Langevin Function-Wikipedia

ランジュビン関数

${displaystyle l（x）}$

（物理学者によると、ポール・ランゲビン（1872–1946）））は、方向偏光、偏光、磁化、抵抗を計算するために使用される数学的機能です。

ランジュビン関数 ^[初め] で定義されています

${displaystyle l（x）= coth（x） – {1 over x}}}$

、

したがって

${displaystyle coth}$

Kotangen Hyperbolicusを示しました。

最もよく知られているアプリケーションは、外側の磁場の常磁石の半クラシックな説明です。この目的のために、Longvinパラメーター

${displaystyle xi}$

紹介された：

${displaystyle xi = {frac {mb} {k_ {mathrm {b}} t}}}}$

個々のフォーミュラサインは、次のサイズを表します。

磁化用

${displaystyle m}$

その後、一般的な結果は次のとおりです。

${displaystyle m = nml（xi）}$

${displaystyle n}$

生地の量を表します

${displaystyle m}$

常磁性の個々のスピンの磁気モーメントのために。常磁性の別の量子機械的説明は、ブリルアン関数によって与えられます。

すべての実際の値x収束について、この合計の列は次のとおりです。

${displaystyle l（x）= sum _ {n = 1}^{infty} {frac {2x} {pi^{2} n^{2}+x^{2}}}}}}}}$

たとえば、それは、その列の列の個別のコーシー分布に適用されます。

${displaystyle sum _ {n = 1}^{infty} {frac {1} {n^{2} +1}} = {frac {pi l（pi）}}}}}}}}}}}$

したがって、正方形数の後継者の抜本的な値の無限の合計は基本的です。

そして、次の制限が適用されます：

${displaystyle zeta（2）= sum _ {n = 1}^{infty} {frac {1} {n^{2}}} = lim _ {xRightArrow 0} sum _ {n = 1}^{infty} {frac {1} {n^{2} {2} {2}+x^{2} {2} {2} {2} {2} {2} {2}+ } {frac {pi l（pi x）} {2x}} = {frac {pi ^{2}} {6}}}}$

この値は、SO -Caleded Basel問題の解決策です。

Maclaurinシリーズは次のとおりです。

${displaystyle l（x）= sum _ {n = 1}^{infty} 2（-1）^{n+1} pi^{-2n} zeta（2n）x^{2n-1} = {frac {1} {3}}} x- {45} {45} {{45} {{45}} {45} {45} {45} {45} {45} {45} {45} {45} {45} {45} {45} 45}} x^{5} – {frac {1} {4725}} x^{7}+cdots}$

このシリーズの収束半径は、円πの数です。

そして、ランジュビン関数の正方形のために：

${displaystyle l（x）^{2} = sum _ {n = 1}^{infty}（4n+6）（ – 1）^{n+1} pi^{-2n-2} Zeta（2n+2）x^{2n} = {frac {1} {{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {{{} {{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}）） ^{4}+{frac {1} {525}} x^{6} – {frac {2} {8505}} x^{8}+cdots}$

ギリシャ文字ゼータは、リーマンゼータ関数を表しています。

近似 ^[初め] のロングビン関数

${displaystyle | x | ll 1}$

は

${displaystyle l（x）= coth（x） – {frac {1} {x}} compx {frac {x} {3}}}$

。

ために

${displaystyle xgg 1}$

近似が適用されます ^[初め]

${displaystyle l（x）約1- {frac {1} {x}}}$

。

Langevin関数には閉じた反転関数がないため、さまざまな近似があります。倒立ランゲビン関数は、Lの後ろの指数位置に尖ったクリップの1つをマイナスして示されています。 Lambertsche W機能と同様に、この逆転関数は初等には表示できません。

間隔での一般的な近似

${displaystyle（-1,1）}$

AppliesはA. Cohenによって公開されました： ^[2]

${displaystyle l^{langle -1rangle}（x）artx x {frac {3-x^{2}} {1-x^{2}}}}}}$

この近似の最大の相対的な間違いは4.9％です

${displaystyle | x | = 0 {、} 8}$

。相対的なエラーがはるかに少ない他の近似があります。 ^{[3] [4]}

倒立ランゲビン関数のマクラウリンシリーズは次のとおりです ^[5] 収束半径1を持っています：

${displaystyle l^{langle -1rangle}（x）約3x+{frac {9} {5}} x^{3}+{frac {297} {175}} x^{5}+{frac {1539}} {875} {7} {7} {$

1. ↑ ^{a b c} Siegmund Brandt： Elektrodynamik 。 Springer、Berlin 2005、ISBN 3-540-21458-5、 S. 293 。
2. ↑ A.コーエン： 逆ランジュビン関数に近いパデ 。の： Rheologica Acta 。 30年、 いいえ。 3 、1991年、 S. 270–273 、doi： 10.1007/BF00366640 。
3. ↑ R. Jedynak： 逆ランジュビン関数の近似に関する新しい事実 。の： ジャーナルオブニュートニアン流体力学 。 249年、2017年 S. 8–25 、doi： 10.1016 / j.jnnfm.2017.09.003 。
4. ↑ M.クレガー： 強力なポリマーの変形と流量に関連する、逆ランジュビンおよびブリルアン機能のシンプルで許容可能な、正確な近似値 。の： ジャーナルオブニュートニアン流体力学 。 223年、2015年 S. 77–87 、doi： 10.1016 / j.jnnfm.2015.05.007 。
5. ↑ https://bookks.google.de/books？dpdwyssscfccc＆pg = pa277＆lpg = pa277＆dq = 9+5+25+175+1539+875＆source = bl＆ots = sav24x3u6f＆sig = acfu3u1qzg51x51x51x51x4jhh4h4h4h4h4h4h4h4h4h4h4h4h4h4h4h4h4h4h4h4h4h4h4h4h4h4h4 VED = 2AHUKEWICG7367EX2AHXGNAQKHAM3DWAQ6AF6BAGDEAM＃V = ONEPAGE＆Q = 9％205％20297％20175％201539％20875＆f = false