トポロジマップ – ウィキペディア

トポロジマップ トポロジーグラフ理論の数学的サブエリアからの用語です。この用語は、色付けの問題に関する研究に関連して、特に4色のセットおよび関連する数学的教育文に関連して特に重要です。

• 一 トポロジマップ
  ${displaystyle {mathfrak {k}}}$

  エリアで

  ${displaystyle fsubset mathbb {r} ^{d};（d {text {full number}};、; dgeq 2）}$

  トリプルです

  ${displaystyle {mathfrak {k}} =（{mathfrak {l}}、{mathfrak {g}}、e）}$

  、それによって

  ${displaystyle {mathfrak {l}}}$

  と

  ${displaystyle {mathfrak {g}}}$

  のサブ量の2つの有限数量システム

  ${displaystyle f}$

  and and

  ${displaystylesubset f}$

  また、有限の量です。

• の各要素
  ${displaystyle {mathfrak {l}}}$

  いつ 土地 、のすべての要素

  ${displaystyle {mathfrak {g}}}$

  いつ 境界線 とのすべての要素

  ${displaystyle e}$

  いつ コーナー トポロジカルマップ

  ${displaystyle {mathfrak {k}}}$

  。

• 1つのポイント
  ${displaystyle xin mathbb {r} ^{d}}$

  は エッジポイント マップに属する1つの国

  ${displaystyle l}$

  彼が相対的なトポロジーの結論である場合

  ${displaystyle {overline {l}} cap f}$

  から

  ${displaystyle l}$

  の

  ${displaystyle f}$

  聞いた。

• 両国
  ${displaystyle l_ {1}}$

  と

  ${displaystyle l_ {2}}$

  から

  ${displaystyle {mathfrak {k}}}$

  呼ばれます 隣接 また 隣接 の境界線の下の場合

  ${displaystyle {mathfrak {k}}}$

  1つが発生します。

  ${displaystyle l_ {1}}$

  からと同様に

  ${displaystyle l_ {2}}$

  構成されます。

• 整数の1つ
  ${displaystyle n> 0}$

  

  ${displaystyle fcolon、{mathfrak {l}}から{1、ldots、n}}}$

  呼ばれています

  ${displaystyle n}$

  -着色 。

  • の要素
    ${displaystyle {1、ldots、n}}$

    （グラフ理論の習慣に従って）と呼ばれています 色 。

  • 一
    ${displaystyle n}$

    -着色

    ${displaystyle fcolon、{mathfrak {l}}から{1、ldots、n}}}$

    呼ばれています 許容 もしあれば 2つの近隣諸国 富

    ${displaystyle f}$

    いつも 2つの異なる色 割り当て。

  • トポロジカルマップを許可します
    ${displaystyle {mathfrak {k}}}$

    の上

    ${displaystyle f}$

    整数のために

    ${displaystyle n> 0}$

    

    ${displaystyle n}$

    -着色 、 しかし いいえ 以下の少ない許容色

    ${displaystyle n}$

    色、それはこの整数が呼ばれているものです

    ${displaystyle n}$

    クロマティック数の

    ${displaystyle {mathfrak {K}}}$

    そして、それらを指します

    ${displaystyle chi（{mathfrak {k}}）}$

    。

  • あなたが形成します すべてのトポロジマップについて
    ${displaystyle F}$

    最後

    ${displaystyle sup{chi ({mathfrak {K}}):{mathfrak {K}};{text{topologische Landkarte auf F}}}}$

    関連するすべての色素数 そして、この整数です

    ${displaystyle$

    だからこれはそれです クロマティック数の

    ${displaystyle F}$

    。彼女は一緒にいます

    ${displaystyle chi（f）}$

    専用。 ^[初め]

• 調査される領域は通常、エリアです
  ${displaystyle fsubset mathbb {r} ^{d};（d = 2,3,4）}}$

  。

教育セットに関するメモ [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

• ワイスケの判決は、数学者の8月のフェルディナンド・メビウスの友人である哲学者のベンジャミン・ゴットソールド・ワイスケ（1783–1836）に戻ります。この結果の著者は、Möbiusの財産を見るとき、Geomer Richard Baltzerによって発見されました。バルツァーが1885年の講義でワイスケと彼の物語の刑について報告したとき、彼は4つのカラーセットがすでにわずかな結論であると世界に間違いを犯しました。一方、Baltzer Weikesの文の表現とは対照的に、5つのカラーセットのわずかな導出が有効になるのは正しいことです。バルツァーの間違いは、1959年にジオメーターのハロルド・スコット・マクドナルド・コクセターによってついに削除されました。 ^[2]
• 4色セットは多くの人によって証明されていると見なされますが、すべての数学によって決して証明されていません。 ^[8]
• パーシー・ジョン・ヒーウッドは、ヒーウッドの不平等の平等の兆候がヒーウッドの不平等にも適用されなければならないと疑っており、1968年に2人の数学者であるゲルハルト・リンゲルとジョン・ウィリアム・セオドア・ヤングによって最終的に証明されました。 ^[7]

スレッドの問題 次のタスクの解決策の問題で：

可能であれば – 与えられた自然数のために

${displaystyle mgeq 3}$

最小の自然数

${displaystyleガンマ（m）}$

閉じた方向のあるエリアで決定されます

${displaystyle h_ {gamma（m）}}$

性別

${displaystyleガンマ（m）}$

選択された異なるポイント

${displaystyle p_ {1}、p_ {2}、ldots、p_ {m} in h_ {gamma（m）}}}$

常に単純なヨルダンクルーブでペアで、これらのすべてのヨルダン曲線が互いに交差しないように、せいぜい選択されたポイントで接続することができます

after-content-x4

${displaystyle p_ {1}、p_ {2}、ldots、p_ {m}}$

会う。 ^[9]

ご覧のとおり、スレッドの問題を解決し、式がこれにつながる可能性があります

${displaystyle gamma（m）= lceil {frac {（m-3）（m-4）} {12}}} rceil;（min mathbb {n};$

。 ^[十]

また、この式の妥当性も、ヒーウッドアイデンティティ方程式の妥当性も示しています

[11]

• Rudolf Fritsch： 4色セット。歴史、トポロジカルの基礎、証拠のアイデア 。 Gerda Fritschのコラボレーションで。 bi wissenschaftsverlag、マンハイム、ライプツィヒ、ウィーン、チューリッヒ1994、ISBN 3-411-15141-2（ MR1270673 ）。
• Konrad Jacobs、Dieter Jungnickel： 組み合わせの紹介 （= de gruyter教科書 ）。 2番目、完全に新しく編集および拡張されたエディション。 De Gruyter、Berlin（U。）2004、ISBN 3-11-016727-1。
• K. P.ミュラー、H。Wölpert： 鮮やかなトポロジ 。基本トポロジとグラフ理論の紹介（= 教師トレーニングのための数学 ）。 B. G. Teubner Verlag、Stuttgart 1976、ISBN 3-519-02709-7。
• ゲルハルトリンゲル： カードの着色の問題 。 In：Konrad Jacobs（編）： 数学3を選択します （= ハイデルバーグペーパーバック 。 バンド 八十六 ）。 Springer Verlag、ベルリン、ハイデルベルク、ニューヨーク1971、ISBN 3-540-0533-6（ MR0543809 ）。
• Lutz Volkmann： グラフ理論の基礎 。 Springs Publisher、WHO、New York 1996、ISBN 3-211-827774-9（ MR1392955 ）。
• クラウスワグナー： graphentheorie （= bi-hochschultaschenbücher 。 248/248a）。書誌研究所、マンハイム（1970を含む）、ISBN 3-411-00248-4。

1. ↑ 色数
   ${displaystyle chi（f）}$

   フクロウの特性と区別する必要があります

   ${displaystyle f}$

   、両方の数字について、同じギリシャ文字が識別子と表示されます。

2. ↑ ^{a b} Rudolf Fritsch： 4色セット。 1994、S。25–26、128
3. ↑ K. P.ミュラー、H。Wölpert： 鮮やかなトポロジ。 1976、S。67
4. ↑ Müller、Wölpert、op。cit。、pp。148–149
5. ↑
   ${displaystyle lfloor {cdot} rfloor}$

   Gaussklored関数です。

6. ↑ ゲルハルトリンゲル： カードの着色の問題。 In：Mathematical 3 1971、S。30ff。、45-47を選択
7. ↑ ^{a b} リンゲル、オン。 cit。、S。31
8. ↑ 4色セット＃批評を参照してください！
9. ↑ リンゲル、オン。 cit。、S。32
10. ↑
    ${displaystyle lceil cdot rceil}$

    丸め関数です。

11. ↑ リンゲル、オン。 cit。、S。32–33