バナッハ・マズールのサッツ – ウィキペディア

バナッハ・マズールの文 Stefan BanachとStanisławMazurにちなんで名付けられた1933年から、機能分析のサブエリアからの古典的な文です。他の分離可能なバナッハルームのコピーを含む分離可能なバナッハルームの中にはいくつかあります。バナッハルーム

${displaystyle c（[0,1]）}$

定数関数

${displaystyle [0,1] rightArrow {mathbb {r}}}$

Supremums Standardが1つです ユニバーサル バナッハルーム。

は

${displaystyle k}$

コンパクトなスペース、これがどのように示すかです

${displaystyle c（k）}$

の一定の機能のバナッハルーム

${displaystyle k}$

後

${displaystyle mathbb {r}}$

Supremums Standardで

${displaystyle | cdot | _ {infty}}$

。

最初のバージョン [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

Banach-Mazur文の最初のバージョンで

${displaystyle k}$

Cantorの不連続

${displaystyledelta}$

：

分離可能なバナッハルームごとに

${displaystyle e}$

の等尺性線形演算子はありますか

${displaystyle e}$

後

${displaystyle c（delta）}$

。

次の証拠は、そのようなアイソメトリをどのように見つけることができるかを示しています。そうです

${displaystyle e_ {1} ‘}$

のデュアルスペースの均一なボール

${displaystyle e}$

。 Banach-Alaogluのフレーズによると、これは弱い*トポロジーに関して、そして分離性のためにコンパクトにメトリックスさえすることさえあります。次に、安定した、副検査の図があります

${displaystylephiコロンデルタRightArrow E_ {1} ‘}$

、トポロジの結果によれば、すべてのコンパクトなメトリス可能な空間は、カンターの不連続の安定した絵であるためです。あなたは今定義します

${displaystyle tcolon erightarrow c（delta）}$

終えた

${displaystyle（TX）（delta）：=（phi（delta））（x）、e、delta in delta}$

、そうです

${displaystylet}$

どうやら線形とそのため

${displaystyle | tx | _ {infty}：= sup _ {delta in delta} |（tx）（delta）| = sup _ {delta in delta} | phi（delta）（x）| = sup _ {fin e_ {1} ‘} | f（x）| = | x |}$

また、等尺性、それにより、ハーンバナッハ運動からの最後の平等が続き、の副産性からの最後から2番目の平等が続きます

${displaystyle phi、}$

。

2番目のバージョン [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

次のバージョンは結論として取得されます。

分離可能なバナッハルームごとに

${displaystyle e}$

の等尺性、線形演算子はありますか

${displaystyle e}$

後

${displaystyle c（[0,1]）}$

。

それぞれに

${displaystyle fin c（delta）}$

あなたは定義します

${displaystyle {tilde {f}} colon [0,1] rightArrow mathbb {r}}$

オンの一定の関数として

${displaystyledelta}$

と

${displaystyle f}$

一致して間隔で

${displaystyle [0,1] setminus delta}$

線形です。イラスト

${displaystyle fmapsto {tilde {f}}}$

次に、等尺性埋め込みを定義します

${displaystyle c（delta）}$

後

${displaystyle c（[0,1]）}$

そして、アサーションは、バナッハ・マズール文の最初のバージョンから続きます。

• それと一緒に
  ${displaystyle c（[0,1]）}$

  震えベースがあり、分離可能なバナッハルームに基本的な結果の理論にアプリケーションがあります。例は、以下のテリーJ.モリソンの本にあります。

• 身震い基地を持っているという財産は、当事者を継承しません。
  ${displaystyle c（[0,1]）}$

  よく知られているように、震えベースがあり、震えベースのない分離可能な立方体があり、バナッハ・マズールのフレーズによると、

  ${displaystyle c（[0,1]）}$

  受け取る。同じ理由で、近似プロパティは部分室を継承することはできません。

• 
  ${displaystyle c（[0,1]）}$

  バナッハ・マズールの文の内容であるすべての分離可能な立方体のクラスにおける地下層に関する普遍的な分離可能な部屋です。商の形成の観点からも普遍的な分離可能な立方体もあります。すべての分離可能なバナッハルームの等尺性同型がシーケンスの商と見えることを示すことができます。

  ${displaystyle ell ^{1}}$

  は。

• AleksanderPełczyńskiは1962年に、分離可能なバナッハの部屋に関する次の声明を示しました
  ${displaystyle e}$

  同等です：

1. 
   ${displaystyle e}$

   地下層に関する普遍的な分離可能なバナッハルームです。

2. 
   ${displaystyle e}$

   1つも含まれています

   ${displaystyle c（delta）}$

   同型地下等尺性。

3. 
   ${displaystyle e}$

   1つも含まれています

   ${displaystyle c（[0,1]）}$

   同型地下等尺性。

4. 要素があります
   ${displaystyle x_ {n、k} in e}$

   ために

   ${displaystyle nin mathbb {n}}$

   と

   ${displaystyle k = 0,1、ldots 2^{n} -1}$

   、 となることによって

   ${displaystyle x_ {n、k}、=、x_ {n+1.2k}+x_ {n+1.2k+1}}}}$

   と

   ${displaystyle左| sum _ {k = 0}^{2^{n} -1} t_ {k} x_ {n、k}右| = max _ {k = 0、ldots 2^{n} -1}左| t_ {k}右|}}$

   すべてのスカラー用

   ${displaystyle t_ {k} in mathbb {r}}$

   適用可能です。

• S.バナッハ、S。マズール： 線形寸法の理論について 、Studia Mathematica（1933）、第4巻、100-112ページ
• A.Pełczyński： いくつかのバナッハの部屋の普遍性について （ロシア語）、Vestnik Leningrad。大学。 ser。マット。ああ。 astr。 13（1962）、22〜29ページ（ ドイツ語翻訳 ; PDF; 761 kb）
• P. wojtaszczyk： アナリストのためのバナッハスペース 、Advanced Mathematics 25（1991）のケンブリッジ研究
• テリーJ.モリソン： 機能分析、バナッハ空間理論の紹介 、Wildy-Publisher（2001）ISBN 0471372145