nephroid – ウィキペディア

一 nephroide （aus altgriechischὁ腎臓 ホーネフロス 、「腎臓」、その形状に応じて）は代数曲線です。
ネフロイドは、半径で円を転がすことによって作成されます

${displaystyle a}$

半径のある円の外側

${displaystyle 2a}$

。これは、腎症が上腺体のクラスに属していることを意味します。

は

${displaystyle a}$

小さな（ローリング）円の半径と

${displaystyle（0,0）、; 2a}$

大きな（固体）円の中心と半径、

${displaystyle 2varphi}$

（小さな円の）ローラー角度とポイント

${displaystyle（2a、0）}$

出発点（写真を参照）、それがあなたが得る方法です

${displaystyle x（varphi）= 3acos varphi -acos 3varphi = 6acos varphi -4acos ^{3} varphi、}$

${displaystyle y（varphi）= 3asin varphi -asin 3varphi = 4asin ^{3} varphi、qqad 0leq varphi <2pi}$

。

方程式にパラメーター表現を挿入します

• 
  ${displaystyle（x^{2}+y^{2} -4a^{2}）^{3} = 108a^{4} y^{2}。}$

  

それが関連する暗黙の表現であることを証明します。

パラメーター表現の証明

パラメータープレゼンテーションの証拠は、複雑な数字とあなたの表現をガウセの数字レベルとしての助けを借りて簡単に主張できます。青い円の黒い円の転がり動きは、2つの回転の連続に分解できます。ポイントの回転

${displaystyle with}$

（複雑な数）ゼロポイントの周り

${displaystyle 0}$

角度で

${displaystyle varphi}$

の乗算を通じてです

${displaystyle e^{ivarphi}}$

引き起こされた。

回転

${displaystyle phi _ {3}}$

ポイントへ

${displaystyle 3a}$

角度の周り

${displaystyle 2varphi}$

は

${displaystyle zmapsto 3a+（z-3a）e^{i2varphi}}}}}}$

。

回転

${displaystyle phi _ {0}}$

ポイントへ

${displaystyle 0}$

角度の周り

${displaystyle varphi}$

は

${dispastaStyle mopsto z^{ivarphi}}$

。

nephroidポイント

${displaystyle P（varphi）}$

ポイントを回転させることによって作成されます

${displaystyle 2a}$

と

${displaystyle phi _ {3}}$

と後続の回転

${displaystyle phi _ {0}}$

：

${displaystyle p（varphi）= phi _ {0}（phi _ _ {3}）= phi _ _ _ _ {0}（3a-i {{i2varphi}）=（3a-i2varphi}）e​​ {{{{{} = 3a} -aa$

。

これはこれに起因します

${displaystyle {begin {array} {cclcccc} x（varphi）＆=＆3acos varphi -acos 3varphi＆＆6acos varphi -4acos {3} varphi、＆3（varphi）＆＆3 =＆3 =＆4asin ^{3} varphi＆。$

（式はなりました

${displaystyle e ^{ivarphi} = cos varphi +isin varphi、cos ^{2} varphi +sin ^{2} varphi = 1、cos 3varphi = 4cos hi -4sin ^{3} varphi}$

使用済み。フォーミュラコレクションの三角法を参照してください。）

暗黙の表現の証明

と

${displaystyle x^{2}+y^{2} -4a^{2} =（3cos varphi -acos 3varphi）^{2}+（3asin varsin）arphi）= 12a^{2} sin^{2} varphi}} varphi}$

降伏した

${displaystyle（x^{2}+y^{2} -4a^{2}）^{3} =（12a^{2}）^{3} sin^{6} varphi = 108a^{4}（4asin^{3} varphi）^{2} = 108a^$

異なる方向

ヒントがy軸上にある場合：
パラメータープレゼンテーション：

${displaystyle x = 3acos varphi +acos 3varphi、quad y = 3asin varphi +asin 3varphi）。}$

方程式：

${displaystyle（x^{2}+y^{2} -4a^{2}）^{3} = 108a^{4} x^{2}。}$

上記のネフロイドの場合

証拠は、パラメータープレゼンテーションを使用します

${displaystyle x（varphi）= 6acos varphi -4acos ^{3} varphi、}$

${displaystyle y（varphi）= 4asin ^{3} varphi}$

上記の腎臓とその派生

${displaystyle {dot {x} = -6asin varphi（1-2cos ^{2} varphi）、quad {ddot {x} = -6acos varphi（5-6cos ^{2} varphi）、}$

${displasyStle {dot}} = 12asin ^{2} varphi cos varphi quad、quad quad quad quad {dot {y}} = 12asin varphi（3cos ^{2} varphi -1）。}}$

領域の面積と曲線長の式zを見つけることができます。 B.こちら。 ^[初め]

曲線長の証明

パラメーター化された曲線の長さの式で結果

${displaystyle l = 2int _ {0 ^^ {pi} {sqrt {{dot {x}}}^{2} hi = 24a}$

。

地域の証明（ライプニッツセクターの式）

${displaystyle a = 2cdot {tfrac {1} {2}} | int _ {0} ^^ {pi} [x {dot {y}} – y {dot {x}; dvarphi | = cdots = 24a {2} varphi; dvarphi$

。

曲率半径の証明

${displaystle rhod = left | {frac {left（{{dot}}^{2}+{dot {y}}^{2}}右）^{frac {3} {2}}}}}}}}右| = cdots = | 3asin varphi |}}}}$

適用されます：

証拠

そうです

${displaystyle k_ {0}}$

円

${displaystyle（2acos varphi、2asin varphi）}$

中心に

${displaystyle（0.0）}$

そして半径

${displaystyle 2a}$

。必要な直径はX軸にあります（写真を参照）。円は次のとおりです。

${displaystyle f（x、y、varphi）=（x -2acos varphi）^{2}+（y-2asin varphi）^{2} – （2asin varphi）^{2} = 0.}$

封筒の状態はです

${displaysyllyle f_ {varphi}（x、y、varphi）= 2a（xsin varphi -ycos varphi-2acos varphi-2acos varphi-2acos varphi-2acos varphi-2acos varphi-2acos varphi$

nephroidポイントが期待されています

${displaystyle P（varphi）=（6acos varphi -4acos ^{3} varphi;、; 4asin ^{3} varphi）}$

2つの方程式

${displaystyle f（x、y、varphi）= 0、; f_ {varphi}（x、y、varphi）= 0}$

充足され、したがって円の封筒のポイント。

群衆に包まれたカーディオイドの生成と同様に、次のことがここに当てはまります。

1. 円を描き、それを均等に共有しました
   ${displaystyle 3n}$

   ポイント（写真を参照）と継続的に番号。

2. 腱を描く：
   ${displaystyle（1,3）、（2,6）、….、（n、3n）、….、（n、3n）、（n+1,3）、（n+2,6）、….、}$

   。 （このように表現できます。腱の2番目のポイントは、三重速度で動きます。）

3. 封筒 このルートは腎臓です。

証拠

の三角式の式

${displaystyle cos alpha +cos beta、sin alpha +sin beta、cos（alpha +beta）、cos 2alpha}$

使用済み。請求書を簡単に保つために、Y軸のヒントを持つ腎臓の証明が導かれます。

接線の方程式

パラメータープレゼンテーションを使用して腎臓へ

${displaystyle x = 3cos varphi +cos 3varphi、y = 3sin varphi +sin 3varphi}$

：

パラメーター表現から
最初に通常のベクトルを計算します

${displaystyle {vec {n}} =（{dot {y}}、 – {dot {x}}）^{t}}$

。
接線の方程式

${displaystyle {dot {dot {y}（varphi）cdot（x-x（varphi）） – {dot {x}}（varphi）cdot（y-y（varphi））= 0}$

その後：

${displaystyle（cos 2varphi cdot x + sin 2varphi cdot y）cos varphi = 4cos ^{2} varphi。}$

ために

${displaystyle varphi = {tfrac {pi} {2}}、{tfrac {3pi} {2}}}$

ネフロイドにはその先端があり、そこでは接線がありません。ために

${displaystyle varphi neq {tfrac {pi} {2}}、{tfrac {3pi} {2}}}$

通り抜けてもらえますか

${displaystyle cos varphi}$

分割して最終的に受信します

• 
  ${displaystyle cos 2varphi cdot x+sin 2varphi cdot y = 4cos varphi。}$

  

セカントの方程式

中心のある円に

${displaystyle（0.0）}$

そして半径

${displaystyle 4}$

：2つのポイントから2番目の方程式の場合

${displaystyle（4cos theta、4sin theta）、（4cos {color {red} 3} theta、4sin {color {red} 3} theta））}$

降伏：

${displaystyle（cos 2theta cdot x+sin 2theta cdot y）sin theta = 4cos theta sin theta。}$

ために

${displaystyletheta = 0、pi}$

セカントがポイントの1つである場合。ために

${displaystyle theta neq 0pi}$

通り抜けてもらえますか

${displaystyle sin theta}$

分割とsekantの方程式の結果：

• 
  ${displaystyle cos 2theta cdot x+2theta cdot y = 4cos theta。}}$

  

2つの角度

${displaystyle varphi、theta}$

意味が異なります（

${displaystyle varphi}$

ローラー角の半分、

${displaystyletheta}$

セカンターが計算される円のパラメーターです）

${displaystyle varphi = theta}$

しかし、同じ結果。したがって、上記の各秒は腎臓の接線であり、

• 腎臓は地区腱の包み込みです。

以前の考慮事項は、腎臓が半円のca産業として発生することの証拠も提供します。

• レベルの図に従って平行光線が反射的な半円に落ちた場合、反射光線は腎臓の接線です。 （セクションを参照：日常生活におけるネフロイド）

証拠

円（前のセクションのように）の中心とその半径はゼロポイントがありました

${displaystyle 4}$

。その後、円にはパラメータープレゼンテーションがあります

${displaystyle K（varphi）= 4（cos varphi、sin varphi）。}$

円形ポイントの接線

${displaystyle k = k（varphi）}$

通常のベクトルがあります

${displaystyle {vec {n}} _ {t} =（cos varphi、sin varphi）^{t}}$

。反射ビームは（図に従って）通常のベクトルでなければなりません

${displaystyle {vec {n}} _ {r} =（cos {coler {red} 2} varphi、sin {color {red} 2} varphi）^{t}}}$

丸いポイントを介して

${displaystyle K：4（cos varphi、sin varphi）}$

行く。反射ビームは方程式とともに直線にあります

${displaystyle cos {color {red} 2} varphi cdot x + sin {color {red} 2} varphi cdot y = 4cos varphi、}$

これは、ポイントの前のセクションの腎臓の接線です

${displaystyle P：（3COS varphi +cos 3varphi、3sin varphi +sin 3varphi）}$

IS（上記参照）。

平らな曲線の進化は、この曲線のすべての曲率点の幾何学的な場所です。パラメーター化された曲線の場合

${displayStyle {thing {x}}（s）= {thing {c}}（s）}$

曲率半径があります

${displaystyle rho（s）}$

Evoluteにはパラメータープレゼンテーションがあります

${displayStyle {thing {x}}（s）= {thing {c}}（s）+rho（s）{thing {n}}。}$

したがって

${displaystyle {vec {n}}（s）}$

適切なユニットは正常です。 （（）

${displaystyle {vec {n}}（s）}$

曲率の​​平均を指します。）

以下は、写真の腎臓に適用されます。

• 進化しました ネフロイドは再び腎臓で、半分の大きさです。

証拠

写真の腎臓（ヒントはy軸上にあります！）にはパラメーター表現があります

${displaystyle x = 3cos varphi +cos 3varphi、quad y = 3sin varphi +sin 3varphi、}$

ユニットは正常です

${displaystyle {vec {n}}（varphi）=（-cos 2varphi、-sin 2varphi）^{t}}$

（上記を参照）

曲率の​​半径があります（上記参照）

${displaystyle rho（varphi）= 3cos varphi}$

。

したがって、Evoluteにはパラメータープレゼンテーションがあります

${displaystyle x = 3cos varphi +cos 3varphi -3cos varphi cdot cos 2varphi = cdots = 3cos varphi -2cos$

${displaystyle y = 3sin varphi +sin 3varphi -3cos varphi cdot sin 2varphi = cdots = 2sin ^ ^ {3} varphi、}$

これらの方程式は、半分の大きさで90度に変わった腎臓を表しています（写真とセクションを参照してください 腎臓の方程式 ）。

反射

${displaystyle xmapsto {frac {4a^{2} x} {x^{2}+y^{2}}}、quad ymapsto {frac {2} y} {x^{2}+y^{2}}}}}}}}$

中心のある円で

${displaystyle（0.0）}$

そして半径

${displaystyle 2a}$

方程式でネフロイドを形成します

${displaystyle（x^{2}+y^{2} -4a^{2}）^{3} = 108a^{4} y^{2}}$

方程式のある曲線6度

${displaystyle（4a^{2} – （x^{2}+y^{2}））^{3} = 27a^{2}（x^{2}+y^{2}）y^{2}}$

from（写真を参照）。

光が凹状の円形反射表面の側面にある無限に遠い光源の側面に光が当てられた場合、光線の包みが腎臓の一部を形成します。したがって、「コーヒーカップCaustic」（Kaustik = Fuel Line）とも呼ばれることもあります。また、自転車の裸の縁が床の光を反映しているときに路上でそれらを見ることができます。日光が自転車のリムのシリンダーコートに並行してヒットするため、ヒューズは半分ネフロイドの形状を持つプロファイルを描いており、レベルの地下形状のネフロイドの一部をカットするようにします。

1. ↑ Kurt Meyberg、Peter Vachenauer： より高い数学1。 Springs-Publising、1995、ISBN 3-540-59188-5、S。1948、.. 194、2008。

• D.アーガンブライト： スプレッドシート曲線と幾何学的構造の実用的なハンドブック。 CRC Press、1993、ISBN 0-8493-8938-0、S。54。
• F. Borceux： ジオメトリへの微分アプローチ：幾何学的三部作III。 Springer、2014、ISBN 978-3-319-01735-8、S。148。
• E. H.ロックウッド： 曲線の本。 ケンブリッジ大学出版局、1978年、ISBN 0-521-05585-7、S。7。