WurfParabel -Wikipedia

ごみの放物線 空気抵抗の影響を無視するときに、身体が均質な重い畑で記述する軌跡です。 ^[初め] 傾く ルールは – 垂直および水平スローは例外的なケースです。投げ放物線は常に下方に開いています。軌跡の最高点は、放物線の頂点です。

地球上では、重いフィールドは、小さな投げ幅のみでほぼ均質です。その後、放物線の形状は適切な近似です。より良い近似では、体は楕円形のケプラートラックに従います。

弾道 空気抵抗の影響下で理想的なスローパラボリアから逸脱する曲線です。 ^[2] 投げる放物線は、弾道軌道の理想化です。

放物線の形の理由は、飛行中に重力のみが体に影響を与えるという事実です。無料のケースがあります。計算のために、初期速度は互いに垂直にコンポーネントにあります

${displaystyle v_ {mathrm {0x}}}$

と

${displaystyle v_ {mathrm {0y}}}$

互いに独立して扱うことができる分解。水平

${displaystyle x}$

コンポーネントは、垂直から完全に独立しています

${displaystyle y}$

– 上向きに向けられた伝統。これには次の結果があります（出発点です

${displaystyle x = 0、、y = 0}$

）：

• 水平方向には、最初のニュートン法の後、体は一定の速度で飛行します
  ${displaystyle v_ {mathrm {0x}}}$

  この方向に彼に力がないからです。一定の速度では、距離は時間とともに直線的に変化します。式はこの距離に適用されます。

${displaystyle x（t）= v_ {mathrm {0x}} cdot t}$

• 垂直方向では、重力は一定の加速を引き起こします。つまり、重度の加速度が発生します
  ${displaystyle Text Style G = 9 {、} 81、{frac {mathrm {m}} {mathrm {s} ^{2}}}}$

  。速度用

  ${displaystyle v_ {mathrm {y}}}$

  該当する：

${displaystyle v_ {mathrm {y}}（t）= v_ {mathrm {0y}} -gcdot t}$

場所

${displaystyle y}$

これは、時間の経過に伴う統合を通じてこれに起因します。

${displaystyle y（t）= v_ {mathrm {0y}} cdot t- {frac {g} {2}} cdot t^{2}}$

（→自由ケースの一般式）

数学的説明 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

体は速度です

${displaystyle v_ {0}}$

角度の下

${displaystyleベータ}$

上向きに投げられます。次に、ドロップの低下が線形の重ね合わせによって構成されている速度成分に適用されます（空気抵抗を無視します）。

• 水平：
  ${displaystyle v_ {mathrm {0x}} = v_ {0} cos beta}$

  

• 垂直：
  ${displaystyle v_ {mathrm {0y}} = v_ {0} sin beta}$

  

これは次の結果です

${displaystyle x}$

– と

${displaystyle y}$

-ARTコンポーネント以下：

• 水平：初期速度の水平成分：

${displaystyle x（t）= v_ {0} tcos beta qquad（1）}$

と

• 垂直：初期速度の垂直成分と一定の加速による速度変化：

${displaystyle y（t）= v_ {0} tsin beta- {frac {g} {2}} t^{2} qquad（2）}$

ベクトル鉄道方程式は次のとおりです。

${displaystyle {vec {r}}（t）= {begin {pmatrix} x（t）\ y（t）end {pmatrix}}} = {begin {pmatrix} v_ {0} tcos beta \ v_ {0}} tsin beta- {g {{{2 {{{2} {{{{2 {{{{{2 {{{{{2 {{{{{{{{{{{2 {{{2 {{{{{{2 {{{2 {{{{2 {{{{{{{{{{{{2}） }}}$

町の地域の明示的な鉄道方程式（1つで

${displaystyle（1）}$

後

${displaystylet}$

解決してから

${displaystylet}$

の

${displaystyle（2）}$

挿入）読み取り：

${displaystyle y（x）= xtan beta- {frac {g} {2 {v_ {0}}^{2} cos^} beta}}} x^{2}}}}}}}}$

範囲 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

範囲

${displaystyle r}$

通常、ごみの放物線が再び出力の高さに達するという事実によって定義されます。 H。：

${displaystyle y（r）= 0}$

。これは、動きの方程式を使用するために使用できます

${displaystyle r}$

溶かして取得：

${displaystyle r = {frac {{v_ {0}}^{2}} {g}} sin（2beta）}$

最大範囲の開始角 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

副鼻腔は機能しています

${displaystyle 90^{circ}}$

彼らの最大の価値

${displaystyle sin 90^{circ} = 1}$

持っている、あなたは初期額で到達することができます

${displaystyle h_ {0} = 0}$

の最大の範囲

${displaystyle beta _ {mathrm {max}} = 45^{circ}}$

。

初期高さの最大範囲 h ₀ ≠0 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

${displaystyle beta _ {mathrm {max}} = arcsin {frac {v_ {0}} {sqrt {2 {v_ {0}}^{2}+2gh_ {0}}}}} = arccos {sqrt {{{{{{{{v_} {{v_} {{v_} 0}} {2 {v_ {0}}^{2}+2gh_ {0}}}} = operatorname {arccot}} {sqrt {1+ {frac {2gh_ {0}} {{v_ {0}}^{2}}}}}}$

Arkuskosinusのフォーミュラは、Arcussinusの表現に起因し、最終表現の場合、2つの以前の式の議論は互いに共有されています。初期の高さは目的地の下にあるだけなので、スロー距離の垂直投げでこれを

${displaystyle 0}$

ただ到達することができるので、

${displaystyle h_ {0} geq -{frac {{v_ {0}}^{2}} {2g}}}}$

ドロップの高さからのもの

${displaystyle h_ {0}}$

従属最大水平スロー距離はです

${displaystyle r_ {mathrm {max}}（v_ {0}、h_ {0}）= {frac {v_ {0}} {g}} {sqrt {{v_ {0}}}^{2}+2GH_ {0}}}}}}}}}}}$

の飛行時間付き

${displaystyle {frac {1} {g}} {sqrt {2 {v_ {0}}^{2}+2gh_ {0}}}}}$

。

最大スロー範囲の式は、方程式を変更することにより、指定された排出高さとスロー範囲の最小液速度をもたらします

${displaystyle v_ {0}（r、h_ {0}）= {sqrt {g {sqrt {r^{2}+{h_ {0}}^{2}}} – gh_ {0}}}}}}}}$

最適なドロップ角も同様です

${displaystyle beta（r、h_ {0}）= arcsin {sqrt {{frac {1} {2}} – {frac {h_ {0}} {2 {sqrt {r^{2}+{h_ {0}}^{2}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

の飛行時間

${displaystyle {sqrt {{frac {2} {g}} {sqrt {r^{2}+{h_ {0}}^{2}}}}}}}}}}}}}}$

。

ために

${displaystyle h_ {0} = 0}$

すでに既知の式が発生します。

上部および下角度グループ [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

ごみは、特定の距離で同じ高さのターゲットである必要があります

${displaystyle r_ {mathrm {t}}}$

達成するために、初期速度に応じて、初期速度に応じて、または2つのソリューションがあります。最初のケースは、最大範囲が目標までの距離よりも低い場合に発生します。 2番目のケースは、45°のスローによって目標に達することができる場合。さらに高い初期速度では、常に2つの角度があり、投げ放物線が両方の時間につながります。これらは、方程式の2つの正の角度です

${displaystyle sin（beta）cos（beta）= {frac {g} {2v_ {0}^{2}}} r_ {mathrm {t}}}$

満たす。正確な1つの溶液は常に45°より大きく、もう1つは45°よりも小さいです。

したがって、45°を超える角度のソリューションは 上角グループ 他の人と呼ばれます 低い角度グループ。 砲兵の読み物では、迫撃砲または大砲での平らな火で、または大混乱のあるどちらかで急な火をつけています。

例

同じ高さで100 m離れたターゲットへのスロー（またはショット）の場合、初期速度は通常の理想的な仮定の下にありなければなりません（摩擦なし、9.81 m/sの重度の加速 ² ）少なくとも31 m/sです。初期速度でこの値を使用すると、45°のスローによって、それによってのみ到達できます。高速値ごとに常に2つのソリューションがあります。たとえば、40 m/sの初期速度では、ターゲットは18.9°の角度で71.1°の角度で達成できます。飛行時間は、低い角度グループの溶液では短くなります。例では、2番目の溶液の7.7秒と比較して約2.6秒です。

ゼロの異なる初期高さの範囲 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

ために

${displaystyle beta neq 0}$

一般式が適用されます

${displaystyle r = {frac {{v_ {0}}^{2}} {2g}} sin（2beta）左[1+左（1+ {2gh_ {0}} {{v_ {0}}^{2} {2} {2} {2} sin^{2} sin^{2} sin^{2} sin^{2} v_ {0} cos beta} {g}}左（v_ {0} sin beta +{sqrt {（v_ {0} sin beta）^{2} +2gh_ {0}}}}}}}$

スロー距離の場合

${displaystyle r}$

。最大範囲と関連する開始角は、派生を使用しなくても、包み込む投げ放物線から決定できます。ために

${displaystyle h_ {0}> 0}$

${displaystyle beta _ {mathrm {max}} <45^{circ}}$

、 ために

${displaystyle h_ {0} <0}$

逆の方法に従います

${displaystyle beta _ {mathrm {max}}> 45^{circ}}$

スポット [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

座標 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

頂点は、垂直速度がゼロ、つまりつまり、上端まで存在し、上向きの動きが始まる動きが始まります。頂点では、ポテンシャルエネルギーに運動エネルギー全体（垂直方向）が実装されました。

スローには放物線の形があり、ゼロポイントの間の中央の頂点があるため、頂点を計算できます

${displaystyle 0}$

と

${displaystyle r}$

嘘。 ^[3] したがって、猿のポイントには

${displaystyle x}$

– コードル

${displaystyle {frac {1} {2}} r}$

。

${displaystyle y}$

-coodinateは、移動方程式から取得されます。

溶解すると、頂点ポイントには次の座標があります。

${displaystyle x_ {mathrm {s}} = {frac {sin（2beta）} {2}} {frac {v_ {0}^{2}} {g}}} = sin beta cos beta {frac {v_ {0}^{2}}}}}}}}$

${displaystyle y_ {mathrm {s}} = {frac {v_ {0} ^{2} sin ^{2} beta} {2g}}}}$

すべての垂直点の局所曲線 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

ドロップの高さで

${displaystyle h_ {0} = 0}$

すべてのスローと平均の頂点が定数である頂点です

${displaystyle v_ {0}}$

および変数

${[0^{circ}; 180^{circ}]}のdisplaystyleベータ$

センターの風景のような楕円の上

${displaystyle left（0; {frac {v_ {0}^{2}} {4g}}右）}$

そして半分の軸

${displaystyle {frac {v_ {0}^{2}} {2g}}}}}$

と

${displaystyle {frac {v_ {0}^{2}} {4g}}}}}$

。

例の説明 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

重力も空気抵抗も利用できない場合、体は次の方向と同じ方向に、最初と同じ速度で飛行し続けます（赤い矢印）。

しかし、地球の重い畑は体をそらす – 時間の経過とともに

${displaystylet}$

ますます四角：

• 1秒後、実際の軌道は、開始点（ドロップポイント）の接線よりもほぼ5 m低くなっています。
• 2秒後4回（約20 m）後、
• 3 s 45 mの後
• 4 s 80 mなどの後（9.81から10 m/s²への重度の加速）。

垂直スロー [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

垂直のごみ 投げ放物線の重要な特別なケースです。 2つの異なるスロー施設で実行できます – 上向き（重いものの加速に対して）とダウン（重い加速の加速）。

上向きの垂直スローは、真っ直ぐな均一な動きの上向きと自由落下の邪魔されないオーバーレイに対応します。これをグラフィックで表現する場合、対称的な放物線があります。その最高点は身体の反転点に対応します。次の式の結果：

${displaystyle v = v_ {0} -gt}$

${displaystyle s = v_ {0} t- {frac {g} {2}} t^{2}}$

• 最大 ごみの高さ
  ${displaystyle h_ {mathrm {max}}}$

  

速度によって計算されます

${displaystyle v = 0}$

次に、最初に

• 登山時間
  ${displaystyle t_ {mathrm {s}} = {frac {v_ {0}} {g}}}}$

  

計算され、最終的に低い方程式を使用します

${displaystyle s = h}$

決定。

結果：

${displaystyle h_ {mathrm {max}} = {frac {{v_ {0}}^{2}} {2、g}}}}$

下向きの垂直スローは、直線のオーバーレイと自由落下に対応します。次の式の結果：

${displaystyle v = v_ {0}+gt}$

${displaystyle h = h_ {0} -v_ {0} t- {frac {g} {2}} t^{2}}$

水平リッター [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

方程式が単純化する別の特別なケースは、水平方向のごみです。

${displaystyle {vec {r}}（t）= {begin {pmatrix} v_ {0} t \ – {frac {g} {2}} t^{2} end {pmatrix}}}}}$

${displaystyle {vec {v}}（t）= {begin {pmatrix} v_ {0} \ – gtend {pmatrix}}}}$

投げ放ワを包みます [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

指定された初期速度で与えられます

${displaystyle v_ {0}}$

（そして初期の高さ

${displaystyle h_ {0} = 0}$

）開始角

${displaystyleベータ}$

変更され、異なる投げたたとえ話は、（垂直）スローレベルで異なるポイントに到達します。これらの投げたたとえ話の範囲は、包み込む投げ放物線によって制限されます。

ごみの放物線のエンベロープ曲線の方程式

${displaystyle y（x）= xtan beta- {frac {g、x^{2}} {2、{v_ {0}}^{2} cos^} beta}}}}}+h_ {0}}}}}}}$

読みます：

${displaystyle y_ {mathrm {h}}（x）= {frac {{v_ {0}}^{2}} {2、g}} – {frac {g、x^{2}} {2、{2、{v_ {0}}^{2}}}}}}$

それはaに対応します 水平リッター （

${displaystyle beta = 0}$

）最大アクセス可能なスローの高さから 垂直のごみ 初期速度で

${displaystyle v_ {0}}$

。

勾配上の小物のワーフ幅 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

最大範囲の角度は、傾斜レベルでのスローの場合も決定できます。

に比例した空気抵抗ブレーキ

${displaystyle v^{2}}$

。少量の速度とコンパクトな気体では、ひねりやディンプルを通して浮力効果のない理想的なゴルフボールの軌跡からわかるように、放物線の形状は非常によく保存されています。初期速度は65 m/sで、ほぼ対称的な経路で約200メートル飛行します。ただし、エア抵抗器がバドミントンのショーをどれほど強く持っているかは、65 m/sのスケッチでも示されています。軌道の終わりに、ボールはわずか10〜15メートル後にほぼ垂直に地面に落ちます。最大飛行幅も45°ではなく、20°の開始角で到達します。初期速度が小さくなると、45°の放物線に増加して近づきます。

短い燃焼時間（短距離、防空ロケット）のロケットの場合、軌道の形状は、なめらかな体の傾斜したごみに似ています。次に、範囲は初期速度と垂直高さによって決定され、撮影の角度に依存します。

放物線の飛行は飛行操作であり、主に大きな高さで設計されており、航空機は半分の投げ放物線を説明しています。それは宇宙飛行士の無重力を訓練し、重力が低下した実験のために役立つので、 微小重力。

1. ↑ ピーター・コスモル： 最適化と近似 。 Walter de Gruyter、2010、 S. 215 （ 限られたプレビュー Google Book検索で）。
2. ↑ ウルリッヒの人々： 物理学とテクノロジーと環境におけるそのアプリケーション 。 Hanser Verlag、2004年 S. 22 （ 限られたプレビュー Google Book検索で）。
3. ↑ 放物線は軸対称です
   ${displaystyle y}$

   -軸。