バリゼ中心の座標-Wikipedia

Posted on March 1, 2021 by lordneo

before-content-x4

物理学とジオメトリ間の関係は、レバレッジ法の方程式を提供します。その後、質量の比率は

{displaystyle m_ {1}、m_ {2}}

バリア中心座座 （また 均質な核心座標 ）線形代数およびジオメトリでは、特定のルート、特定の三角形、特定の四面体、またはより一般的には特定のシンプレックスに関連するポイントの位置を説明するのに役立ちます。

ポイントのレベルの核心座標

{displaystyleS}

$S$ あなたは3つの質量の状況になることができます

{displaystyle m_ {1}、m_ {2}、m_ {3}}

${displaystyle m_{1},m_{2},m_{3}}$ 与えられた三角形の角にあるそれを紹介し、それらの焦点

after-content-x4

{displaystyleS}

$S$ IS（写真を参照）。それは条件にのみ依存するので、あなたは書きます

{displaystyle（m_ {1}：m_ {2}：m_ {3}）}

${displaystyle (m_{1}:m_{2}:m_{3})}$ 。すべての質量が同じ場合、そうです

{displaystyleS}

$S$ 三角形の幾何学的な焦点と、口径の座標があります

{displaystyle（1：1：1）}

${displaystyle (1:1:1)}$ 。口径の座標は、次の特性を通じて幾何学的な意味を受け取ります。1次元では、質量比は部分的な距離の比率（2番目の画像を参照）であり、2次元では、質量条件は部分的な三角形の表面条件です。

1827年にA. F.Möbiusによる彼の著書で初めてのバリゼン集座 Barechnurch Calcul 紹介された。 ^[初め]^[2]それらは均一な座標の特別なケースです。通常の均質な座標に大きな違いがあります。 B.レベルでは、方程式を通るリモートストレートの説明は

{displaystyle x_ {1}+x_ {2}+x_ {3} = 0}

$x_{1}+x_{2}+x_{3}=0$ それ以外の

{displaystyle x_ {3} = 0}

$x_{3}=0$ 。

三線の座標に加えて、バリーセンター座標は三角形のジオメトリに重要な役割を果たします。 CEVAの判決など、ルートの条件が関係している場合はどこでも、適切なツールです。しかし、ジオメトリだけでなく、コンピューター支援設計の領域でも、三角形のベジエ表面を生成するために使用されます。 ^[3]^[4]

Table of Contents

意味 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

なれ

{displaystyle mathbf {x} _ {1}、dotsc、mathbf {x} _ {n}}

${displaystyle mathbf {x} _{1},dotsc ,mathbf {x} _{n}}$ コーナーのローカルベクター

{displaystyle x_ {1}、dotsc、x_ {n}}

$X_1, dotsc, X_n$ アフィンルームの1つのシンプルです

{displaystyle {mathcal {a}}}

$mathcal A$ 。アフィンスペースには次元があります

{displaystyle n-1}

$n-1$ 。ポイントの場合

{displaystyle P：MathBF {p}}

${displaystyle P:mathbf {p} }$ の

{displaystyle {mathcal {a}}}

$mathcal A$ 支払い

{displaystyle; a_ {1}、dotsc、a_ {n}}

${displaystyle ;a_{1},dotsc ,a_{n}}$ その合計はゼロではなく、方程式を与えます

（g）

{displaystyle quad（a_ {1} +dotsb +a_ {n}）mathbf {p} = a_ {1}、mathbf {x} _ {1} +dotsb +a_ {n}、mathbf {x} _ {n}、}、}

充実した、と言います

{displaystyle a_ {1}、dotsc、a_ {n}}

$a_1, dotsc, a_n$ それは バリア中心座座 ポイント

{displaystyle p}

$P$ ポイントに関して

{displaystyle x_ {1}、dotsc x_ {n}}

${displaystyle X_{1},dotsc X_{n}}$ と書いています

{displaystyle p =（a_ {1}：dotsc：a_ {n}）}

${displaystyle P=(a_{1}:dotsc :a_{n})}$ 。明らかに角に適用されます

{displaystyle; x_ {1} =（1：0：0：ldots：0）、; x_ {2} =（0：1：0dotsc：0）dotsc、; x_ {n} =（0：0：0：0：0）;}}

バリア中心の座標は明確ではありません：それぞれのためです

{displaystyle lambda}

$lambda$ また、多くのゼロについて説明します

{displaystyle（lambda a_ {1}：dotsc：lambda a_ {n}）}

${displaystyle (lambda a_{1}:dotsc :lambda a_{n})}$ ポイント

{displaystyle p}

$P$ 。言い換えれば、座標の条件のみが不可欠です。スペルはこのプロパティにある必要があります

{displaystyle：}

$:$ 覚えて。 Bary Centered Coordinatesは、の均一な座標として使用できます

{displaystyle（n-1）}

$(n-1)$ – 次元射影空間

{displaystyle {mathcal {p}}}

$mathcal P$ アフィンルームから取り出します

{displaystyle {mathcal {a}}}

$mathcal A$ 部分はです。のポイントです

{displaystyle {mathcal {a}}}

$mathcal A$ のポイント

{displaystyle {mathcal {p}}}

$mathcal P$ 、 いいえ 方程式で

{displaystyle; a_ {1} +dotsb +a_ {n} = 0;}

${displaystyle ;a_{1}+dotsb +a_{n}=0;}$ 特定のハイパーベール（リモートハイパーテイクレベル）です。

方程式 （g） 通常の形にある方程式の均一な線形システムです

（g ‘）

{displaystyle quad a_ {1}（mathbf {p} -mathbf {x} _ {1}） +dotsb +a_ {n mathbf {p} -mathbf {x} _ {n}）= mathbf {}}}}

かきましょう。

座標に会います

{displaystyle a_ {1}、dotsc a_ {n}}

${displaystyle a_{1},dotsc a_{n}}$ 加えて 標準化条件

（n）

{displaystyle quad a_ {1} +dotsb +a_ {n} = 1、}

だから人は話します 標準化された核心座標。 この場合、数字はです

{displaystyle a_ {1}、dots、a_ {n}}

$a_{1},dots ,a_{n}$ 明らかに 決定（以下を参照）とできます

{displaystyle p}

$P$ （元のまっすぐ）アフィンポイントとしても

{displaystyle（a_ {1}、dots、a_ {n}）}

${displaystyle (a_{1},dots ,a_{n})}$ Hypereneath Desk

{displaystyle mathbb {r} ^{n}}

$mathbb {R} ^{n}$ 方程式で

{displaystyle a_ {1} +dots +a_ {n} = 1}

${displaystyle a_{1}+dots +a_{n}=1}$ 取った。
標準化を正式に確保するために、できます （n） 座標の後に溶解し、n-tupelに挿入します。 zを解く場合。 B.後

{displaystyle a_ {n}}

$a_{n}$ オン、結果

{displaystyle p =（a_ {1}：dots：1-a_ {1} -dots -a_ {n-1}）}

${displaystyle P=(a_{1}:dots :1-a_{1}-dots -a_{n-1})}$ 。

知らせ ：用語は均一に使用されません。多くの著者は、標準化条件が満たされている場合にのみ、バリー中心の座標について語っています。

標準化されたバリセントリック座標は、各個々のバリーセンター座標を座標の合計で除算することで簡単に決定できます。

特性 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

シンプレックスのポイント [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

座標が正の場合、ポイントはです

{displaystyle p}

$P$ の凸シェルで

{displaystyle x_ {1}、dotsc、x_ {n}}

${displaystyle X_{1},dotsc ,X_{n}}$ 、これらの礎石を備えたシンプレックスで。シンプレックスの礎石の合計としての凸シェル内の点の表現は アフィンの組み合わせ また バリーセンターの組み合わせ 呼び出されました。

マスセンター [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

切り替えから抜け出す方法

（s）

{displaystyle quad mathbf {p} = {frac {a_ {1} mathbf {x} _ {1} +dotsb +a_ {n} mathbf {x} _ {n}} {a_ {1} +dotsb +a_ {n}}}}}}}}}}}

定義方程式 （g） 見て、できます

{displaystyle p}

$P$ 大衆の配置の大衆の中心（バリーセンター）として

{displaystyle a_ {1}、dotsc、a_ {n}}

$a_1, dotsc, a_n$ 礎石で

{displaystyle x_ {1}、dotsc、x_ {n}}

$X_1, dotsc, X_n$ シンプレックスを取ります。これが用語の起源です バリーセンター。

の物理的意味

方程式 （g） ：焦点の総質量 ${displaystyle p}$
方程式 （g ‘） ：個々の大衆によって生成されたトルクの合計が焦点を合わせています ${displaystyle p}$

2つのポイントの中心 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

それは

{displaystyle（p_ {1}：dots：p_ {n}）、（q_ {1}：dots：q_ {n}）}

${displaystyle (p_{1}:dots :p_{n}),(q_{1}:dots :q_{n})}$ 標準化 （！）2つのポイントのバリーセンター表現

{displaysStyle P：MathBF {p}、q：mathbf {q}}。

${displaystyle P:mathbf {p} ,Q:mathbf {q} }$ 、次にセンター

{displaystyle M：{tfrac {1} {2}}（mathbf {p} +mathbf {q}）}

${displaystyle M:{tfrac {1}{2}}(mathbf {p} +mathbf {q} )}$ バリーセンターの表現

{displayStyle M = left（{frac {p_ {1}+q_ {1}} {2}}：dots：{frac {p_ {n}+q_ {n}} {2}} {2}} =（P_ {1}+Q_ {n}

存在、明確に標準化された座標 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

標準化された核心座標が明確に決定されます。なぜなら、あなたはそれを試してみるからです （g ‘） と （n） 1つの因子（n = 3）を除き、三角形の配向表面であり、3次元の場合（n = 4）四面体の配向容量であるため、Cramerルールの助けを借りて、式の反発性線形系は、分母の決定要因ではありません。

状態を離れる場合 （n） 再び落ちると、線形均一なシステムがあります （g ‘） 1次元ソリューション（上記の射影領域のポイント

{displaystyle {mathcal {p}}}

$mathcal P$ ）。大きい場合

{displaystyle n}

$n$ 適用されます。

ゼロポイントとスケーリングからの独立 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

バリセントリックな座標は、アフィン空間のランダムに選択されたゼロポイントからのものではないこと

{displaystyle {mathcal {a}}}

$mathcal A$ 去ると、ベクターのシフトが

{displaystyle mathbf {p}、mathbf {x} _ {1}、dots}

${displaystyle mathbf {p} ,mathbf {x} _{1},dots }$ 固定ベクトルへ

{displaystyle mathbf {v}}

${mathbf {v}}$ 定義方程式 （g） 変わらないままにします。同じことが均一なスケーリングにも当てはまります（固定係数を不均一に伴うベクターの乗算）。

例 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

レベルでは、シンプレックスは3ポイント（三角形）で構成されています。 H.そうです

{displaystyle n = 3}

$n=3$ そして、各ポイントには3つのバリア中心の座標があります。

{displaystyle p =（a_ {1}：a_ {2}：a_ {3}）}

${displaystyle P=(a_{1}:a_{2}:a_{3})}$ 。たとえば、三角形の幾何学的焦点にはバリーセンターの表現があります

{displaystyle; s =（1：1：1）;}

${displaystyle ;S=(1:1:1);}$ 、その理由は

{displaystyle; mathbf {s} = {tfrac {1} {3}}（mathbf {x} _ {1}+mathbf {x} _ {2}+mathbf {x} _ {3}）;}

${displaystyle ;mathbf {s} ={tfrac {1}{3}}(mathbf {x} _{1}+mathbf {x} _{2}+mathbf {x} _{3});.}$ 標準化された表現はです

{displaystyle; s =（{tfrac {1} {3}}：{tfrac {1} {3}}：{tfrac {1} {3}}）;。}

${displaystyle ;S=({tfrac {1}{3}}:{tfrac {1}{3}}:{tfrac {1}{3}});.}$

有利不利 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

例でわかるように、必須ポイントを使用できます。 B.均一かつ簡単に説明してください。計算の場合、特定の三角形の特別な（アフィン）座標を考慮に入れる必要はありません。次のセクションでは、アフィン座標をバリゼ集座標に変換する方法を示しています。ただし、バリゼ中心の座標の特定の不利な点は次のとおりです。それらは明確ではなく（非標準化されていない場合）、アフィン座標よりも常に1つの座標があります。

他の均一な座標との違い：例n = 3 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

通常、均質な座標が導入されているため、リモートは座標レベルを通過します。 B.スルー

{displaystyle a_ {3} = 0}

${displaystyle a_{3}=0}$ 説明されています。これには、関連するアフィンレベル（長い距離のポイントなしの射影レベル）を説明するアフィン座標への単純な接続が存在するという利点があります。

{displaystyle（a_ {1}、a_ {2}）=（a_ {1}：a_ {2}：1）}

${displaystyle (a_{1},a_{2})=(a_{1}:a_{2}:1)}$ 。ただし、座標軸に属する射影点が

{displaystyle（1：0：0）、（0：1：0）}

${displaystyle (1:0:0),(0:1:0)}$ アフィンポイントではありません。ポイントだけ

{displaystyle（0：0：1）}

${displaystyle (0:0:1)}$ アフィンポイントになります。バリゼ中心の座標は、アフィン座標とそのような簡単な関係はありません。このため、座標軸に対応するすべての射影点は

{displaystyle（1：0：0）、（0：1：0）、（0：0：1）}

${displaystyle (1:0:0),(0:1:0),(0:0:1)}$ アフィン領域では、長い距離ストレートは方程式を通過するため

{displaystyle a_ {1}+a_ {2}+a_ {3} = 0}

${displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}=0}$ 説明された。

焦点

{displaystyle x_ {s}}

${displaystyle X_{s}}$ 2つの質量

{displaystyle m_ {1}、m_ {2}}

$m_{1},m_{2}$ 上のもの

{displaystyle x}

$x$ – 場所の軸

{displaystyle x_ {1}、x_ {2}}

$x_{1},x_{2}$ 配置されている、場所はそうです

{displaystyle x_ {s}}

$x_{s}$ 、レバレッジ法（ パワー×パワーアーム=負荷×ロードアーム 、2番目の写真を参照）が満たされています。より正確には：トルクの合計がゼロの場合 ^[5]そしてそれで：

（g’2）

{displaystyle m_ {1}（x_ {s} -x_ {1}）+m_ {2}（x_ {s} -x_ {2}）= 0}

この方程式は同等です（セクションを参照してください意味））

（G2）

{displaystyle（m_ {1}+m_ {2}）x_ {s} = m_ {1} x_ {1}+m_ {2} x_ {2};。}

解決

{displaystyle x_ {s}}

$x_{s}$ 結果：

（S2）

{displaystyle x_ {s} = {frac {m_ {1} x_ {1}+m_ {2} x_ {2}} {m_ {1}+m_ {2}}}}}}

負の質量を許可する場合、例えばB.

{displaystyle m_ {1} = 1、m_ {2} = -1+ {tfrac {1} {n}}}}

${displaystyle m_{1}=1,m_{2}=-1+{tfrac {1}{n}}}$ 、これが結果です （G2） ために

{displaystyle nto infty}

$nto infty$ 総質量

{displaystyle m_ {1}+m_ {2} = 0}

${displaystyle m_{1}+m_{2}=0}$ と

{displaystyle x_ {s} = infty}

${displaystyle x_{s}=infty }$ 。

の解決策 （g’2） は

{displaystyle; m_ {1} = x_ {2} -x_ {s}、; m_ {2} = x_ {s} -x_ {1};}

${displaystyle ;m_{1}=x_{2}-x_{s},;m_{2}=x_{s}-x_{1};}$ 。すべてのソリューションはそれらの複数です。したがって、焦点はバリーセンターの表現にあります（セクションを参照してください意味））

経路の比率としてのバリゼ中心の座標

（B2）

{displaystyle; x_ {s} =（m_ {1}：m_ {2}）=（x_ {2} -x_ {s}：x_ {s} -x_ {1}）=（l_ {color {red} 2}：l_ {color {red} 1}}}

ある

{displaystyle; l_ {1} = x_ {s} -x_ {1}、l_ {2} = x_ {2} -x_ {s};。}

${displaystyle ;l_{1}=x_{s}-x_{1},;l_{2}=x_{2}-x_{s};.}$

直線（下）のバリー中心座標。ルートの中心

{displaystyle x_ {1}、x_ {2}}

バリーセンターのこの単純な接続とセクションの状況との接続は、三角形の幾何学におけるそれらの重要性の理由です。

声明 （B2） それは 教育率 §21、p。25、Möbiusの本。

標準化 バリア中心の座標もそうでなければなりません （g’2） 状態

（N2）

{displaystyle quad m_ {1}+m_ {2} = 1}

満たす。方程式で構成される方程式の不均一なシステムを解く場合 （g’2） 、 （N2） Cramerルールの助けを借りて、標準化された表現の結果

（NB2）

{displaystyle x_ {s} = left（{frac {x_ {2} -x_ {s}} {x_ {2} -x_ {1}}}}}}}} }} {l_ {1}+l_ {2}}}}}：{frac {l_ {1}} {l_ {1}+l_ {2}}}右）;。}}

例：中間点

{displaystyle {tfrac {x_ {1}+x_ {2}} {2}}}}}}

${displaystyle {tfrac {x_{1}+x_{2}}{2}}}$ ポイント

{displaystyle x_ {1}、x_ {2}}

$x_{1},x_{2}$ Bary Center座標があります

{displaystyle（1：1）}

${displaystyle (1:1)}$ 標準化された表現で

{displaystyle（{tfrac {1} {2}}：{tfrac {1} {2}}）;。}

${displaystyle ({tfrac {1}{2}}:{tfrac {1}{2}});.}$

座標の変換 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

三角形の角にあります

{displaystyle; x_ {1} =（x_ {1}、y_ {1}）、; x_ {2} =（x_ {2}、y_ {2}）、x_ {3} =（x_ {3}、y_ {3}）、;

${displaystyle ;X_{1}=(x_{1},y_{1}),;X_{2}=(x_{2},y_{2}),;X_{3}=(x_{3},y_{3}),;}$ 3つの質量

{displaystyle m_ {1}、m_ {2}、m_ {3}}

${displaystyle m_{1},m_{2},m_{3}}$ 配置されていると、座標軸の周りのトルクの平衡方程式は

（G’3）

{displaystyle quad {begin {array} {r} m_ {1}（x_ {s} -x_ {1}）+m_ {2}（x_ {s} -x_ {2}）+m_ {3}（x_ {s} -x _ {3}）= 0 \ m_} {1}） ）+m_ {2}（y_ {s} -y_ {2}）+m_ {3}（y_ {s} -y_ {3}）= 0end {array}}}}

または形式で（参照してください意味））

（G3）

{displaystyle quad {begin {array} {c}（m_ {1}+m_ {2}+m_ {3}）x_ {s} = m_ {1} x_ {1}+m_ {2} x_ {2}+m_ {M_ {3} {3} {M_} {M_} {M_} }）y_ {s} = m_ {1} y_ {1}+m_ {2} y_ {2}+m_ {3} y_ {3} end {array}}}}

焦点は座標にあります

（S3）

{displaystyle quad {begin {array} {c} x_ {s} = displaystyle {frac {m_ {1} x_ {1}+m_ {2} x_ {2}+m_ {3} x_ {3}}} {m_ {3 {}+m_ {} {} {} {} {} {} {} {} {}} } = displaystyle {frac {m_ {1} y_ {1}+m_ {2} y_ {2}+m_ {3} y_ {3}} {m_ {1}+m_ {2}+m_ {3}}}}

特定のポイントのバリー中心座標

{displaystyle s =（{color {red} x_ {s}}、{color {red} y_ {s}}）}

${displaystyle S=({color {red}x_{s}},{color {red}y_{s}})}$ 、未定の均一なシステムを緩めることで得ます （G’3） 後

{displaystyle m_ {1}、m_ {2}、m_ {3}}

${displaystyle m_{1},m_{2},m_{3}}$ 。標準化方程式を取る場合

（N3）

{displaystyle quad m_ {1}+m_ {2}+m_ {3} = 1}

さらに、現在の不均一なLGSは明確であり、Cramerルールの助けを借りて解決できます。結果：

{displaystyle s =（x_ {s}、y_ {s}）、; x_ {i} =（x_ {i}、y_ {i}）}

（NB3）

{displaystyle qquad {begin {array} {l} m_ {1} = displaystyle {（x_ {2} – {color {red} x_ {s}}）（y_ {3} – {color {color {red} y_ {s}）-（x_} {x_} {x_} {s}）-（x_} {x_} （y_ {2} – {color {red} y_ {s}}）}} {（x_ {2} -x_ {1}）（y_ {3} -y_ {2}） – （y_ {2} -y_ {1}）（x_ {3} -x_ {2 {2}} {2}} {2} {2}} {（x_ {3} – {color {red} x_ {s}}）（y_ {1} – {color {red} y_ {s}}） – （x_ {1} – {color {red} x_ {s}}）（y_ {x} – {x}}}}} – {{2} – {{x}}}}}}}}}}}}} { x_ {1}）（y_ {3} -y_ {2}） – （y_ {2} -y_ {1}）（x_ {3} -x_ {2}）} \ m_ {3} = displaystyle {frac {（x_} {1} – {coler {} _} _} _ {} _ {} _ {} {} {} {{} {_} {_} {coler {{} {} {} {{} {} {} {} {} {} {} {{} _ {}） {red} y_ {s}}） – （x_ {2} – {color {red} x_ {s}}）（y_ {1} – {color {red} y_ {s}}）}}}} {（x_ {2} -x_ {1}） }）（x_ {3} -x_ {2}）}} \ end {array}}}}

一般的な分母は、三角形の二重領域、つまり不均一にゼロです。

なぜなら

{displaystyle m_ {1}+m_ {2}+m_ {3} = 1}

すべてのポイントをとして使用できます

{displaystyle 2Times 2}

（B3）

{displaystyle quad（m_ {1}：m_ {2}：m_ {3}）= {big（} left | {begin {array}} {l} x_ {2}！ – ！{color {red} x_ {s}}}＆x_ {3}！ {color {red} y_ {s}}＆y_ {3}！ – ！{color {red} y_ {s}} \ end {array}}右|：左| {begin {array} {l} x_ {3}！ {s}} \ y_ {3}！ – ！{color {red} y_ {s}}＆y_ {1}！ – ！{color {red} y_ {s}} \ end {array}}}}}}：let | {begin {array} {color {color} {color} {1} {1} {1}} {1} _ {2}！ – ！{color {red} x_ {s}} \ y_ {1}！ – ！{color {red} y_ {s}}＆y_ {2}！

すべての決定要因を掛けた場合

{displaystyle {tfrac {1} {2}}}

（BF3）

{displaystyle qquad（m_ {1}：m_ {2}：m_ {3}）=（delta _ {1}：delta _ {2}：delta _ {3}）}

声明 （BF3） それは 教育率 §23、p。26、Möbiusの本。

特別なケース：トライアングルの座標：

特別な右のアングルトライアングルの場合

{displaystyle; x_ {3} =（0,0）、x_ {1} =（1,0）、x_ {2} =（0,1）;}

${displaystyle ;X_{3}=(0,0),X_{1}=(1,0),X_{2}=(0,1);}$ 参照の三角形にはポイントがあります

{displaystyle（x、y）}

$(x,y)$ シンプルなバリーセンター座標

{displaystyle（x：y：1-x-y）}

${displaystyle (x:y:1-x-y)}$ 。

ストレート、交差点、平行性 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

ポイントで

{displaystyle x_ {1}、x_ {2}、x_ {3}}

コーナー 三角形の均一な座標

{displaystyle x_ {1} =（1！：！0！：！0）、; x_ {2} =（0！：！1！：！0）、; x_ {3} =（0！：！0！：！1）;}

{displaystyle a_ {1} m_ {1}+b_ {1} m_ {2}+c_ {1} m_ {3} = 0、}

{displaystyle a_ {2} m_ {1}+b_ {2} m_ {2}+c_ {2} m_ {3} = 0、}

{displaystyle a_ {3} m_ {1}+b_ {3} m_ {2}+c_ {3} m_ {3} = 0}

持っている 一緒にポイント、 もしも

{displaystyle qquad quad left | {begin {matrix} a_ {1}＆b_ {1}＆c_ {1} \ a_ {2}＆b_ {2}＆c_ {2} \ a_ {3}＆b_ {3}＆c_ {3} {3} end {matrix}}

${displaystyle qquad quad left|{begin{matrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\a_{2}&b_{2}&c_{2}\a_{3}&b_{3}&c_{3}end{matrix}}right|=0}$ 。

2つの直線 ${displaystyle; a_ {1} m_ {1}+b_ {1} m_ {2}+c_ {1} m_ {3} = 0、; a_ {2} m_ {1}+b_ {2} m_ {2}+c_ {2} m_ {3} = 0;}$

{displaystyle qquad quad左| {begin {matrix} a_ {1}＆b_ {1}＆c_ {1} \ a_ {2}＆b_ {2}＆c_ {2} \ 1＆1＆1＆1end {matrix}}右| = 0}

${displaystyle qquad quad left|{begin{matrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\a_{2}&b_{2}&c_{2}\1&1&1end{matrix}}right|=0}$ 。

3つのポイント ${displaystyle（m_ {1}：m_ {2}：m_ {3}）}$

{displaystyle qquad quad left | {begin {matrix} m_ {1}＆m_ {2}＆m_ {3} \ m ‘_ {1}＆m’ _ {2}＆m ‘_ {3} \ m’ ‘_ {1}＆m’ ‘_ {2}＆m {{2}’ _} ‘_ {{2}’ _ {3}＆m {{2} ‘_} = 0。}

${displaystyle qquad quad left|{begin{matrix}m_{1}&m_{2}&m_{3}\m'_{1}&m'_{2}&m'_{3}\m''_{1}&m''_{2}&m''_{3}end{matrix}}right|=0.}$

これにより、方程式が得られます ${displaystyle; am_ {1}+bm_ {2}+cm_ {3} = 0;}$

{displaystyle qquad quad left | {begin {matrix} m_ {1}＆m_ {2}＆m_ {3} \ u_ {1}＆u_ {2}＆u_ {3} \ v_ {1}＆v_ {2}＆v_ {3} End {matrix}} {3} = 0}

${displaystyle qquad quad left|{begin{matrix}m_{1}&m_{2}&m_{3}\u_{1}&u_{2}&u_{3}\v_{1}&v_{2}&v_{3}end{matrix}}right|=0}$

三線座標との関係 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

部分的な三角形の基本的な側面と高さ

表面用

{displaystyle delta _ {1}、delta _ {2}、delta _ {3}}

${displaystyle Delta _{1},Delta _{2},Delta _{3}}$ 部分的な三角形 （BF3） 適用可能です

{displaystyle delta _ {i} = {frac {1} {2}} s_ {i} d_ {i}}

${displaystyle Delta _{i}={frac {1}{2}}s_{i}d_{i}}$ 、それによって

{displaystyle s_ {i}、d_ {i}}

${displaystyle s_{i},d_{i}}$ 基本（三角形のページ）と部分三角形の高さは（写真を参照）です。適用されます

（BT3）

{displaystyle（m_ {1}：m_ {2}：m_ {3}）=（s_ {1} d_ {1}：s_ {2} d_ {2}：s_ {3} d_ {3}）、}

関係 （BT3） バリーセンター座標と三線座標の単純な接続を示しています

{displaystyle（d_ {1}：d_ {2}：d_ {3}）}

${displaystyle (d_{1}:d_{2}:d_{3})}$ ポイントの。正女の三角形の場合、バリーセンターと三線座標は同じです。長い距離ストレートには、バリゼ中心の座標の方程式があります

{displaystyle; m_ {1}+m_ {2}+m_ {3} = 0;}

${displaystyle ;m_{1}+m_{2}+m_{3}=0;}$ 。三線座標では、方程式はまだ辺の長さからです

{displaystyle s_ {i}}

$s_{i}$ 三角形の：

{displaystyle; s_ {1} d_ {1}+s_ {2} d_ {2}+s_ {3} d_ {3} = 0;。}

${displaystyle ;s_{1}d_{1}+s_{2}d_{2}+s_{3}d_{3}=0;.}$

特別なポイント、オイラーガレード [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

幾何学的なフォーカス

{displaystyleS}

$S$ すべての大衆が同じ場合、幾何学的な焦点です。したがって、彼のバリーセンターリング座標はそうです

{displaystyle;（1：1：1）;}

${displaystyle ;(1:1:1);.}$ なぜなら （BF3） と

{displaystyle delta = {tfrac {1} {2}} s_ {i} h_ {i};、; delta _ {i} = {tfrac {1} {2}} s_ {i} d_ {i}}}}

${displaystyle Delta ={tfrac {1}{2}}s_{i}h_{i};,;Delta _{i}={tfrac {1}{2}}s_{i}d_{i}}$ 適用可能です

{displaystyle quad delta _ {i} = {frac {1} {3}} delta quad}

（幾何学的焦点も参照してください。）

ストレートのパラメータープレゼンテーション

1つだけ2つのポイントを介して

{displaystyle a =（a_ {1}：a_ {2}：a_ {3}）、b =（b_ {1}：b_ {2}：b_ {3}）}

${displaystyle A=(a_{1}:a_{2}:a_{3}),B=(b_{1}:b_{2}:b_{3})}$ ポイントを用意しています

{displaystyle neq b}

${displaystyle neq B}$ 表現

{displaystyle x（t）= {big（} a_ {1}+tb_ {1}：a_ {2}+tb_ {2}：a_ {3}+tb_ {3} {big）}、tin mathbb {r};};}

コーナーの反対側の側面のポイントの投影

片側に投影します

ポイントを投影します

{displaystyle p =（mu _ {1}：mu _ {2}：mu _ {3}）}

${displaystyle P=(mu _{1}:mu _{2}:mu _{3})}$ 角から

{displaystyle x_ {3} =（0：0：1）}

${displaystyle X_{3}=(0:0:1)}$ 反対側から（これは現在方程式です

{displaystyle m_ {3} = 0}

${displaystyle m_{3}=0}$ ）、だからあなたはポイントを得る

{displaystyle y_ {3} =（mu _ {1}：mu _ {2}：0）}

${displaystyle Y_{3}=(mu _{1}:mu _{2}:0)}$ （画像を参照）。の座標です

{displaystyle p}

$P$ 標準化 、スプリット

{displaystyle p}

$P$ 距離

{displaystyle x_ {3} y_ {3}}

${displaystyle X_{3}Y_{3}}$ に関して

{displaystyle（1-mu _ {3}）：mu _ {3}}

${displaystyle (1-mu _{3}):mu _{3}}$ 。
zです。 B.幾何学的焦点のポイント

{displaystyleS}

$S$ 、それで彼は側の真ん中になります

{displaystyle s_ {3}}

$S_{3}$ ルートを投影して共有します

{displaystyle x_ {3} s_ {3}}

${displaystyle X_{3}S_{3}}$ に関して

{displaystyle 2：1}

$2:1$ 。

同じことが他のコーナーからの投影にも当てはまります。

サークルセンター、着信センターポイント

回路の中心と中心の中心へ：
三角形の面積含有量

{displaystyle x_ {1} x_ {2} x_ {3}}

三角形の地区には適用されます

{displaystyle d_ {i} = r}

${displaystyle d_{i}=r}$ （inkreisradius）、したがって（参照してください。 （BT3） ）回路の中心には、核心座標があります

{displaystyle（s_ {1}：s_ {2}：s_ {3}）}

${displaystyle (s_{1}:s_{2}:s_{3})}$ そして、

{displaystyle; delta = delta _ {1}+delta _ {2}+delta _ {3} = {tfrac {1} {2}}（s_ {1}+s_ {2}+s_ {3}）r;}+

${displaystyle ;Delta =Delta _{1}+Delta _{2}+Delta _{3}={tfrac {1}{2}}(s_{1}+s_{2}+s_{3})r;}$ 適用可能です

{displaystyle; r = {tfrac {2delta} {s_ {1}+s_ {2}+s_ {3}};。}}}

${displaystyle ;r={tfrac {2Delta }{s_{1}+s_{2}+s_{3}}};.}$ 副鼻腔セットの助けを借りて、角度を持つ表現も回路中心の結果として生じます。

{displaystyle i =（s_ {1}：s_ {2}：s_ {3}）=（sin varphi _ _ _ _ _ _ _

したがって

{displaystyle varphi _ {i}}

$varphi _{i}$ 角度

{displaystyle x_ {i}}

$X_{i}$ は。

Shopput コーナー

{displaystyle x_ {3}}

$X_{3}$ （真っ直ぐ

{displaystyle x_ {3} i}

${displaystyle X_{3}I}$ ）方程式があります

{displaystyle s_ {2} m_ {1} -s_ {1} m_ {2} = 0。}

彼女は側を切ります

{displaystyle x_ {1} x_ {2}}

${displaystyle X_{1}X_{2}}$ （方程式

{displaystyle m_ {3} = 0}

${displaystyle m_{3}=0}$ ）ポイントで

{displaystyle i_ {3} =（s_ {1}：s_ {2}：0）}

${displaystyle I_{3}=(s_{1}:s_{2}:0)}$ 。（

{displaystyle i_ {3}}

$I_{3}$ 投影としても可能です

{displaystyle i}

$I$ 側面上

{displaystyle x_ {1} x_ {2}}

${displaystyle X_{1}X_{2}}$ 閲覧されます。） （B2） 該当する：

{displaystyle | x_ {1} i_ {3} |：| x_ {2} i_ {3} | = s_ {2}：s_ {1}。}

これは三角形の角度の角です

{displaystyle x_ {1} x_ {2} x_ {3}}

${displaystyle X_{1}X_{2}X_{3}}$ 。

三角表面は方向付けられているため、缶です

{displaystyle delta _ {i}}

$Delta_i$ そしてそれもそれで

{displaystyle d_ {i}}

$d_{i}$ 負の値を受け入れるかどうか

{displaystyle p}

$P$ の同じ側に

{displaystyle s_ {i}}

$s_{i}$ 三角形の側面が角のようにあるのを聞いてください

{displaystyle x_ {i}}

$X_{i}$ か否か。円形の中心点でみんな

{displaystyle d_ {i}}

$d_{i}$ 同じサイン。センターセンターの場合、すべての距離には（回路ポイントと同様に）ヒント半径の長さがありますが、距離の1つには他の2つの異なる標識の1つがあります。これにより、入ってくるセンターポイントのバリーセンター表現が得られます。

{displaystyle a_ {1} =（ – s_ {1}：s_ {2}：s_ {3}）、quad a_ {2} =（s_ {1}： – s_ {2}：s_ {3}）、quad a_ {3} =（s_ {1}：s_ {3}

回路半径と同様に、円の半径があります。

{displaystyle r_ {1} = {frac {2delta} { – s_ {1}+s_ {2}+s_ {3}}}、quad r_ {2} = {frac {2delta} {s_ {1} -2 {{2} {} {3 {} {{1} {{1} {{1} {{1} {{1} {{1} {{1} {{1} {1} frac {2delta} {s_ {1}+s_ {2} -s_ {3}}}}}

ネイルポイント

三角形のメモのタッチポイントの場所の説明から、バリーセンターの表現を見ることができます。

{displaystyle b_ {1} =（0：s_ {1} -s_ {2}+s_ {3}：s_ {1}+s_ {2} -s_ {3}）、}

{displaystyle b_ {2} =（ – s_ {1}+s_ {2}+s_ {3}：0：s_ {1}+s_ {2} -s_ {3}）、}

{displaystyle b_ {3} =（ – s_ {1}+s_ {2}+s_ {3}：s_ {1} -s_ {2}+s_ {3}：0）。}}

{displaystyle b_ {i}}

$B_i$ 明らかにポイントの投影（上記を参照）です

{displaystyle n =（ – s_ {1}+s_ {2}+s_ {3}：s_ {1} -s_ {2}+s_ {3}：s_ {1}+s_ {2} -s_ {3}）}}

角から

{displaystyle x_ {i}}

$X_{i}$ 反対側から。つまり：

3つのストレート

{displaystyle {overline {x_ {1} b_ {1}}}、{overline {x_ {2} b_ {2}}}、{overline {x_ {3} b_ {3}}}}}}

ダイマトリックス

{displaystyle {begin {pmatrix} 0＆1＆1 \ 1＆0＆1 \ 1＆1＆0END {pmatrix}}}

幾何学的焦点の中心的拡張について説明します（バリゼ中心の座標）

{displaystyleS}

$S$ 要因で

{displayStyle -{tfrac {1} {2}}}

$-tfrac12$ （セクションSteiner-Ellipse、Steiner-Inllipseを参照）。あなたが形成します

{displaystyle n}

$N$ これにより、回路の中心を取得します

{displaystyle i}

$I$ 。これは：

ポイント

{displaystyle n、s、i}

回路ポイント

{displaystyleu}

回路ポイント

エリアの中心

{displaystyleu}

$U$ コーナーまで同じ距離があります

{displaystyle r}

$R$ 、半径。角度

{displaystyleu}

$U$ 部分三角形で

{displaystyle x_ {1}、x_ {2}、u}

${displaystyle X_{1},X_{2},U}$ 円形の角度が設定されているため、角度の2倍の大きさです

{displaystyle varphi _ {3}}

$varphi_3$ で

{displaystyle x_ {3}}

$X_{3}$ 。だからエリアはそうです

{displaystyle delta _ {3} = {tfrac {1} {2}} r^{2} sin 2varphi _ {3}}

${displaystyle Delta _{3}={tfrac {1}{2}}R^{2}sin 2varphi _{3}}$ 。同じことが当てはまります

{displaystyle delta _ {1}、delta _ {2}}

${displaystyle Delta _{1},Delta _{2}}$ 。これは、センタリングポイントのバリーセンター座標が

{displaystyle（sin 2varphi _ {1}：sin 2varphi _ {2}：sin 2varphi _ {3}）。}

out

{displaystyle; sin 2varphi _ {i} = 2sin varphi _ {i} cos varphi _ {i}、;

${displaystyle ;sin 2varphi _{i}=2sin varphi _{i}cos varphi _{i},;sin varphi _{i}={tfrac {s_{i}}{2R}};}$ そして、3つの角度のコジナーは、角度のない表現につながります

{displaystyle {big（} s_ {1}^{2}（ – s_ {1}^{2}+s_ {2}^{2}+s_ {3}^{2}）：s_ {2}^{2}（s_ {1}^{2}^{2}^{2}^{2}^{2}^{2}^{2}^{2}^{2}^{2}^{2}^{2}^ }）：s_ {3}^{2}（s_ {1}^{2}+s_ {2}^{2} -s_ {3}^{2}）{big）}。}}

高さの切断点

{displaystyle h}

高さの切断点

は

{displaystyle h =（m_ {1}：m_ {2}：m_ {3}）}

${displaystyle H=(m_{1}:m_{2}:m_{3})}$ 高さのカットポイント、そうです

{displaystyle p_ {3} =（m_ {1}：m_ {2}：0）}

${displaystyle P_{3}=(m_{1}:m_{2}:0)}$ 高さのベースポイント

{displaystyle h_ {3}}

$h_{3}$ （写真を参照）、適用されます

{displaystyle; tan varphi _ {1} = {tfrac}

${displaystyle ;tan varphi _{1}={tfrac {h_{3}}{|P_{3}X_{1}|}},;tan varphi _{2}={tfrac {h_{3}}{|P_{3}X_{2}|}};}$ なぜなら （B2） は

{displaystyle; tan varphi _ {1}：tan varphi _ {2} = | p_ {3} x_ {2} |：|

${displaystyle ;tan varphi _{1}:tan varphi _{2}=|P_{3}X_{2}|:|P_{3}X_{1}|=m_{1}:m_{2};.}$ 同様に、他の状況が発生します。これは、高さ-CUTポイントにバリーセンターの座標があることを意味します

{displaystyle（tan varphi _ {1}：tan varphi _ {2}：tan varphi _ _ _）。}

角度の場合

{displaystyle 90^{circ}}

$90^{circ }$ そうです。 B.

{displaystyle varphi _ {3} = 90^{circ}}

${displaystyle varphi _{3}=90^{circ }}$ 、そうです

{displaystyle h = x_ {3}}

${displaystyle H=X_{3}}$ 。

Spieker Point

三角形のスピーカーポイント

あなたがそれらを取るなら ページ

{displaystyle x_ {2} x_ {3}、x_ {3} x_ {1}、x_ {1} x_ {2}}

${displaystyle X_{2}X_{3},X_{3}X_{1},X_{1}X_{2}}$ 三角形

{displaystyle x_ {1} x_ {2} x_ {3}}

${displaystyle X_{1}X_{2}X_{3}}$ 質量と均等に、関連するエッジフォーカスはSpieker Pointと呼ばれます。（三角形のトウモロコシと面積の焦点は同一です：側面の側面の交差点。）ページの質量が焦点を合わせていると思うなら、中心

{displaystyle m_ {i}}

$M_{i}$ 集中して、Spieker Pointはそうです

{displaystyle {mathcal {s}} =（x_ {s}、y_ {s}）}

${displaystyle {mathcal {S}}=(x_{s},y_{s})}$ 三角形の焦点

{displaystyle m_ {1} m_ {2} m_ {3}}

${displaystyle M_{1}M_{2}M_{3}}$ サイドの長さで

{displaystyle s_ {1}、s_ {2}、s_ {3}}

${displaystyle s_{1},s_{2},s_{3}}$ 角の大量割り当てとして。 out

{displaystyle m_ {1} =（{tfrac {x_ {2}+x_ {3}} {2}}、{tfrac {y_ {2}+y_ {3}} {2}}、dots}

${displaystyle M_{1}=({tfrac {x_{2}+x_{3}}{2}},{tfrac {y_{2}+y_{3}}{2}}),dots }$ と （S3） フォロー：

{displaystyle x_{s}={frac {s_{1}{frac {x_{2}+x_{3}}{2}}+s_{2}{frac {x_{1}+x_{3}}{2}}+s_{3}{frac {x_{1}+x_{2}}{2}}}{s_{1}+s_{2}+s_{3}}}}

{displaystyle quad = {frac {（s_ {2}+s_ {3}）x_ {1}+（s_ {1}+s_ {3}）x_ {2}+（S_ {1}+s_ {2}）x_ {3}}}} {2（s_ {1}}}}}}}} 。}

Y座標は同様に結果をもたらします。

三角形の地区の中心としてのスピーカーポイント

{displaystyle m_ {1} m_ {2} m_ {3}}

このことから、Spieker Pointのバリア中心の座標を認識できます。

{displaystyle {mathcal {s}} =（s_ {2}+s_ {3}：s_ {1}+s_ {3}：s_ {1}+s_ {2}）。}}

の意味

${displaystyle {mathcal {s}}}$
${mathcal {S}}$ 三角形の場合
${displaystyle m_ {1} m_ {2} m_ {3}}$

${displaystyle M_{1}M_{2}M_{3}}$ ：
上記の考慮事項から（質量

{displaystyle s_ {i}}

$s_{i}$ ポイントで

{displaystyle m_ {i}}

$M_{i}$ ）のバリーセンターの表現に従います

{displaystyle {mathcal {s}}}

${mathcal {S}}$ （緑の）三角形について

{displaystyle m_ {1} m_ {2} m_ {3}}

${displaystyle M_{1}M_{2}M_{3}}$ ：

{displaystyle {mathcal {s}} =（s_ {1}：s_ {2}：s_ {3}）_ {m} = {big（} {tfrac {1}} {2}}：{tfrac {s_ {{2}} {{2}}}}} {{2}}}} {{2}}}} {2}} {big）} _ {m}}

と

{displaystyle {tfrac {s_ {i}} {2}}}

${displaystyle {tfrac {s_{i}}{2}}}$ ポイントの長さ

{displaystyle m_ {i}}

$M_{i}$ 反対側（緑）側です

{displaystyle {mathcal {s}}}

${mathcal {S}}$ 回路の中心=三角形の角度の交差点

{displaystyle m_ {1} m_ {2} m_ {3}}

${displaystyle M_{1}M_{2}M_{3}}$ （上記を参照）。このプロパティは、ポイントの可能性を提供します

{displaystyle {mathcal {s}}}

${mathcal {S}}$ 図面を決定する。

ourerized

三角形のオイラーライン

幾何学的焦点

{displaystyleS}

$S$ 、センター

{displaystyleu}

$U$ そして高さの切断点

{displaystyle h}

$H$ フクロウの直線に横たわってください。なぜなら、あなたはポイントでリードしているからです

{displaystyleS}

$S$ 拡張係数を備えた中央拡張

{displayStyle -{tfrac {1} {2}}}

$-{tfrac 12}$ スルー、各コーナーは反対側の側面の中央に表示されます（

{displaystyleS}

$S$ ページの各側が2：1の比率で分割され、高さが中間クラウンに表示されている場合。だから行きなさい

{displaystyle h}

$H$ の

{displaystyleu}

$U$ オーバーで、両方のポイントが共通のまっすぐに横たわっています

{displaystyleS}

$S$ 。周辺地域は、サイドマージン、Feuerbach地区を通って円に入ります。

{displaystyleu}

$U$ ）したがって、フクロウストレートにもあります。

バリーセンター座標のフクロウストレートの方程式（上記を参照）

{displaystyle left | {begin {matrix} m_ {1}＆m_ {2}＆m_ {3} \ 1＆1＆1＆1＆1＆1＆1＆1 =}

{displaystyle m_ {1}（sin 2varphi _ {3} -sin 2varphi _ {2}）+m_ {2}（sin 2varphi _ {1} i _ {1}）= 0}

またはドットを使用します

{displaystyle h}

$H$ ：

{displaystyle m_ {1}（tan varphi _ {3} -tan varphi _ {2}）+m_ {2}}）= 0.}

等側トライアングルにはフクロウストレートがありません

{displaystyle s = h = u}

${displaystyle S=H=U}$ は。

その三角形です等球、ただし正直ではありません。 B.

{displaystyle varphi _ {1} = varphi _ {2}}

${displaystyle varphi _{1}=varphi _{2}}$ 、したがって、オイラーガレードには方程式があります

{displaystyle; m_ {1} -m_ {2} = 0;}

${displaystyle ;m_{1}-m_{2}=0;}$ サイトの側面と同じです

{displaystyle x_ {3}}

$X_{3}$ 。次に、回路の中心も含まれます。

その三角形です 右 – 角 、z。 B.

{displaystyle varphi _ {3} = 90^{circ}}

${displaystyle varphi _{3}=90^{circ }}$ 、そうです

{displaystyle varphi _ {2} = 90^{circ} -varphi _ {1}; to; sin 2varphi _ _ _ _ _ _ = sin 2varphi _ {1}};

${displaystyle varphi _{2}=90^{circ }-varphi _{1};to ;sin 2varphi _{2}=sin 2varphi _{1}}$ そして、オイラーガレードには方程式があります

{displaystyle; m_ {1} -m_ {2} = 0;}

${displaystyle ;m_{1}-m_{2}=0;}$ そして、ハイポテノーゼの側面の側面です。

CEVAからセット [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

CEVAからセット

Pは三角形内のポイントです

{displaystyle x_ {1}、x_ {2}、x_ {3}}

${displaystyle X_{1},X_{2},X_{3}}$ と

{displaystyle p_ {i}}

$P_{i}$ ストレートの交点

{displaystyle {overline {px_ {i}}}}

${displaystyle {overline {PX_{i}}}}$ 側面で

{displaystyle x_ {j} x_ {k}}

${displaystyle X_{j}X_{k}}$ （写真を参照）、適用されます

{displaystyle {frac {| x_ {2} p_ {1} |} {| x_ {3} p_ {1} |}} cdot {frac {| X_ {3} |} {| x_ {2} p_ {3} |}} = 1;。}

証拠

バリア中心の座標のポイントで：

{displaystyle x_ {1} =（1：0：0）、; x_ {2} =（0：1：0）、; x_ {3} =（0：0：1）}

{displaystyle p =（m_ {1}：m_ {2}：m_ {3}）}

は

{displaystyle p_ {1} =（0：m_ {2}：m_ {3}）}

${displaystyle P_{1}=(0:m_{2}:m_{3})}$ （ご参照ください 特別なポイント ）。 out B2 あなたは得ます

{displaystyle | x_ {2} p_ {1} |：| x_ {3} p_ {1} | = m_ {3}：m_ {2};。}

${displaystyle |X_{2}P_{1}|:|X_{3}P_{1}|=m_{3}:m_{2};.}$ また、ポイントに対するこれらの考慮事項をリードする場合

{displaystyle p_ {2}、p_ {3}}

$P_2,P_3$ スルー、結果

{displaystyle {frac {| x_ {2} p_ {1} |} {| x_ {3} p_ {1} |}} cdot {frac {| X_ {3} |} {| x_ {2} p_ {3} |}} = {frac {m_ {3}} {m_ {2}}} cdot {frac {m_ {1}} {m_ {3}}}} cdot {m_ {2}}}}}}}}}}}

Steiner-Ellipse、Steiner-Inellipse [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

（任意の）三角形の角を通る明確に決定された楕円

{displaystyle x_ {1}、x_ {2}、x_ {3}}

${displaystyle X_{1},X_{2},X_{3}}$ 幾何学的焦点の焦点

{displaystyleS}

$S$ Steiner-Ellipseと呼ばれます。バリゼ中心の座標では、方程式によって行われます

（se）

{displaystyle quad m_ {1} m_ {2}+m_ {2} m_ {3}+m_ {3} m_ {1} = 0}

説明された。

6ポイントを確認するのは簡単です

{displaystyle x_ {1} =（1：0：0）、x_ {2} =（0：1：0）、x_ {3} =（0：0：1）、}

{displaystyle y_ {1} =（-1：2：2）、y_ {2} =（2：-1：2）、y_ {3} =（2：2：-1）;}

方程式 （se） 充実し、焦点を当てます

{displaystyle s =（1：1：1）}

${displaystyle S=(1:1:1)}$ センター（セクションを参照してください意味）カップル

{displaystyle x_ {i}、y_ {i}}

${displaystyle X_{i},Y_{i}}$ は。方程式 （se） だから、コーンの外ではない必要があります

{displaystyle {mathcal {k}}}

${displaystyle {mathcal {k}}}$ （楕円またはハイパーベルまたは放物線）説明。式から

{displaystyle m_ {1} m_ {2}+m_ {2} m_ {3}+m_ {3} m_ {1} = 0、quad m_ {1}+m_ {2}+m_ {3} = 0quad}}

{displaystyle 0 =（m_ {1}+m_ {2}+m_ {3}）^{2}}

{displaystyle = m_ {1}^{2}+m_ {2}^{2}+m_ {3}^{2} +2（m_ {1} m_ {2}+m_ {2} m_ {3}+m_ {3} m_ {1}}}

{displaystyle = m_ {1}^{2}+m_ {2}^{2}+m_ {3}^{2} neq 0。}

次のとおりです

{displaystyle {mathcal {k}}}

${displaystyle {mathcal {k}}}$ 長い距離ストレートと共通点はありません。 H.

{displaystyle {mathcal {k}}}

${displaystyle {mathcal {k}}}$ 楕円です。

ポイントでの反射

{displaystyleS}

$S$ 六角形を残します

{displaystyle x_ {1} x_ {2} x_ {3} y_ {1} y_ {2} y_ {3}}}

${displaystyle X_{1}X_{2}X_{3}Y_{1}Y_{2}Y_{3}}$ そして、それによって楕円の不変（楕円は5つのポイントによって明確に決定されます）。したがって、対称ポイントはそうです

{displaystyleS}

$S$ 楕円の中心。

センター以来

{displaystyle m_ {3}}

$M_{3}$ 腱

{displaystyle x_ {1} x_ {2}}

${displaystyle X_{1}X_{2}}$ 直径

{displaystyle x_ {3} y_ {3}}

${displaystyle X_{3}Y_{3}}$ 嘘、接線

{displaystyle x_ {3}}

$X_{3}$ と並行して

{displaystyle x_ {1} x_ {2}}

${displaystyle X_{1}X_{2}}$ be（楕円を参照）。
彼女には方程式があります

{displaystyle m_ {1}+m_ {2} = 0}

${displaystyle m_{1}+m_{2}=0}$ 。中央を通って接線に平行にカットします

{displaystyleS}

$S$ （彼女には方程式があります

{displaystyle m_ {1}+m_ {2} -2m_ {3} = 0}

${displaystyle m_{1}+m_{2}-2m_{3}=0}$ ）楕円で （se） あなたも2つを手に入れます

{displaystyle x_ {3}}

$X_{3}$ 共役点（Steiner-Ellipseを参照）

{displaystyle d_ {3} =（1- {sqrt {3}}：1+ {sqrt {3}}：1）、quad d ‘_ {3} =（1+ {3}}：1- {sqrt {3}}：1）。

同じことが他のコーナーの接線にも当てはまります。

Steiner-Inllipse（緑）

中央の拡張機能でシュタイナーエリプスを形成します

{displaystyle sigma}

$sigma$ 彼らの中心で

{displaystyleS}

$S$ 要因とともに

{displayStyle -{tfrac {1} {2}}}

$-{tfrac 12}$ そのため、同じセンターで楕円を取得します

{displaystyleS}

$S$ それは彼らの中央の三角形に触れます。これは、三角形のシュタイナーインリプスです。なぜなら

{displaystyle; m_ {1} =（0：1：1）、; m_ {2} =（1：0：1）、; m_ {3} =（1：1：0）;}

${displaystyle ;M_{1}=(0:1:1),;M_{2}=(1:0:1),;M_{3}=(1:1:0);}$ の画像マトリックスです

{displaystyle sigma}

$sigma$

{displaystyle {begin {pmatrix} 0＆1＆1 \ 1＆0＆1 \ 1＆1＆0END {pmatrix}}。}}

方程式を変換します （se） このマトリックスを備えたシュタイナーエリプスは、バリーセンター座標のシュタイナーインリプスの方程式になります。

（彼女）

{displaystyle quad m_ {1}^{2}+m_ {2}^{2}+m_ {3}^{2} -2（m_ {1} m_ {2}+m_ {2} m_ {3}+m_ {3} m_ {1} = 0。

（均一な）バリゼ中心の座標およびレベルの円として標準化されたバリゼ中心座標のコーンとしてのシュタイナー –

{displaystyle m_ {1}+m_ {2}+m_ {3} = 1}

3D表現

1）方程式を介して （se） 定義されたQuadrik

{displaystyle {mathcal {q}} _ {1}}

${displaystyle {mathcal {Q}}_{1}}$ の中に

{displaystyle mathbb {r} ^{3}}

$mathbb {R} ^{3}$ （いつものように） オルソゴナレン 座標軸は、座標軸とストレートを含む先端としてゼロポイントを持つまっすぐな円形コーンです

{displaystylet（1,1,1）^{t}}

${displaystyle t(1,1,1)^{T}}$ 軸としてあります。なぜなら、レベルの交差曲線のため

{displaystyle m_ {1}+m_ {2}+m_ {3} = 1}

${displaystyle m_{1}+m_{2}+m_{3}=1}$ 方程式のクワドリ （se） 適用可能です

{displaystyle 1 =（m_ {1}+m_ {2}+m_ {3}）^{2}}

{displaystyle = m_ {1}^{2}+m_ {2}^{2}+m_ {3}^{2} +2（m_ {1} m_ {2}+m_ {2} m_ {3}+m_ {3} m_ {1}}}

{displaystyle = m_ {1}^{2}+m_ {2}^{2}+m_ {3}^{2}。}

これは、交差点曲線がユニットボールの平らなカットであり、したがって円（写真の紫色）であることを意味します。

2）方程式のアナログ考慮事項 （彼女） 定義されたQuadrik

{displaystyle {mathcal {q}} _ {2}}

${displaystyle {mathcal {Q}}_{2}}$ 見せる：

{displaystyle {mathcal {q}} _ {2}}

${displaystyle {mathcal {Q}}_{2}}$ また、ゼロポイントが先端とストレートを持つまっすぐな円形コーンでもあります

{displaystylet（1,1,1）^{t}}

${displaystyle t(1,1,1)^{T}}$ 軸として。ベースサークルはレベルのカットです

{displaystyle m_ {1}+m_ {2}+m_ {3} = 1}

${displaystyle m_{1}+m_{2}+m_{3}=1}$ 小さなボールで

{displaystyle m_ {1}^{2}+m_ {2}^{2}+m_ {3}^{2} = {tfrac {1} {2}}}}

${displaystyle m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}={tfrac {1}{2}}}$ （写真の緑）。コーンを切ります

{displaystyle {mathcal {q}} _ {2}}

${displaystyle {mathcal {Q}}_{2}}$ 座標レベルで

{displaystyle m_ {1} = 0}

${displaystyle m_{1}=0}$ 、起源をまっすぐにします

{displaystylet（0,1,1）^{t}}

${displaystyle t(0,1,1)^{T}}$ 、d。 H.コーンは座標レベルに触れます。これは、他のレベルの座標にも適用されます。

3）in 標準化 鋭心性座標（つまり、平野で

{displaystyle m_ {1}+m_ {2}+m_ {3} = 1}

${displaystyle m_{1}+m_{2}+m_{3}=1}$ ）与えられた三角形が表示されます等側そして、シュタイナーエリップスはそれらのものです 回路と回路 。

4）設定 正統派はありません の座標

{displaystyle mathbb {r} ^{3}}

$mathbb {R} ^{3}$ 先に、次のもののみが適用されます。コーンは楕円形で、三角形は一般的で、円は楕円です。インコと接触関係が保存されます。

5）と同じように選択します バリーセンターではありません 均一な座標は、元のレベルであります

{displaystyle m_ {3} = 0}

${displaystyle m_{3}=0}$ 長い距離としてまっすぐになり、セット

{displaystyle x = {tfrac {m_ {1}} {m_ {3}}}、y = {tfrac {m_ {2}} {m_ {3}}}}}}

${displaystyle x={tfrac {m_{1}}{m_{3}}},y={tfrac {m_{2}}{m_{3}}}}$ 、これが方程式の説明方法です （se） アフィンエリア（

{displaystyle m_ {3} neq 0}

${displaystyle m_{3}neq 0}$ ）ハイパーベルをダイ

{displaystyle y = {tfrac {1} {x+1}} -1}

${displaystyle y={tfrac {1}{x+1}}-1}$ 。この場合、ポイントは次のとおりです

{displaystyle（1：0：0）、（0：1：0）}

${displaystyle (1:0:0),(0:1:0)}$ シダは、漸近線の長い距離ポイントをポイントします。の中に

{displaystyle mathbb {r} ^{3}}

$mathbb {R} ^{3}$ あなたは詐欺の交差点としてハイパーベルになれますか

{displaystyle {mathcal {q}} _ {1}}

${displaystyle {mathcal {Q}}_{1}}$ レベルで

{displaystyle m_ {3} = 1}

${displaystyle m_{3}=1}$ 導入。

6）参照：inellipse。

計算とプロパティ [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

3次元空間では、シンプレックスは角のある四面体です

{displaystyle mathbf {x} _ {1}、mathbf {x} _ {2}、mathbf {x} _ {3}、mathbf {x} _ {4}}

${displaystyle mathbf {x} _{1},mathbf {x} _{2},mathbf {x} _{3},mathbf {x} _{4}}$ 。ポイントのバリーセンター座標に

{displaystyle mathbf {p}}

$mathbf{p}$ 2次元の場合（三角形）、均一な線形方程式システムに類似した、与えられた四面体の決定（セクションを参照意味））

（g’4）

{displaystyle quad a_ {1}（mathbf {x} _ {1} -mathbf {p}）+a_ {2}（mathbf {x} _ {2} -mathbf {p}）+a_ {3}（mathbf {x} _ {3} {3} {3} {3} {3} {3} {3} {3} {3} {3} {3} {3} {3}） f {x} _ {4}

ために

{displaystyle a_ {1}、a_ {2}、a_ {3}、a_ {4}}

${displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}}$ 解決。フラットケースのように、標準化方程式もここに追加されています

{displaystyle a_ {1}+a_ {2}+a_ {3}+a_ {4} = 1}

${displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=1}$ さらに、Cramerルールの助けを借りてLGSを解決します。略語で

{displaystyle v_ {1} = {frac {1} {6}} det（mathbf {x} _ {2} -mathbf {p}、mathbf {x} _ {3} -mathbf {p}、mathbf {x} _ {4} {4} {4} {4} {4} {4} {4} {4} {4} {4} {4}） p}、mathbf {x} _ {4} -mathbf {p}、mathbf {x} _ {1} -mathbf {p}）、}

{displaystyle v_ {3} = {frac {1} {6}} det（mathbf {x} _ {4} -mathbf {p}、mathbf {x} _ {1} -mathbf {p}、mathbf {x} _ {2} {2m_bf} {2} {2} {2} {2} {2}） p}、mathbf {x} _ {2} -mathbf {p}、mathbf {x} _ {3} -mathbf {p}）}

四面体に関するバリゼ中心の座標（部屋）

あなたはバリア中心の座標を得ることができます

{displaystyle mathbf {p}}

$mathbf{p}$ ：

（BV4）

{displaystyle（a_ {1}：a_ {2}：a_ {3}：a_ {4}）=（v_ {1}：v_ {2}：v_ {3}：v_ {4}）}

ある

{displaystyle v_ {i}}

$V_{i}$ 与えられた四面体から生じるディビッドトラヘドロンの量

{displaystyle mathbf {x} _ {i}}

${mathbf {x}}_{i}$ 終えた

{displaystyle mathbf {p}}

$mathbf{p}$ 交換（写真を参照）。

声明 （BV4） それは 教育率 §25、p。28、Möbiusの本。

は

{displaystyle delta _ {i}}

$Delta_i$ ベースエリア（四面体の側面エリア）と

{displaystyle d_ {i}}

$d_{i}$ の高さ

{displaystyle i}

$i$ -Divertraedersを入手するので、適用されます

{displaystyle v_ {i} = {tfrac {1} {3}} delta _ {i} d_ {i}}

${displaystyle V_{i}={tfrac {1}{3}}Delta _{i}d_{i}}$ と

${displayStyle（a_ {1}：a_ {2}：a_ {3}：a_ {4}）=（delta _ {1} d_ {1}：delta _ {2} d_ {2}：delta _ {3} d_ {{4 {4} d_ {4} d_ {4} d_ {4}$

特別なポイント [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

幾何学的なフォーカス

幾何学的な焦点はです

{displaystyle（1：1：1：1）}

${displaystyle (1:1:1:1)}$ 。そうです

{displaystyle v_ {i} = {frac {1} {3}} delta _ {i} d_ {i} = {frac {1}}}} v = {frac {1}}}}}} {frac {1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

したがって

{displaystyle v}

$V$ 与えられた四面体のボリュームと

{displaystyle h_ {i}}

$h_i$ の高さ

{displaystyle i}

$i$ – それ以上のポイント

{displaystyle i}

$i$ – テンサイドトライアングル（写真を参照）。したがって、以下が適用されます。

{displaystyle d_ {i} = {frac {h_ {i}} {4}}}}}

（レベルの場合の対応するステートメントを比較してください。）

インクマー媒体

inhugelの中心はそうです

{displaystyle d_ {i} = r}

${displaystyle d_{i}=r}$ （インクの半径）

{displaystyle（a_ {1}：a_ {2}：a_ {3}：a_ {4}）=（delta _ {1}：delta _ {2}：delta _ {3}：delta _ {4}）}}

{displaystyle r = {frac {3v} {delta _ {1}+delta _ {2}+delta _ {3}+delta _ {4}}};、}

したがって

{displaystyle v = v_ {1}+v_ {2}+v_ {3}+v_ {4}}}}}

${displaystyle V=V_{1}+V_{2}+V_{3}+V_{4}}$ 与えられた四面体の体積はです。

座標レベルへのポイントの投影

フラットケース（上記参照）に類似しているのは、ポイントの投影です

{displaystyle p =（alpha _ {1}：alpha _ {2}：alpha _ {3}：alpha _ {4}）}

${displaystyle P=(alpha _{1}:alpha _{2}:alpha _{3}:alpha _{4})}$ から

{displaystyle x_ {1} =（1：0：0：0）}

${displaystyle X_{1}=(1:0:0:0)}$ 反対のレベルから

{displaystyle x_ {2}、x_ {3}、x_ {4}}

${displaystyle X_{2},X_{3},X_{4}}$ （彼女には方程式があります

{displaystyle a_ {1} = 0}

${displaystyle a_{1}=0}$ ））））
ポイント

{displaystyle; y_ {1} =（0：alpha _ {2}：alpha _ {3}：alpha _ {4}）;}

${displaystyle ;Y_{1}=(0:alpha _{2}:alpha _{3}:alpha _{4});}$ 。の座標の場合

{displaystyle p}

$P$ 標準化 共有

{displaystyle p}

$P$ 距離

{displaystyle x_ {1} y_ {1}}

${displaystyle X_{1}Y_{1}}$ に関して

{displaystyle（1-alpha _ {1}）：alpha _ {1}}

${displaystyle (1-alpha _{1}):alpha _{1}}$ 。他の3つの投影にも同じことが当てはまります。

コマンドーノ文 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

{displaystyleS}

幾何学的な焦点を投影します

{displaystyle s =（1：1：1：1）}

${displaystyle S=(1:1:1:1)}$ から

{displaystyle x_ {1} =（1：0：0：0）}

${displaystyle X_{1}=(1:0:0:0)}$ 方程式のある反対のレベルから

{displaystyle a_ {1} = 0}

${displaystyle a_{1}=0}$ 、焦点を当てます

{displaystyle s_ {1} =（0：1：1：1）}

${displaystyle S_{1}=(0:1:1:1)}$ 三角形の

{displaystyle x_ {2} x_ {3} x_ {4}}

${displaystyle X_{2}X_{3}X_{4}}$ 。同じことが他の投影にも当てはまります

{displaystyleS}

$S$ 。そのため、適用されます（前のセクションを参照）：

ちょうど角の通り

{displaystyle x_ {i}}

これは コマンドーノ文 。

四面体のポイントを通る双曲線 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

単一の双曲体上の四面体

単一の双曲線は、2つの群衆の直線を含む四重鉄です。適切な均一な座標では、方程式を通じてそれを行うことができます

（h）

{displaystyle quad a_ {1} a_ {3} -a_ {2} a_ {4} = 0}

説明 ^[6]（摂取双曲線を参照）。双曲線にはポイントが含まれています

{displaystyle x_ {1} =（1：0：0：0）、; x_ {2} =（0：1：0：0）、}

{displaystyle x_ {3} =（0：0：1：0）、; x_ {4} =（0：0：0：1）。}

それは簡単に計算されます

（pH）

{displaystyle quad p（u、v）= {big（}（1-u）（1-v）：u（1-v）：uv：（1-u）v {big）}}

双曲線のパラメーター表現はです。以下が適用されます。

{displaystyle x_ {1} = p（0,0）、x_ {2} = p（1,0）、x_ {3} = p（1,1）、x_ {4} = p（0,1）}

{displaystyle s =（1：1：1：1）= p（{tfrac {1} {2}}、{tfrac {1} {2}}）。}}

パラメーター行（

{displaystyleu}

$u$ = constまたは

{displaystyle v}

$v$ = const）はまっすぐです。バリア中心座座標の合計は常に

{displaystyle1}

$1$ ただし、レベル上の双曲線のポイント

{displaystyle a_ {1}+a_ {2}+a_ {3}+a_ {4} = 0}

${displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=0}$ 記録されていません。これは、Bary Centerの導入の場合は不利ではありません。

要約します

{displaystyle a_ {1}、a_ {2}、a_ {3}、a_ {4}}

${displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}}$ いつ バリーセンター 座標、ポイントに対応します

{displaystyle x_ {1}、x_ {2}、x_ {3}、x_ {4}}

${displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}}$ 双曲線上の四面体（アフィンルーム）の角

{displaystyle {mathcal {h}}}

${mathcal {H}}$ 、それはストレートです

{displaystyle {overline {x_ {1} x_ {2}}}、{overline {x_ {2} x_ {3}}}、{overline {x_ {3} x_ {4}}}、{anuverline {x_ {4} x_ {1}}}}}}

${displaystyle {overline {X_{1}X_{2}}},{overline {X_{2}X_{3}}},{overline {X_{3}X_{4}}},{overline {X_{4}X_{1}}}}$ 含む（写真を参照）。 2つのストレート

{displaystyle {overline {x_ {2} x_ {4}}}、{overline {x_ {1} x_ {3}}}}}

${displaystyle {overline {X_{2}X_{4}}},{overline {X_{1}X_{3}}}}$ 双曲線にはありません！標準化されたバリアン中心座標をアフィン座標に計算した場合（参照 （s） セクションで意味）、あなたは アフィンパラメーター表現 双曲線：

（aph）

{displaystyle quad mathbf {p}（u、v）=（1-u）（1-v）mathbf {x} _ {1}+u（1-v）mathbf {x} _ {2}+uvmathbf {x} _ {3}+（1-u）vmathbf

これは双曲線ASの表現です 双線形補間エリア きらめく広場の

{displaystyle x_ {1}、x_ {2}、x_ {3}、x_ {4}}

${displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}}$ 。

特性

双曲線にはリモートレベルがあります

{displaystyle a_ {1}+a_ {2}+a_ {3}+a_ {4} = 0}

${displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=0}$ ポイントの2つ

{displaystyle a =（1：-1：1：-1）}

${displaystyle A=(1:-1:1:-1)}$ 直線を切る

{displaystyle g_ {1}：a_ {1}+a_ {2} = 0、; a_ {3}+a_ {4} = 0、}

{displaystyle g_ {2}：a_ {2}+a_ {3} = 0、; a_ {1}+a_ {4} = 0;}

一緒に、したがってaffinです

双曲線放物線。（したがって、上記の写真は射影的に理解されるべきです。）
遠いレベルはポイントの接線レベルです ${displaystyle a}$
焦点 ${displaystyle s =（1：1：1：1）：{tfrac {1} {4} {4}}（mathbf {x} _ {1}+mathbf {x} _ {2}+mathbf {x} _ {3}+mathbf {x} _ {4}）}}$

座標軸の上の点を備えた四面体の角を通る四頭岩の双曲線パラボロイド（射影インテリジェント双列のアフィナー部分）

真っ直ぐ

{displaystyle; g_ {3}：a_ {1} -a_ {3} = 0、; a_ {2} -a_ {4} = 0;}

${displaystyle ;g_{3}:a_{1}-a_{3}=0,;a_{2}-a_{4}=0;}$ センターを通過します

{displaystyle m_ {13} =（1：0：1：0）、; m_ {24} =（0：1：0：1）}

${displaystyle M_{13}=(1:0:1:0),;M_{24}=(0:1:0:1)}$ そこにはテトレインの端があります

{displaystyle x_ {1} x_ {3}}

${displaystyle X_{1}X_{3}}$ また。

{displaystyle x_ {2} x_ {4}}

${displaystyle X_{2}X_{4}}$ そして、長い距離を通ります

{displaystyle a =（1：-1：1：-1）}

${displaystyle A=(1:-1:1:-1)}$ 。これはaffinを意味します：

双曲線のパラボロイド上のパラベルの軸はすべて直線に平行です ${displaystyle g_ {3}}$

例

写真は、の例を示しています

{displaystyle mathbf {x} _ {1} =（1,0,0）^{t} ,; mathbf {x} _ {2} =（0,1,0）^{t}、;}

{displaystyle mathbf {x} _ {3} =（0,0,1）^{t}

パラメーター表現は次のとおりです

{displaystyle mathbf {p}（u、v）= {big（}（1-u）（1-u）、u（1-v）、uv {big）}^{t}。}

バリア中心座座

{displaystyle（a_ {1}、dotsc、a_ {n}）}

${displaystyle (a_{1},dotsc ,a_{n})}$ シンプレックスの代わりにポリトップを参照して定義されています 一般化されたバリーセンター座標 呼び出されました。ここでは、方程式がまだ必要です

{displaystyle（a_ {1} +dotsb +a_ {n}）mathbf {p} = a_ {1}、mathbf {x} _ {1} +dotsb +a_ {n}、mathbf {x}} _ {n}}}}}

それによって満たされます

{displaystyle mathbf {x} _ {1}、dotsc、mathbf {x} _ {n}}

${displaystyle mathbf {x} _{1},dotsc ,mathbf {x} _{n}}$ 与えられたポリトップの礎石です。したがって、定義は正式に変更されていませんが、シンプレックスは

{displaystyle n}

$n$ 少なくとも寸法があるベクトルルームのコーナーポイント

{displaystyle n-1}

$n-1$ 封じ込められていますが、ポリトープは低寸法のベクトルに埋め込むこともできます。最も単純な例は、レベルの正方形です。結果として、ポリトップの標準化された一般化された核心座標でさえ、一般に明確に決定されていませんが、これはシンプレックスを参照した標準化されたバリゼ中心座座標の場合です。

一般化された核心座標は、特にコンピューターグラフィックスおよび幾何学モデリングで使用されます。そこでは、3つの次元オブジェクトをPolyhedraによって近似することが多いため、一般化されたバリーセンター座標は幾何学的な意味を持ち、これらのオブジェクトのさらなる処理を促進します。

補間手順は、いくつかの変数の関数の線形補間を一般化する核心座標に基づいています。

関数の場合

{displaystyle f}

$f$ 2つの変数の

{displaystyle x}

$x$ と

{displaystyle y}

$y$ 3つのポイントです

{displaystyle a（x_ {a}、y_ {a}）}

$A(x_A,y_A)$ 、

{displaystyle b（x_ {b}、y_ {b}）}

$B(x_B,y_B)$ と

{displaystyle c（x_ {c}、y_ {c}）}

$C(x_C,y_C)$ 与えられた機能値。そうすることで

{displaystyle a}

$A$ 、

{displaystyle b}

$B$ と

{displaystyle c}

$C$ 直線ではありません。したがって、あなたは三角形をしなければなりません

{displaystyle abc}

$ABC$ 留め金。今ではどんなポイントです

{displaystyle（x、y）}

$(x,y)$ 与えられた、あなたは定義します

{displaystyle f（x、y）= a、f（x_ {a}、y_ {a}）+b、f（x_ {b}、y_ {b}）+c、f（x_ {c}、y_ {c}）}

したがって

{displaystyle（a、b、c）}

$(a,b,c)$ の標準化されたバリア中心座座標

{displaystyle（x、y）}

$(x,y)$ それは。この補間は、三角形の外側のポイントでも機能します。

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バリゼ中心の座標-Wikipedia

意味 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

特性 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

シンプレックスのポイント [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

マスセンター [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

2つのポイントの中心 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

存在、明確に標準化された座標 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

ゼロポイントとスケーリングからの独立 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

例 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

有利不利 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

他の均一な座標との違い：例n = 3 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

座標の変換 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

ストレート、交差点、平行性 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

三線座標との関係 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

特別なポイント、オイラーガレード [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

CEVAからセット [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

Steiner-Ellipse、Steiner-Inellipse [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

計算とプロパティ [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

特別なポイント [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

コマンドーノ文 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

四面体のポイントを通る双曲線 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

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