完璧なグラフ – ウィキペディア

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グラフ理論では、グラフが呼び出されます 完全 誘導された各サブグラフに対して、その数のクリークがその色の数と一致することが適用されます。グラフの誘導サブグラフは、ノードのサブセットとすべての入射エッジで構成されています。

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完璧なグラフでは、色の数値、および安定性数は多項式期間で計算できます。 [初め] 一般的なグラフでの計算np-fuctureは。グラフが完全であるかどうかは、多項式時間内に決定できます。 [2] 完璧なグラフの例は、二部グラフ、エッジグラフの二部グラフ、およびそれらの補体です。それらは強力な完璧なグラフィックセットの基礎を形成しているため、この文脈にもあります シンプルな完璧なグラフ 専用。完璧なグラフのその他の例は、脊索動物グラフと弦楽団グラフです。

後 完璧なグラフの文 次のステートメントは同等です。

  1. 完璧なグラフです。

  2. の補完グラフ

    完璧です。

  3. ない

    彼の補数グラフでさえ、誘導サブグラフとして少なくとも5つの長さの奇妙なサイクルが含まれています。このプロパティでグラフを取得します 山 。

2番目の特性は次のとおりです 弱い完璧な卒業生セット 知られているが、1972年にLászlóLovászによってすでに証明されていたため、現在はLovászの文章と呼ばれています。 3番目の特性も同様です 強力な完璧なグラフセット 2002年5月にのみ知られており、実証されました。 [3] 両方の声明は、1960年にクロード・ベルジュによって推測として設定されていました。

すべてのグラフで、クリークのすべてのノードをすべての正しい色で異なる色に割り当てる必要があるため、クリークの数は色帯の下限です。完璧なグラフは、この下限がグラフ自体だけでなく、すべての誘導サブグラフで固体であるグラフです。完璧ではないグラフの場合、色の数とクリークは異なる場合があります。たとえば、長さのサイクルには各色に5つの3色が必要ですが、最大のクリークにはサイズ2があります。

グラフのクラスが完璧であることの証明は、最小マックス定理として見ることができます。これらのグラフに必要な色の最小数は、クリークの最大サイズに対応しています。組み合わせの多くの重要なMIN-MAX定理は、これらの用語で表現できます。

たとえば、Dilworthのフレーズは、半注文のパーティション内の最小チェーン数は、チェーンのアンティケットの最大サイズに対応し、比較グラフの補数グラフが完全になるように策定できると述べています。 Mirskyの判決は、アンティケットのパーティション内のアンティケットの最小数は、チェーンの最大サイズに対応し、同じ方法で比較可能性グラフの完全性に対応すると述べています。

順列グラフの完全性は、秩序ある要素の各エピソードにおいて、パーツシーケンスのパーティション内の最小数のエピソードの最も長く上昇する部分シーケンスの長さの長さに対応しています。 Erdős-Szekeresの文は、この声明からの単純な結論です。

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Königの判決は、二部グラフで最小限のノードをカバーすることは最大マッチングに対応し、その逆に対応していると述べています。それは、二部グラフの補体グラフの完全性として解釈できます。クロマティックインデックスが最大ノードの程度に対応する二部グラフに関する別のセットは、二部グラフのエッジグラフの完全性に対応します。

7つのノットとその補数グラフを備えたサイクルは、それぞれが最適な色と最大クリークを示しています。グラフは、そのクリークサイズに等しい多数の色を使用しているため、完璧なグラフはありません。

LászlóLovászの弱くて完璧なグラフセットセットは、補数グラフが完璧な場合にグラフが完璧であることを示しています。したがって、グラフの完全性は、最大のクリークサイズの平等と、最大独立量のサイズがクリークの数に等しいというステートメントの各誘導サブグラフの色の等式として定義されました。 [4] [5]

Chudnovsky、Robertson、Seymour、Thomasが設定した強力な完璧なグラフィックは、完璧なグラフの異なる特性を提供します。少なくとも5の奇数の長さの誘導サイクルは 珍しい穴 専用。奇妙な穴の補体グラフを表す誘導サブグラフは Ungrades antiloch 専用。 3つ以上の長さのより高速なサイクルは、その色の3つとクリークの数が2つあるため、完全には完璧ではありません。同様に、長さの奇妙なサイクルの補数グラフはできます

2 de k + 初め {displaystyle 2cdot k+1}

その色の数であるため、完璧ではありません

k + 初め {displaystyle k+1}

そしてその数のクリーク

k {displaystyle k}

は。あるいは、これは完璧なグラフから続き、補完的な奇数サイクルが完全ではないことです。これらのグラフは完全ではないため、すべての完璧なグラフは、山のグラフ、奇妙な穴のないグラフであり、奇妙なアンテルチャーでなければなりません。 [6]

  • 完全 – グラフクラスとその包含に関するeintragIM情報システム
  • 山 – グラフクラスとその包含に関するeintragIM情報システム
  1. ↑ Götschel、Lovász、Alexander Schrijver： 幾何学的アルゴリズムと組み合わせの最適化 。 Springer-Verlag、1988年、第9章、 グラフの安定したセット 、S。273–303
  2. ↑ Chudnovsky、Cornuéjols、Liu、Seymour、Vušković： Bergeグラフの認識 。の： 組み合わせ 、bd。 25、nr。 2、2005、S。143–186
  3. ↑ Chudnovsky、Robertson、Seymour、Thomas： 強力な完全なグラフ定理 。の： 数学の年代記 、bd。 164、2006、S。51–229
  4. ↑ Lovász、László： 完全なグラフの特性評価 。の： Journal of Combinatorial Theory 。 13年、 いいえ。 2 、1972年、 S. 95–98 、doi： 10.1016/0095-8956（72）90045-7 。
  5. ↑ Lovász、László： 完璧なグラフ 。の： アカデミックプレス 。 1983年、 S. 55–87 。
  6. ↑ マリア・チュドノフスキー、ニール・ロバートソン、ポール・シーモア、ロビン・トーマス： 強力な完全なグラフ定理 。の： 数学の年代記 。 164年目、 いいえ。 初め 、2006、 S. 51–229 、doi： 10.4007/Annals.2006.164.51 、arxiv： Math/0212070 （ Princeton.edu ）。

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