Borelscheσ配節 – ウィキペディア

Borelscheσ配節 は、測定理論の数量システムであり、現代の安定性と統合理論の公理構造に不可欠です。 Borelscheσ代節は、ボリュームまたはナイーブの確率を割り当てたいすべての量を含むσ代数ですが、Vitaliの文などの否定的な結果は除外されます。

Borelscheσ代節は、トポロジールームの構造、したがってメトリック室と標準化された部屋の両方に自然に適応することにより、特に重要性が与えられています。これは、とりわけ、すべての安定した関数がボレルシェンσ配置の観点から常に測定可能であることがわかります。

ボーレルσ配置に含まれる量は、非常にまれな場合にのみ完全に説明できます。逆に、多くを構築することは困難です いいえ ボレルシェンσ相対にあります。経験豊富な経験則として ^[初め] 数量または「建設的に作ることができる多く」 ^[2] 含む。

Borelscheσ配置に含まれる量 ボレルマーン 、 ブロレスセル思考 また ボレル測定可能な量 呼び出されました。 1898年に暗黙のうちに使用されたエミール・ボレルに敬意を表して、σ代節と量の命名が続きます。 ^[3]

トポロジカル領域があります

${displaystyle（x、{mathcal {o}}）}$

、それによって

${displaystyle {mathcal {o}}}$

オープン数量の量システムはです。

それからその手段

${displaystyle {mathcal {o}}}$

Borelscheσ配置のσ配置を生成しました。彼女は一緒にいます

${displaystyle {mathcal {b}}（x）}$

参照または金額の場合

${displaystyle x}$

文脈からも見ることができます

${displaystyle {mathcal {b}}}$

。

だからそうです

${displaystyle {mathcal {b}}（x）：= sigma（{mathcal {o}}）}$

、

ここで

${displaystyle sigma（cdot）}$

σ演算子を示します。したがって、Borelscheσ配節は、すべてのオープン量を含む最小のσ代数（量包含に関して）として定義されます。

備考 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

• Borelscheσ配節は常に明確に決定されます。
• したがって、ボウルσ配置は、測定空間の追加構造を標準的な方法で装備することができます。この構造に関しては、スペースも言及されています。ただし、他の測定室はボレルルームとも呼ばれます。
• メトリックルームと標準化された部屋の場合、メトリックまたは標準によって生成されるトポロジはトポロジとして選択されます。
• ボレルシェンσ配置に含まれる量は、ボレル量と呼ばれます。ボレル量のクラスは、ススライナーまたは分析量のクラスのサブクラスです。 ^[4]

総額

${displaystyle mathbb {r}}$

実際の数字には通常、トポロジが装備されており、オープン間隔で与えられます

${displaystyle（a、b）}$

合理的なエンドポイントで固定されています。これにより、Borelscheσ相対ブラは分離可能なσ代数になります。ただし、他のトポロジも個々の場合にも利用できます

${displaystyle mathbb {r}}$

考慮して、これは標準的なトポロジーと見なされます

${displaystyle mathbb {r}}$

、そしてそれから派生したボレルシュσ-相対ブラは単に Borelscheσ配節

${displaystyle mathbb {r}}$

専用。

borelscheσ配節

${displaystyle mathbb {r}}$

のすべてのサブ量が含まれているわけではありません

${displaystyle mathbb {r}}$

。のボレルシェσ相対ブラチブラが示すことさえできます

${displaystyle mathbb {r}}$

同等

${displaystyle mathbb {r}}$

の間、のすべてのサブ量の量

${displaystyle mathbb {r}}$

より大きな厚さよりも

${displaystyle mathbb {r}}$

所有。

プロデューサー [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

Borelscheσ配節は直接定義されるのではなく、暗黙的にプロデューサーを使用しています。これは特定の数量システムです

${displaystyle {mathcal {e}}}$

、生産者のあらゆる量を受け取るのは最小のσ代数であるという意味で、ボレルシェσ相対を作成します。詳細については、σ代数の生産者を参照してください。可能な生産者のいくつかは次のとおりです。

• 
  ${displaystyle {mathcal {e}} _ {0} = {asubset mathbb {r} mid a {text {is open}}}}}$

  定義ごと

• 
  ${displaystyle {mathcal {e}} _ {1} = {[a、b] Subset mathbb {r} mid aleq b}}}$

  また

  ${displaystyle {mathcal {e}} _ {2} = {[a、b] Subset mathbb {r} mid aleq b、; a、bin mathbb {q}}}}}$

  

• 
  ${displaystyle {mathcal {e}} _ {3} = {（a、b）Subset mathbb {r} mid a$

  また

  ${displaystyle {mathcal {e}} _ {4} = {（a、b）Subset mathbb {r} mid a$

  

• 
  ${displaystyle {mathcal {e}} _ {5} = {（a、b] Subset mathbb {r} mid aleq b}}}$

  また

  ${displaystyle {mathcal {e}} _ {6} = {（a、b] Subset mathbb {r} mid aleq b、; a、bin mathbb {q}}}}}$

  

• 
  ${displaystyle {mathcal {e}} _ {7} = {（ – infty、a] mid ain mathbb {r}}}$

  また

  ${displaystyle {mathcal {e}} _ {8} = {（ – infty、a] mid ain mathbb {q}}}$

  

• 
  ${displaystyle {mathcal {e}} _ {9} = {（ – infty、a）mid ain mathbb {r}}}$

  また

  ${displaystyle {mathcal {e}} _ {10} = {（ – infty、a）mid ain mathbb {q}}}$

  

特に、明らかに、Borelscheσ代節のプロデューサーがいくつかあります。 Borelscheσ配置は、生産者を指定することにより明確に決定されます。特定の生産者の選択は、多くの場合、状況に依存します。生産者の値を指定することにより測定率に従って明確に決定されるため、平均数量システムは生産者として選択されることがよくあります。配布関数を使用する場合、プロデューサーが利用可能です

${displaystyle {mathcal {e}} _ {7}}$

それまで

${displaystyle {mathcal {e}} _ {10}}$

で。合理的な制限のある間隔は、近似引数によく使用されます。特に、ここにリストされている生産者はそうです

${displaystyle {mathcal {e}} _ {5}}$

と

${displaystyle {mathcal {e}} _ {6}}$

Halbringe（あなたがそれぞれ

${displaystyle（a、a]：= emptySet}$

生産者に空の量が含まれるように定義されています）。

含まれている量 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

Borelscheσ相対に含まれる量は豊富です。を含む

• すべてのオープン量、すべての完成した量、およびすべてのコンパクトな量
• そこにすべての間隔が形成されます
  ${displaystyle（a、b）、[a、b]、（a、b]、[a、b）}$

  ために

  ${displaystyle a、bin mathbb {r}}$

  としても

  ${displaystyle（-infty、b）、（ – infty、b]、（a、infty）}$

  と

  ${displaystyle [a、infty）}$

  

• すべてのポイントは恥ずかしいので、形を考えてください
  ${displaystyle {a}}$

  ために

  ${displaystyle ain mathbb {r}}$

  のすべての有限サブ量

  ${displaystyle mathbb {r}}$

  のすべての可算サブ量

  ${displaystyle mathbb {r}}$

  

• σ-albreadの定義特性から、有限で数える可能性のある無限の関連性とボレル量のカットは、再び違いと補体です。
• は
  ${displaystyle fcolon mathbb {r} to mathbb {r}}$

  立っていると、穴の量の皮肉でさえも、再びボレル量です。特に、生成のためにも、サブレベル、超ナッピングルームが構成されています。

拡張された実数のBorelscheσ配節 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

場合によっては、値の実数は

${displaystyle pm infty}$

拡張してから、それに応じて呼び出します

${displaystyle {overline {mathbb {r}}}：= mathbb {r} cup {+infty、-infty}}$

拡張された実数。たとえば、数値関数を調べるときに表示されます。拡張された実数のボレルシェσ配置ブララは、

${displaystyle {mathcal {b}}（{overline {mathbb {r}}}）：= {acup emid ain {mathcal {b}}（mathbb {r}）$

。

したがって、実数のすべてのボレル量とこれらのボレル量から構成されています

${displaystyle {infty}}$

、

${displaystyle {-infty}}$

また

${displaystyle {infty、-infty}}$

。

分離可能なメトリックルームのボレルシェσ配置 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

分離可能なメトリック空間があります

${displaystyle（x、d）}$

。オープンボールは、メトリックによって生成されるトポロジーと呼ばれる基礎としてトポロジを作成します。すべてのオープン量は、分離性のために、オープンボールの可算の関連性として記述されます（これは、2番目のカウントAxiomのメトリックケースで同等です）。一番小さい

${displaystyle sigma}$

– オープンボールを含むアルブラは、したがってすべてのオープン量を含むため、ボレルシェンに等しくなります

${displaystyle sigma}$

-代数。

特別なケースについて

${displaystyle xsubseteq mathbb {r} ^{n}}$

と

${displaystyle d}$

ユークリッドメトリックは、次のセクションで詳細に入力されます。

最終的に寸法の実際のベクトルルームのBorelscheσ配節 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

最終的に寸法ベクトルルームに

${displaystyle mathbb {r} ^{n}}$

正規のトポロジーになります

${displaystyle n}$

– 次元立方体

${displayStyle（a_ {1}、b_ {1}）タイムドッツタイム（a_ {n}、b_ {n}）}$

合理的な座標付き

${displaystyle a_ {i}}$

と

${displaystyle b_ {i}}$

クランプ。彼女は同時にです

${displaystyle n}$

-canonicalのトポロジーの製品トポロジー

${displaystyle mathbb {r}}$

。それによって生成されたborelscheσ配節 Borelscheσ配節

${displaystyle mathbb {r} ^{n}}$

。

このようにして、複雑な数字のボレルシェσ配置もエレガントに説明されています。

${displaystyle mathbb {c}}$

と

${displaystyle mathbb {r} ^{2}}$

。

Borelscheσ相対に属さないサブセットは、通常、直感的なエキゾチックなキャラクターを持っています。 3次元の実際の空間では、バナッハタルスキーパラドックスで使用される量は、ボレルのσ配置に属さないサブ量の例を形成します。

一般的なトポロジ室のボレルシェσ配置 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

トポロジ室のボレルシェンσ配置の特性は、トポロジカル領域の構造に大きく依存しています。一般に、ボレルシェσ配置は常にすべてのオープン（定義により）およびすべての完成した量（補体安定性のため）を常に含んでいるとのみ言えます。

トポロジカル空間の構造が多いほど、Borelscheσ相対が含まれている量が増えます。適用されます：

• トポロジースペースがT1ルームの場合、すべての初等量がBorelscheσ配節に含まれています。これには、すべての有限量、すべての可算量、およびボレルσ代数に最終的または可算無限補体を持つすべての量が含まれます。
• トポロジカルエリアがハウスドーフルーム（メトリックスペースなど）の場合、すべてのコンパクトな量が閉じられているため、ボレルシェσ代数に含まれています。

2つのトポロジールームです

${displaystyle（x_ {1}、{mathcal {o}} _ {1}）}$

と

${displaystyle（x_ {2}、{mathcal {o}} _ {2}）}$

Borelscheσ配置の場合、2つのタイプで定義できます。

• （トポロジー）製品スペースを形成します
  ${displayStyle x_ {1}回数x_ {2}}$

  、製品トポロジーが提供されています

  ${displaystyle {mathcal {o}} _ {1} otimes {mathcal {o}} _ {2}}$

  専用。 Borelscheσ配節

  ${displayStyle x_ {1}回数x_ {2}}$

  その後、製品トポロジーのボレルシェσ相対として定義できます。

${displaystyle {mathcal {b}}（x_ {1} niges x_ {2}）：= sigma（{mathcal {o}}} _ {1} otimes {mathcal {o}} _ {2}）}$

• または、最初に個々のトポロジールームのボレルシェσアルゲバンを形成し、次に彼らの製品代数を形成します。
  ${displaystyle otimes}$

  専用：

$}$

実際、トポロジールームの家族に関する質問があっても、両方の構造が多くの場合に一致します

${displaystyle（x_ {i}）_ {iin i}}$

拡張されています。適用されます： ^[5]

は

${displaystyle（x_ {i}）_ {iin i}}$

トポロジルームの数え切れないファミリーがあり、それぞれが可算基盤を持っています（つまり、2番目のカウント公理を満たします）、

${displaystyle x}$

これらすべての部屋のトポロジカル産物はです

${displaystyle {mathcal {b}}（x）= bagotimes _ {iin i} {mathcal {b}}（x_ {i}）}}$

。

したがって、製品のボレルシェσ配置は、ボレルシェンσアルバムの製品σ代アルバブです。したがって、ステートメントは特にすべての分離可能なメトリックルームに適用されるため、

${displaystyle mathbb {r}}$

。そうです

${displaystyle {mathcal {b}}（mathbb {r} ^{2}）= {mathcal {b}}（mathbb {r}）otimes {mathcal {b}}（mathbb {r}）}}$

。

• 文献では、Felix Hausdorffによって導入された名前は、いくつかの単純なクラスのボレル量のために勝ちました。 ^{[6] [4] [7]}

– と

${displaystyle operatorname {f} _ {sigma}}$

可算量のすべての関連付けは、

– と

${displaystyle operatorname {g} _ {delta}}$

数え切れないほどの多くのオープン量のすべてのセクション、

– と

${displaystyle operatorname {f} _ {sigma delta}}$

すべてのカット可能な多くのカット

${displaystyle operatorname {f} _ {sigma}}$

–

– と

${displaystyle operatorname {g} _ {delta sigma}}$

数え切れないほどの多くの関連性

${displaystyle operatorname {g} _ {delta}}$

–

– と

${displaystyle operatorname {f} _ {sigma delta sigma}}$

数え切れないほどの多くの関連性

${displaystyle operatorname {f} _ {sigma delta}}$

–

– と

${displaystyle operatorname {g} _ {delta sigma delta}}}$

すべてのカット可能な多くのカット

${displaystyle operatorname {g} _ {delta sigma}}$

– メンガー

等

に

${displaystyle operatorname {f} _ {sigma}}$

、

${displaystyle operatorname {g} _ {delta}}$

、

${displaystyle operatorname {f} _ {sigma delta}}$

、

${displaystyle operatorname {g} _ {delta sigma}}$

、

${displaystyle operatorname {f} _ {sigma delta sigma}}$

、

${displaystyle operatorname {g} _ {delta sigma delta}}}$

、…ただし、このスキームでは、これらのすべてのクラスが一般的に1つの公理に関して結合しているため、すべてのボレル額が記述されることはありません。

${displaystyle sigma}$

– 代数はまだ完了していません。 ^[8]

総額

${displaystyle omega}$

ボレルシェンσ相対とともに、測定室は、そのようなホウ帯の寸法に基づいています。 Borelschenσ相対のすべての要素（偶数である）は、ボレル測定可能と呼ばれます。これらのみがボレルメジャーによって割り当てられた値に割り当てられます。

1. ↑ ジョージ： 安stic。 2009、S。12。
2. ↑ クレンケ： 確率理論。 2013、S。8。
3. ↑ 電気： 測定および統合理論。 2009年、S。17。
4. ↑ ^{a b} Pavel S. Alexandroff： 数量理論の教科書。 6.、それはauflageをbarbeiteすることでした。ハリ・ドイツ、木。 a。 1994、ISBN 3-8171-1365-X。
5. ↑ 電気： 測定および統合理論。 2009年、S。115。
6. ↑ ウラジミール・カノベイ、ピーター・コープケ： Hausdorffの量理論の基本的な特徴における記述的量教育。 2001、 uni-bonn.de（pdf; 267 kb） 。
7. ↑ Isidor P. Natanson： 実際の変数の機能の理論。 第4版の変更されていない再版。ハリ・ジャーマン、サン・u。 1977年、ISBN 3-87144-217-8（ロシア語のデジタル形式でも Institute of Computational Modeling SB RAS、Krasnojarsk ）。
8. ↑ で
   ${displaystyle mathbb {r} ^{n}}$

   z。たとえば、トランスフィナイト順序数の助けを借りて、すべてのボレル量がそれによって記録されるようにこのシステムを継続することが可能です（バイエルンクラス：ボレル量への接続を参照）。しかし、その中にはトポロジカルスペースもあります

   ${displaystyle operatorname {f} _ {sigma}}$

   – と

   ${displaystyle operatorname {g} _ {delta}}$

   – 次のような、穴の量のクラス全体を埋めます。 B. tで _初め – 数え切れないほどの多くのポイントを備えています。このトピックの詳細は、Felix Hausdorffにあります： それは大丈夫。 2番目、改訂版。 de Gruyter、ベルリンu。 1927年、読まれます。

• Sashi M. Srivastava： ボレルスセットのコース （= 数学の大学院テキスト。 bd。 180）。スプリンガー、ニューヨークニューヨークu。 a。 1998、ISBN 0-387-98412-7。
• Achim Klenke： 確率理論 。 3.エディション。 Springer-Verlag、Berlin Heidelberg 2013、ISBN 978-3-642-36017-6、doi： 10,1007/978-3-642-36018-3 。
• ハンス・オットー・ジョージ： 安stic 。確率理論と統計の紹介。第4版。 Walter de Gruyter、ベルリン2009、ISBN 978-3-11-021526-7、doi： 10.1515/9783110215274 。
• ユルゲン・エルストロット： 測定および統合理論 。 6.、修正版。 Springer-Verlag、Berlin Heidelberg 2009、ISBN 978-3-540-89727-9、doi： 10,1007/978-3-540-89728-6 。