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数字理論では、 Cramérconinet 、1936年にスウェーデンの数学者のハラルド・クラマーによって策定された、 ^{[ 初め ]} それは言う

${displaystyle limsup _ {nrightArrow infty} {frac {p_ {n+1} -p_ {n}} {（log p_ {n}）^{2}}} = 1}}$

after-content-x4

どこ p _n デコタ n – このプリム番号と「log」は、自然対数を示します。この推測はまだ実証されておらず、反論されておらず、近い将来になる可能性は低いです。これは、主要な数字の確率的モデル（本質的に、ヒューリスティック）に基づいています。

${displaystyle {tfrac {1} {log x}}}$

。このモデルは次のように知られています クレイマーのモデル 素数の。そこから、推測が確率1で真であることを実証することができます。 ^{[ 2 ]} ​

シャンクスは、より強い声明である連続したいとこの間の最大の違いの漸近的平等を推測しました。 ^{[ 3 ]} ​

また、Cramerは、連続したいとこの違いに関する別の推測を策定しました。

$mmスレーブペンパドル – ..$

これは、リーマン仮説を前提としていることを示しています。

さらに、E。westzynthiusは1931年にそれを実証しました ^{[ 4 ]} ​

${displaystyle limsup _ {nto infty} {frac {p_ {n+1} -p_ {n}} {log p_ {n}}} = infty。}}$

推測ura decramér-granville [ 編集します ]

Cramerの推測は強すぎるかもしれません。アンドリュー・グランビルは1995年に推測されました ^{[ 5 ]} レベルがあること

${displaystyle m}$

そのため

${displaystyle p_ {n+1} -p_ {n}$

。マイアーは提案した

${displaystyle m = 2e^{ – gamma}約1.1229ldots。 }$

うまくいきます ^{[ 6 ]} 連続したいとこの間で多くの大きな違いを計算しました。 Crameéの推測測定理由との互換性を測定しました r プライム番号の対数と次の違いの平方根との間。 「知られている最大の最大差のために、Rは「約1.13のままである」と彼は言います。これは、少なくとも彼が観察した数字の中で、グランビルのクレイミエの推測の改良がデータに適しているように見えることを示しています。

いとこ間の分離に関する条件付きで実証された結果 [ 編集します ]

Cramerは、はるかに弱い声明の条件付き証拠を与えました。

${displaystyle p_ {n+1} -p_ {n} = o（{sqrt {p_ {n}}}}、log p_ {n}）}}$

リーマンの仮説が満たされた場合。 ^{[ 初め ]} 最もよく知られている無条件の仮定は、それを示すものです

${displaystyle p_ {n+1} -p_ {n} = o（p_ {n}^{0.525}）}$

ベイカー、ハーマン、ピンツのため。 ^{[ 7 ]} ​

別の方向に、E。Westzynthiusは1931年に、いとこの間の分離が対数的に増加することを実証した。つまり、 ^{[ 8 ]} ​

${displaystyle limsup _ {nto infty} {frac {p_ {n+1} -p_ {n}} {log p_ {n}}} = infty。}}$

その結果は、ロバート・アレクサンダー・ランキンによって改善されました、 ^{[ 9 ]} それはそれを示しました

${displaystyle limsup _ {nto infty} {frac {p_ {n+1} -p_ {n}} {log p_ {n}}} cdot {frac {left（log log p_ {n} right）^{2}}} {n log log log log log log {n}}}$

[ 十 ] ​

ヒューリスティックな正当化 [ 編集します ]

Cramerの推測は、本質的にヒューリスティックな確率モデルに基づいています。 バツ Be Cousinは1/logです バツ 。これは次のように知られています alaatorio de cramer’s aleartio o素数のクレイマーモデル。 ^{[ 11 ]} ​

Cramerのランダムモデルでは、

${displaystyle limsup _ {nrightArrow infty} {frac {p_ {n+1} -p_ {n}} {log ^{2} p_ {n}}} = 1}}$

確率1。 ^{[ 初め ]} しかし、アンドリュー・グランビルが指摘したように、 ^{[ 12番目 ]} Maierの定理は、Cramerのランダムモデルが短い間隔でいとこの分布を適切に説明していないことを示しています。したがって、小さないとこによる分裂性を考慮に入れたCramerモデルの改良は、それを示唆しています

${displaystyle cgeq 2e^{ – gamma}約1.1229ldots}$

（ A125313 ）、 どこ

${displaystyleガンマ}$

オイラー・マシェロニの定数です。ヤノス・ピンツは、上限が無限になる可能性があることを示唆しています、 ^{[ 13 ]} 同様に、レナード・アドルマンとケビン・マッカーリーは次のように書いています。

H. Maierが連続した素数間のスペースに関する研究の結果として、Crameéの推測の正確な定式化は疑問視されています[…]

${displaystyle c> 2}$

${displaystyle d> 0}$

${displaystyle x}$

と

${displaystyle x+d（log x）^{c}}$

。 ^{[ 14 ]} ​

関連する推測とヒューリスティック [ 編集します ]

連続したいとこ間の分離の機能

ダニエル・シャンクスは、クラマーの推測よりも強い、次の漸近平等を推測しました。 ^{[ 15 ]} いとこ間の分離のために：

${displaystyle g（x）sim log ^{2} x。}$

J.H.カドウェル ^{[ 16 ]} 最大の分離のために次の式を提案しました。

${displaystyle g（x）sim log x（log x-wind log x）、}$

これは、シャンクの推測と正式に同一ですが、それは低次の項を示唆しています。

マレク・ウルフ ^{[ 17 ]} 最大の分離のために次の式を提案しました

${displaystyle g（x）}$

素数会計機能の観点から表されます

${displaystyle pi（x）}$

：

${displaystyle g（x）sim {frac {x} {pi（x）}}（2log pi（x）-log x+c_ {0}）、}$

どこ

${displaystyle c_ {0} = log（c_ {2}）= 0.2778769 …}$

と

${displaystyle c_ {2} = 1.3203236 …}$

双子のいとこの2倍の定数です。見る A005597 、 A114907 。ガウスアプローチを使用します

${displaystyle pi（x）sim x/log（x）}$

、取得します

${displaystyle g（x）sim log（x）（log x-2log log x）、}$

のために

${displaystyle x}$

また、大規模は、CramerとShanksの推測と漸近的に同等です。

${displaystyle g（x）sim log ^{2}（x）}$

。

トーマスは、非常に長い連続したいとこの間に多数のジャンプを見つけました。 ^{[ 18 ]} これにより、関係を測定することにより、クレイマーの推測の調整の質を推定することができました

${displaystyle r = {frac {log p_ {n}} {sqrt {p_ {n+1} -p_ {n}}}}。}}}}}}}}}}}}}$

彼は次のように書いています。「既知の連続したいとこの間の分離のために、

${displaystyle r}$

それは約1.13インチのままです。しかし、

${displaystyle 1/r^{2}}$

1未満のままです。

参照してください [ 編集します ]

参照 [ 編集します ]

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