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2番目の基本形式 数学の微分形状からの関数です。 2番目の基本形式は、最初に3次元空間の領域の理論で定義されていました。これは、古典的な差動幾何学のサブエリアです。今日、Riemann Geometryには一般化された定義もあります。

最初の基本形式は、エリアの内部ジオメトリ（つまり、エリア内の長さの測定によって決定できるプロパティ）を説明していますが、2番目の基本形式は周囲の空間内の領域の位置に依存します。曲率の​​計算には必要であり、たとえば、Mainardi Codazzazi式で発生します。
彼らの助けを借りて、最初の基本的な形式、主な湾曲、中程度の曲率、および地域のガウスの曲率の助けを借りて定義されています。

意味 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

領域は開いたサブセットを通過します

${displaystyle usubset mathbb {r} ^{2}}$

定義されたイラスト

${displaystyle xcolon uto mathbb {r} ^{3}、quad（u、v）mapsto x（u、v）}$

与えられた、そうです

${displaystyleu}$

と

${displaystyle v}$

パラメーター化。エリアが正規の場合、つまり領域の最初のファンダル形式が正確定である場合、エリアのユニット通常のベクトルを持つことができます

${displaystyle nu（u、v）}$

に割り当てます。パラメーター値の場合

${displaystyleu}$

と

${displaystyle v}$

エリアの特定のポイントは、ベクトル製品を通してです

${displaystyle nu（u、v）= {frac {x_ {u}（u、v）times x_ {v}（u、v）} {| x_ {u}（u、v）times x_ {v}（u、v）|}}}}}$

与えられた。 2番目の基本形式の係数 この点で、以下が定義されています。

${displaystyle l（u、v）= nu（u、v）cdot x_ {uu}（u、v）}$

${displaystyle m（u、v）= nu（u、v）cdot x_ {uv}（u、v）}$

${displaystyle n（u、v）= nu（u、v）cdot x_ {vv}（u、v）}$

定義されています。ここにあります

${displaystyle x_ {uu}（u、v）}$

、

${displaystyle x_ {uv}（u、v）}$

と

${displaystyle x_ {and}（u、v）}$

パラメーターに応じた2番目の部分派生。
MalPointsは、ベクトルからスカラー製品を発現します。
スペルを簡素化するために、議論はしばしば省略され、書き込みのみを書きます

${displaystyle l}$

、

${displaystyle m}$

と

${displaystyle n}$

。一部の著者は名前を使用しています

${displaystyle e}$

、

${displaystyle f}$

と

${displaystyle g}$

。

2番目の基本形式 次に、正方形の形です

${displaystyle {mathit {ii}} colon mathbb {r}^{2} to mathbb {r}、（w_ {1}、w_ {2}）mapsto l、w_ {1}^{2}+2m、w_ {1} w_ {2}+n、w_ {2} {2}$

場合によっては、微分のスペルも使用されます。

${displaystyle dsigma^{2} = l、you^{2}+2m、you、dv+n、dv^{2}}$

別の（よりモダンな）スペルは次のとおりです。

${displaystyle h_ {11} = l; quad h_ {12} = h_ {21} = m; quad h_ {22} = n}$

、

2番目の基本形式には、マトリックスプレゼンテーションがあります

${displaystyle（h_ {ij}）= {begin {pmatrix} l＆m \ m＆nend {pmatrix}}。}}$

多くの場合、2番目のファウンダルフォームは、このマトリックスで示される双線形の形状を指します

${displaystyle h}$

。

特性 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

差別

${displaystyle ln-m^{2}}$

2番目の基本形式の（つまり、表現マトリックスの決定要因）は、与えられた領域が検討中の領域でどのように湾曲しているかについての情報を提供します。区別すべき3つのケースがあります。

• ために
  ${displaystyle ln-m^{2}> 0}$

  
  ${displaystyle ln-m^{2} = 0}$

  意味 放物線の曲率 。 （例：まっすぐな円柱の表面）

• 滝
  ${displaystyle ln-m^{2} <0}$

  適用されます、1つは話します 双曲線湾曲 。 （例：シングルマインド双曲線）

ボールの表面の例 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

最初の創立形式の記事の例に従って、球体の表面が再びあります

${displaystyle r> 0}$

${displaysty x（u、v）= {bebet {rsin uend usin v \ rcos uend {pmmrix}}}}$

パラメーター化。その後、ユニットの通常のフィールドを実行できます

${displaystyle nu（u、v）= {frac {1} {r}} x（u、v）}$

説明されます。の2番目の部分的な派生

${displaystyle x}$

指輪

${displaystyle x_ {uu} = -x、}$

としても

${displaystyle x_ {uv} = left（{begin {smallmatrix} -rcos usin v \ rcos ucos v \ 0end {smallmatrix}}右）、}$

と

${displaystyle x_ {vv} = left（{begin {smallmatrix} -rsin ucos v \ -rsin usin v \ 0end {smallmatrix}}右）}$

。

したがって、係数を取得します

${displaystyle l = -r}$

、

${displaystyle m = 0}$

と

${displaystyle n = -rsin ^{2}（u）}$

。微分の助けを借りてボール表面の2番目の基本形式の表現は、

${displaystyle dsigma ^{2} = -r、du ^{2} -rsin ^{2}（u）、dv ^{2}。}。}。$

エリアの特別なケースグラフ [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

関数のグラフの領域です

${displaystyle f}$

パラメーター領域の上

${displaystyleu}$

、 また

${displaystyle x（u、v）=（u、v、f（u、v））}$

すべてのために

${displaystyle（u、v）in u}$

適用される： ^[初め]

${displaystyle nu = {frac {1} {sqrt {1+f_ {u}^{2}+f_ {v}^{2}}}}}} {pmatrix} -f_ {u} \ -f_ {v} \$

と

${displaystyle l = {frac {f_ {uu}} {sqrt {1+f_ {u}^{2}+f_ {v}^{2}}}}}}}}}}}}}} }}}}、quad n = {frac {f_ {vv}}} {sqrt {1+f_ {u}^{2}+f_ {v}^{2}}}}。}}}}}}}}}$

ここで説明してください

${displaystyle f_ {u}}$

と

${displaystyle f_ {v}}$

最初と

${displaystyle f_ {uu}}$

、

${displaystyle f_ {uv}}$

と

${displaystyle f_ {vv}}$

の2番目の部分的な派生

${displaystyle f}$

。

Riemann幾何学でより記述的な構造に置き換えられた最初の基本形式とは対照的に、2番目の基本形式は、Riemann幾何学と一般化された定義において重要な意味もあります。

意味 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

多分

${displaystyle m}$

リーマンの多様性のサブマンシティ

${displaystyle {tilde {m}}。}$

2番目の基本形式の定義の出発点は、ベクトル場の直交分解です

${displaystyle t {tilde {m}} | _ {m}}$

接線方向および通常の割合で。それは

${displaystyle X、yin gamma ^{infty}（tm）}$

オンのベクトルフィールド

${displaystyle m}$

、したがって、ベクトルフィールドに行くことができます

${displaystyle {tilde {m}}}$

続く。は

${displaystyle {tilde {nabla}}}$

Levi-Civitaコンテキスト

${displaystyle {tilde {m}}}$

、次に分解が得られます

${displaystyle {tilde {nabla}} _ {x} y =（{tilde {nabla}} _ {x} y）^{tilde {nabla}} _ {{x} y）^{bot}。}。$

2番目の基本形式はイラストです

${displaystyle {mathit {ii}}コロンガンマ（TM）倍ガンマ（TM）からガンマ（NM）、}$

それを通して

${displaystyle {mathit {ii}}（x、y）：=（{tilde {nabla}} _ {x} y）^{bot}}}}}$

定義されています。説明された

${displaystyle nm}$

の通常の束

${displaystyle m}$

これは、接線バンドルと同様に定義されています

${displaystyle ^{bot}：t {tilde {m}}からnm}$

通常のバンドルの直交投影です。

特性 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

2番目の基本形式はです

Skalar 2番目の基本形式 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

多分

${displaystyle {tilde {m}}}$

一

${displaystyle n}$

-Riemannscher Metrikとの次元のRiemannの多様性

${displaystyle g}$

そして、

${displaystyle m}$

一

${displaystyle（n-1）}$

– 次元サブマネーシティ

${displaystyle {tilde {m}}}$

。 Kodimension 1のこのようなサブマニュアリティは、ハイパーフェイスも意味します。
この場合、通常のスペースはです

${displaystyle nm_ {p}}$

すべてのポイントで

${displaystyle p}$

から

${displaystyle m}$

1つの次元で、それぞれ2つのユニットの通常のベクトルがあります。

${displaystyle nm_ {p}}$

留め金。これらはサインのみが異なります。

ユニット通常のベクトルフィールドです

${displaystyle ninガンマ（nm）}$

選択した場合、関連するものを定義します
Skalar 2番目の基本形式

${displaystyle h}$

終えた

${displaystyle h（x、y）= g（{mathit {ii}}（x、y）、n）}$

すべてのために

${displaystyle X、yinガンマ（TM）。}$

標識を除いて、スカラーの2番目の基本形式は、ユニットの通常のベクトルフィールドの選択に依存しません。
代わりに取る

${displaystyle n}$

反対の2番目のユニットの通常のベクトルフィールドがあるため、スカラーの2番目の基本形式では標識のみが変化します。
2番目の基本形式の特性から、スカラーの2番目の基本形式も対称的であり、

${displaystyle c^{infty}（m）}$

– すべての引数でのリニアは、つまり対称的な（0.2）villageフィールドです

${displaystyle m}$

。

低い方法

${displaystyle nsubset m}$

その後、完全に測地測定されます（つまり、ジオデがあります

${displaystyle n}$

Geodesesです

${displaystyle m}$

）2番目の基本形式が同じように消えた場合。

1. ↑ A.ハートマン： 領域、ガウスの曲率、第1および第2の基本形式、定理エグレジウム。 （PDF）12。2011年4月、 2016年9月29日にアクセス 。 ページ6、文の証明3.4。

• ManfredoPerdigãodoCarmo： 曲線と表面の微分ジオメトリ 、Prentice-Hall、Inc.、ニュージャージー州、1976年、ISBN 0-13-212589-7
• ManfredoPerdigãodoCarmo： Riemannian Geometry 、Birkhäuser、Boston 1992、ISBN 0-8176-3490-8
• ジョン・M・リー： Riemannianマニホールド。曲率の​​紹介。 Springer、New York 1997、ISBN 0387983228。