2mf} {hbar^{2}}}右）^{2/3} {frac {d^{2}}} {du^{2}}}}} {$

Schrödinger方程式に置き換える：

${displaystyle {frac {hbar ^{2}} {2m}}左（{frac {2mf} {hbar ^{2}}}右） ^{2/3} {frac {d ^{2} psi（u）} {{2m {{2m} {2m} {2m} {2m} {2m} 2} f^{2}}}右）^{ – 1/3} upsi（u）= 0}$

で掛けます

${displaystyle left（{frac {2m} {hbar ^{2} f}}右） ^{2/3}}$

${displaystyle {frac {d^{2} psi（u）} {di^{2}}}}}} – upsi（u）= 0}}}}}}}}}}}}}}$

これは風通しの良い方程式です。次に、シュレディンガー方程式の一般的な解は風通しの良い関数の観点からです。

${displaystyle psi（x）= aoperatorname {ai}（u）+boperatorname {bi}（u）= aoperatorname {ai}左[{frac {2m} {hbar ^{2} f}}右] ^{1/3}（fix-e）（fix-e）{fix-e） {2m} {hbar ^{2} f}}右） ^{1/3}（fx-e）右]}$

アシントーシス式 [ 編集します ]

エアリー機能の漸近挙動はAsです バツ +∞が与えられる傾向があります

${displaystyle {begin {aligned} mathrm {ai}（x）＆{} sim {frac {e^{ – {frac {2} {3}} x^{3/2}}}} {2 {sqrt {pi}} sim {frac {e^{{frac {2} {3}} x^{3/2}}} {{sqrt {pi}}、x^{1/4}}}。$

また、これらの制限（Abramowitz and Stegun、1954）および（Olver、1974）にリストされている漸近拡張もあります。

複雑な議論 [ 編集します ]

風通しの良い関数の定義は、次のように複雑な平面に拡張できます。

${displaystyle mathrm {ai}（z）= {frac {1} {2pi i}} int _ {c} exp（{frac {t^{3}} {3}} – ztright）、dt、}$

積分が軌跡で行われる場合

${displaystyle c}$

議論のある無限のポイントから始まります – （1/3）πと、引数（1/3）πで無限のポイントで終わります。または、方程式を使用できます

${displaystyle y ” -xy = 0}$

そこに伸びる（ バツ y bi（ バツ ）複雑な平面内の機能全体に。

グラフィック [ 編集します ]

参照 [ 編集します ]

• ミルトン・アブラモウィッツとアイリーン・A・ステーガン（1954）。 数式、グラフ、数学のテーブルを使用した数学機能のハンドブック 、 （§10.4を参照） 。国立標準局。
• Airy（1838）。苛性の近くの光の強さについて。 ケンブリッジ哲学協会の取引、 6 、379–402。
• Olver（1974）。 漸近的および特別な機能、 第11章。アカデミックプレス、ニューヨーク。
• OlivierValléeandManuel Soares（2004）、「エアリーな機能と物理学への応用」、ロンドンのImperial College Press。
• ハロルド・リチャード・スイーター（1994）。 星テスト天文学望遠鏡：光学評価と調整のためのマニュアル 。バージニア州リッチモンド：ウィルマンベル。 ISBN 978-0-943396-44-6 。 （ 多くの例の画像があります ））

外部リンク [ 編集します ]