Kuss番号-Wikipedia
ジオメトリで
-the キス (また 連絡先番号 )の最大数
– 次元ユニットボール(半径1のボール)。同時に、重複することなくユークリッドスペースの別のそのようなユニットボールに触れることができます。から ゲートキス ボールの中心がグリッドに配置されているときに話す場合。として キス番号の問題 キスの数を計算するための一般的な公式の欠如は知られています。
n = 1: 次元にはそれがあります スクープ ボールはありませんが、そのエンドポイントは、原点から距離1を持つエンドポイントがあります。ここでは、さらにルートを両方のエンドポイントに追加できるため、次元のKISSの数は明らかに2になります。
n = 2: 2番目の次元にはそれがあります スクープ ボールではなく、半径1の円です。明らかに、できるだけ多くのコインを配置するタスクのこの次元のキスの数を決定する問題に明らかに対応して、それらがすべて同じ中央コインに触れるようにします。 2番目の次元のキスの数が6であることを見るのは簡単です(そして証明する)。
n = 3: 3番目の次元では、キスの数を決定するのはそれほど簡単ではありません。右側のグラフィックを参照してください。 12個のボールをアレンジして、中央のボールに触れるように簡単に配置できます(たとえば、その中心がキューボクターダーの角を形成するように)。しかし、あなたはまだボールの間に多くの空のスペースを見ることができ、13番のボールを追加できるかどうか疑問に思うことができます。この問題は、1692年にケプラーズの推定につながった、アイザック・ニュートンと数学者のデイビッド・グレゴリーとの間の有名な紛争の対象でした。ニュートンは、最大値が12であると主張した、とグレゴリーはそれが13歳だと言った。最初の出版物は19世紀に登場しました、 [初め] [2] [3] ニュートンの主張の証拠を封じ込めたと主張した。今日の基準によれば、正式な証拠は [4] ジョン・リーチによる1956年 [5] 提供された。
n = 4: 第4次元24のキス番号が証明されたのは、21世紀の初めにのみでした。 [6]
n> 4: さらに、寸法n = 8(240)およびn = 24(196,560)のキスの数が知られています。 24次元空間では、ボールがリーチグリッドのポイントに配置されているため、スペースが残っていません。
1979年の寸法8と24の正確なキス数は、Andrew M. OdlyzkoとNeil J. A. Sloaneによって互いに独立していました [7] またはウラジミール・レヴェンシュテイン [8] 決定。
次の表は、ディメンション24までのキスの数の既知の境界線を再現します。 [9]
二量体 – sion |
キス | 二量体 – sion |
キス | |||
---|---|---|---|---|---|---|
低い 国境 |
少し 国境 |
低い 国境 |
少し 国境 |
|||
初め | 2 | 13 | 1154 [11] | 2069 | ||
2 | 6 | 14 | 1606 [11] | 3183 | ||
3 | 12番目 | 15 | 2564 | 4866 | ||
4 | 24 | 16 | 4320 | 7355 | ||
5 | 40 | 44 | 17 | 5346 | 11.072 | |
6 | 72 | 78 | 18 | 7398 | 16.572 | |
7 | 126 | 134 | 19 | 10.688 | 24,812 | |
8 | 240 | 20 | 17,400 | 36,764 | ||
9 | 306 | 364 | 21 | 27,720 | 54.584 | |
十 | 500 | 554 | 22 | 49.896 | 82,340 | |
11 | 582 | 870 | 23 | 93.150 | 124,416 | |
12番目 | 840 | 1.357 | 24 | 196,560 |
推定によると、キス数の成長が指数関数的であることが示されています。テーブルの横にあるグラフィックを参照してください。指数関数的な成長の基礎は不明です。
さらに高次元でのキスの数についてはほとんど知られていない。より低い障壁は、寸法n = 32(276.032)、n = 36(438.872)、n = 40(991.792)、n = 44(2nd948.552)、n = 64(331.737.984)およびn = 80(1,368.532.064)で知られています。 [12番目]
正確な格子数は、寸法1〜9および24で知られています。 [13] [14]
次の表は、グリッドの数または既知の下部の境界線を寸法まで再現します24:
寸法 | グリッド | 寸法 | グリッド | |
---|---|---|---|---|
初め | 2 | 13 | ≥918 | |
2 | 6 | 14 | ≥1422 | |
3 | 12番目 | 15 | ≥2340 | |
4 | 24 | 16 | ≥4320 | |
5 | 40 | 17 | ≥5346 | |
6 | 72 | 18 | ≥7398 | |
7 | 126 | 19 | ≥10.668 | |
8 | 240 | 20 | ≥17,400 | |
9 | 272 | 21 | ≥27.720 | |
十 | ≥336 | 22 | 49.896以上 | |
11 | ≥438 | 23 | 93.150以上 | |
12番目 a | ≥756 | 24 b | 196,560 |
寸法12と24の格子パックには、独自の名前があります。
ボールの半径はオンです
標準化され、中央ボールの中心にある座標系の起源は、
キス 次の不平等のシステムが満たされます。
走る
と
から
それまで
と
ベクトルのシーケンスです
ボールサインポイント、
ベクトルの標準(長さ)です
。 [17] 対称性の理由から、2番目のAllquantorがすべての人にいる場合、それは十分です
、
と
ストレッチ。
1つ
– 次元の実際のベクトル空間
これは、標準の正方形への移行後、マトリックス表記になります
- 。
ベクトルはそうです
列ベクトルとして縮小、および
対応するラインベクトル(転置マトリックス)、
スカラー製品。この不平等のシステムは、補助変数の形成と導入の後に行われます
[18] 方程式システムで
- 。
上記のシステムには合計があります
の方程式
ベクトル
、半分もあります [19] から
マトリックス用
;だから全体的に
方程式。テストする数の相対サイズのため
キス 予測可能性の実用的な制限により、ボールはすぐに到達します。
見積り
下限の一般的な形式
– 次元格子指標はによって与えられます
- 、 [20]
したがって
Riemannche Zeta関数はです。この境界線は、ミンコフスキー・フローカの判決によって指定されています(ヘルマン・ミンコウスキとエドマンド・フラウカによると)。
- Florian Pfender、GünterM。Ziegler: 数字、球体の梱包、およびいくつかの予期しない証明 。アメリカ数学協会の通知、S。873–883。 ( PDF ))
- エリック・W・ポインターシュタイン: キス番号 。 の: Mathworld (英語)。
- クリスティン・バチョック、フランク・ヴァレンティン: Semidefiniteプログラミングから数字をキスするための新しい上限 。の: Journal of the American Mathematical Society。 バンド21、2008、S。909–924。 arxiv: Math.mg/0608426
- ジョン・ホートン・コンウェイ、ニール・ジェームズ・スローン、エイチ・バンニ: 球体パッキング、格子、およびグループ 。スプリングス、1999年。ISBN978-0-387-98585-5。 制限付きオンラインバージョン(GoogleBooks)
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- ↑ リーチ: 13個の球体の問題。 の: 数学的な官報。 バンド40、1956、S。22–23
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- ↑ ハンス・D・ミッテルマン、フランク・ヴァレンティン: Kissing Numbersの高精度セミデフィナイトプログラミング境界 。 arxiv: 0902.1105
- ↑ 結果 A001116 OEISで
- ↑ a b https://www.wolframalpha.com/input/?i=kissingnumber Zinov’evとEricsonの証拠
- ↑ Yves Edel、E。M。Rains、N。J。A. Sloane: 寸法32から128のキス数 。の: Combinatoricsの電子ジャーナル。 バンド5、1998年の重さ
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- ↑ エリック・W・ポインターシュタイン: Coxeter-Toddlets 。 の: Mathworld (英語)。
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- ↑ d。 H.補助マトリックス 、係数のみ 必要とされる。特に、 0に設定すると、マトリックスはオプションで対称的、反対称性、または三角形のマトリックスとして採用されます。
- ↑ 対称性のため
- ↑ エリック・W・ポインターシュタイン: Minkowski-hlawka定理 。 の: Mathworld (英語)。
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