Grittions Guived -Wikipedia、The Free Encyclopedia

数学では、 Suma de Riemann これは、有限合計による積分の値の近似の一種です。これは、世紀のドイツの数学者に敬意を表してそうです xix 、ベルンハルト・リーマン。

合計は、領域をフォーム（長方形、台形、正方形、三角形、たとえ話、または立方体）に分割することによって計算されます。これらは、測定されている領域に似た領域を形成し、これらの各形式の領域を計算し、最後にこれらすべての小さな領域を一緒に追加します。このアプローチを使用して、計算の基本的な定理がソリューションを閉じたものを見つけることを容易にしない場合でも、定義された積分の数値アプローチを見つけることができます。
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小さな形で満たされた領域は、一般に測定されている領域とまったく同じ形ではないため、リーマンの合計は測定されている領域とは異なります。このエラーは、領域をより細かく細かく使用して、領域をより細かく分割することで減らすことができます。フォームが小さくなるにつれて、合計は積分デリーマンに近づいています。

意味 [ 編集します ]

以下を検討してください。

海

${displaystyle f：[a、b] rightarrow mathbb {r}}$

コンパクト間隔に囲まれた関数

${displaystyle [a、b]}$

。各パーティションに対して

${displaystyle p = x_ {0}、x_ {1}、x_ {2}、…、x_ {n}}$

の

${displaystyle [a、b]}$

電話します 中間点の家族 （と関連した

${displaystyle p}$

）セットのいずれかに

${displaystyle t = {t_ {1}、t_ {2}、…、t_ {n}}}}}$

ポイントで形成されます

${displaystylet_ {i}}$

${displaystyle in}$

${displaystyle [x_ {i-1}、x_ {i}]}$

、 ために

${displaystyle i = 1,2、…、n}$

。

呼ばれています Suma de Riemann の

${displaystyle f}$

、パーティションに関連します

${displaystyle p}$

そして、対応するポイントの家族に

${displaystylet}$

、番号に

${displaystyle sigma（p、t）= sum _ {i = 1}^{n} f（t_ {i}）delta x_ {i}}$

どこ

${displaystyle delta x_ {i} = x_ {i} -x_ {i-1}}$

。

海

${displaystyle p}$

いずれかの固定パーティション

${displaystyle [a、b]}$

。と

${displaystylet}$

それはパーティションに対応する任意の中間点の家族です

${displaystyle p}$

、 それで 低額

${displaystyle l（p）}$

と 上長

${displaystyleu（p）}$

とリーマン

${displaystyle sigma（p、t）}$

彼らはそのようなものです：

1. 
   ${displaystyle l（p）}$

   ≤

   ${displaystyle sigma（p、t）}$

   ≤

   ${displaystyleu（p）}$

   、

   ${displaystyle forall tin mathbb {a}}$

   

2. 
   ${displaystyle l（p）= inf {sigma（p、t）：tin mathbb {a}}}}$

   

3. 
   ${displaystyle u（p）= sup {sigma（p、t）：tin mathbb {a}}}}}$

   どこ

   ${displaystyle mathrm {mathbb {a}}}$

   これは、指定されたパーティションに対応する中間点ファミリのセットです（固定）

   ${displaystyle p}$

   。 ^{[ 初め ]} ​

いくつかの特定のタイプのリーマンの合計 [ 編集します ]

• と
  ${displaystylet_ {i}}$

  =

  ${displaystyle x_ {i-1}}$

  すべてのために 私 、次に電話します s として 左側のリーマンの合計 。

• と
  ${displaystylet_ {i}}$

  =

  ${displaystyle x_ {i}}$

  、次に電話します s として 右側のリーマンの合計 。

• と
  ${displaystyle t_ {i} =（x_ {i}+x_ {i-1}）/2}$

  私がすべてに呼ばれます ミッドポイントルール o to Riemannメディアの合計 。

• と
  ${displaystyle f（t_ {i}）= sup f（[x_ {i-1}、x_ {i}]}}$

  （つまり、最高のf

  ${displaystyle [x_ {i-1}、x_ {i}]}$

  、次に、sはaとして定義されます スーペリアリーマン・スマ または1つ より高いダルブー 。

• と
  ${displaystyle f（t_ {i}）= inf f（[x_ {i-1}、x_ {i}]}}$

  （つまり、Fの4番目は終わります

  ${displaystyle [x_ {i-1}、x_ {i}]}$

  、次に、sはaとして定義されます ロー・リーマン・スマ・デ・リーマン または1つ 下のダルブー 。

これらすべての方法は、数値統合を実現するための最も基本的な形式の1つです。一般的に、すべてのRiemannの合計がパーティションとして収束する場合、関数はRiemannによって統合されます« ますますうまくいきます »。

技術的にはRiemannの合計ではありませんが、Riemannの左右の合計の平均は台形の合計であり、加重平均を使用して包括的な包括的な概念を近似する最も単純で最も一般的な方法の1つです。これに続いて、シンプソンルールとニュートンコート式が続きます。

特定のパーティション内のRiemannの合計（つまり、どんな選択でも

${displaystylet_ {i}}$

その間に

${displaystyle x_ {i-1}}$

と

${displaystyle x_ {i}}$

）。それは、下部と上部のダルブー和の間に含まれています。これは、最終的にRiemannの積分に相当するDarboux積分の基礎を形成します。

リーマンの合計の4つの方法は、通常、同じサイズのパーティションでアプローチされます。したがって、間隔

${displaystyle [a、b]}$

で分かれています n Subintervalos、それぞれ長さ

${displaystyle delta x = {frac {b-a} {n}}}$

。その後、パーティションのポイントは次のとおりです

${displayStyle A、A+Delta X、A+2、Delta X、LDOTS、A+（N-2）、Delta X、A+（N-1）、Delta X、B}$

。

左側のリーマンの合計 [ 編集します ]

左のリーマンの合計のために、左端のポイントでのその値に対する関数のアプローチは、ベースと複数の長方形を提供します

${displaystyle delta x}$

と高さ

${displaystyle f（a+idelta x）}$

。これを行う

${displaystyle i = 0,1,2、…、n-1}$

エリアを追加します

${displaystyle delta xleft [f（a）+f（a+delta x）+f（a+2、delta x）+cdots+f（b-delta x）右]}$

。

リーマンの左の合計は、過大評価に等しい場合

${displaystyle f}$

この間隔では単調に減少し、単調に増加すると過小評価されます。

右側のリーマンの合計 [ 編集します ]

${displaystyle f}$

ここでは、右端の値の値についてアプローチします。これにより、複数の長方形がベースになります

${displaystyle delta x}$

と高さ

${displaystyle f（a+idelta x）}$

。これを行う

${displaystyle i = 1,2、…、n}$

結果の領域を追加します

${displaystyle delta xleft [f（a+delta x）+f（a+2、delta x）+cdots+f（b）右]}$

。

リーマンの正しい合計は、過小評価の場合に相当します

${displaystyle f}$

単調に減少し、単調に増加すると過大評価されます。この式のエラーは次のとおりです

${displaystyle leftervert int _ {a}^{b} f（x）、dx-a_ {mathrm {right}} rightvert leq {frac {m_ {1}（b-a）^{2}} {2n}}}}}$

どこ

${displaystyle m_ {1}}$

それはの絶対値の最大値です

${displaystyle f ‘（x）}$

。

ミッドポイントルール [ 編集します ]

のアプローチ

${displaystyle f}$

間隔DAの中間点で

${displaystyle f（a+delta x/2）}$

最初の間隔では、次の間

${displaystyle f（a+3delta x/2）}$

、そのようなまで

${displaystyle f（b-delta x/2）}$

。領域の要約、結果：

${displaystyle delta xleft [f（a+{tfrac {delta x} {2}}）+f（a+{tfrac {3、delta x} {2}}）+cdots+f（b- {tfrac {delta x}} {2}）右]}}$

。

この式のエラーは次のとおりです

${displaystyle leftervert int _ {a}^{b} f（x）、dx-a_ {mathrm {mid}} rightvert leq {frac {m_ {2}（b-a）^{3}} {24n^{2}}}}}}}}$

どこ

${displaystyle m_ {2}}$

絶対値の最大値です

${displaystyle f^{prime prime}（x）}$

間隔で。

SUMA Trapezoidal [ 編集します ]

この場合、関数の値 f 間隔では、左右の端の値の平均によって近似されます。すでに説明されている方法では、エリア式を使用した簡単な計算

${displaystyle a = {tfrac {1} {2}} h（b_ {1}+b_ {2}）}$

平行な側面を持つ空な場合 b _初め 、 b ₂ と高さ h 生産

${displaystyle {tfrac {1} {2}} qleft [f（a）+2f（a+q）+2f（a+2q）+2f（a+3q）+cdots+f（b）}}$

。

この式のエラーは次のとおりです

${displaystyle leftervert int _ {a}^{b} f（x）、dx-a_ {mathrm {trap}} rightvert leq {frac {m_ {2}（b-a）^{3}} {12n^{2}}}、}}}$

どこ

${displaystyle m_ {2}}$

それはの絶対値の最大値です

${displaystyle f^{prime prime}（x）}$

。

で得られたアプローチ SUMA Trapezoidal 関数の場合、それはリーマンの左と右の合計の平均に等しくなります。

積分計算との関係 [ 編集します ]

ドメイン上のリーマンの単次元合計の場合

${displaystyle {[a、b]}}$

、パーティション要素の最大サイズがゼロに縮小されるため（つまり、パーティション標準の制限はゼロになる傾向があります）、一部の関数はすべてのリーマン合計を同じ値で収束させます。この制限値は、存在する場合、ドメイン上の関数の定義されたリーマン積分として定義されます。

${displaystyle int _ {a}^{b}！f（x）、dx = lim _ {| delta x | rightarrow 0} sum _ {i = 1}^{n} f（x_ {i}^{star}）、delta x_ {i}}}}}}}}$

。

有限サイズのドメインの場合、パーティション要素の最大サイズがゼロに縮小される場合、これはパーティション要素の数が無限になることを意味します。有限パーティションの場合、Riemannの合計は常に制限値の近似であり、このアプローチはパーティションが薄くなるにつれて改善します。次のアニメーションは、パーティションの数を増やす方法を示すのに役立ちます（パーティション要素の最大サイズが縮小されます）が、曲線の下の「面積」に近づくのが良くなります。

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赤い関数は均一な関数であると想定されるため、パーティションの数は無限になるため、Riemannの3つの合計が同じ値で収束します。

参照してください [ 編集します ]

参照 [ 編集します ]