ハーモニシュ・レイヘ – ウィキペディア

調和のとれたシリーズ 手足を合計することによって数学のシリーズです

${displaystyle 1、{tfrac {1} {2}}、{tfrac {1} {3}}、{tfrac {1} {4}}、{tfrac {1} {5}}、dotc}}$

調和のとれたシーケンスが発生します。あなたの部分的な金額もそうです 調和のとれた数 呼び出されました。これらは、たとえば、組み合わせの質問で使用され、オイラーマシェーニ定数と密接に関連しています

${displaystyleガンマ}$

。調和のとれたエピソードはゼロシーケンスですが、調和のとれたシリーズは発散しています。

${displaystyle n}$

-te partialsumme

${displaystyle h_ {n}}$

調和のとれたシリーズは呼ばれます

${displaystyle n}$

-e調和の数：

after-content-x4

${displaystyle h_ {n}：= sum _ {k = 1}^{n} {frac {1} {k}} = 1+ {frac {1} {2}}+{frac {1} {3}}+{frac {1} {1} {1} {1} {1} {1} {1}} {1} {1} {1} {1} {4}} {4}} {4}} {4}}$

調和のとれたシリーズは、特別なケースです 一般的な調和のとれたシリーズ サマンドで

${displaystyle 1/k^{alpha}}$

、ここで

${displaystyle alpha = 1}$

、 下記参照。

すべてのメンバーのために、調和のとれたシリーズという名前が選ばれました

${displaystyle a_ {k} = {tfrac {1} {k}}}$

調和のとれた手段

${displaystyle m_ {h}}$

2人の隣接するメンバーは次のとおりです。

${displaystyle m_ {text {h}}（a_ {k-1}、a_ {k+1}）= {frac {2} {{frac {1} {a_ {k-1}}}}+{frac {1}} {a_ {k+1}}}}}}}}}} = a_ {k}}}$

最初の部分合計の値 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

${displayStyle {begin {matrix} h_ {1}＆=＆1 \\ h_ {2}＆=＆{frac {3} {2}}}}}}＆1 {、} 4}＆=＆{frac {25} {12}}＆=＆2 {、} 08 {オーバーライン{3}} \\ h_ {5}＆=＆{frac {137} {60}}}＆=＆=＆2 {、} 28 {overline } h_ {6}＆=＆{frac {49} {20} {20}}＆=＆2 {、} 45 \\ h_ {7}＆=＆{frac {363} {140}}＆=＆2 {、} 59 {anuverline 0}}＆=＆2 {、} 717 {overline {857142}} \\ h_ {9}＆=＆{frac {7129} {2520}}＆=＆2 {、} 828 {anuverline {968253}}} \ \ h_ {{frac}} \ \ \ \ \ H_ }}＆=＆2 {、} 928 {overline {968253}} \\ end {matrix}}}}$

の分母

${displaystyle h_ {n}}$

すべての素数の効力を介しています

${displaystyle p^{k}}$

と

${displaystyle n/2$

分裂可能なので、

${displaystyle 2^{k}}$

と

${displaystyle 2^{k} leq n}$

そしてために

${displaystyle n> 2}$

${displaystyle h_ {n}}$

ために

${displaystyle n> 1}$

[初め] より一般的には、違いはありません

${displaystyle h_ {m} -h_ {n}}$

ために

${displaystyle mneq n}$

整数は（Kürschák1918）です。 ^[2] これは、Nagell 1923からの文の特別なケースです。 ^[3]

は

${displaystyle pgeq 5}$

プライムナンバー、それがカウンターです

${displaystyle h_ {p-1}}$

Woltstenholmeの判決によると

${displaystyle p^{2}}$

分裂可能です

${displaystyle p}$

Woltstenholme Prim、それからさえ

${displaystyle p^{3}}$

。

発散 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

調和のとれたシリーズは、最初にオレズメ（14世紀）のニコラスが実証したように、無限とは異なります。これは、すべてのメンバーで小さいまたは同じ行と比較することで見ることができます（未成年者の基準）：

${displaystyle {begin {matrix} h_ {n}＆= 1+1/2＆+＆（1/3+1/4）＆+＆（1/5+1/6+1/7+1/8）＆+1/n \＆geq 1+1/2＆+＆（1/4+1/4） = 1+ 1/2＆+＆1/2＆+＆1/2＆+++ cdots+ 1/nend {matrix}}}}$

最後の行の合計は、すべての値を超えています

${displaystyle n}$

十分です。より正確に見積もりを取得します

${displaystyle h_ {2^{ell}} geq 1+ell /2}$

ために

${displaystyle ell = 0.1.2、dots}$

漸近発達 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

漸近開発が適用されます：

${displaystyle {begin{aligned}H_{n}=sum _{k=1}^{n}{frac {1}{k}}&=ln n+gamma +{frac {1}{2n}}-{frac {1}{12n^{2}}}+{frac {1}{120n^{4}}}-{frac {1}{252n^{6}}}+{frac {1}{240n^{8}}}-{frac {1}{132n^{10}}}+{mathcal {O}}!left({frac {1}{n^{12}}}right)\&=ln n+gamma +{mathcal {O}}!left({frac {1}{n}}right),quad nto infty end{aligned}}}$

こちらを参照してください

${displaystyle ln n}$

自然対数とランダウのシンボル

${displaystyle {mathcal {o}}}$

開発のための開発の残りの行動の行動について説明します

${displaystyle nto infty}$

。数学定数

${displaystyleガンマ}$

（ガンマ） Euler-Mascheroni定数とその数値は0.5772156649です…

さらに、以下が適用されます

${displaystyle h_ {n}$

、滝

${displaystyle ngeq 2}$

。

一部の部分的合計と近似式の値との比較 h _n ≈Ln n + c

n	h n （丸）	近似 （丸）	正確さ （丸）
5	2.28	2.19	95.77％
十	2.93	2.88	98.32％
20	3.60	3.57	99.31％
50	4.50	4.49	99.78％
100	5.19	5.18	99.90％
500	6.79	6.79	1-1・10 -4
1000	7.49	7.48	1-7・10 -5
10000	9.79	9.79	1-5・10 -6

統合 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

この式はすべての自然数に適用されますn：

${displaystyle int _ {0}^{1} {frac {1-y^{n}} {1-y}}、mathrm {d} y = int _ {0}^{1}（1+y+cdots+y^{n-1}）Mathrm {d} y = 1+{1} {1} {1} {1} {n}} = h_ {n}}$

この表現は一般化します

${displaystyle n}$

-teの複雑な値に関する調和のとれた数

${displaystyle n}$

と

${displaystyle operatorname {re}（n）> – 1}$

${displaystyle mathrm {h}（x）= h_ {x}}$

この用語は、Laplaceオペレーターゼロと同じ名前の調和のとれた関数と混同しないでください。

この積分式は、すべての実数x> -1に収束します。

${displaystyle mathrm {h}（x）（xin mathbb {r}> -1）= int _ {0}^{1} {frac {1-y^{x}} {1-y}}、mathrm {d} y}$

${displaystyle mathrm {h}（x）= sum _ {n = 1}^{infty} {bigl（} {frac {1} {n}} – {frac {1} {n+x}} {bigr）}} }$

次の定義式は、この式と同じです。

${displaystyle pi（x）= gamma（x+1）}$

${displaystyle pi（x）= exp（ – 、gamma、x）prod _ {n = 1}^{infty}左（1+ {frac {x} {n}}右）^{-1} exp（x/n）}$

${displaystyle mathrm {h}（x）= gamma +{frac {1} {pi（x）}}、{frac {mathrm {d}} {mathrm {d} x}}、pi（x）}}$

ディガンマ関数との関係 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

${displaystyle n}$

-TEハーモニア数は、digamma関数で使用できます

${displaystyle psi}$

の表現と複雑な値へ

${displaystyle n}$

続行（if

${displaystyle n}$

負の数ではありません）：

${displaystyle h_ {n} = psi（n+1）-psi（1）= {frac {gamma ‘（n）} {gamma（n）}}+{frac {1} {n}}+gamma}$

。

説明された

${displaystyleガンマ}$

ガンマ関数、

${displaystyleガンマ ‘}$

彼らの派生と

${displaystyleガンマ}$

euler-mascheroloni-ktler。

導出 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

の派生 調和のとれたシリーズ関数 Trigamma関数で表示できます。

${displaystyle {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} x}}、mathrm {h}（x）= psi _ {1}（x+1）= sum _ {n = 1}^{infty} {frac {1} {（x+n）^{2}}}$

調和のとれた直列関数の最初の導出には、Zeta関数値ζ（2）があります。

${displaystyle {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} x}} mathrm {h}（x）、（x = 0）= {mathrm {d}} {mathrm {d} x}}} {x {x {x} {1-k {x {x} {x {x {x} {1-k {{x} {x {x} {1-k {x} {1-k {{1-k {{x} {1-k {{1-k {{1-k {{1-k {{1-k {1-k {1-k} {1-k} }、mathrm {d} y（x = 0）= int _ {0}^{1} {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} x}}、{frac {1-y^{x}} {1-y}}} 、{frac {-y^{x}} {1-y}}、mathrm {d} y、（x = 0）=}$

${displayStyle = int _ {0}^{1} ln（y）、{frac {-1} {1-y}}、mathrm {d} y = {biggl [} -mathrm {li} _ {2}（1-y）{biggr]} _ {y = 0} {y = 0} {y = 0} }（1）= Zeta（2）= {frac {pi ^{2}} {6}}}}}$

ゼロから1への統合 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

調和のとれたシリーズ関数 上記の定義と統合できます。

${displaystyle mathrm {h}（x）= sum _ {n = 1}^{infty} {bigl（} {frac {1} {n}} – {frac {1} {n+x}} {bigr）}} }$

${displaystyle int _{0}^{1}mathrm {H} (x),mathrm {d} x=int _{0}^{1}sum _{n=1}^{infty }{bigl (}{frac {1}{n}}-{frac {1}{n+x}}{bigr )},mathrm {d} x=sum _{n=1}^{infty }int _{0}^{1}{bigl (}{frac {1}{n}}-{frac {1}{n+x}}{bigr )},mathrm {d} x=}$

${displaystyle =sum _{n=1}^{infty }{biggl [}{frac {x}{n}}-ln(n+x){biggr ]}_{x=0}^{x=1}mathrm {d} x=sum _{n=1}^{infty }{biggl [}{frac {1}{n}}-ln {bigl (}{frac {n+1}{n}}{bigr )}{biggr ]}=gamma }$

${displaystyle mathrm {h}（x）= gamma +{frac {1} {pi（x）}}、{frac {mathrm {d}} {mathrm {d} x}}、pi（x）}}$

${displaystyle int _ {0}^{1} mathrm {h}（x）、mathrm {d} x = {biggl {} gamma、x+ln {bigl [} pi（x）{bigr]} {biggr}} _ {x = 0}^{x = 1} = gamma}$

上記の統合統合定義に関する比較請求書：

${displaystyle int _ {0}^{1} mathrm {h}（x）、mathrm {d} x = int _ {0}^{1} int _ {0}^{1} {frac {1-y^{x}} {1-y}} {d} {d} {d} {d} {d} {d} ^{1} int _ {0}^{1} {frac {1-y^{x}} {1-y}}、mathrm {d} x、mathrm {d} y =}$

${displaystyle = int _ {0}^{1} {frac {1} {1-y}}+{frac {1} {ln（y）}}、mathrm {d} y = gamma}$

Exponentialの茎機能の前提 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

次の指数関数は、調和のとれたシリーズ関数の元のSTEM関数に設定できます。

この方程式は次のようです。

${displaystyle operatorname {h}（x）= int _ {0}^{infty} {frac {1-exp（-x、y）} {exp（y）-1}}、mathrm {d} y}$

次の式の元のSTEM関数の形成によって、次の方程式が現れます。

${displaystyle gamma、x+ln {bigl [} gamma（x+1）{bigr]} = int _ {0}^{infty} {frac {exp（-x、y）+x、y-1} {y、{bigl [} exp（y）-1 {bigr]}}}}}}}}}、$

一般化された調和のとれた数字の特別な値は、例えば次のとおりです。

${displaystyle mathrm {h}（{tfrac {1} {2}}）= h_ {1/2} = 2-2ln 2}$

${displaystyle mathrm {h}（{tfrac {1} {3}}）= h_ {1/3} = 3- {frac {pi} {2 {sqrt {3}}} – {frac {3}}}}}}}}}}}}} ln 3}} ln 3}$

${displaystyle mathrm {h}（{tfrac {1} {4}}）= h_ {1/4} = 4- {frac {pi} {2}} – 3ln 2}$

${displaystyle mathrm {h}（{tfrac {1} {6}}）= h_ {1/6} = 6- {frac {pi {sqrt {3}}} {2}} – {frac {3} {2}}} ln 3-2ln 2}}$

生成機能 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

関数を開発する場合

${displaystyle {tfrac {1} {1-x}} ln {tfrac {1} {1-x}}}$

テイラーシリーズで開発ポイント0を開発するために、係数として調和のとれた数字を取得します。

${displaystyle {frac {1} {1- x}} ln {frac {1} {1- x}} = sum _ {n = 1}^{infty} h_ {n} x^{n}、quad | x | <1}$

これは、

${displaystyle | x | <1}$

次の2つの関数の絶対に収束する列は次のとおりです。

${displaystyle {frac {1} {1- x}} = 1+x+x^{2}+x^{3}+dotsb}$

${displaystyle ln {frac {1} {1- x}} = x+{frac {x^{2}}}}}}+{frac {x^{3}}}}}}}++{$

生成された関数の合計が関係するインデックスによってまだ共有されている場合、dilogarithmの合計と独白の正方形の半分のシリーズが生成されます。

${displaystyle sum _ {n = 1}^{infty} {frac {h_ {n}} {n}}、x^{n} = mathrm {li} _ {2}（x）+{frac {1} {2}}} ln {bigl（{{{} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} { ^{2} = mathrm {li} _ {2}（x）+{frac {1} {2}}、mathrm {li} _ {1}（x）^{2}、quad | x | <1}}$

現在述べた結果は、生成された関数がxによって共有され、元のSTEM関数がセットアップされるという事実から生じます。この統合チェーンは、表示されているパターンで継続できます。次に、三部版を含む合計があります。

${displaystyle sum _ {n = 1}^{infty} {frac {h_ {n}} {n^{2}}}、x^{n} = 2operatorname {li} _ {3}（x）+operatorname {li} _ {3} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {fla {bigr）} -ln（1-x）operatorname {li} _ {2}（x） – {frac {1} {6} {6}} ln（1-x）^{3} =}$

${displaystyle = 2operatorname {li} _ {3}（x）+operatorname {li} _ {3} {bigl（} {frac {x} {x-1}} {bigr）}+operatorname {li} _ {x）operatorname {{1} } {6}} operatorname {li} _ {1}（x）^{3} quad | x | <1}$

調和のとれた数についての行 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

それは調和のとれた数字に適用されます： ^[4]

${displaystyle sum _ {n = 1}^{infty} {frac {h_ {n}} {n^{2}}} = 2、zeta（3）}}$

${displaystyle sum _ {n = 1}^{infty} {frac {h_ {n}} {n^{3}}}} = {frac {pi^{4}}}}}}}}}}}$

${displaystyle sum _ {n = 1}^{infty} {frac {h_ {n}} {n^{4}}} = 3、zeta（5） – {pi^{2}}}}}}}}}}}}}}}$

${Displaystyle Sum _ {n = 1}^{Infty} {Frac {h_ {N}} {n^{5}}} = {Frac {pi^{6}}}}}}}-{Frac {1}}}}}}}, Zeta (3)^{2}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${displaystyle sum _ {n = 1} ^{infty} {frac {h_ {n}} {n ^{6}}} = 4、zeta（7） – {frac {pi ^{2}}}}}}}} }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

こちらを参照してください

${displaystyle zeta（s）}$

Riemannian Zeta関数。

パワーベクトル [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

同様のブロックは、トップブロックが最も低いものをはるかに上回るように積み重ねる必要があります。

写真は、調和のとれたシリーズのアプリケーションを示しています。調和のとれた行によると、ブロックの水平距離が上から下まで選択されている場合、スタックはただ安定しています。このようにして、トップブロックと最低ブロックの間の距離は、可能な限り最大の値を取得します。ブロックには長さがあります

${displaystyle l_ {0}}$

。焦点を合わせた上部のコンポーネントは、位置の2番目の石にあります

${displaystyle 1/2cdot l_ {0} = 1/2cdot 1cdot l_ {0}}$

。ストーン1とストーン2の一般的な焦点が含まれています

${displaystyle 1/2cdot 1/2cdot l_ {0}}$

ストーン1、ストーン2、ストーン3から

${displaystyle 1/2cdot 1/3cdot l_ {0}}$

、それ

${displaystyle n}$

-te steins at

${displaystyle 1/2cdot 1/ncdot l_ {0}}$

。全長

${displaystyle l}$

したがって、ブームは次のとおりです。

${displaystyle l = {frac {l_ {0}} {2} {2}} sum _ {k = 1}^{n} {frac {1} {k}}}}}}}}}}}}}$

追加の石は、調和のとれたシリーズの別のsummandに対応しています。調和のとれたシリーズはあらゆる値をとることができるため、十分に続くだけでは、上部の石がどれだけ離れているかに基本的な制限はありません。ただし、必要な石の数は、目的のオーバーハングとともに非常に急速に上昇します。 2.5倍の石の長さでオーバーハングには、約100個の石が必要になります。実際の構造の場合、これはすでに石の測定に高い要求を置いています。

調和のとれたシリーズの使用の他の例は、コレクターの問題と100人の囚人の問題です。

マッシュ列 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

以下では、影響を受けたsum式が次に使用する2つの例が言及されています。 調和のとれたシリーズ関数 表現する必要があります。その後、これら2つの例の一般的なケースが表示されます。

${displaystyle sum _{m=1}^{infty }{frac {1}{m^{2}+3m+1}}={frac {1}{5}}{sqrt {5}}{bigl [}mathrm {H} {bigl (}{frac {3}{2}}+{frac {1}{2}}{sqrt {5}}{bigr )}-mathrm {H} {bigl (}{frac {3}{2}}-{frac {1}{2}}{sqrt {5}}{bigr )}{bigr ]}}$

${displaystyle sum _ {m = 1}^{infty} {frac {1} {m^{2}+4m+2}} = {frac {1} {4}} {sqrt {2}} {bigl [} mathrm {bigl（} {2} {} {} {} {vigl} {bigl（} {bigl（} {bigl）{bigl（}） } -mathrm {h} {bigl（} 2- {sqrt {2}} {bigr）} {bigr]}}$

そして、一般的なケースは次のとおりです。

${displaystyle sum _{m=1}^{infty }{frac {1}{a,m^{2}+b,m+c}}={frac {1}{sqrt {b^{2}-4ac}}}{biggl [}mathrm {H} {biggl (}{frac {b+{sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}{biggr )}-mathrm {H} {biggl (}{frac {b-{sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}{biggr )}{biggr ]}}$

交互の高調波シリーズ [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

交互の高調波シリーズ 収束：

${displaystyle sum _ {k = 1}^{infty} {frac {（-1）^{k+1}} {k}} = 1- {frac {1} {2}}+{frac {1} {3}}} – {frac {1} {4} pm} pm} pm} pm} {4}} {4}} pm {4}} {4}} {4}} {4}} pp {text {}} 71805 {text {}} 59945 {text {}} 30941ldots}$

収束は、ライプニッツの基準から続き、自然対数のテイラー開発とアベル境界値で制限を計算できます。その理由は

${displaystyle Text Style ln（1+x）= sum _ {k = 1}^{inty}（-1）^{k+1} {frac {x^{k}}}}}$

そしてもしあなたが

${displaystyle x = 1}$

セット、あなたは列開発で交互の調和のとれた列を取得します。シリーズの収束は、それほど限られているわけではありません。

一般的な高調波シリーズ [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

いつ 一般的な高調波シリーズ 1つは意味します

${displaystyle s = sum _ {k = 1}^{infty} {frac {1} {k^{alpha}}}、}$

それは分岐しました

${displaystyle alpha leq 1}$

と収束しました

${displaystyle alpha> 1}$

${displaystyle h_ {n}^{（alpha）}}$

また

${displaystyle h^{（alpha）}（n）}$

専用。

の例

${displaystyle alpha = 2}$

（バーゼルの問題を参照）：

${displaystyle s = sum _ {k = 1}^{infty} {frac {1} {k^{2}}} = 1+ {frac {1} {2^{2}}}+{frac {1} {3^{3^{2}}}}+{2}}}+{2}}+ {frac {pi ^{2}} {6}} = 1 {、} 64493 {text {}} 40668 {text {}} 48226 {text {}} 43647ldots}$

の例

${displaystyle alpha = 4}$

：

${displaystyle s = sum _ {k = 1}^{infty} {frac {1} {k^{4}}} = 1+ {frac {1} {2^{4}}}+{frac {1} {3^{3^{4}}}}+{4}}}+{4}}}}+ {frac {pi ^{4}} {90}} = 1 {、} 08232 {text {}} 32337 {text {}} 11138 {text {}} 19151 {text {}} ldots}}}}}$

の例

${displaystyle alpha = 2n}$

：

${displaystyle s = sum _ {k = 1}^{infty} {frac {1} {k^{2n}} = 1 {1 {1} {2 ^^ {2n}}+{frac {1} {3^{2n}}+{{1 {1} {1 {1}} ^{n ^{2n}} {2（2n）！}}、mathrm {b} _ {2n} = zeta（2n）、}$

したがって

${displaystyle mathrm {b} _ {2n}}$

${displaystyle 2n}$

-TE BERNOULLI番号。

あなたは

${displaystyle alpha}$

複雑な数字もRiemann Zeta関数に到達します。

サブハーモニックな列 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

サブハーモニックな列 すべての素数の掃除値にのみ追加されるなど、調和のとれたシリーズの形成で特定の夏が省略されているという事実から生じます。

${displaystyle s = sum _ {k {text {prim}}}^{infty} {frac {1} {k}}}}$

この合計も分岐します（Eulerによる文）。

双子の双子（または素数の掘削や素数など）を介してのみ合計する場合、収束シリーズが発生します。ただし、無限の行であるかどうかは不明です。限界値は、Brunsche定数と呼ばれます。

他のサブハーモニックな列は、収束ケンプナーシリーズでもあります。

1. ↑ Leopold Theisinger： 調和のとれたシリーズについての発言。 数学と物理学のための毎月の小冊子26、1915、pp。132–134。
2. ↑ ジョセフ・キュルシカク： 高調波線について （調和のとれたシリーズについて）。 MathematikaiésPhysikaiLapok 27、1918、pp。299–300（ハンガリー）。
3. ↑ Trygve Nagell： 特定の合計のプロパティ。 科学のキャプテン文章。 I.数学的自然科学クラス13、1923、pp。10–15。
4. ↑ D.ボルウェイン、J。M。ボルウェイン： 興味深い積分とゼータに関連するいくつかのシリーズについて（4）。 Proc。 Amer。算数。 Soc。 123、1191–1198、1995。