パラボロイド – ウィキペディア

a 放物線 2次領域（Quadrik）であり、方程式によって最も単純なケースで説明されています。

• 
  ${displaystyle p1colon z = x^{2}+y^{2}}$

  ために エリプトシュパラボロイド

• 
  ${displaystyle p2colon z = x^{2} -y^{2}}$

  のために 双曲線パラボロイド

楕円形 パラボロイドは、たとえば、衛星ボウルの表面として、そしてエネルギーのデザイン図としてあなたに遭遇します ^[初め] 衝撃的な剛性の剛体で。
双曲線 放物線はサドルサーフェスです。それらには直線が含まれているため、建築家や土木技術者によって簡単にモデル化可能な屋根形状（双曲線麻痺シェル）として使用されています。 ^[2] 。

方程式に基づいて、両方の領域には多くのたとえ話が含まれていることがわかります。これは命名に貢献しています。

${displaystyle p1}$

ロータリーエリアです。

${displaystyle p1}$

方程式とともにX-Zレベルで放物線を回転させることによって作成されます

${displaystyle z = x^{2}}$

Z軸の周り。

${displaystyle p2}$

は いいえ 回転領域。でも

${displaystyle p2}$

2つの例外を除き、Z軸を通る1レベルでそれぞれカットが放物線です。たとえば、カットはレベルにあります

${displaystyle x = 0}$

（Y-Zレベル）放物線

${displaystyle z = -y^{2}}$

。
どちらの表面もスライドエリアとして見ることができ、第2の放物線に沿って放物線を移動することで作成できます。

ただし、本質的な違いもあります。

• 
  ${displaystyle p1}$

  高さのカットとしてあります 円 （一定の場合

  ${displaystyle with}$

  ）。一般的に、そうです エリプセン （以下を参照）、名前添加剤に反映されています、

• 
  ${displaystyle p2}$

  高さのカットとしてあります ハイパーベルン また 真っ直ぐ （ために

  ${展示z = 0}$

  ）、どのような追加 双曲線 正当化します。

双曲線放物線を双曲線と混同しないでください。

エリプトシュパラボロイド [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

関数のグラフの回転に起因する楕円麻痺は

${displaystyle f（z）= {sqrt {z}}}$

に

${displaystyle with}$

-軸。以下は導出に適用されます

${displaystyle f ‘（z）= {tfrac {1} {2 {sqrt {z}}}}}}}$

。高さの楕円形のパラボロイドの体積と表面

${displaystyle h}$

積分を使用したGuldinルールになります。

音量 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

${displaystyle v = pi int _ {0}^{h}（f（z））^{2} mathrm {d} z = pi int _ {0}^{h} z mathrm {d} z = {frac {pi h^{2}} {2}}}}}}$

水面 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

${displaystyle {begin {aligned} a＆= 2pi int _ {0}^{h} f（z）{sqrt {1+left（f ‘（z）右）^{2}}} mathrm {d} z \＆= 2pi int _ {sf} {sqrt} {sqrt} {sqrt （{frac {1} {2 {sqrt {z}}}} right）^{2}}} mathrm {d} z \＆= 2pi int _ {0} {0} {h} {frac {1} {2}}} {sqrt {4z+1}} {d} {d} {d} {d} {d} {d} {frac {1} {12}}（4z+1）^{frac {3} {2}} {big |} _ {z = 0}^{z = h} right）\＆= {frac {pi} {6}}左（4h+1）^{3+1）^{3+1） }$

接線レベル [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

エリアポイントの接線レベル

${displaystyle（x_ {0}、y_ {0}、f（x_ {0}、y_ {0}）}$

微分可能な関数のグラフ

${displaystyle f}$

方程式があります

${displaystyle z = f（x_ {0}、y_ {0}）+f_ {x}（x_ {0}、y_ {0}）（x-x_ {0}）+f_ {y}（x_ {0}、y_ {0}）（y-y_ {0}）}}}}$

。

ために

${displaystyle f（x、y）= x^{2}+y^{2}}$

ポイントの接線レベルの方程式の結果

${displaystyle（x_ {0}、y_ {0}、x_ {0}^{2}+y_ {0}^{2}）}$

${displaystyle z = 2x_ {0} x+2y_ {0} y-（x_ {0}^{2}+y_ {0}^{2}）}$

。

レベルカット [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

DAS楕円麻痺

${displaystyle p1}$

回転領域であり、放物線の回転によって作成されます

${displaystyle z = x^{2}}$

に

${displaystyle with}$

-軸。のレベルのカット

${displaystyle p1}$

は：

• 一 放物線 、レベルの場合 垂直 （に平行
  ${displaystyle with}$

  -xis）is。

• 一 楕円 またはa 点 また ファイル 、レベルの場合 非vertical は。水平レベルのカット
  ${displaystyle p1}$

  1つ 丸 。

• a 点 、レベルが接線レベルの場合。

アフィン写真 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

楕円形の放物線は、アフィンの写真です

${displaystyle p1}$

。最も単純なアフィン画像は、座標軸のスケーリングです。それらは方程式で放射線を供給します

${displaystyle p1_ {ab} colon z = {frac {x^{2}} {a^{2}}}+{frac {y^{2}} {b^{2}}}、a、b> 0}}$

${displaystyle p1_ {ab}}$

まだ垂直レベルによって放物線でカットされているという特性があります。しかし、ここでの水平レベルは楕円でカットされます

${displaystyle aneq b}$

適用可能です。楕円形のパラボロイドがサークルを含んでいるという事実は 円形 表示されています。

${displaystyle p1_ {ab}}$

は

• 対称
  ${displaystyle xz}$

  – また。

  ${displaystyle yz}$

  -KOORDINATENEBENEN。

• 対称に
  ${displaystyle with}$

  -ACHS、d。 H.

  ${displaystyle（x、y、z）rightArrow（-x、-y、z）}$

  葉

  ${displaystyle p1_ {ab}}$

  不変。

• 回転対称if
  ${displaystyle a = b}$

  は。

述べる：

1. 回転放物線（すなわち
   ${displaystyle a = b}$

   ）軸が同じ焦点を持つため、回転軸を持つすべてのパラベルが同じ焦点を持つため、放物線レベルとして非常に技術的に重要です。

2. 対称軸の周りに一定の回転速度で水で満たされたガラスがある場合、水はしばらくするとガラスで回転します。その表面は、回転傍ボロイドを形成します。
3. しばしば楕円形の傍ボロイドは短いです 放物線 呼び出されました。

均一な座標 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

均一な座標を導入して、方程式を通してリモートレベルを導入する場合

${displaystyle x_ {4} = 0}$

説明されている、あなたはしなければならない

${displaystyle x = {tfrac {x_ {1}} {x_ {4}}}、y = {x_ {2}} {x_ {4}}}}}}}、z = {tfrac {x_}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

設定。分母を除去した後、の均一な説明

${displaystyle p_ {1}}$

方程式を通して：

${displaystyle x_ {1}^{2}+x_ {2}^{2} = x_ {3} x_ {4}}$

。

距離レベルの放物線の切断

${displaystyle x_ {4} = 0}$

ポイントです

${displaystyle（0：0：1：0）}$

。

座標変換

${displaystyle x_ {1} = u_ {1}、; x_ {2} = u_ {2} ,; x_ {3} = u_ {3}+u_ {4} ,, x_ {4} = -u u_ {3}+u_ {4}}}}}}$

方程式を届けます

${displaystyle u_ {1}^{2}+u_ {2} {2}+u_ {3} {{2} = u_ {4} {}}}}}$

。

新しい座標では、レベルが削減されます

${displaystyle u_ {4} = 0}$

放物線ではありません。

アフィン座標をもう一度通過している場合

${Displaystyle x = {tfrac {u_ {1}} {{4}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}, y = {tfrac {u_ {{} {{{{4}}}}}}}, z = {tfrac {u_ {3}} {{4}}}}}}}}$

ユニットボールの方程式を取得します。

${displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} = 1。}$

これは、楕円形のパラボロイドがそうであることを示しています 射影 ボールに相当します。

双曲線パラボロイド [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

接線レベル [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

ために

${displaystyle f（x、y）= x^{2} -y^{2}}$

ポイントの接線レベル（上記を参照）の方程式です

${displaystyle（x_ {0}、y_ {0}、x_ {0}^{2} -y_ {0}^{2}）}$

${displaystyle z = 2x_ {0} x-2y_ {0} y-x_ {0}^{2}+y_ {0}^{2}}$

。

レベルカット [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

${displaystyle p2}$

とは対照的に

${displaystyle p1}$

いいえ 回転領域。しかし、同様です

${displaystyle p1}$

にいます

${displaystyle p2}$

ほぼすべての垂直レベルは釈ableします：

レベルのカット

${displaystyle p2}$

は

• 一 放物線 、レベルが垂直に（に平行になっている場合
  ${displaystyle with}$

  -achsse）は方程式です

  ${displaystyle ax+by+c = 0、aneq pm b}$

  もっている。

• 一 真っ直ぐ 、レベルが垂直で方程式の場合
  ${displaystyle y = pm x+c}$

  もっている。

• a まっすぐなライナーのカップルを切る 、レベルが接線レベルの場合（図を参照）。
• 一 ハイパーベル 、レベルが垂直ではなく、接線レベルではない場合（図を参照）。

より多くのプロパティ [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

1. に平行なレベルを持つカットされたたとえ話
   ${displaystyle xz}$

   – また

   ${displaystyle yz}$

   レベルはすべて、標準的な放物線と一致しています

   ${displaystyle z = x^{2}}$

   。

2. 
   ${displaystyle p2}$

   スライド面です。

   ${displaystyle p2}$

   放物線を移動することによって作成されます

   ${displaystyle z = x^{2}、y = 0}$

   放物線に沿ってあなたの王冠と一緒に

   ${displaystyle z = -y^{2}、x = 0}$

   。

3. 1つを含む非転覆レベルには、常に2番目のストレートが含まれ、接線レベルです。
4. エリア以来
   ${displaystyle p2}$

   コインには、コントロールエリアです。

5. 
   ${displaystyle p2}$

   コノイド​​です。

6. 双曲線放物線には直線（およびシリンダーとコーン）が含まれていますが、ガウスの曲率がすべてのポイントで不平等であるため、処理することはできません。ガウスの曲率はどこよりも0よりも小さくなっています。ボールの場合、ガウスの曲率は0より大きくなります。これにより、双曲線のパラボロイドがサドル領域になります。
7. 周囲の座標系を回転させることにより
   ${displaystyle with}$

   -Axis 45度程度は方程式です

   ${displaystyle z = x^{2} -y^{2}}$

   より単純な方程式で

   ${displaystyle z = 2xy}$

   その上。

高さのカットとして双曲線を伴う双曲線放物

アフィン写真 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

双曲線放物線は、アフィンの写真です

${displaystyle p2}$

。最も単純なアフィン画像は、座標軸のスケーリングです。それらは、方程式を伴う双曲線傍線を供給します

${displaystyle p2_ {ab}：z = {frac {x^{2}} {a^{2}}} – {frac {y^{2}}} {b^{2}}}、a、b> 0}}$

${displaystyle p2_ {ab}}$

は

述べる：
双曲線放物線は、アーキテクトによって屋根を設計するために使用されます（図を参照）。ストレートで簡単にモデル化できるためです。

4ポイントの補間面積 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

4ポイントの補間領域としての双曲線放物線

双曲線放気面もそうである可能性があります 双線形補間エリア 4から いいえ 1つのレベルのポイント

${displaystyle mathbf {a} _ {1}、; mathbf {a} _ {2}$

理解 ^[3] ：

• 
  ${displaystyle {mathbf {x}}（u、v）= {begin {pmatrix} 1-u＆uend {pmatrix}}} {begin {pmatrix} {bf {a_ {1}}}}＆{bf {b_ {{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} b_ {2}}} end {pmatrix}} {begin {pmatrix} 1-v \ vend {pmatrix}}}}$

  

${displaystyle =(1-v){big (}(1-u)mathbf {a} _{1}+umathbf {a} _{2}{big )} + v{big (}(1-u)mathbf {b} _{1}+umathbf {b} _{2}{big )} }$

。

パラメーター線のネットワークは、直線で構成されています。

イラストに示す例は次のとおりです

${displaystyle mathbf {a} _ {1} =（0,0,0）^{t} ,, mathbf {a} _ {2} =（1,0,0）^{t} ,, mathbf {b} _ {1} =（0,1,0）^{t}、; mathbf {b} _ {2} =（1,1,1）^{t}}$

。 ITで説明されている双曲線傍線には方程式があります

${displaystyle z = xy}$

。

Bary Center Coordinatesのプレゼンテーションも参照してください。

均一な座標 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

あなたはのようにリードします

${displaystyle p_ {1}}$

均一な座標、双曲線放物線の説明が得られます

${displaystyle p_ {2}}$

方程式を通して：

${displaystyle x_ {1}^{2} -x_ {2}^{2} = x_ {3} x_ {4}}$

。

距離レベルの放物線の切断

${displaystyle x_ {4} = 0}$

2つのストレートで構成されています

${displaystyle g_ {1}：x_ {1}+x_ {2} = 0、x_ {4} = 0、; g_ {2}：x_ {1} -x_ {2} = 0、x_ {4} = 0;}$

その時点にいる人

${displaystyle（0：0：1：0）}$

切る。

座標変換

${displaystyle x_ {1} = u_ {1}、; x_ {2} = u_ {3}、; x_ {3} = u_ {2}+u_ {4} ,, x_ {4} = -u u_ {2}+u_ {4}}}}}}$

方程式を届けます

${displaystyle u_ {1} {{2}+u_ {2} {{2} -u_ {3} {{2} = u_ {4} {}}}}}}$

。

リモートレベル

${displaystyle u_ {4} = 0}$

パラボロイドを円で切ります。

アフィン座標に戻ると、方程式が得られます

${displaystyle x^{2}+y^{2} -z^{2} = 1}$

単一の互いの双曲線。

したがって、双曲線麻痺はそうです 射影 単一の双曲体に相当します。

楕円形と双曲線のパラボロイドの原動力の間のインターフェース [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

方程式を残します

${displaystyle z = x^{2}+{frac {y^{2}} {b^{2}}}}}$

（楕円形のパラボロイドのシェル）

と

${displaystyle z = x^{2} – {frac {y^{2}} {b^{2}}}}}$

（双曲線放物線症）

パラメーター

${displaystyle b}$

に対して

${displaystyle infty}$

実行して、共通のインターフェイスの方程式を取得します

${displaystyle z = x^{2}}$

。

これは1つの方程式です 放物線シリンダー クロスセクションとして放物線があります（図を参照）。

その形では、スタッキングチップは、安定性を高めるために双曲線放物線に似ています。

1. ↑ K.-E.クロール： エネルギー指定図の助けを借りて摩擦衝撃のレベルでエネルギー変換を表示する 。 In：Cassius Alexandru、GünterGödert、UweGörn、Roland Parchem、Joachim Villwock（編）： メカニックへの貢献 。教授の65歳の誕生日の記念出版物ルドルフ・トロステル。 TUベルリン大学図書館、出版部、ベルリン1993、ISBN 3-7983-1581-7、pp。148–169。
2. ↑ K.-E.クロール： 構造理論の歴史。平衡を検索します 。 Ernst＆Sohn、Berlin 2018、pp。743–747、ISBN 978-3-433-03229-9
3. ↑ G.ホワイト： コンピューターを支援するための曲線と表面 、Academic Press、1990、ISBN 0-12-249051-7、S。250