Brachistochrone – ウィキペディア

Brachistochrone （gr。 ブラキストス 最短、 クロノス 時間）は、初期ポイントとエンドポイントの間の列車であり、これは同様に高くても低い列車であり、重力強度の影響の下で速度で速度で始まる質量移動の質量ポイントがエンドポイントまで迅速に滑走します。トラックの最も深いポイントは、エンドポイントよりも深くなります。

たとえば、たとえば、より短い場合でも、ボディはそのようなトラックよりも速くスライドします。

同時に、この曲線はタトクロン、つまりH.曲線上のすべての出発点から、マスポイントはエンドポイントに到達するのに同じ時間がかかります。この事実は、振り子の質量がタトクロンで揺れている、SOがコールしたサイクロイド振り子で活用されています。

ブラジストクロンはサイクロイドの一部です。

ヨハンIベルヌーリは、最速のケースの問題に対処しました。 1696年、彼は最終的にブラキストクロンで解決策を見つけました。 ^[初め] 今日、あなたはしばしばこれを変動計算の誕生と見なすことができます。

1673年、Christiaan Huygensは、彼の論文ホロロジウムオシラトリウムにサイクロイド振り子を含むギアの寛大な振り子時計を発表しました。彼は、サイクロイド自体の進化が再びサイクロイドであるという事実を利用しました。ただし、ギアの精度の利点は、摩擦の増加に補われています。

Brachistochronは、パラメータープレゼンテーションで説明できます。つまり、ポイントをパラメーターで変化させるローカルベクトルとして表現できます。角度の関数として

${displaystyle varphi}$

（アーチサイズ）、その周りに半径のホイールがあります

${displaystyle r}$

ロールオフするとき、彼らはそうです

${displaystyle x}$

– と

${displaystyle y}$

-Coodinates：

${displaystyle x = rcdot（varphi -sin varphi）,,}$

${displaystyle y = rcdot（-1+cos varphi）、。}$

この曲線を理解するのに役立ちます。角度の半径「地区センターの接触点を取る」は、すでに展開されているルートです。

で考えてみましょう

${displaystyle x}$

–

${displaystyle y}$

– 曲線をベインします

${displaystyle y（x）}$

、それに沿って、最初からマスがポイントします

${displaystyle（x、y）=（0,0）}$

継続的な時間で

${displaystylet}$

目標に

${displaystyle（{overline {x}}、{overline {y}}）}$

スライディング。

彼は運動エネルギーを持っています

${displaystyle e_ {text {kin}} = {frac {1} {2}}、m、v^{2} = {frac {1} {2}}、m、（{v_ {x}}}^{2}+{b_ {{2ac} {} {} {} {} {} {} {{2} {{2} {{2} {{2} {{2} {{2} {{2} {{2} {} {2}左（左（左（{frac {mathrm {d} x} {mathrm {d} t}右）^{2}+左（{frac {mathrm {d} y} {mathrm {d} x}}、{frac = {d} x} {{mathrm {{d} {d} {d} {d} {d} {d} {frac {1} {2}}、m、left（{frac {mathrm {d} x} {mathrm {d} t}}右）^{2}左（1+左（{frac {mathrm {d} y} {d} x} {2）^{2）$

そしてポテンシャルエネルギー

${displaystyle e_ {text {pot}} = mcdot gcdot y（x）}$

ある

${displaystyle y}$

重力場の高さと

${displaystyle g}$

重度の加速。

最初に起源から分離された休眠量の質量がある場合、エネルギー全体が列車に沿って保存され、初期値ゼロがあります。

${displaystyle 0 = {frac {1} {2}}、m、左（{frac {mathrm {d} x} {mathrm {d} t}}右）^{2}ドットY（x）}$

これは後にできます

${display style {twomanc {pushm {d} x} {mhrmm {d} t}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

溶解することができます。反転関数の導出、

${displaystylet（x）}$

それは、粒子がその場所を何時に指定します

${displaystyle（x、y（x））}$

通り抜けて、これに逆です

${displaystyle {frac {mathrm {d} t} {mathrm {d} x}} = {sqrt {frac {frac {mathrm {d} y} {mathrm {d} x}}）^{2} {-2、g、g、g、g、$

を通して統合します

${displaystyle x}$

-0からエリア

${displaystyle {overline {x}}}$

、これにより、用語が最小化されます

${displaystylet}$

レール曲線の機能として

${displaystyle y（x）}$

${displaystyle t [y] = {frac {1} {sqrt {2、g}}} int _ {0}^{overline {x}}、{sqrt {frac {frac {1+（{frac {mathrm {d} y} {{d} {d}}}}}} {} {{d}} } mathrm {d} x}$

物理的変動の問題で一般的な名前に接続するために、統合変数を呼び出します

${displaystylet}$

、 説明

${displaystyle -y}$

と

${displaystyle r}$

そして、単にそれを最小化します

${displaystyle {sqrt {2、g}}}$

機能的に増殖しました。
そのため、効果を最小限に抑えます

${displaystyle w [r] = int、{sqrt {frac {1+（{frac {d} r} {mathrm {d} t}}）^{2}} {r}}} mathrm {d} t}}$

ラグランゴルト関数を使用

${displaystyle {mathcal {l}}（t、r、v）= {sqrt {frac {1+v^{2}} {r}}}}}}$

ラグラン関数は統合パラメーターからではないため、時間

${displaystylet}$

依存します、エーテル定理に従って関連するエネルギー /ハミルトン関数

${displaystyle h = vpartial _ {v} {mathcal {l}} – {mathcal {l}} = – {frac {1} {sqrt {r（1+v^{2}）}}}}}}$

軌道に乗って

${displaystyle r（t）}$

のために保存されています

${displaystyle w [r]}$

最小限になります。
関数

${displaystyle r（t）}$

正の定数で満たされました

${displaystyle r}$

方程式

${displaystyle左（1+左（{frac {mathrm {d} r} {mathrm {d} t}}右）^{2}右）、r = 2、r}$

また

${displaystyle left（{frac {mathrm {d} r} {mathrm {d} t}}右）^{2} – {frac {2、r} {r}} = -1}$

ケプラーのポテンシャルにある粒子のように

${disclayStyle提案-1 / r}$

サミットの高さから垂直

${displaystyle 2、r}$

滝。

別々の変更可能なこの方程式の代わりに

${displaystyle {tfrac {mathrm {d} r} {mathrm {d} t}}}}}$

溶解して統合するために、それを確認するだけです

${displaystyle T（varphi）= r、（varphi -sin varphi）、r（varphi）= r、（1 -Cos varphi）}$

この方程式のパラメトリック解であり、それによって

${displaystyle {mathrm {d}}} {d}} {d}} = {mathrm {d} r} varphi}} {mathrm {d} varphi}}}}}}} {frac {sin varphi} {1-cos}}}}}}}}$

悪用された。
だからあなたが探している電車はそうです

${displaystyle（x、y（x））}$

によって与えられるパラメトリック

${displaystyle {begin {pmatrix} x（varphi）rix} varphi \ -1end {pmatrix}}+{begin {pmatrix} cos varphi＆-sin varphi \ sin varphi＆cos varphi end end end$

最後の分解から、列車が

${displaystyle y（x）}$

から抜け出します
ローカルベクター

${displaystyle R、（varphi、-1）}$

半径のあるホイールのハブ

${displaystyle r}$

下にまとめます

${displaystyle x}$

– ロールスに加えて、最初に上向きに上向きに角度で指す音ベクター

${displaystyle varphi}$

回転します。曲線は、ローリングホイールの周辺点の経路です。

• 鉄道は、体の質量と重量、つまり地下加速のサイズに関係なく独立しています。
• 同様に、ロータリーエネルギーを吸収するローリングボールも、理想的な曲線には何も変わりません。
• 最初の接線は垂直です。
• 2つのBrachistochronsが開始点とエンドポイントの間に同じ勾配を持っている場合、それらは似ています。
• 勾配が2/π（63.66％）以上である場合、エンドポイントは曲線の最も深いポイントであり、グレードが小さい場合、低い点は開始点とエンドポイントの間にあります。
• 勾配が0の場合、開始点とエンドポイントが同じ高さの場合、曲線は対称的です。

• 

  第1フェーズ：両方のボールがパーにあります。

• 

  2番目のフェーズ：フロントボールはより強い勾配によって加速します。

• 

  3番目のフェーズ：フロントボールは長い方法にもかかわらず、フロントにあります。

1. ↑ Actaは学んだ。 （1696）。 Siehe IstvanSzabó： 機械的原則の歴史。 3番目の修正および拡張版1987、p。110、ISBN 978-3-0348-9980-2。