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Posted on May 24, 2022 by lordneo

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コンピューター代数 は、代数表現の自動化された象徴的な操作を扱う数学とコンピューターサイエンスのサブエリアです。

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コンピューター代数の主な目標は、保守的な請求書を通じて代数表現を形作り、可能な限り最もコンパクトを達成することです。方程式の値と精度は触れられません。回覧または近似は許可されていません。サイド条件は、アルゴリズムとメソッドを効率的に使用することです。

数学とコンピューターサイエンスの分野は、コンピューター代数に密接に織り込まれており、一方では、分析のための複雑さ理論を介して、他方ではコンピューターアルゴリズムの実用的な実装のためのソフトウェアテクノロジーを介して密接に織り込まれています。

1つの焦点は、これらの数値ルームの多項式と同様に、合理的および代数的数値全体の正確な算術にあります。別のアプリケーションは、あらゆるタイプの方程式の象徴的な緩み、行の象徴的な依存症、限界値のシンボリック計算、および象徴的な分化と統合（代数統合とも呼ばれる）です。

実用的に使用すると、コンピューター代数システムの開発と改善において効率的なアルゴリズムを使用して、コンピューター支援の代数式の操作を可能にすることにより、そのような結果を学びます。これらのシステムは、さまざまな分野の数学者や科学者にとってもますます重要なツールです。

発生する数値のスライドからDo-it-yourselfの拡大とは異なり、コンピューター代数は常に正確に計算するという主張を持っています。したがって、基礎となる構造（通常はグループ、リング、またはボディ）の要件を指定することが基本的に必要です。

Table of Contents

グループ [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

すべての有限グループをコンピューターに表示できます。たとえば、多環群の場合、特定の条件下でアルゴリズムがあります。

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予測可能なリング [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

リングが呼ばれます 予測可能な （または「効果的」）次の条件が適用される場合：

リングの要素はコンピューターに表示できます。特に、要素の表現は最終的に、
2つの要素間の平等は、有限時間で決定できます。
リング操作「+」と「・」を実行できるアルゴリズムがあります。

例 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

例えば：

予測可能なリングから

{displaystyle r}

$R$ 他の予測可能なリングを構築できます。

正式なオブジェクト [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

コンピューター代数では、基礎となる領域の要素に加えて、他の「正式な」オブジェクトが考慮されます。

原則として、これは支払いの計算に関するものではなく、たとえば、ソリューションとしての「閉じた式」の決定です。

自然科学技術における数学的方法の用途では、数値的方法は伝統的に前景にあります。コンピューター代数の象徴的な方法により、正確な解決策が重要であり、構造的数学的な考慮事項、例えば。 B.対称性を説明する。さらに、問題の処理は無期限のパラメーターに依存します。

これらには以下が含まれます：

物理学とその技術的応用において：天国の力学、高エネルギー物理学（Feynman Integrals）、および相対性理論（差動幾何学）における複雑な問題の象徴的および数値的な混合計算。閉じた形式の微分方程式の統合と解。量子力学のアルバラにおける象徴的な計算。入ってくる構造、準心、磁気構造の組み込みを説明するための高次元結晶基の分類。
化学：化合物、特に異性体のグラフの分類に関する表現理論の応用。化学反応を決定するための大きな方程式の解 – さまざまな反応条件における等しい重み、例えばB.燃焼プロセスと排気ガス調節。
情報セキュリティ：ニュース伝達におけるエラー検出と修正の代数的方法。数値理論と代数グループの方法を使用した公開キーの手順を介した機密ニュースの暗号化コーディング。セキュリティメカニズムの検証（プロトコル）。
ロボット工学：自律ロボットzの動きの計画と規制。 B.宇宙旅行。円筒形の代数細胞分解 ${displaystyle mathbb {r} ^{n}}$
コンピューター – 支援設計（CAD）：幾何学的モデリングパラメーター化された問題の柔軟な推論システム。移行地域の建設。
制御理論：フィードバックによる制御システムの安定性と安全性の調査。
der reforcechung：分類von dna構造。
トレーニングでは、コンピューターAlbal Systemsは数学のレッスンの改善を約束します。より現実的なアプリケーション関連のタスクを扱うことも可能です。

コンピューター代数の方法により、これらのアプリケーション領域で問題の自動処理が可能になり、それ以外の場合はアドホックアプローチに絡み合う可能性があります。これらの方法の大きな可能性は、疲れ果てていません。これらのアプリケーションと、ますます強力なハードウェアと組み合わされた基礎となるアルゴリズムの継続的なプロモーションは、エリアコンピューター代数にさらなる開発の機会を与えます。

完全な数字を持つ効率的な正確な算術 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

完全な数字を使用した正確な算術のタスクとアルゴリズムの時間の複雑さを分類する場合は、最初にコンピューターモデルを使用する必要があります。さまざまなコンピューターモデルの議論は、この章の複雑さに記載されています。比較的キャッチーなモデルは、クラシックなチューリングマシンのバリアントであるマルチバンドのそびえ立つ機械で、それぞれ執筆/読み取りヘッドを備えたいくつかの靭帯があります。必要に応じて、Landau表記との複雑さの推定については、指定の下で

{displaystyle operatorname {log}}

$operatorname {log}$ 非指定ベースでの対数

{displaystyle b> 1}

$B>1″></span>使用済み。必要なビット操作の数は、Landau表記の入力のビット長に依存する時間の尺度として選択されます。 </p> <p>完全な数字を持つ正確な算術の（ビット）複雑さの正確な数学的適応は、最初に総数のビット長の正確な決定から開始する必要があります。 <span class=$

{displaystyle ain mathbb {z}}

$a in mathbb Z$ ゼロではないので、そうです

{displaystyle l（a）：= lfloor log _ {2} | a | rfloor}

設定;さらに、

{displaystyle l（0）：= 1}

$L(0):=1$ 定義されています。全体の数の特定のストレージには、サインには少なくとも1つのビットが必要です。

標識の兆候のタスク

{displaystyle operatorname {sgn}（a）、}

$operatorname {sgn}(a),$ ネガの計算

{displaystyle -a}

$-a$ 金額と同様に

{displaystyle | a |}

$|a|$ すべて線形時間です

{displaystyle o（l）}

$O(l)$ と

{displaystyle l = l（a）}

$l=L(a)$ 実行可能;追加

{displaystyle a+b}

$a+b$ 2つの数字の比較も同様です

{displaystyle a

$a<b$ 線形時間です

{displaystyle o（l）}

$O(l)$ と

{displaystyle l = {rm {max}}（l（a）、l（b））}

$l={rm max}(L(a), L(b))$ 何かを管理する。 n -シフト

{displaystyle 2^{n} cdot a}

$2^ncdot a$ 入っています

{displaystyle o（n+l）}

$O(n+l)$ 実行可能。

コンピューター代数の自明ではない結果は、増殖するという認識です

{displaystyle acdot b}

$acdot b$ でよりはるかに速い

{displaystyle oleft（l^{2}右）}

$Oleft(l^2right)$ （これは、ナイーブ乗算アルゴリズムに対応しています）解くことができます。カラズバアルゴリズムを備えたアナトリカラズバは、最初は加速を達成しました。これは、Toom Cookアルゴリズムという用語に包まれている、さらに一般的なアルゴリシックファミリーの特別なケースとして認識されました。画期的なのはその後、1971年に1971年にアーノルド・シェーンハージとヴォルカー・ストラスに基づいていたシェーンハージ・ストラッセン・アルゴリズムでした。

{displaystyle o（lcdot log、lcdot log、log、l）}

見せびらかす。「素朴な」乗算アルゴリズムがどれほど複雑であるかを考えると、この複雑さは非常に「高速」に見えます。ただし、アルゴリズムは非常に複雑でプログラムが難しいため、コンピューターアルバムシステムにはまだ効率的な実装はありません。

コンピューター代数全体での整数乗算の複雑さは絶対に重要であるため、これについては短い表記法が行われました

{displaystyle psi（l）：= o（lcdot log、lcdot log、log、l）}

紹介された。この「高速」な整数の乗算を装備しているため、算術のための基本的な算術のカタログ

{displaystyle mathbb {z}}

$mathbb {Z}$ 次のように完了する：計算のタスク

{displaystyle a^{n}}

$a^{n}$ 入っています

{displaystyle oleft（psi（nl）右）}

$Oleft(psi(n l)right)$ 実行可能;二項係数の（同時）計算用

{displaystyle {n choose 0} cdots {n choose n}}

${nchoose 0}cdots{nchoose n}$ なります

{displaystyle oleft（ncdot psi（n）右）}

$Oleft(ncdotpsi(n)right)$ 必要です。整数部門

{displaystyle a/b}

$a/b$ （結果として商と休息）が必要です

{displaystyle oleft（{frac {l} {l_ {m}}} cdot psi（l_ {m}）}}

最大の共通分割の計算

{displaystyle {rm {gcd}}（a、b）}

${rm gcd}(a,b)$ 必要です

{displaystyle oleft（左（{frac {l} {l_ {m}}}+{rm {log}}、l_ {m}右）cdot psi（l_ {m}）右）}}

同じ複雑さもあります

{displaystyle {rm {gcdex}}（a、b）}

${rm gcdex}(a,b)$ それに応じて、d。 H. kofactors

{displaystyle u、v}

$u, v$ と

{displaystyle {rm {gcd}}（a、b）= ua+vb}

${rm gcd}(a,b) = ua+vb$ 計算されます。

合理的な数字を持つ効率的な正確な算術 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

正確な算術の前

{displaystyle mathbb {q}}

$mathbb {Q}$ 具体的に実行することができます。合理的な数字の標準表現（表現）を最初に見つけなければなりません。この問題は、整数の正確な算術には現れませんでした。合理的な数値は、全体の数からの「意味のある」骨折の同等のクラスです。たとえば、です

{displaystyle {frac {1} {2}}}

${frac {1}{2}}$ と

{displaystyle {frac {2} {4}}}

${frac {2}{4}}$ 同じ合理的な数の異なる代表者。

有理数の最も一般的な標準表現は、メーターと分母からすべての一般的な除数を減らすことによって決定されます。すべての合理的な数は、明らかに骨折の短縮によるものです。

{displaystyle {frac {p} {q}}}

表現可能。この定義が行われたら、すべての初等操作には

{displaystyle mathbb {q}}

$mathbb {Q}$ 添加や乗算など、結果の骨折のメーターと分母から最大の共通分割者から脱落するタスク。

正確な算術の結果に感謝します

{displaystyle mathbb {z}}

$mathbb {Z}$ 操作です

{displaystyle a+b、quad a-b、quad acdot b、quad a/b}

$a+b,quad a-b, quad acdot b, quad a/b$ すべて複雑です

{displaystyle oleft（psi（l）cdot {rm {log}}、lright）}

実行可能。線形の複雑さで直線的な複雑さで合理的な数字を追加できるという希望に別れを告げなければなりません。

幸いなことに、ユークリッドアルゴリズムの助けを借りて、最大の共通分割の計算を非常に効率的に計算できます。ユークリッドアルゴリズムは、変化するバリアントにおいて、コンピューター代数の多くの場所で主導的な役割を果たします。

ℚ[x]の多項式を使用した効率的な正確な算術 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

算術を行うだけで十分です

{displaystyle mathbb {z} left [xright]}

$mathbb Zleft[xright]$ 操作がと考える
作戦から作戦へのそれぞれの除外を通じて、緊密に合理的なポリノーム
整数多項式で追跡することができます。ポリノームの場合

{displaystyle fin mathbb {z} [x]}

$fin mathbb Z[x]$ （係数）長さを定義します

{displaystyle l（f）}

$L(f)$ 個々の係数の長さの最大値として。

次のランタイムテーブルについて、重要な計算の問題

{displaystyle mathbb {z} [x]}

$mathbb {Z} [x]$ 以下を処方しましょう。

${displaystyle f、gin mathbb {z} left [xright]}$
学位から ${displaystyle d_ {f} = deg f}$
長さ ${displaystyle l_ {f} = l（f）}$
その隣です ${displaystyle ain mathbb {z}}$

次に、（ビットの複雑さによると）最速のアルゴリズムを次のランタイムテーブルに導きます。

ドイツ語 – 言語文学：

英語 – 言語文学：

PeterBürgisser、Michael Clausen、Mohammad Amin Shrollahi： 代数的複雑さ理論 （= 個々の表現における数学科学の基本的な教え。 315）。スプリンガー、ベルリンu。 a。 1997、ISBN 3-540-60582-7（レビュー）。
Arjeh M. Cohen、Hans Cuypers、Hans Sterk： コンピューター代数のタパス （= 数学のアルゴリズムと計算。 4）。スプリンガー、ベルリンu。 a。 1999、ISBN 3-540-63480-0。
デビッド・コックス、ジョン・リトル、ドナル・オシェア： 理想、品種、およびアルゴリズム。 第2版。スプリンガー、ニューヨークNY UA。 A. 1997、ISBN 0-387-94680-2
Joachim von Zur Gathen、JürgenGerhard： 現代のコンピューター代数。 第2版。ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジu。 a。 2003、ISBN 0-521-82646-2。
キース・O・ゲデス、スティーブン・R・ザポール、ジョージ・ラバーン： コンピューター代数のアルゴリズム。 Kluwer、ボストンMA u。 a。 1992、ISBN 0-7923-9259-0。

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グループ [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

予測可能なリング [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

例 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

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合理的な数字を持つ効率的な正確な算術 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

ℚ[x]の多項式を使用した効率的な正確な算術 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

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