Base（トポロジ） – Speedylook Encyclopedia

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数学では、a ベース b トポロジカル空間の バツ トポロジーで t 、それはオープンのコレクションです t それは、トポロジのすべてのオープンを確認します t の要素の結合として表現できます b 。 [ 初め ] ​

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私たちは基地を言います 属 トポロジ t との要素に b それらを基本的なオープンと呼びます。トポロジーの多くの特性は、前述のトポロジを生成する基礎に基づいて声明に還元できるため、ベースは非常に有用です。

サブセットの任意のファミリーは、トポロジの先験的な基礎を形成するものではないため、一連の要件を満たす必要があります。

任意の組合に加えて、有限の交差点を使用して、任意のサブセットファミリーからトポロジを生成する別の方法があります。その場合、サブセットのファミリーは サブベース 。

定義の代替ベース [ 編集します ]

私たちはそれを言います b それはトポロジーの基礎です。オープンuに含まれるすべてのポイントpに対してのみ要素がある場合にのみ

b ∈ b ： p ∈ b ⊂ の {displaystyle binベータ：baubset u}バッテリー

と

b {displaystyle b}

トポロジーのオープンです。 [ 2 ] ​

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サブセットファミリーがベースを形成するための要件 [ 編集します ]

私たちはすでに、任意のサブカップルの家族がベースを形成しないとコメントしています。かどうかを判断するための基準があることは興味深いでしょう。

家族 b サブセットが空ではありません バツ 満たされた場合、それはいくつかのトポロジーの基礎を形成します。

  2. 交差点

トポロジーでは、a サブベース トポロジカル空間用 バツ トポロジーで t 、それはサブコレクションです b の t 生成します t 、その意味で t それは含む最小のトポロジーです b 。一部の著者は、わずかに異なる定義が使用されており、定義には他の同等の非常に有用な定式化があります。これらについては、以下で説明します。

意味 [ 編集します ]

海 バツ トポロジーのあるトポロジースペース t 。のサブベース t 通常、サブコレクションとして定義されます b の t これは、次の2つの同等の条件のいずれかを満たしています。

  1. サブコレクション b生成 トポロジ t 。この意味は t それは含む最小のトポロジーです b ：トポロジー の の バツ これにはaが含まれます b また含める必要があります t 。
  2. で構築されたオープンセットのコレクション バツ そして、の要素のすべての有限交差点 b 彼らはの基礎を形成します t 。これは、すべてのオープン間隔が空でないことを意味します t それはの有限の交差点の結合として書くことができます b 。

明示的に、ポイントが与えられます バツ 独自のオープンセットで u（xの近隣） 有限数のセットがあります s 初め 、…、 s n の b 、これらのセットの交差点に含まれるように バツ に含まれています の 。

（交差点の定義が空にならない場合、含める必要はないことに注意してください バツ 2番目の定義で）。

一部のサブコレクションの場合 s パーツPのセット（ バツ ）、持っている単一のトポロジーがあります s サブベースのように。特に、すべてのトポロジの交差点 バツ これにはaが含まれます s この状態を満たします。一般に、特定のトポロジに単一のサブベースはありません。

したがって、固定トポロジから始めて、このトポロジのサブバスを見つけることができ、P部品のセットの任意のサブコレクションから始めることもできます（ バツ ）そして、そのサブコレクションによって生成されたトポロジを形成します。上記の同等の定義のいずれかを自由に使用できます。確かに多くの場合、2つの条件のうちの1つは他の条件よりも有用です。

代替定義 [ 編集します ]

サブベースのわずかに異なる定義がある場合があります。 b カバーa バツ 。この場合、 バツ それはすべての{の結合であるために生成されたトポロジのオープンセットです b 私 } その間 b 私 変化します b 。これは、定義では空ではない交差点の使用について言及する混乱がないことを意味します。

ただし、この定義では、2つの以前の定義は必ずしも同等ではありません。言い換えれば、スペースがあります バツ トポロジーで t 、サブコレクションがあるように b の t 、 そのような t それは含む最小のトポロジーです b 、 どこ b カバーしません バツ まだ。実際には、それはまれな出来事です。 tを満たす空間のサブベース 初め このスペースのカバレッジでなければなりません。

例 [ 編集します ]

実数の通常のトポロジ r フォームのいずれかのすべての開いた半微細間隔によって形成されたサブベースを持っています（−∞、 a ）o（ b 、∞）ここで a と b それらは実数です。一緒に交差点から通常のトポロジを生成します

（ a 、 b ）） = （ – ∞ 、 b ）） ∩ （ a 、 ∞ ）） {displaystyle（a、b）=（ – infty、b）cap（a、infty）}

ために a < b 通常のトポロジを生成します。 2番目のサブベースは、サブファミリーを取得することによって形成されます。 a と b 彼らは合理的です。 2番目のサブベースは、オープン間隔からも通常のトポロジを生成します（ a 、 b ）） a 、 b 合理的には、それらはユークリッドの通常のトポロジーの基礎です。

フォームのすべての開いた半微細間隔によって形成されたサブベース（-∞、 a ）、 どこ a これは実数であり、通常のトポロジを生成しません。結果として生じるトポロジーは、公理を満たしていません 初め 分離の、空ではない交差点を持つすべてのオープンセットから。

機能の家族によって定義された初期トポロジ f 私 ： バツ → と 私 、それぞれ と 私 トポロジーがあり、で最も厚いトポロジーです バツ 、それぞれのようなもの f 私 それは連続的です。連続性は、オープンセットの逆画像によって定義できるためです。これは、で最も弱いトポロジーを意味します バツ すべてを取ることが与えられています f 私 -1 （ の 私 ）、 どこ の 私 オープンセット全体で異なります と 私 、サブベースのように。

初期トポロジの2つの非常に重要な特別なケースは、製品のファミリーが製品から各要因への投影のセットである製品のトポロジーと、家族が1つの関数、包含関数で構成されているトポロジョサブスペースです。

の連続関数の空間におけるオープンコンパクトトポロジー バツ a と 関数のセットはサブベースです

どこ k それはコンパクトな空間です の 開いています と 。

参照と寸法 [ 編集します ]

  1. ↑ Kuratowsky：セットとトポロジー理論の紹介
  2. ↑ トポロジ2番目。エディションJames R. Munkress

literatura auxior [ 編集します ]

  • Dugundji、J。 トポロジー 、McGraw-Hill Companies、1966。ISBN0-697-06889-7 （CapítutulusIII）
  • スティーブン・ウィラード、 一般的なトポロジ 、（1970）Addison-Wesley Publishing Company、Reading Massachusetts。

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