複雑な微分形式-Wikipedia

一 複雑な微分形式 複雑なジオメトリからの数学的オブジェクトです。複雑な微分形式は、複雑な多様性に関する（実際の）微分形式の対応です。実際の場合と同様に、複雑な微分形態は大学院代数も形成します。程度からの複雑な微分形式

${displaystyle k}$

（または略してK字型）は、明確な方法で2つの微分形式に分解できます。

${displaystyle p}$

また

${displaystyle q}$

と

${displaystyle p+q = k}$

もつ。この分解を強調するために、 （P、Q）-Form 。また、この短いスピーチは、実際のフォームにはそのような解体がないため、それらが複雑な微分形態であることを明確にします。複雑な微分形式の計算は、ホッジ理論において重要な役割を果たします。

多分

${displaystyle m}$

（複雑な）次元の複雑な多様性

${displaystyle n}$

。選ぶ

${displaystyle {mathrm {d} z^{j} = dx^{j}+idy^{j}、mathrm {d} {bar {z}}^{j} = dx^{j} -idy^j}; 1leq jleq n}}$

複雑な仲間のアーティストの地元の基盤として。共ベクターにはローカル表現があります

${displaystyle sum _ {j = 1}^{n} f_ {j} mathrm {d} z {j}+g_ {j} mathrm {d} {overline {z}}^{j}。}。$

フォームの基本的なベクトルのみが

${displaystyleテキストスタイルMathrm {d} z^{j}}$

発生は口頭で（1.0）形式であり、フォーミュラベース

${displaystyle {mathcal {a}}^{1,0}（m）}$

専用。これに類似しています

${displaystyle {mathcal {a}}^{0,1}（m）}$

（0.1）フォームの空間、すなわち、形式の基本的なベクトルのみ

${displaystyle Text Style Mathrm {d} {overline {z}^{j}}$

もつ。これらの2つの部屋は安定しています。つまり、ホロモーフィック座標の変更の下で、これらの部屋はそれ自体で表示されます。このため、部屋はそうです

${displaystyle {mathcal {a}}^{1,0}（m）}$

と

${displaystyle {mathcal {a}}^{0,1}（m）}$

複雑なベクトルバンドル

${displaystyle m}$

。

複雑な微分形式の外部積の助けを借りて、これは実際の微分形式と同様に定義されているので、今では部屋を使用できます。

${displaystyle（p、q）}$

– フォーミングスルー

${displaystyle {mathcal {a}}^{p、q}（m）：= bigwedge _ {j = 1}^{p} {mathcal {a}}^{1,0}（m）ウェッジbigwedge _ {j = 1}^{q} {Q} {a} {a} {a} {qune$

定義。部屋を定義することもできます

${displaystyle {mathcal {e}}^{r}（m）}$

直接合計として

${displaystyle {mathcal {e}}^{r}（m）：= bigoplus _ {p+q = r} {mathcal {a}}^{p、q}（m）}}$

${displaystyle（p、q）}$

– でフォーム

${displaystyle r = p+q}$

。これは、直接的な合計の等型です

${displaystyle {mathcal {e}}^{r}（m）cong {mathcal {a}}^{r}（m）oplus i {mathcal {a}}^{r}（m）}$

本当の違いの部屋。また、そのためです

${displaystyle p+q = r}$

投影

${displaystyle pi _ {p、q} colon {mathcal {e}}^{r}（m）から{mathcal {a}}^{p、q}（m）}}$

各複雑な微分形式のどれが程度から定義しましたか

${displaystyle r}$

彼女

${displaystyle（p、q）}$

– 割り当て。

一

${displaystyle（p、q）}$

したがって、-formにはローカル座標があります

${displaystyle z_ {1}、ldots、z_ {n}}$

明確な表現

${displaystyle omega = sum _ {stackrel {1leq i_ {1}$

この表現は非常に長いので、ショートカットは一般的です

${displaystyle sum _ {i、j} f_ {i、j} mathrm {d} z_ {i}ウェッジMathrm {d} {overline {z}} _ {j}：= sum _ {stackrel {1leq i_ {1}}$

同意する。

意味 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

外部派生

${displaystyle mathrm {d}：{mathcal {e}}^{r}（m）から{mathcal {e}}^{r+1}（m）、}$

同義語は何ですか

${disdisplaystyle mathrm {d}：bigopoplus _ {p+q = r} {mathcal {}}^{p、q}（m）からbigopoplus _ {p+q = r} {mathcal {{p+1、q}}$

入ることができます

${displaystyle mathrm {d} = partial +{overline {partial}}}}$

分割する。 Dolbeuultオペレーター

${displaystyle partial：{mathcal {a}}^{p、q}（m）から{mathcal {a}}^{p+1、q}（m）}$

と

${displaystyle {overline {partial}}：{mathcal {a}}^{p、q}（m）to {mathcal {a}}^{p、q+1}（m）}}}$

で定義されています

${displayStyle {begin {aligned} partial＆：= pi _ {p+1、q} circ mathrm {d} \ {overial} {partial}}＆：= pi _ {p、q+1} circ mathrm {d} .end}}}}}$

ローカル座標では、これは意味があります

${displaystyle partial Left（sum _ {i、j} f_ {i、j} mathrm {d} z^{i}ウェッジMathrm {d} {overline {z}}^{j} right）= sum _ {i、j} sum _ {l} {n} {n} {fra z^{l}}} mathrm {d} z^{l} wedge mathrm {d} z^{i}ウェッジMathrm {d} {overline {z}}^{j}}}}$

と

${displayStyle {overline {partial}}左（sum _ {i、j} f_ {i、j} mathrm {d} z^{i}ウェッジMathrm {d} {overline {z}}}^{j} right）= sum _ {n {i {l = 1} {l = 1} {n {n} 、j}} {partial {overline {z}}^{l}}} mathrm {d} {overline {z}}^{l}ウェッジMathrm {d} {i}ウェッジMathrm {d} {andline$

ある

${displaystyle partial}$

と

${displaystyle {overline {partial}}}$

方程式の右側にある通常のドルベイ演算子。

Holomorphe Diffirfialformen [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

微分形式を満たします

${displaystyle omega in {mathcal {a}}^{p、0}（m）}$

方程式

${displaystyle {overline {partial}} omega = 0}$

、そのため、ホロモーフィックの微分形態について話します。ローカル座標では、これらのフォームを通過できます

${displaystyle sum _ {i} f_ {i} mathrm {d} z^{i}}$

表現します

${displaystyle f_ {i}}$

ホロモーフは関数です。ホロモルフのベクトルルーム

${displaystyle p}$

-ON

${displaystyle m}$

ウィル

${displaystyle omega ^{p}（m）}$

書き留めた。

特性 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

• Leibnizルールがこれらのオペレーターに適用されます。なれ
  ${displaystyle omega in {mathcal {a}}^{p、q}}$

  と

  ${displaystyle nu in {mathcal {a}}^{r、s}}$

  その後、適用されます

${displaystyle partial（omega wedge nu）= partial omega wedge nu +（-1）^{p +q}、omega wedge partial nu}$

と

${displaystyle {overline {partial}}（omega wedge now）= {overline {partial}} omega wcege now +（-1）^{p +q}、omega wedge {partial}}}}}$

${displaystyle 0 = mathrm {d} ^{2} =（partial +{overline {partial}}） ^{2} = partial ^{2} +（{overline {partial}} partial +partial {anuverline {artial}}$

続きます

${displaystyle partial ^{2} = 0}$

、

${displaystyle partial {overline {partial}}+{overline {partial}} partial = 0}$

と

${displaystyle {overline {partial}}^{2} = 0}$

、3つの用語はすべて程度が異なるためです。オペレーター

${displaystyle partial}$

と

${displaystyle {overline {partial}}}$

そのため、コホモロジー理論に適しています。これには、Dolbault Coomologyという名前が付いています。

• 多分
  ${displaystyle（m、g）}$

  Kättermannigfaltigkeit、すなわち、許容できるRiemann Metrikの複雑な多様性

  ${displaystyle g}$

  、Anduncatenials dlobealolt-cross-operatorと言う人

  ${displaystyle {overline {partial}}^{*}}$

  このメトリックに関してフォーム。オペレーター

  ${displaystyle delta：= {overline {partial}}、{overline {partial}}^{*}+{overline {partial}}^{*} {overline {partial}}}}}$

  次に、一般化されたラプラス演算子です。この演算子は、（複雑な）ホッジ理論で使用されます。