Pappus Centroid定理

Pappus Centroid定理 、ASも知っています ガルディン定理 、 Theorem de Pappus-Guldin o パプスの定理 、表面と革新的な固体をそれぞれの重心を関連付ける2つの定理の名前です。

定理は、アレクサンドリアとポール・グルディンのパッパスに起因しています。

最初の定理 [ 編集します ]

たとえば、マイナーラジオブルの表面の領域

${displaystyle r}$

ラジオ市長

${displaystyle r}$

は：

after-content-x4

${displaystyle a =（2pi r）（2pi r）= 4pi ^{2} rr。、}$

ここで、より小さな半径は横円形表面に対応します。主な半径は、主要なジェネラトリックス周囲の半径です。

定理によると [ 編集します ]

たとえば、マイナーラジオブルのボリュームも

${displaystyle r}$

ラジオ市長

${displaystyle r}$

は

${displaystyle v =（pi r^{2}）（2pi r）= 2pi^{2} rr^{2}。、}$

どこ

${displaystyle r}$

それはマイナークロスセクションの半径であり、

${displaystyle r}$

それは、メジャーまたはジェネラトリックスの周囲の半径です。

デモンストレーション [ 編集します ]

最初の定理 [ 編集します ]

関数によって定義されたフラット曲線になります

${displaystyle y = f（x）}$

、閉じた間隔で

${displaystyle [a、b]}$

連続しています。次に、曲線がの軸を回るときに生成される革命固体の領域

${displaystyle x}$

は：

（ 初め ））

${displaystyle a = 2pi int _ {a}^{b} f（x）{sqrt {1+left（{frac {dy} {dx}}右）^{2}}、dx}}}}}}$

（ 2.1 ））

${displayStyle {begin {array} {rcl} {overline {y}}＆=＆{frac {displaystyle int _ {a}^{b} f（x）{sqrt {1+left（{frac {dy} {dy} {dx}} {disply）^{dx}} {2}}}} {2}}}} }^{b} {sqrt {1+left（{frac {dy} {dx}}右）^{2}}}、dx}} \＆=＆{frac {displaystyle int _ {a}^{b} f（x {2}}}、dx} {displaystyle l}} end {array}}}}}$

一方、座標

${displaystyle {overline {y}}}$

この曲線の重心から次のように計算されます。

とすれば

${displaystyle l}$

それは分母に示されているフラット曲線の長さです。

方程式を推測するのは簡単です（ 2 ）それは次のように変換します：

（ 3 ））

${displaystyle a = 2pi {overline {y}} l}$

デモンストレーションを完了します。

定理によると [ 編集します ]

2つの関数になります

${displaystyle f（x）}$

と

${displaystyle g（x）}$

間隔で連続して定義されています

${displaystyle [a、b]}$

、 そのような

${displaystyle f（x）geq g（x）}$

そして、それは地域の平らな領域を区切ります

${displaystyle a}$

。ボリューム

${displaystyle v}$

X軸の周りにこの領域を回すときに生成される革命の固体のうち、リング法によって計算されます。結果は次のとおりです。

（ 4 ））

${displaystyle v = pi int _ {a}^{b}左[f（x）^{2} -g（x）^{2}右]、dx}$

一方、座標を計算します

${displaystyle {overline {y}}}$

曲線によって区切られた平らな領域の重心

${displaystyle f（x）}$

と

${displaystyle g（x）}$

この方程式が使用されます：

（ 5 ））

${displaystyle {begin {array} {rcl} {overline {y}}＆=＆{frac {displaystyle int _ {a}^{b}（f（x）+g（x）） x}} \\＆=＆{frac {displaystyle int _ {a}^{b} left [f（x）^{2} -g（x）^{2}右]、dx} {displaystyle 2int _ {a}^{b}左[F（x）-g（x）-g（x）、dx）、dx）、dx）、dx} _ {a}^{b}左[f（x）^{2} -g（x）^{2}右]、dx} {displaystyle 2a}} end {array}}}}}}$

とすれば

${displaystyle a}$

2つの曲線で構成されるエリアです。したがって、ボリューム方程式は次のように再度記述する必要があります。

（ 6 ））

${displaystyle v = 2pi a {overline {y}}}$

デモンストレーションを完了します。計算が座標を指す場合

${displaystyle {overline {x}}}$

計算は類似しており、この場合は次の場合に例外を作成します。

（ 7 ））

${displaystyle v = 2pi int _ {a}^{b} x*[f（x）-g（x）]、dx}$

ただし、領域は最初に示されているように計算されています。

領域との交差点のない線の周りの革命の量を固体に計算したい場合、フォーム

${displaystyle y = ax+b}$

この定理は、重心と前記線の間の距離が計算されることを条件に使用できます。

外部リンク [ 編集します ]