テンソラナリシス – ウィキペディア

テンソラナリシス また テンソラナリス 微分ジオメトリまたは微分トポロジのサブアリアンです。 ^[初め] ベクトル分析を一般化します。たとえば、微分演算子の回転は、このコンテキストでn次元に一般化できます。テンソラナリシスの中心的なオブジェクトは、四節畑です。これらの分野で微分演算子がどのように機能するかを調べます。

テンソルライムは、特にグレゴリオリッチ – カバストロと彼の学生であるタリオレヴィシビタによって20世紀の初めに開発され、この計算の中心的なオブジェクトはテンソルでした。 ^{[2] [3]} 差動幾何学のサブエリアである今日のYETNORANALYSISは、このテンソル石灰岩から出現しました。これはRicci Calculusとも呼ばれます。

テンソル石灰が基本的であった計算は、アルバート・アインシュタインを通じて計算が大いに認識されていました。 ^[4] その後、テンソルと呼ばれたオブジェクトは、現在テンソルフ場と呼ばれ、テンソラナリシスの分析特性について調べられています。各ポイントにテンソルを割り当てるターバーダー関数は不正確であり、現代の用語で定式化されています。

この場合、テンソルとは純粋に代数的なオブジェクトを意味します。テンソルの概念は時間の経過とともに変化を経験していますが、今日でもテンソルフェルダーのテンソルについて語っています。ただし、異なる幾何学またはテンソラナリシスの領域では、四角形のフィールドのみと「正しい」テンソルは考慮されていないため、この概念形態の混乱のリスクは低いです。

すでに述べたように、Tensorbelderは分析特性について調べられます。特に、特定の方法でそれらを導出または区別することが可能です。対応する微分演算子がどの特性と、微分界の畑がどのように微分型の動作をするかを調べます。特に、テンソルフィールドを区別することにより、テンソルフィールドが再び取得されます。これらの重要なテンソルフフィールドをまったく定義できるようにするには、最初に説明する必要があります。これは、Tensbündelセクションで正確に定義されている特定のベクトルのバンドルです。 Tensorbelderは、このベクトルの束にマッピングされる特別な滑らかなイラストです。

テンソラナリシスでは、幾何学的な微分演算子の挙動が四節畑で調べられます。差動演算子の重要な例は、差動形状が特別なテンソルフフィールドであるため、差動形式の外部導出です。外部派生は、総差の一般化（差動形式の場合）として理解できます。彼らの助けを借りて、ベクトル分析から知られている微分演算子を一般化できます。テンソルフェルダー自体は、テンソラナリシスの一般化、つまり象牙の詩も得られます。彼らの助けを借りて、座標変換は湾曲した部屋、多様性で実行できます。

Tensbündel [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

（r、s）バンドルはベクトルの束であり、その繊維（r、s）

${displaystyle t_ {s}^{r}（e）}$

ベクトルルームの上

${displaystyle e}$

それは。だから

${displaystyle m}$

差別化された多様性と

${displaystyle pi colon tmto m}$

繊維の接線バンドル

${displaystyle t_ {p} m = pi ^{-1}（p）}$

ポイントで

${DisplayStyle Pin M}$

。部屋

${displaystyle t_ {p} m}$

したがって、特にベクターがあります。定義

${displaystyle t_ {s}^{r}（tm）= coprod _ {pin m} t_ {s}^{r}（t_ {p} m）= bigcup _ {pin m} t_ {s}^{r}（p} m）times {p}} times {p}}$

と

${displaystyle pi _ {s}^{r} colon t_ {s}^{r}（tm）からm}$

終えた

${displaystyle pi _ {s}^{r}（e）= p}$

と

${displaystyle ein t_ {s}^{r}（t_ {p} m）}$

。象徴

${DisplayStyle TextStyle Coprod}$

CO -Productを意味します。多くの本で

${displaystyleTimes {p}}$

右端に着手します。サブマンの尊厳のために

${displaystyle asubset m}$

Tensbündelによって定義されています

${displaystyle t_ {s}^{r}（tm）| _ {ta} = coprod _ {ain a} t_ {s}^{r}（t_ {a} a）= bigcup _ {ain a} t_ {s}^{r}（t_ {a）$

総額

${displaystyle t_ {s}^{r}（m）：= t_ {s}^{r}（tm）}$

またはイラスト

${displaystyle pi _ {s}^{r} colon t_ {s}^{r}（tm）からm}$

テンソルのベクトルバンドルレベルRの違反者とレベルSのコバリアントが呼び出されます。簡単に言えば、Tensbündelについても語っています。矛盾するインデックスまたは低い指数が矛盾と呼ばれるものであろうと共分散と呼ばれるかどうかにかかわらず、文献では均一ではありません。

テンソルフェルド [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

多分

${displaystyle m}$

差別化された多様性。タイプ（R、S）のテンソルフィールドは、Tensbündelの滑らかなカットです

${displaystyle t_ {s}^{r}（m）}$

。したがって、テンソルフィールドは滑らかなフィールドです

${displaystyle mto t_ {s}^{r}（m）}$

多様性の各ポイントに（r、s）シーンを割り当てます。テンソルフフィールドの量はしばしばあります

${displaystyle gamma ^{infty}（t_ {s} ^{r}（m））}$

専用。

ベクトルの束、特に四角いものは多様性の構造を持つため、テンソルフィールドは滑らかな多様性の間の滑らかなイメージと見なすこともできます。したがって、これらのフィールドを区別することが可能です。マニホールド間の滑らかなイラストで動作する微分演算子は、幾何学的な微分演算子とも呼ばれます。以下にリストされている演算子は、幾何学的な微分演算子の条件を満たしています。

${displaystyle operatorname {div}（t）：= operatorname {tr}（xi mapsto nabla _ {xi} t）}$

と

${displaystyletin gamma ^{infty}（t_ {s} ^{r}（m））}$

説明。

• ラプラス演算子は、Tensorfフィールドに対して定義することもできます。これは、一般化されたラプラス演算子とも呼ばれます。このオペレーターの定義にはさまざまなオプションがあります。たとえば、Riemannの多様性が基づいている場合、共変動派生の助けを借りて実行できます

${displaystyle delta t：= – operatorname {tr} _ {g} left（nabla（nabla t）右）}$

と

${displaystyletin gamma ^{infty}（t_ {s} ^{r}（m））}$

説明。イラスト

${displaystyle operatorname {tr} _ {g}}$

Riemann Metrikに関するテンソルの若返りです

${displaystyle g}$

。

• 差動形状で動作する外部派生は、幾何学的な微分演算子でもあります。

教科書（エントリ） [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

• ハインツ・シェード、クラウス・ニーマン： テンソル分析 。 Greenter、2018、ISBN 978-540-5、doi： 10.1515/9783110404265 （英語）。
• ヴォルフガング・ウェルナー： 物理学と技術における普遍的な言語としてのベクターとテンソル1：テンソラルガブラと四分析 。 Springer Specialist Media Wiesbaden、Wiesbaden 2019、ISBN 978-3-658-25271-7、doi： 10,1007/978-3-658-25272-4 。
• ヴォルフガング・ウェルナー： 物理学と技術の普遍的な言語としてのベクターとテンソル2：数学と物理学のテンソル 。 Springer Specialist Media Wiesbaden、Wiesbaden 2019、ISBN 978-3-658-25279-3、doi： 10,1007/978-3-658-25280-9 。

モノグラフィ（さらに） [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

• Ralph Abraham、Jerrold E. Marsden、Tudor Ratiu： マニホールド、テンソル分析、およびアプリケーション （= J. E. Marsen、L。Sirovich、F。John[hrsg。]： 応用数学科学 。 バンド 75 ）。スプリンガーニューヨーク、ニューヨーク、ニューヨーク1988、ISBN 978-1-4612-6990-8、doi： 10,1007/978-1-4612-1029-0 （英語）。
• アントニオ・ガルビス、マヌエル・マエストレ： ベクトル分析とベクター計算 （= Universitext ）。 Springer US、ボストン、マサチューセッツ州2012、ISBN 978-1-4614-2199-3、doi： 10,1007/978-1-4614-2200-6 （英語）。
• カール・ハインツ・ゴールドホーン、ハンス・ピーター・ハインツ、マルガリータ・クラウス： 物理学の現代数学的方法 – ボリューム1 （= スプリンガー教科書 ）。 Springer Berlin Heidelberg、Berlin、Heidelberg 2009、ISBN 978-3-540-88543-6、doi： 10,1007/978-3-540-88544-3 。
• KlausJänich： Vektoranalysis （= スプリンガー教科書 ）。 Springer Berlin Heidelberg、Berlin、Heidelberg 2005、ISBN 978-3-540-23741-9、doi： 10.1007/b138936 。
• J. A.シェーテン： ricci計算 。 Springer Berlin Heidelberg、Berlin、Heidelberg 1924、ISBN 978-3-642-51798-3、doi： 10,1007/978-3-642-51838-6 。

古典的な作品 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

1. ↑ ジョエル・W・ロビン、ダイエットマール・A・サラモン： 微分ジオメトリの紹介 。 Springer Berlin Heidelberg、Berlin、Heidelberg 2022、ISBN 978-3-662-64339-6、doi： 10,1007/978-3-662-64340-2-2 （ springer.com [2022年11月14日アクセス]）。
2. ↑ M. M. G. Ricci、T。Levi-Civita： 絶対差動計算方法とそのアプリケーション 。の： 数学的な年次 。 バンド 54 、 いいえ。 1-2 、1900年3月、ISSN 0025-5831 、 S. 125–201 、doi： 10.1007 / BF01454201 （ springer.com [2022年11月14日アクセス]）。
3. ↑ Tullio Levi-Civita、Adalbert Duschek： 幾何学と物理学への絶対差動石灰とその応用 。 Springer Berlin Heidelberg、Berlin、Heidelberg 1928、ISBN 978-3-662-24349-7、doi： 10,1007/978-3-662-26466-9 （ springer.com [2022年11月14日アクセス]）。
4. ↑ レイナーオロフ： 時空のジオメトリ – 時間 。 Springer Berlin Heidelberg、Berlin、Heidelberg 2018、ISBN 978-3-662-56736-4、doi： 10,1007/978-3-662-56737-1 （ springer.com [2022年11月14日アクセス]）。