Quadratklasse – ウィキペディア

代数にあります 正方形のクラス その特定の同等の関係の等価クラス 正方形の等価 通勤グループで。これらは、このグループの正方形のサブグループの二次クラスです。とりわけ、正方形のクラスと正方形の等価性の概念が使用されています

Quadratクラスは、より一般的に文献で定義されており、それにより、一般的なグループ理論的用語の結論は、より一般的な概念の本質的な核としてほとんど出現しています。

「正方形の関係」の一般的な定義は、この定義が同等の関係につながる場合、常に賢明に使用できることを主張しています。グループ – 理論的定義は、いずれにせよ、いずれの場合でも通勤グループの同等の関係であり、正方形クラスは実際にグループのサブグループの二次クラスへの分割であることを示しています。この特別なケースでは、ABELグループのサブグループの通常の仕切りのセカンダリクラスのすべての文とプロパティを四角いクラスに適用できます。

一般的な定義 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

多分

${displaystyle m}$

ダブルディギットリンクがたくさんあります

${displaystyledot}$

と

${displaystyle a}$

このリンクに関しては、空の非空白のサブセットが終了しました。その後、乗ってください

${displaystyle m}$

二重距離の関係

${displaystyle sim}$

定義によって導入されました

• 
  ${displaystyle m_ {1} sim m_ {2}}$

  、滝は要素です

  ${displaystyle a_ {1}、a_ {2} in}$

  それを与える

  ${displaystyle m_ {1} cdot a_ {1}^{2} = m_ {2} cdot a_ {2}^{2}}$

  は。

ここで適用されます：

1. その定義により、関係は常に反射的で対称的です。
2. リンクが関連付けられている場合、確かに推移的です
   ${displaystyle m}$

   そして通勤

   ${displaystyle a}$

   は。

• 以下では、より弱い条件がほに補間に十分です：
  ${displaystyle min m ;; a、bin a}$

  常に要素が存在します

  ${displaystyle c、din a}$

  となることによって

1. 
   ${displaystyle (mcdot a^{2})cdot b^{2}=mcdot c^{2}}$

   （関連性の弱体化）および

2. 
   ${displaystyle a^{2}cdot b^{2}=d^{2};}$

   （整流の弱体化）。

関係が交換的である、すなわち等価関係があるすべての場合において、の2つの要素と呼ばれます

${displaystyle m}$

それは、サブセットに関して（さらに意味がある）関係を満たしています

${displaystyle a}$

。の要素であるこの関係の各等価クラス

${displaystyle a}$

含む、平方クラス（より狭い意味で）を意味します

${displaystyle m}$

参照すると

${displaystyle a}$

。

グループ理論定義 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

多分

${displaystyle（g、cdot）}$

通勤グループ。次に、正方形の形があります

${displaystyle qcolon grightarrow g; gmapsto g^{2}}$

グループの同性愛。その写真、量

${displaystyle g^{2} = lbrace g^{2}ミッドジングレース}$

「正方形」はのサブグループです

${displaystyle g}$

そして、このサブグループの二次クラスは、の正方形クラスと呼ばれます

${displaystyle g}$

。

それは、そこにあるときの一般的な定義の特別なケースです

${displaystyle m = a = g}$

設定されています。

正方形のイラストがサーフの場合、グループ全体を含む正方形のクラスは1つだけです。このケースは、イラストが無視されたときに正確に有限グループで発生し、したがってラグランジュの文に従って、グループの順序が奇妙であるため、正確に設定され、したがって要素はまっすぐな順序を持つことはありません。

インデックスの正方形のクラスの数がより一般的です

${displaystyle（g：g^{2}）}$

正方形

${displaystyle g}$

。

体 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

1つの体で

${displaystyle（k、+、cdot）}$

通常、乗法グループに関する正方形の等価性です

${displaystyle（k^{*}、cdot）}$

いつ 二次同等性。 0の等価クラス（さらなる意味で）はnull要素のみで構成され、他のすべては正方形のクラスです

${displaystyle k}$

一般的な定義との意味で

${displaystyle（k^{*}、cdot）}$

より狭い意味で、グループの理論的定義の意味で。

整合性エリア [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

整合性領域で

${displaystyle（r、+、cdot）}$

（シングルエレメント付き）は、通常 – 体のように – 短期、整流モノイドに関する正方形の等価性

${displaystyle（rsetminus lbrace 0rbrace、cdot）}$

いつ 二次同等性。ここでも、すべての等価クラスは除いています

${displaystyle lbrace 0rbrace}$

のサブセット

${displaystyle a = rsetminus lbrace 0rbrace}$

したがって、の正方形のクラス

${displaystyle r}$

（より狭い意味で）。

さらに、整合性領域の埋め込みとの正方形の等価性は、その商の体にあります

${displaystyle operatorname {quot}（r）}$

互換性：整合性領域の2つの要素は、リングで正方形に相当するだけです（より正確には、埋め込み下のこれらの要素の画像）も、商体では正方形に相当します（グループ – 理論的定義の意味でも）。さらに、商体の各正方形のクラスには、「全体の」要素、つまり整合性領域の要素の埋め込み画像が含まれています。

${displaystyle r}$

。

• 実数の本体には、正確に2つの正方形のクラス、つまり正の量と負の実数の体が含まれています。これは、一般的にすべてのユークリッドボディに適用されます。
• 複雑な数字の本体には、1つの正方形のクラスのみが含まれています。
  ${displaystyle mathbb {c} ^{*} = mathbb {c} setminus lbrace 0rbrace}$

  。これは、すべての代数体にそれに応じて適用されます。

• 全体の整合性領域
  ${displaystyle mathbb {z}}$

  無限の数の正方形クラスが含まれています。 2つの整数（0を除く）は、製品が正方形の数、つまり1に相当する方向に等価です。正方形の数字は、代表システムを形成します。

• 残りのクラスボディ
  ${displaystyle k = mathbb {z} /pmathbb {z}}$

  ifの場合は1つの正方形のクラスのみが含まれています

  ${displaystyle p = 2}$

  is、そして正確に2つの正方形のクラスの場合

  ${displaystyle p}$

  奇数のプライムです。次の区別は幾何学にとって依然として重要です：奇妙な素数です

  ${displaystyle p}$

  フォームから

  ${displaystyle p = 4cdot k+1、; Kin Mathbb {n}}}}$

  、次に、-1と1平方は同等です。

  ${displaystyle p = 4cdot k+3、; kin mathbb {n} _ {0}}}$

  異なる正方形のクラスに横たわっています。 （→正方形の休息、正方形の相互関係の法則、および幾何学的適用については、neulid前のレベルを参照）。

• すべての有限体
  ${displaystyle mathbb {f} _ {2^{n}}}$

  特性2で、正確に1つの正方形のクラス。したがって、すべての純粋な正方方程式はです

  ${displaystyle x^{2}+c = 0}$

  これらの身体では、フロベニュ族の形を正確に介して 二重カウント 解決。

• Quaternion Groupには、非配信の例が発生します
  ${displaystyle q_ {8} = lbrace pm 1、pm i、pm j、pm krbrace}$

  。このグループは通勤ではありませんが、センターの4つの二次クラスは

  ${displaystyle z（q_ {8}）=（q_ {8}）^{2} = lbrace pm 1rbrace}$

  グループの正方形のクラス（グループに関して

  ${displaystyle a = q_ {8}}$

  自己）一般的な定義の意味で。このグループは準能の多重なグループでもあるため（→テルナーベンに記載されている準身体＃注文9の例

  ${displaystyle j_ {9}}$

  ）合成ジオメトリに興味があります。準ボディのために

  ${displaystyle j_ {9}}$

  は

  ${displaystyle lbrace 0rbraceカップz（q_ {8}）}$

  同時に カーン 。

• Martin Aigner、Dieter Jungnickel（編）： ジオメトリとグループ。 1981年5月、ベルリン大学で開催されたコロキウムの議事録 。スプリンガー、ベルリン/ハイデルベルク/ニューヨーク1981、ISBN 3-540-11166-2。
• オレグ・トモビッチ・イボルディン、ジャン・ピエール・ティノール（編）： 二次形式の代数理論における幾何学的方法 。サマースクール、レンズ、2000年。スプリンガー、ベルリン/ハイデルベルク/ニューヨーク/香港/ロンドン/ミラノ/パリ/東京2000、ISBN 3-540-20728-7（数学の講義ノート、Vol。1835）。
• Helmut Hasse： 合理的な数字の本体の平方形状による数字の表現可能性について 。の： 純粋および応用数学のためのジャーナル 。 1923年（ GöttingenDigitizationCenterの全文 ）。
• ハンフリードレンツ： 正方形の形とコリネートグループ 。の： 数学のアーカイブ 。 バンド 18 。ハノーバー1962、 S. 110–119 、doi： 10.1007/BF01650054 。
• Armin Leutbecher： 番号理論：代数の紹介 。スプリンガー、ベルリン/ハイデルベルク/ニューヨーク1996、ISBN 3-540-58791-8。