個別のエルゴードセット-Wikipedia

Posted on March 9, 2022 by lordneo

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個々の時代 は、ERA理論の重要な文であり、安定系と動的システムの理論の境界地域における数学のサブエリアです。または、個々のエルゴードセットもそうです BirkhoffのErgodenセット また ポイントergodenzing 呼び出されました。これは、依存するランダム変数に対して多数の強い法則の形式を提供し、統計物理学の時代仮説の数学的根拠を提供します。
この判決は、1931年にジョージ・デイビッド・ビルホフによって証明され、その後も彼は指名されました。 ^[初め]Hopfの最大Ergodenlemmasを使用して、コンパクトな証拠が可能です。加えて

{displaystyle {mathcal {l}}^{p}}

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${mathcal L}^{p}$ -godeセットは、あまり労力をかけずに個々の時代から導き出すことができます。

そうです

{displaystyle x}

$X$ 統合可能なランダム変数（つまり、有限の期待値があります）と

{displaystylet}

$T$ 基礎となる確率空間での男性の変換

{displaystyle（omega、{mathcal {a}}、p）}

$(Omega, mathcal A, P)$ （d。h。

{displaystyle P（t^{ – 1}（a））= p（a）}

$P(T^{{-1}}(A))=P(A)$ すべてのために

{displaystyle a}

$A$ の

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{displaystyle {mathcal {a}}}

${mathcal A}$ ）。
その後、ファンドは収束します

{displaystyle {frac {1} {n}} sum _ {i = 1}^{n} xcirc t^{i}（omega）}

ために

{displaystyle nto infty}

$nto infty$ ランダム変数に対してほぼ安全です

{displaystyle y}

$Y$ 。

{displaystyle y}

$Y$ のそれに関して測定可能にすることができます

{displaystylet}

$T$ – インバリアンの意味

{displaystyle a}

$A$ （d。h。

{displaystyle t^{ – 1}（a）= a}

$T^{{-1}}(A)=A$ ）σ代数を生成しました

{displaystyle {mathcal {t}}}

$mathcal T$ 選択でき、条件付き期待値として選択できます

{displaystyle e [x | {mathcal {t}}]}

$E[X|mathcal T]$ 代表する。

もしも

{displaystylet}

$T$ エルゴジックです、そうです

{displaystyle y}

$Y$ ほぼ確実に、の期待値は一定です

{displaystyle x}

$X$ 。

ランダム変数

{displaystyle y_ {i} = xcirc t^{i}}

${displaystyle Y_{i}=Xcirc T^{i}}$ （

{displaystyle i = 1,2、dots}

$i = 1, 2, dots$ ）静止した確率プロセスを形成します。 H.

{displaystyle（y_ {2}、y_ {3}、dots）}

$(Y_2, Y_3, dots)$ のように分布しています

{displaystyle（y_ {1}、y_ {2}、dots）}

$(Y_1, Y_2, dots)$ 。逆に、すべての入院患者の確率的プロセスは可能です

{displaystyle（y_ {i}）_ {igeq 1}}

$(Y_i)_{ige1}$ あなたがそれを想定するとき、このように表現してください

{displaystyle omega = mathbb {r} ^{{1,2、dots}}}}

$Omega = R^{{1, 2, dots}}$ と

{displaystyle y_ {i}}

$Y_i$ フォームから

{displaystyle y_ {i}（omega _ {1}、omega _ {2}、dots）= omega _ {i}}

$Y_i(omega_1, omega_2, dots) = omega_i$ は。（そうでない場合は、

{displaystyle mathbb {r} ^{{1,2、dots}}}}

$R^{{1, 2, dots}}$ の画像測定で

{displaystyle（y_ {1}、y_ {2}、dots）}

$(Y_1, Y_2, dots)$ それ以外の

{displaystyle omega}

$Omega$ と

{displaystyle p}

$P$ 見てください。）そこにあります

{displaystyle X（omega {1}、omega _ {2}、dots）= omega _ {1}}

$X(omega_1, omega_2, dots) = omega_1$ 、および左リフト、

{displaystyle（omega _ {1}、omega _ {2}、dots）}

$(omega_1, omega_2, dots)$ の上

{displaystyle（omega _ {2}、omega _ {3}、dots）}

$(omega_2, omega_3, dots)$ メイド、助成金を摂取する変換。

の場合

{displaystyle y_ {i}}

$Y_i$ ERAセットに従って収束する有限の期待値を持っている

{displaystyle {frac {1} {n}} sum _ {i = 1}^{n} y_ {i}（omega）}

ために

{displaystyle nto infty}

$nto infty$ ランダム変数に対してほぼ安全です

{displaystyle y}

$Y$ 。これが条件付き期待値です

{displaystyle e [y_ {i} | {mathcal {t}}]}

$E[Y_i|mathcal T]$ それぞれの

{displaystyle y_ {i}}

$Y_i$ 。
ergodicityが利用可能な場合、

{displaystyle y}

$Y$ ほぼ安全に一定、つまりH.

{displaystyle {frac {1} {n}}（y_ {1} +dots +y_ {n}）、to、e [y_ {i}]}

↑ G. D. Birkhoff： エルゴードの定理の証拠 、（1931）、Proc Natl Acad Sci U S A、 17 S. 656–660。 PDF。 AT：pas.org

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